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压轴题 07 带电粒子在磁场中的运动
1.本专题是磁场的典型题型之一，包括应用洛伦兹力的知识解决实际问题。高考中经常在选择题中命题，更是
在在计算题中频繁出现。2024年高考对于洛伦兹力的考查仍然是热点。
2.通过本专题的复习，不仅利于完善学生的知识体系，也有利于培养学生的物理核心素养。
3.用到的相关知识有:左手定则,洛伦兹力与现代科技等。近几年的高考命题中一直都是以压轴题的形式存在，
重点考查类型带电粒子在有界磁场中的运动，电磁场与现代科技等。
考向一：带电粒子在有界磁场中运动
带电粒子在有界磁场中运动的分析方法
1.圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的垂线，两条垂线的交点
就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这
两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
2.半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形。做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三
角形。由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。
3.粒子在匀强磁场中运动时间的确定
(1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝
T(或t＝T)。
圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。
(2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长。
考向二：带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。
(3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。
考向三：质谱仪
1.原理示意图
2.用途：分离和检测同位素；准确测离子的质量。
3.工作原理
(1)带电粒子经过电压为U的加速电场加速，qU＝mv2。
(2)垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，做匀速圆周运动，r＝。
(3)偏转距离x＝2r，比荷＝，所以比荷不相等的离子会被分开，并按比荷的大小顺序排列，利用质谱仪我们还
可以准确地测量出每种离子的质量m＝x2。
4.质谱仪区分同位素：由qU＝mv2和qvB＝m可求得r＝。同位素电荷量q相同，质量不同，在质谱仪照相底片
上显示的位置就不同，故能据此区分同位素。
考向四：回旋加速器
1.原理示意图
2.工作原理
(1)电场的特点及作用
特点：两个D形盒之间的窄缝区域存在交变电场，交变电场的周期与粒子在磁场中运动的周期相同。
作用：带电粒子经过该区域时被加速。
(2)磁场的特点及作用
特点：D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中。
作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，从而改变运动方向，半个周期后再次进入电场。
3.同步问题
交变电压的频率与粒子在磁场中做匀速圆周运动的频率相等，交变电压的频率 f＝＝(当粒子的比荷或磁感应强
度改变时，同时也要调节交变电压的频率)。
4.粒子的最大动能
粒子从D形盒边缘离开回旋加速器时动能最大，E＝mv2＝，可知在q、m和B一定的情况下，回旋加速器的半径
kmR越大，粒子的动能就越大(最大动能与加速电压无关)。
5.回旋加速的次数
粒子每加速一次动能就增加qU，故需要加速的次数n＝，回旋的周期数为。
6.粒子的运动时间
粒子的运动时间由加速次数n或回旋的周期数决定，在磁场中的回旋时间t＝T；在电场中的加速时间t＝或t
1 2 2
＝，其中a＝。在回旋加速器中运动的总时间t＝t
1
＋t
2
(因t 1≫t
2
，故可认为粒子在盒内的运动时间近似等于
t)。
1
7.回旋轨迹半径
r＝，nqU＝mv，n为加速次数。
n
考向五：洛伦兹力的其他应用实例
1.速度选择器
(1)装置及要求
如图所示，两极板间存在匀强电场和匀强磁场，二者方向互相垂直，带正电粒子从左侧射入，不计粒子重力。
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝。
(3)速度选择器的特点
①v的大小等于E与B的比值，即v＝。速度选择器只对选择的粒子的速度有要求，而对粒子的质量、电荷量大
小及带电正、负无要求。
②当v>时，粒子向F 方向偏转，F 做负功，粒子的动能减小，电势能增大。
洛 电
③当v<时，粒子向F 方向偏转，F 做正功，粒子的动能增大，电势能减小。
电 电
2.磁流体发电机
磁流体发电机的发电原理图如图甲所示，其平面图如图乙所示。
设带电粒子的运动速度为v，带电荷量为q，磁场的磁感应强度为B，极板间距离为d，极板间电压为U，根据F
＝F ，有qvB＝qE＝，得U＝Bdv。
洛 电
根据外电路断开时，电源电动势的大小等于路端电压，知此磁流体发电机的电动势为E ＝U＝Bdv。
源
3.电磁流量计
如图甲、乙所示是电磁流量计的示意图。设管的直径为D，磁感应强度为B，a、b两点间的电势差是由于导电液体中电荷受到洛伦兹力作用，在管壁的
上、下两侧堆积产生的。到一定程度后，a、b两点间的电势差达到稳定值U，上、下两侧堆积的电荷不再增多，
此时，洛伦兹力和电场力平衡，有qvB＝qE＝q，所以v＝，又圆管的横截面积S＝πD2，故流量Q＝Sv＝。
01 带电粒子在有界磁场中运动
1.如图所示，在xOy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子
从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)
垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子的电荷量为q，质量为m，重力不计。则( )
A.粒子带负电荷
B.粒子速度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.N与O点相距(＋1)a
02 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
2．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其
横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。
为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A. B.
C. D.
03 带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
3.如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、
带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v 射入，粒子的重力不计，求带电粒子在
0
磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。04 质谱仪
4.如图所示为质谱仪的工作原理图，在容器A中存在若干种电荷量相同而质量不同的带电粒子，它们可从容器
A下方的小孔S飘入电势差为U的加速电场(初速度可忽略)，然后经过S沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强
1 3
度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上。若这些粒子中有两种电荷量均为q、质量分别为m和m的粒子
1 2
(m0）、速度大小不同的离子，速度大小为 的离子经磁场偏转后能
击中A点。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
则（ ）
A．磁感应强度的大小
B．转筒的转动的角速度一定为
C．若某离子能击中C点，∠SOC=60°，该离子在磁场中的运动时间为
D．若转筒P的角速度 ，则探测板Q上能探测到离子的点有5个
11．（23-24高三上·福建福州·期末）如图所示，等腰梯形 区域内，存在垂直该平面向外的匀强磁场，
， ， ，磁感应强度大小为 ，磁场外有一粒子源 ，能沿同一方向发射速度大小
不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为 ，电荷量为 ，不计重力。现让粒子以垂直于 的方向正对 射入磁场区域，发现带电粒子恰好都从 之间飞出磁场，则（ ）
A．粒子源发射的粒子均为带负电的粒子 B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．带电粒子的发射速度取值范围为
D．带电粒子的发射速度取值范围为
12．（23-24高二上·山东烟台·期末）如图所示，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在电场强度大小为E、方
向平行于纸面水平向左的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场；等腰直角三角形
1
CDF区域（区域Ⅱ）内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。图中S、C、M三点在同一直
2
线上，SM与DF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。S点处的粒子源持续将同种带电粒子以不同的速率沿直线SC
射入区域Ⅰ中，只有沿直线SC运动的粒子才能进入区域Ⅱ，并从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间
为t。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之
0
间的相互作用，下列说法中正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t=t
0
B．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B，则t
