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人教A版数学--数列专题二
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减
法求和,
分组（并项）法求和
典例1、已知等差数列 各项均不为零， 为其前 项和，点 在函数
的图像上.
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 ；
（3）若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
随堂练习：已知数列{ }的前n项和 满足： ．
（1）求数列{ }的前3项 ；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）求数列 的前n项和 ．典例2、已知数列 中， ．
（1）证明：数列 和数列 都为等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前n项和 ．
随堂练习：在数列 中， ，
（1）设 ，求证： ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前 项和 .典例3、已知等差数列 的公差 ，它的前 项和为 ，若 =70，且 ， ，
成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2） 中的第2项，第4项，第8项，…，第 项，按原来的顺序排成一个新数列
，求 的前n项和 .
（3）已知数列 ， ，若数列 的前 项和为 ，求证： .
随堂练习：已知数列 的前 项和 ，其中 ．（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ；
（3）若存在 ，使得 成立，求实数 的最小值．
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,裂项相消法求和,累乘法求数列通项
典例4、已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）-若数列 的前 项和为 ，求证：随堂练习：已知 为等差数列， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 为 的前 项和，求 .
典例5、已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．数列 为等比数
列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的最小值．随堂练习：已知正项数列 满足 ，且 ，设
.
（1）求证：数列 为等比数列并求 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和 .
典例6、已知数列 的前 项和 满足 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）数列 ， ， 满足 ， ，且 ，求数列
的前 项和 ．随堂练习：已知数列 ，前n项和为 ，对任意的正整数n，都有
恒成立．
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知关于n的不等式 … 对一切 恒成立，求实数
a的取值范围；
（3）已知 ，数列 的前n项和为 ，试比较 与 的大小并证明．
人教A版数学--数列专题二答案典例1、答案：（） （2） （3）最大值为 ，最小值为
解：（1）因为点 在函数 的图像上，所以 ，
又数列 是等差数列，所以 ，
即 所以 ，
；
（2）解法1： ，
= = ，
解法2： ， ①
， ②
①-② 得 ，
；
（3）
记 的前n项和为 ，
则 =
，
当n为奇数时 随着n的增大而减小，可得 ，
当n为偶数时 随着n的增大而增大，可得 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 .
随 堂 练 习 ： 答 案 ： （ 1 ） ； （ 2 ） 证 明 见 解 析 ； （ 3 ）
.
解：（1）当 时，有： ；当 时，有： ；
当 时，有： ；
综上可知 ；
（2）由已知得： 时， ，
化简得：
上式可化为：
故数列{ }是以 为首项，公比为2的等比数列.
（3）由（2）知 ，∴ ，
∴
当n为偶数时， =
令 ，
①
②
则① ②得
，
∴ ， = ，
所以 .
当n为奇数时， ，
，
所以 .
综上， .
典例2、答案： （1）证明见解析. （2） （3）
.解：（1）由 得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
由 得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）得 ，
则 ， 所以
，
也符合上式， 所以 .
（3） ，
令 ， ，
两式相减得 ，
所以 .
所以 .
随 堂 练 习 ： 答 案 ： （ 1 ） 证 明 见 解 析 ； （ 2 ） ； （ 3 ）
.
解：（1）由条件可知： ， ，
，
， ；
（2）由第（1）问可知， ，
当 时， ， 当 时， ， 当 时，
，
当 时， ，以上各式相加，得 ，
， ， ，即 ；
（3）由第（1）、（2）问知， ， ，则 ，
设数列 的通项公式 ，前 项和为 ，
，
两式相减，得
，
，
数列 的前 项和
.
典例3、答案： （）1 （ ） （2） （3）证明见解析.
解：（1）解：因为数列 是等差数列， 所以 ， ．
依题意，有 ，即 解得 ， ．
所以数列 的通项公式为 （ ）．
（2）由题意： ，
∴
（3）证明：由（1）可得 ．所以 ，．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以数列 是递增数列．
所以 ．所以 ．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）当 时， ，
当 时， ， 两式相减并化简得 （ ），
当 时，上式也符合， 所以 .
（2）数列 满足 ， ，
则 ， ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， 所以 ，
所以 ，
设数列 满足 ，且前 项和为 ，
, ,
两式相减得 ，
所以 .
设数列 满足 ，则 的前 项和 ，
所以 .
（3）依题意，存在 ，使得 成立，
，则只需求 的最小值.，
当 或 时， 取得最小值为 . 所以 的最小值为 .
典例4、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由已知， 时， ，
与已知条件作差得： 所以 ，
所以 ,n=1成立
（2）证明：因为 ，
所
.得证.
随堂练习：答案：（1） ； （2） .
解：（1）∵ . ∴ ，
∴ ， ∴ ；
当 时， 满足上式， 所以 ；（2）由（1）可得 ，
∴
.
典例5、答案： （1） ； ， ；（2） .
解:（1）
即有 ，
上式对 也成立，则 ；
为公比设为 的等比数列， ， ．
可得 ， ，则 ，即 ， ， ；
（2） ，
前 项和为 ，
， 即 ，可得 递增，则 的最小值为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为 ， 所以 ，
因为 ， 所以 ，
所以 ，且
，
所以数列 是以 为公比， 为首项的等比数列，即 ，
即 ，可得 ， ，
所以 时， ，
即 ， 而此时 时， ，
所以 ；
（2）由（1） ，所以 ，所以
所以
.
典例6、答案： （1） ； （2）
解：（1）由题意知 ， ，
两式相减得 ， ， 故 ， ，
两式相减得 ，
即 ，可知数列 为等差数列，
又 ，则 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，等差数列 的公差 ，故 ．
（2）由题易知 ，又因为 ，
所以 ，
由累乘法可得： ， ， ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ， ，
当 时， 也符合，所以 ， ，则 ，
．
随堂练习：答案：（1） ；（2） ；（3） ，证明见解析．
解:（1）由题意，因为2S=（n+1）a， 当n≥2时，2S =na ，
n n n-1 n-1
两式相减2a=（n+1）a-na ，可得（n-1）a=na （n≥2），
n n n-1 n n-1
又a=1≠0，则a≠0，所以 ，
1 n
可得 ， 累乘得n≥2时， ，
n=1时，a=1也满足上式， 所以数列 的通项公式为a=n ．
1 n
（2）设 ，
则 =
= ，
所以f（n）在n≥3，n∈N*上单调递减， 所以 ，即 ．
（3） ，则T=c+c+c+…+c=
n 1 2 3 n
=
所以 ．
