第六章平行四边形B卷压轴题考点训练（解析版）（北师大版，成都专用）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

第六章 平行四边形B卷压轴题考点训练 1．如图，在 中， 是中线， 是边上一动点，将 沿 折叠 得到 ，若点 （不与点 重合）在 的角平分线上，则 的长为 _____． 【答案】 或 【详解】解：如图1，当 点在 的角平分线上时，连接 ， ， ， 由折叠可知， ， 是中线， ， ， ， ， ∴ 是 的中点， ∵ ， ， ， ∵ 是 的中点， ∴ ， 在 中， ，， ； 如图2，当 点在 的角平分线上时，连接 由折叠知， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述： 的长为 或 ， 故答案为： 或 ． 2．如图，平行四边形 中， ， ， ，P为边 上的一动点，则 的最小值等于______．【答案】 【详解】如图，过点P作 ，垂足为Q， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当点C、P、Q三点共线时 有最小值，且为 的长， ∴此时 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 故答案为： ．3．如图，在平行四边形 中， ， ， ，点F、点N分别为 的中点，点 E在边 上运动，将 沿 折叠，使得点D落在 处，连接 ，点M为 中点，则 的最 小值是________． 【答案】 【详解】如下图，连接 ， ． ∵点N为 的中点，点M为 中点， ∴ ， ∴当 最小时， 最小． ∵点F为 的中点， ∴ ． 由折叠的性质可知 ， ∴点 在以F为圆心，以 为半径的圆上运动，且点 在平行四边形 内． ∵ ， ∴当 共线时， 最小，即为 的值． 过点F作 ，如下图． ∵四边形 为平行四边形， ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 4．已知在 中， ， ，点 ， 分别在直角边 和 上运动， ， 当点 到达点 时，点 停止运动，点 为 的中点，则 的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图，取 的中点， ， 的中点 ，连接 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ，∴ , ， 根据题意可得，当 在 点时， 在 点，点 与点 重合， 当 在 点时， 在 点，点 与点 重合， ∴当 在 上运动时， 在 上运动，当 时，取得最小值， 在 中， ， ∴ , 故答案为： ． 5．如图，在矩形 中， ，E是 边上的一个动点，连接 ，过点D作 于 F，连接 ，当 为等腰三角形时，则 的长是______． 【答案】2或 或 【详解】解：① 时，过点 作 ，垂足为点 ． ∴ 为 的中点， 则 ， ，取 为 的中点， ∴ ， 为 的中位线，即 ， ∴ 、 、 三点在一条线上，即 ， ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴当 时， 是等腰三角形；② 时，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 则 ， ∴当B 时， 是等腰三角形； ③ 时，则点 在 的垂直平分线上，取 中点 ，连接 、 ． 易知 为矩形，∴ ， ， ∴ 、 、 在同一直线上， ∴ 为 的中位线， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， 即： ， 整理得： ，即 ， 解得： 或 （舍去） ∴当 时，△CDF是等腰三角形． 综上，当 、 、 时， 是等腰三角形．故答案为：2或 或 ． 6．在 中， ，D为 形内一点，以 为腰作等腰 ，使 ，连接 ，若 分别是 的中点， ，则 的长为_______． 【答案】2 【详解】解：如图，连接 ，取 的中点F，连接 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵M是 的中点，F是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ ， 同理得， ， ， ， ∵ ，∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，∴ ．故答案为：2． 7．如图，在等腰直角三角形 中， ， ，线段 在斜边 上运动，且 ．连 接 ， ．则 周长的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 、 ，过点 作 ，且点 在 上方， ，连接 交 于点 ，取 ，连接 ， ． ， ． ， ， ∴四边形 为平行四边形， ． ， ， 三点共线， 此时 的周长 最小．， ，即 ， ， 周长的最小值为： ． 故答案为： ． 8．如图, 中， ， ，在 的同侧作正 、正 和正 ，则四边形 面积的最大值是______________． 【答案】 【详解】延长 交 于点 ， ∵在正 和正 中， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 平分 ， 又∵ ，∴ ， ∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可得： ，∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴四边形 的面积 ， 又∵ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ，∴ ， 即四边形 面积的最大值为 ， 故答案为： ． 9．如图，在平行四边形ABCD中， ， ，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H 不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为 ______． 【答案】 【详解】如图，连接AG， 因为点E为AH的中点，点F为GH的中点， 所以EF= ，故EF的最小值，只有当AG取得最小值时，才能成立，AG的最小值为垂线段AG， 过点A作AM⊥BC，垂足为M， 因为 ， ， 所以BM=2， AM= ， 故EF的最小值为 = 故答案为： ． 10．如图，在平行四边形OABC中， 、 ，若 ，直线l经过D点并且把平行四边形 OABC的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式是______． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形OABC的顶点坐标分别为 ， 、 ， ∴ ， ∵将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分的直线一定过平行四边形OABC的对称中心Q，（对角线 的交点）且OQ=BQ∴平行四边形OABC的对称中心 ， 设直线l的解析式为 ， 把 ， 代入， 得 ，解得 ∴该直线的函数表达式为 ． 故答案为： ． 11．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝9，点M为BC的中点，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC延长 线于点D，过点M作MN∥AD，交AB于点N，则AN的长为________． 【答案】 【详解】解：NA上截取NF=BN，连接CF，如图 ∵BM=MC，NF=BN， ∴MN CF， ∵ CF AD， 则∠AFC=∠EAD，∠ACF=∠DAC， ∵AD平分∠CAE， ∴∠DAC=∠EAD，∴∠ACF=∠AFC， ∴AF=AC=9， ∴BF=AB-AF=11， ∵MN是△BCF的中位线， ∴BN=NF= ， ∴AN=NF+AF= ． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ， 满足： (1)求 的值； (2) 为 延长线上一动点，以 为直角边作等腰直角 ，连接 ，求直线 与 轴交点 的坐 标； (3)在（2）的条件下，当 时，在坐标平面内是否存在一点 ，使以 为顶点的四边形是平 行四边形，如果存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)72 (2) (3)存在， 或 或 【详解】（1）解： ，解得 ， ， ， ， ； （2）解：如图1，过点E作 轴于M， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：存在； ， ， ， ， 如图：设点P的坐标为 ， 当以 为对角线时， 解得 此时，点 的坐标为 ； 当以 为对角线时， 解得此时，点 的坐标为 ； 当以 为对角线时， 解得 此时，点 的坐标为 ； 综上，点P的坐标为 或 或 ． 13．探究题： (1)方法探索】小米遇到了这样的问题： 如图1，两条相等的线段 ， 交于点 ， ， ，连接 ， ，求证： ． 小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明 过程： 证明：过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两平行线交于点 ，连接 ． 请将解题过程补充完整． (2)【方法应用】如图2，在梯形 中， ，延长 ， 交于点 ，在 上截取 ， 过点 作 交 于 ，则线段 、 、 的关系是______． (3)【解决问题】 如图3，正方形 边长为4， ， ， 在 上，且 ．则四边形 周长的最小值是 ______． 【答案】(1)答案见解析(2) 且 (3) 【详解】（1）解：如图1 ： ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在 中， ， ； （2）如图2：过点F作 交 的延长线于H，延长 交 于M， ， ， ，， 在 和 中， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 的关系是 且 ； （3） 如上图，连接 ， 在 中， ，要求四边形 周长的最小 值，由于 是定值，所以只要 为最小值即可，把 平移到 与 交于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 与 交于点P， ，当 时， 为最小值，最小值为 的长度，过点E作 于F，则四边形 是矩形， ， ，， ， 在 中， ， 四边形 周长的最小值为 ． 14．如图1，线段 ．点D为射线 上一动点，以 为边作菱形 使 ，且点E、F与点N在 的两侧，在线段 上取一点G，使 ，直线 与线段 相交于点H（点H与点M、N不重合），与 相交于点K． (1)求证： ； (2)探索 与 的数量关系，并说明理由； (3)如图2，若 ，在 上作一点P，使 ． ①求证： ； ②求 的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) ，详见解析 (3)①见解析；② 【详解】（1）∵四边形 是菱形， ∴ 在 和 中，∴ （2） ，理由如下： ∵ ∴ ， ∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）①∵ ， ， ∴ ∴ ②如图2，过点E作 交 于点Q ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ∴ ∴ 是等边三角形 ∴ ∵ ，∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 的周长 ∴ 的周长为 ． 15．平行四边形 中， ， ， 在 的延长线上， 在 上，连接 ． (1)如图1，连接 ，若 ， ，求 的面积； (2)如图2，将 绕着 逆时针旋转 ，连接 交 于点 ，若点 为 中点，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，连接 、 ，取 中点 ，当 ， 时，直接写出 的面积. 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，； ， ， ． （2） 证明：过 作 交 的延长线于点 ，过 作 交 于点 ， ， 是 的中点， ， ， 点 为 中点， 是 的中位线， ； 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ；将 绕着 逆时针旋转 ， ， ， ， 又 ， ， 在 和 中 ， ≌ ， ， ， ， ， ， 即： ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ．（3） 解：连接 、 、 ， 由（2）得： ， ， ， ， ， ， 点 为 中点， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 由（1）得： ， ， ， 又 是 的中点， ， 、 、 三点共线， ， ， 是直角三角形， ， ， 设 ，则有 ， ，， ， ， ， 在 中： ， 即： ， 解得： ， ， ， ， ， ， ． 16．【问题原型】如图①，在 中，点D是 的中点，连接 ， ．求证： ． 请补全证明过程． 证明：如图①，点D是 的中点（已知）， ∴ （中点定义）． ∵ （已知）， ∴ （等量代换）． ∴ ______， ______．（____________）（填推理依据） ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【结论应用】如图②， 中，点D是 的中点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ，交 于点O，连接 ．请判断 与 的位置关系，并说明理由． 【应用拓展】如图③，在 中， ，点E是边 的中点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 并延长，交 于点F．若 ， ， ，则 的长为______． 【答案】【问题原型】 ； ；等边对等角；【结论应用】 ；理由见解析【应用拓展】 【详解】证明：【问题原型】如图①，点D是 的中点（已知）， ∴ （中点定义）． ∵ （已知）， ∴ （等量代换）． ∴ ， ，（等边对等角） ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故答案为： ； ；等边对等角． 解：【结论应用】 ；理由如下： 根据折叠可知， ， ， ∴ ， ∵点D是 的中点， ∴ ， 根据【问题原型】中的结论可知， ， ∴ ， ∴ ． 解：【应用拓展】过点D作 于点G，连接 交 于点O，如图所示：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴在 中，根据勾股定理可得： ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， 根据勾股定理可得， ， 根据折叠可知， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， 故答案为： ．