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人教A版数学--数列专题九
知识点一 裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项
典例1、已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
随堂练习：设数列 的前n项积为 ，且 .
（1）求证数列 是等差数列；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .典例2、已知数列{ }满足
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）记 ，求数列{ · }的前2022项和；
随堂练习：已知数列 满足 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .典例3、已知数列{a}和{b}，a＝2， ， ，
n n 1
（1）证明： 是等比数列；
（2）若 ，求数列 的前n项和S.
n
随堂练习：已知数列 的前n项和为 ，其中 ，满足 ．
（1）证明数列 为等比数列；
（2）求数列 的前n项和 ．知识点二 确定数列中的最大（小）项,利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列 的前 项和 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的最小项的值.
随堂练习：已知数列 的前 项和 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）设 ，试问：数列 是否有最大项、最小项，若有，分别指出
第几项最大、最小；若没有，试说明理由．典例5、 是数列 的前 项和，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 中最小的项.
随堂练习：设数列 的前 项和为 ，满足， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的最小值及相应的n的值.典例6、数列 满足 ，且 （ ）．
（1）求 ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）令 ，求数列 的最大值与最小值．
随堂练习：已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,数列 的前 项和为 ,且
满足,其中 N*.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 是公差不为零的等差数列.
①求实数 的值.
②若 ≤ 对任意的 N*恒成立,求 的取值范围.
人教A版数学--数列专题九答案
典例1、答案： （1） ； （2） .
解：（1）因为 ，所以 ， 两式相减得 ，
即 ，即 ，
又 ， ，故 ，
因此，数列 是每项都是1的常数列，从而 .（2）因为 ，所以 ， 从而 ，
因此 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）因为数列 的前n项积为 ，且 ，
∴当n=1时， ，则 ， .
当n≥2时， ，∴ ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）知数列 ，则由 得 ，
所以 ，
所以 .
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）依题设可得
∴数列{ }是以 为首项，以1为公差的等差数列，∴ ， ∴
（2）由（1）可得 ，
∴ ，
∴
随堂练习：答案： （1）
（ 2 ） 当 时 ， ； 当 时 ，
解：（1）证明： ，变形为： ， ，
∴数列 是等比数列，首项为6，公比为3.
∴ ，
变形为： ， ，
∴ ， ∴
（2）由（1）得
，
∴当 时，数列 的前 项和.
当 时，数列 的前 项和
.
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
又 ， ，解得 ， ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）知 ，则 ，
∴ ，
∴ .
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2） ．
解: （1）由 可得 ，因为 ，所以 所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列
（2）根据（1）可得： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
典例4、答案：（1） ；（2） .
解: （1） ， ，则 ， 即
，
当 时， ；
当 时， ；
经检验 适合 ，
（2）由（1）知： ， ， ，
当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
又 ， ， 当 时， 有最小值 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）第1595项最小，无最大项解：（1）因为数列 的前 项和 ，
当 时， ，
当 时，
，
因为当 时也满足，故 .
故 为常数，故 是等差数列
（2）由（1） ，故 ，
则
，
因为 ，故令 可解得 或 ，
即 ， ， ，
因为 ， ，
故数列 有最小项为第1595项，又随着 的增大 一直增大无最大值，
故数列 第1595项最小，无最大项
典例5、答案：（1） ；（2） .
解: （1）对任意的 ，由 得 ，
两式相减得 ， 因此，数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得 ，则 .当 时， ，即 ， ；
当 时， ，即 ， .所以，数列 的最小项为
.
随堂练习：答案： （1） ；（2）最小值 ， 或9.
解: （1）∵ ，则 ，
两式相减得： ，即 ，
验：由 且 知： 符合， ∴ .
∴数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，则 .
（2） ，则 ，
∴ 时， ； 时， ； 时， ，即：
∴当 或9时，数列 取得最小值 .
典例6、答案：（1） ， ， ；（2） ；
（3）数列 的最大值为 ，最小值为 .
解: （1）当 时，有 ，所以 ，当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
（2）当 时， ①， 又 ②，
②式减①式可得： ，即 ，
由（1）知当 时，上式不成立，
所以 是以从第二项 开始，公比为 的等比数列，
所以 .
（3）当 时， ，
当 时， ，
当 时， 且递减， ，
当 时， 且递减， ， 又 ，
综上所述，数列 的最大值为 ，最小值为 .
随堂练习：答案：（1） ；（2）① ；② ≤ ≤ .解: （1）由 可得 ，
作差得 ， 化简可得 ，
又 时 所以数列 是以 首项， 为公比的等比数列, 所以
.
(2) 设数列 是以 首项， 为公差的等差数列,
则 , ,
由 可得,
对任意 恒成立,
可得 ,解之得 或者 (舍去) 所以 ，
（3）因为 ≤ 恒成立，
①当 为偶数时， ≤ ，
令 ， 则
当 ≥3时， ；当 ≤2时， ；又因为 ， 所以 ， 所以， ≤ ，
② 当 为奇数时， ≥ ，
令 ， 则 ，
当 ≥3时， ；当 ≤2时， ；
因为 ， 所以 ，
所以， ≥ ， 综上所述： ≤ ≤ ，
