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第六章 平行四边形（A卷·知识通关练）
考点1 多边形的对角线
【方法点拨】从n边形的一个顶点出发，最多能画（n-3）条对角线，这些对角线能把n边形分成（n-2）
n(n−3)
2
个三角形。共 条对角线.
1. （2022秋•东港市期末）过一个多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成 6个三角形，则这个多边形为
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【分析】根据 边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可组成 个三角形，依此可得 的值．
【解答】解：根据 边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可组成 个三角形，
，即 ．
故选： ．
2. （2022秋•榆阳区校级期末）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据从 边形的一个顶点可以作对角线的条数公式 求出边数即可得解．
【解答】解： 从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为 ，
，
解得 ．
故选： ．
3. （2022秋•沙坪坝区校级期末）下列说法正确的有 个．
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；
②连接 、 两点的线段叫两点之间的距离；
③两点之间直线最短；
④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤ 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出 条对角线，这些对角线把这个 边形分成
了 个三角形．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】分别根据角平分线的定义，两点之间的距离的定义，线段的性质，直线与射线的定义以及多边形
的对角线的定义逐一判断即可．
【解答】解：从角的顶点出发，把一个角分成两相等的角的射线叫角的平分线，故①说法错误；
连接 、 两点的线段的长度叫两点之间的距离，故②说法错误；
两点之间，线段最短，故③说法错误；
射线上点的个数和直线上点的个数都是无数个，故④说法错误；
边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出 条对角线，这些对角线把这个 边形分成了
个三角形，故⑤说法正确．
所以法正确的有1个．
故选： ．
4. （2022秋•保定期末）若从一个 边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则 ．
【分析】利用 边形从一个顶点出发可引出 条对角线求解．
【解答】解：根据题意得 ，
所以 ．
故答案为：13．
5. （2022秋•小店区校级期末）从六边形的一个顶点出发可以画出的对角线的条数是 ．
【分析】根据从一个 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是 进行计算即可．
【解答】解：从六边形的一个顶点出发，引对角线的数量为： （条 ，
故答案为：3．
考点2 多边形的内角和与外角和
【方法点拨】多边形的外角和固定不变为360°，多边形的内角和为180（n-2）(其中n为边数）.
6. （2022 秋•莱阳市期末）如图，六边形 中， ， ， ， ，，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】延长 交 延长线于 ，由 可求 ，再由三角形的外角定理求出 ，最后由
多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：延长 交 延长线于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
7. （2022秋•城关区校级期末）若 边形的内角和比它的外角和的3倍少 ，则 是
A．5 B．7 C．8 D．9
【分析】根据 边形的内角和公式 且 为整数），外角和等于 列出方程求解即可．【解答】解：依题意得： ，
解得 ．
故选： ．
8. （2022秋•硚口区期末）如图，已知 ，那么 的大小是
A． B． C． D．
【分析】根据多边形的外角和是 即可得出答案．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
9. （2022秋•荔湾区期末）如果一个多边形的每个内角都是 ，则它的边数为
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数 一个外角的度数计算即可．
【解答】解：因为 ，
，
故这个多边形的边数是10．
故选： ．
10. （2022秋•北京期末）一个 边形的每个外角都是 ，则这个 边形的内角和是
A． B． C． D．
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边
数，根据内角和定理即可求得内角和．
【解答】解：多边形的边数是： ，则多边形的内角和是： ．
故答案为： ．
考点3 平行四边形性质中的边角关系
【方法点拨】掌握平行四边形的边角性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的
对边相等，且平行。
11. （2022秋•莱阳市期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点
，若 ， ，则 的长度为
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先证明 ， ，再根据 即可得出答案．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
平分 交 于 ， 平分 交 于 ，
， ，
， ，
．
故选： ．
12. （2022秋•南关区校级期末）关于平行四边形的性质，下列描述错误的是
A．平行四边形的对角线相等
B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．平行四边形的对边平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．
【解答】解： 平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．
、 、 正确， 错误，
故选： ．13. （2022秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形 中， ， 平分 ，则 的度
数是
A． B． C． D．
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ，由角平分线的定义得出
，从而可得出答案．
【解答】解： 四边形 为平行四边形， ，
， ，
，
平分 ，
，
，
故选： ．
14. （2022秋•招远市期末）已知 ，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解： 、由作法可知 平分 ，所以 ，故本选项不符合题意；
、 ， ，故本选项不符合题意；
、无法证明 ，故本选项符合题意；、 ， ， ， ，故本选项不符合题意．
故选： ．
15. （2022秋•黄浦区校级期末）如图所示，在平行四边形 中， ， ， 的平分
线 交 于点 ，交 的延长线于点 ，则 ．
【分析】由 平分 得到 ，又由平行四边形两组对边分别平行可以推出
，然后可以得到 ，从而求出 ．
【解答】解： 平分 ，
，
又 ，
，
，
，
．
故答案为：3．
考点4 平行四边形性质中的对角线
【方法点拨】掌握平行四边形的对角线性质是关键：平行四边形的对角线互相平分。
16. （2022秋•招远市期末）如图， 的周长为 ， 的周长为 ，则对角线 的长为
A． B． C． D．
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ，即可求解．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，， ，
的周长为 ， 的周长为 ，
， ，
，
故选： ．
17. （2022春•锦州期末）如图， 的周长为 ， 的周长为 ，则对角线 的长为
A． B． C． D．
【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即 ，则 ，而 的
周长 ，继而即可求出 的长．
【解答】解： 的周长是 ，
，
的周长是 ，
，
．
故选： ．
18. （2021秋•让胡路区校级期末）在 中， ， ， ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形两条对角线互相平分可得 ， ，再根据三角形三边
关系定理可得答案．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，， ，
，
，
故选： ．
19. （2022秋•东营区校级期末）如图， 的对角线相交于点 ，且 ， 的周长为23，则
的两条对角线的和是
A．18 B．28 C．36 D．46
【分析】首先由平行四边形的性质可求出 的长，由条件 的周长为23，即可求出 的长，
再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，
的周长为23，
，
， ，
平行四边形 的两条对角线的和 ，
故选： ．
20. （2022秋•任城区期末）已知，在平行四边形 中， 的平分线分 成 和 两条线段，则平
行四边形 的周长为 ．
A．11 B．22 C．20 D．20或22
【分析】设 的平分线交 于点 ，可证明 ，再分两种情况讨论，一是 ， ，
则 ， ； 二 是 ， 时 ， 则 ，
，分别求出平行四边形 的周长即可．
【解答】解：设 的平分线交 于点 ，
四边形 是平行四边形，，
，
，
，
，
当 ， 时，如图1，
则 ， ，
；
当 ， 时，如图2，
则 ， ，
，
平行四边形 的周长为 或 ，
故选： ．
考点5 利用平行四边形性质求周长
【方法点拨】掌握平行四边形的性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边
相等，且平行；⑶平行四边形的对角线互相平分。
21. 如图，在 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，AB＝3，△ABO的周长比△BOC的周长小1，则
ABCD的▱周长是（ ）
▱A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△AOB的周长比△BOC的
周长小1，则BC比AB大1，所以可以求出BC，进而求出周长．
【答案】解：∵△AOB的周长比△BOC的周长小1，
∴BC﹣AB＝1，
∵AB＝3，
∴BC＝4，
∴AB+BC＝7，
∴平行四边形的周长为14，
故选：C．
22. 如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长
为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．28 B．26 C．24 D．20
【分析】根据平行四边形的性质可求出AD+CD的值，易证△AOE≌△COF，所以AE＝CF，OE＝OF＝
3，根据CF+CD+ED+EF＝AD+CD+EF即可求出答案．
【答案】解：在平行四边形ABCD中，
2（AD+CD）＝36，
∴AD+CD＝18，
易证△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，OE＝OF＝3，
∴EF＝6
∴CF+CD+ED+EF
＝AE+ED+EF+CD
＝AD+CD+EF
＝18+6
＝24
故选：C．23. （2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形 中， ， ，垂足分别是 、 ，
， ， ，则平行四边形 的周长为 ．
【分析】由平行四边形的性质得 ， ， ， ，再证 ，
然后由含 角的直角三角形的性质得 ， ，即可解决问题．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
的周长 ，
故答案为：20．
24. （2022秋•泰山区期末）如图，平行四边形 的对角线 和 相交于点 ， 过点 与 、
相交于点 、 ，若 ， ， ，那么四边形 的周长是 ．
【分析】先证明 ，得出 ， ，可求得 ，即可得出四边形
的周长 ，进而可求解．
【解答】解： 四边形 是平行四边形， ，
， ，，
在 和 中，
，
，
， ，
，
四边形 的周长 ．
故答案为：15．
25. （2022秋•东营区校级期末）如图， 的对角线相交于点 ，且 ，过点 作 ，交
于点 ．如果 的周长为8，那么 的周长是 ．
【分析】根据题意， 垂直平分 ，所以 ，因此 的周长 ，可得平行四边
形 的周长．
【解答】解： 是平行四边形，
，
，
．
的周长 ，
平行四边形 的周长是 ．
故答案为16．
考点6 利用平行四边形性质求面积
【方法点拨】掌握平行四边形的性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边
相等，且平行；⑶平行四边形的对角线互相平分。
26. （2022秋•招远市期末）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是A． B．
C． D．
【分析】利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求解．
【解答】解： 、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误；
、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积
等于平行四边形的面积的一半，正确；
、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于
平行四边形的面积的一半，正确；
、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于
平行四边形的面积的一半，正确．
故选： ．
27. （2022秋•张店区校级期末）如图，在 中，过对角线 上一点 作 ， ，且
， ，则 ．
【分析】由条件可证明四边形 、 为平行四边形，可证明 ，再利用面积的
和差可得出四边形 和四边形 的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【解答】解： ， ，
四边形 、 、 、 为平行四边形，
，
同理可得 ， ，
，即 ．
， ，
；
故答案为：4.5．
28. （2022秋•张店区校级期末）如图，平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ，过点 的直线分
别交 、 于点 、 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
【解答】解： 平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ，
，
阴影部分面积等于 的面积，即为 面积的一半，
过点 作 于点 ，
， ，
， ，
，
阴影部分面积为 ，
故答案为： ．
29. （2022秋•南关区校级期末）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ，
， ，则平行四边形 的面积为 ．【分析】先作 交 的延长线于点 ，然后根据平行四边形的性质和判定可以得到四边形
是平行四边形，从而可以得到 、 的长，进而得到 的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断
的形状，最后根据平行四边形的面积 底 高计算即可．
【解答】解：作 交 的延长线于点 ，如图所示，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ， ，
， ， ，
，
是直角三角形， ，
平行四边形 的面积为： ，
故答案为：24．
30. （2022秋•朝阳区校级期末）如图，在平行四边形 中， 于点 ， 于点 ，若
， ， ，则平行四边形 的面积为 ．【分析】已知平行四边形的高 、 ，设 ，则 ，根据“等面积法”列方程，求
，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设 ，则 ，根据“等面积法”得
，解得 ，
平行四边形 的面积 ．
故答案为：48．
考点7 平行四边形的判定
【方法点拨】平行四边形的判定：⑴一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑵两组对边分别相等的
四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑷对角线互相平分的四边形是平行四
边形；
31. （2022秋•泰山区期末）如图，四边形 的对角线交于点 ，下列哪组条件不能判断四边形 是
平行四边形
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解： 、 ， ，
四边形 是平行四边形，故选项 不符合题意；
、由 ， 不能判断四边形 是平行四边形，故选项 符合题意；
、 ， ，
四边形 是平行四边形，故选项 不符合题意；
、 ，，
，
，
，
四边形 是平行四边形，故选项 不符合题意；
故选： ．
32. （2022秋•东平县校级期末）四边形 中，对角线 、 相交于点 ，给出下列四组条件：
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ．
其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断．
【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这
个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平
行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是
平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知④错误；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故选： ．
33. （2022秋•泰山区校级期末）如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，下列条件不能判定
四边形 为平行四边形的是
A． ， B． ，C． ， D． ，
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解： 、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形 为平行四边形，故此
选项不合题意；
、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形 为平行四边形，故此选项不合题意；
、不能判定四边形 是平行四边形，故此选项符合题意；
、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形 为平行四边形，故此选项不合题意；
故选： ．
34. 下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形
的条件是（ ）
A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足
两组对角相等，故不能判定．
【答案】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确．
故选：A．
35. （2022秋•峰峰矿区校级期末）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确
的，她先用尺规作出了如图1的四边形 ，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形 中， ，
求证：四边形 是 四边形．
（1）填空，补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ．
【分析】（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形 中， ， ，求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，利用 定理证明 可得 ， ，进而可
得 ， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形 是平行四
边形；
（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分
别相等．
【解答】解：（1）已知：如图1，在四边形 中， ，
求证：四边形 是平行四边形．
（2）证明：连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．
考点8 平行四边形的判定与性质
36. （2022秋•张店区校级期末）如图，在平行四边形 中，点 ， 在对角线 上，连接 ， ，
， ， 点 ， 满 足 以 下 条 件 中 的 一 个 ： ① ； ② ； ③ ； ④
；⑤ ， ．其中，能使四边形 为平行四边形的条件个数为A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【解答】解：①如图，连接 交 于点 ，
四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
，
，
即 ，
四边形 是平行四边形；故①正确；
② ，不能判定 ，
不能判定四边形 是平行四边形；
③ ，不能判定 ，
不能判定四边形 是平行四边形；
④ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，，
四边形 是平行四边形，故④正确；
⑤ ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；故⑤正确；
一定能判定四边形 是平行四边形的是①④⑤，共3个，
故选： ．
37. （2022秋•东平县校级期末）如图：分别以 的直角边 及斜边 为边作等边 及等边
，已知 ， ，垂足为 ，连接 交 于点 ．给出下列说法：① ；
②四边形 是平行四边形；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数
是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由等边三角形的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得 ，即可判断
①成立，由平行四边形的判定可证四边形 是平行四边形，即可判断②成立，由“ ”可证可判断③不成立，由平行线分线段成比例可判断④成立，由等边三角形的性质可判断⑤不
成立．
【解答】解： 中， ，
，
又 是等边三角形， ，
，
在 和 中，
，
，
；
故①正确
是等边三角形，
， ，
又 ，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形．
故②正确
四边形 是平行四边形
，
又 ，
与 不全等
故③错误故④正确
故⑤错误
故选： ．
38. （2022 秋•泰山区校级期末）如图，在四边形 中， ，对角线 、 交于点 ，且
．
（1）求证：
① ；
②四边形 为平行四边形；
（2）过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，求
的度数．
【分析】（1）①由平行线的性质得出 ，可证明 ；
②证得 ，再由 ，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出 ，证出 ，由等腰三角形的性质得出 ，
求出 ，则可得出答案．
【解答】（1）①证明： ，
，
在 和 中，
，
；
②同理可证 ，
，又 ，
四边形 为平行四边形；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
．
39. （2022秋•招远市期末）如图，四边形 为平行四边形， 为 上的一点，连接 并延长，使
，连接 并延长，使 ，连接 ． 为 的中点，连接 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ， ，求 的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出 ， ；证明 是 的中位线，得出
， ，证出 ， ，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出 ，再由等腰三角形的性质得出 ，根据三角形内
角和定理即可得出结果．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
是 的中位线，
， ，为 的中点，
，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
40. （2022秋•泰山区期末）已知：如图，在四边形 中， ， ，垂足分别为 ， ，
延长 、 ，分别交 于点 ，交 于点 ，若 ， ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【分析】（1）证明 ，可得 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可
解决问题；
（2）根据平行四边形的性质证明 ，然后根据勾股定理可得 ，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明： ， ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
四边形 为平行四边形；
（2）解： 四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在 中，
， ，
，
，
．
．
考点9 三角形的中位线
41. （2022秋•泰山区校级期末）如图， 中， ， ，点 是 的中点，若 平分
， ，线段 的长为A． B． C． D．
【分析】延长 交 于 ，证明 ，根据全等三角形对应边相等可得 ，
，再求出 并判断出 是 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半解答．
【解答】解：如图，延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，点 为 的中点，
是 的中位线，
，
故选： ．
42. （2022秋•二道区校级期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，点 在
上，且 ，连接 ， 为 的中点，连接 ，则 的长为A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到 ，根据三角形中位线定理计算得到答案．
【解答】解： ， ，
，
， 平分 ，
，
，
是 的中位线，
．
故选： ．
43. （2022秋•桐柏县期末）如图，在 中，点 、 分别是 、 的中点， ，点 是 上
一点． ．连接 ， ．若 ，则 的长度为
A．18 B．16 C．14 D．12
【分析】根据直角三角形的性质求出 ，进而求出 ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解： ，点 是 的中点， ，
，
，
，
点 、 分别是 、 的中点，，
故选： ．
44. （2022秋•南关区校级期末）如图，四边形 中， ， ， ，点 、 分别为线
段 、 上的动点，点 、 分别为 、 的中点，则 长度的可能为
A．2 B．2.3 C．4 D．7
【分析】根据三角形的中位线定理得出 ，从而可知 最大时， 最大，因为 与 重合时
最大， 与 重合时， 最小，从而求得 的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．
【解答】解：连接 ，
， ，
，
最大时， 最大， 最小时， 最小，
与 重合时 最大，
此时 ，
的最大值为6.5．
， ，
，
，
长度的可能为4；
故选： ．
45. （2022秋•新泰市期末）如图，四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点．若 ， ，则 的度数为 ．
【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【解答】解： ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线．
且 ， 且 ．
又 ，
， ， ．
．
，
．
故答案是： ．
考点10 平行四边形中的最值问题
46. （2021春•方城县期中）如图，在 中， ， ， ，点 在 上，以 为对
角线的所有 中，对角线 的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当 时， 长度取最小值，则 是
的中位线，得出 ，即可得出答案．【解答】解：在 中， ，
．
四边形 是平行四边形，
， ．
当 取最小值时， 线段最短，此时 ．
，
是 的中位线，
，
．
故选： ．
47. （2022春•确山县期末）如图所示，在 中， ， ， ， 为 上一动点（不
与 、 重合），作 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的最小值是
A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2
【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可得
，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程
求解即可．
【解答】解：如图，连接 ．
， ， ，
，
， ， ，
四边形 是矩形，，
由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，
此时， ，
即 ，
解得 ．
故选： ．
48. （2020•宁波模拟）一个大矩形按如图方式分割成十二个小矩形，且只有标号为 ， ， ， 的四个小
矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道十二个小矩形中 个小矩形的周长，就一定能算出这个
大矩形的面积，则 的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的
答案．
【解答】解：如图所示：
， ， ， 的四个小长方形为正方形， 和 的周长相等， 和 的周长相等．
设 的周长为： ，则 的边长为 ， 和 的周长相等；
设 的周长为： ，则 的边长为 ， 和 的周长相等；设 的周长为： ．
故大矩形的边长分别为： ， ，
故大矩形的面积为： ，其中 ， ， 都为已知数，
故 的最小值是3．
故选： ．
49. （2022春•睢宁县月考）如图，在 中， ， ， 为 上的动点，连接 ，以
、 为边作平行四边形 ，则 长的最小值为 ．
【分析】取 的中点 ，当 时， 的长最小，根据含 的直角三角形的性质可求 ，即可
得出 的最小值．
【解答】解：如图，取 的中点 ，当 时， 的长最小，
，
，
，
，
长的最小值为2．
故答案为：2．
50. （2021•扬州模拟）在 中， ， ，点 为 上一动点，连接 ，以 ， 为
邻边作平行四边形 ，连接 ，则 的最小值为 ．【分析】过 作 于点 ，利用勾股定理建立方程便可求得 ，当 时， 的值最小，
即 的值最小，可以证明此时 取最小值时， ．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
当 时， 的值最小，即 的值最小，
过 作 于点 ，则 ，
平行四边形 中 ，即 ，
，
四边形 是矩形，
，
， ，
设 ，则 ，
，
即 ，
解得， ，
，
，
的最小值为4.8．
故答案为4.8．
考点11 平行四边形中的动点问题
51. （2022秋•丰城市校级期末）如图，四边形 中， ， ， ， 是 上一
点，且 ，点 从点 出发以 的速度向点 运动，点 从点 出发，以 的速度向点
运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为 ，则当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题；
【解答】解：①当点 在线段 上， 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
则有 ，解得 ，
②当 在线段 上， 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
则有 ，解得 ，
综上所述， 或 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为： 或
52. （2022秋•南关区校级期末）如图，在四边形 中， ， ， ，动点 、
分别从 、 同时出发，点 以 的速度由 向 运动，点 以 的速度由 向 运动，其
中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为 秒．
（1） ， ，（分别用含有 的式子表示）；
（2）当四边形 的面积是四边形 面积的2倍时，求出 的值．
（3）当点 、 与四边形 的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出 的值．
【分析】（1）由路程 速度 时间，可求解；（2）由面积关系可求解；
（3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质列出方程可求解．
【解答】解：（1） 点 以 的速度由 向 运动，点 以 的速度由 向 运动，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2）设点 到 的距离为 ，
四边形 的面积是四边形 面积的2倍，
，
；
（3）若四边形 是平行四边形，
，
，
；
若四边形 是平行四边形，
，
，
，
若四边形 是平行四边形，
，
，
（不合题意舍去），若四边形 是平行四边形，
，
，
，
综上所述：当 或3或 时，点 、 与四边形 的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
53. （2022秋•招远市期末）如图，在 中，已知 ，点 在 上以 的速度从点 向点
运动，点 在 上以 的速度从点 出发往返运动，两点同时出发，当点 到达点 时停止运动
（同时点 也停止），设运动时间为 ．
（1）当点 运动 秒时，线段 的长度为 ；
当点 运动2秒时，线段 的长度为 ；
当点 运动5秒时，线段 的长度为 ；
（2）若经过 秒，以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有 的值．
【分析】（1）由路程 速度 时间，可求解；
（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质，列出等式可求解．
【解答】解：（1） 点 在 上以 的速度从点 向点 运动，
，
，
当点 运动2秒时， ，，
当点 运动5秒时， ，
，
故答案为： ；7；5；
（2） 在 上运动，
，即 ，
以点 、 、 、 为顶点的平行四边形，
已有 ，还需满足 ，
①当点 的运动路线是 时， ，由题意得： ， 不合题意，
②当点 的运动路线是 时， ，由题意得： ，解得： ；
③当点 的运动路线是 时， ，由题意得： ，解得： ；
④当点 的运动路线是 时， ，由题意得： ，解得： ；
综上所述， 的值为6或10或12．
54. 如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm．M是CD的中点P是BC边上的一动点P与B，
C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．
（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
【分析】（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ＝PC，即可得结论；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．
【答案】解：（1）∵AD∥BC∴∠QDM＝∠PCM
∵M是CD的中点，
∴DM＝CM，
∵∠DMQ＝∠CMP，DM＝CM，∠QDM＝∠PCM
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
∴DQ＝PC，
∵AD∥BC，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；
（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ，
∵BC﹣CP＝AD+QD，
∴9﹣CP＝5+CP，
∴CP＝（9﹣5）÷2＝2．
∴当PC＝2时，四边形ABPQ是平行四边形．
55. 如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以3cm/s的速度运
动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以2cm/s的速度运动．点E在线段BC上，且BE＝1cm，若
M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时停止运动．
（1）求经过几秒钟M、N两点停止运动？
（2）求点A、E、M、N构成平行四边形时，M、N两点运动的时间；
（3）设运动时间为t（s），用含字母t的代数式表示△EMN的面积S（cm2）．
【分析】（1）由题意可得：M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时共运动了：2（5+10）＝30
（cm），则可得t＝30÷（2+3）＝6；
（2）由题意知，当点N在AD边上运动，点M在BC边上运动时，点A、E、M、N才可能组成平行四
边形，然后设经过t秒，四点可组成平行四边形， 当构 成 AEMN时，10﹣2t＝14﹣3t， 当构成
AMEN时，10﹣2t＝3t﹣14，继而求得答案； ① ▱ ▱ ②
▱
（3）分别从当 0＜t＜ 时，当 ≤t＜ 时，当 ＜t≤5时，当5＜t＜6时，去分析求解即可求得答案．
【答案】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，
∴M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时共运动了：2（5+10）＝30（cm），
∴t＝30÷（2+3）＝6 （s）
答：经过6 s两点相遇．
（2）由题意知，当点N在AD边上运动，点M在BC边上运动时，点A、E、M、N才可能组成平行四
边形，
设经过t秒，四点可组成平行四边形，
当构成 AEMN时，10﹣2t＝14﹣3t，
①解得t＝4；▱
当构成 AMEN时，10﹣2t＝3t﹣14，
②解得t＝4.▱8；
答：当点A、E、M、N构成平行四边形时，M、N两点运动的时间为4s或4.8s．
（3）如图（1），当0＜t＜ 时，S＝S梯形CDNE ﹣S△DMN ﹣S△CEM ＝ ×（2t+9）×5﹣ ×2t×3t﹣ ×9×（5
﹣3t）＝﹣3t2+ t；
如图（2），当 ≤t＜ 时，S＝S△EMN ＝ EM•CD＝ ×（14﹣3t）×5＝35﹣ t；
如图（3），当 ＜t≤5时，S＝S△EMN ＝ ×（3t﹣14）×5＝ t﹣35；如图（4），当5＜t＜6时，S＝S△EMN ＝ MN•BE＝ ×（30﹣2t﹣3t）×1＝15﹣ t．
