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微专题 17 与平面向量有关的最值、范围问题
高考定位 1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，
难度中档； 2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围．
【真题体验】
1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且
与BD相切的圆上.若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2
C. D.2
2.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与
⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则PA·PD的最大值为( )
A. B.
C.1＋ D.2＋
3.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝
DE，BE＝λBA＋μBC，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF的
中点，则AF·DG的最小值为________.
4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A A …A 的边A A 上，则PA＋
1 2 8 1 2
PA＋…＋PA的取值范围是________.
【热点突破】
热点一 向量模的最值、范围
向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合
平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.
例1 (1)已知单位向量a，b满足|a－b|＋2a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(
)A. B.
C. D.
(2)(2024·长沙质检)已知a，b，c都是平面向量，且|a|＝|4a－b|＝1，若〈a，c〉
＝，则|b－c|的最小值为( )
A.1 B.
C.2 D.3
训练1 (1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为
( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰
DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________.
热点二 向量数量积的最值、范围
数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求
解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，
将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.
例2 (1)(2024·北京朝阳区模拟)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段
BC上.当PA·PB取得最小值时，|PA|＝( )
A. B.
C. D.
(2)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(含边
界)，则PC·PD的取值范围为( )A.(0，16] B.[0，16]
C.(0，4) D.[0，4]
训练2 (1)已知四边形 ABCD是边长为1的正方形，P为对角线AC上一点，则
PA·(PB＋PD)的最小值是( )
A.0 B.－
C.－ D.－2
(2)(2024·福州调研)在△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝4，点M为边AB的中点，
点P在边BC上，则MP·CP的最小值为________.
热点三 向量夹角的最值、范围
求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表
示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
例3 (2024·安庆模拟)已知点P(1，0)，C(0，)，O是坐标原点，点B满足|BC|＝
1，则OP与PB夹角的最大值为( )
A. B.
C. D.
训练 3 (2024·石家庄质检)在平行四边形 ABCD 中，＋＝，λ∈[，2]，则 cos
∠BAD的取值范围是________.
热点四 向量系数的最值、范围
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解.
例4 (1)如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，
若AP＝xAB＋yAC，则2x＋2y的最大值为( )
A. B.2
C. D.1
(2)(2024·兰州调研)设点P在以A为圆心，1为半径的圆弧BC上运动(包含B，C
两个端点)，∠BAC＝，且AP＝xAB＋yAC，则x＋y的取值范围为________.
训练 4 (2024·青岛模拟)已知点 P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP＝AB＋
tAC(t∈R)，若点 P 在△ABC 的内部(不包含边界)，则实数 t 的取值范围是
________.
【精准强化练】
一、单选题
1.已知向量a＝(，1)，b＝(1，)，则|λa－b|(λ∈R)的最小值为( )
A.2 B.
C.1 D.
2.设向量OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，其中O为坐标原点，
a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为( )
A.4 B.6
C.8 D.9
3.已知p：向量a＝(－1，1)与b＝(m，2)的夹角为锐角.若p是假命题，则实数m
的取值范围是( )
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(－2，2)C.{－2}∪[2，＋∞) D.[2，＋∞)
4.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，|AD|＝2|DC|.
连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若AE＝aAC＋bAB，则a2＋b2的
最小值为( )
A. B.
C. D.
5.已知a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0.若向量c满足|a＋b－2c|＝1，则|c|的取值
范围是( )
A.[1，－1] B.
C. D.
6.(2024·杭州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知P(3，4)，长度为2的线段AB
的端点分别落在x轴和y轴上，则PA·PB的取值范围是( )
A.[2，] B.[3，5]
C.[4，6] D.[15，35]
7.(2024·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设A(2，4)，B(－2，－4)，动点P
满足PO·PA＝－1，则tan∠PBO的最大值为( )
A. B.
C. D.
8.(2024·广州调研)单位圆O：x2＋y2＝1上有两定点 A(1，0)，B(0，1)及两动点
C，D，且OC·OD＝，则CA·CB＋DA·DB的最大值是( )
A.2＋ B.2＋2
C.－2 D.2－2
二、多选题
9.已知向量a，b，单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋b|的可能取值
为( )
A.3 B.
C. D.610.(2024·厦门、福州等市质检)平面向量 m，n满足|m|＝|n|＝1，对任意的实数
t，≤|m＋tn|恒成立，则( )
A.m与n的夹角为60°
B.(m＋tn)2＋(m－tn)2为定值
C.|n－tm|的最小值为
D.m在m＋n上的投影向量为(m＋n)
11.(2024·重庆诊断)重庆荣昌折扇是中国名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳
女，深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；
金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD，其中
∠COD＝，OC＝3OA＝3，动点P在CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧
AB于点Q，且OQ＝xOC＋yOD，则下列说法正确的是( )
A.若y＝x，则x＋y＝ B.若y＝2x，则OA·OP＝0
C.AB·PQ≥－2 D.PA·PB≥
三、填空题
12.(2024·安康模拟)在△ABC中，CA＝CB＝2，D为AC的中点，则DC·DB的取
值范围是________.
13.(2024·湖南师大附中摸底)在直角△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面
ABC内动点P满足CP＝1，则AP·BP的最小值为________.
14.(2024·江西八校联考)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，P是△ABC
的外接圆上一点，若AP＝mAB＋nAC，则m＋n的最小值为________.【解析版】
1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且
与BD相切的圆上.若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2
C. D.2
答案 A
解析 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，则 B(1，0)，D(0，2)，
C(1，2)，直线BD的方程为y＝－2x＋2，
⊙C方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又AB＝(1，0)，AD＝(0，2)，
则AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，
又圆与直线BD相切，则半径r＝.
因为P点坐标可表示为x＝1＋rcos θ＝λ，
y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋×＝3.2.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与
⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则PA·PD的最大值为( )
A. B.
C.1＋ D.2＋
答案 A
解析 连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，
因为|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，
则∠POA＝.
设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－＜θ＜，
∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ.
所以PA·PD＝|PA||PD|cos(＋θ)＝cos θ·
cos(＋θ)＝cos θ(cos θ－sin θ)
＝cos2θ－sin θcos θ＝＋cos 2θ－sin 2θ
＝＋cos(2θ＋)≤＋，故选A.
3.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝
DE，BE＝λBA＋μBC，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF的
中点，则AF·DG的最小值为________.
答案 －
解析 以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E，
所以BE＝，BA＝(－1，0)，BC＝(0，1)，
因为BE＝λBA＋μBC，
所以＝λ(－1，0)＋μ(0，1)，
所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.
由B(1，0)，E可得直线BE的方程为
y＝－3(x－1)，
设F(a，3－3a)，则G，
所以AF＝(a，3－3a)，DG＝，
所以AF·DG＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝5－，
所以当a＝时，AF·DG取得最小值，为－.
4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A A …A 的边A A 上，则PA＋
1 2 8 1 2
PA＋…＋PA的取值范围是________.
答案 [12＋2，16]
解析 以圆心为原点，A A 所在直线为x轴，A A 所在直线为y轴建立平面直角
7 3 5 1
坐标系，如图所示，则A (0，1)，A，A (1，0)，A，A (0，－1)，
1 2 3 4 5
A，A (－1，0)，A，
6 7 8
设P(x，y)，
于是PA＋PA＋…＋PA＝8(x2＋y2)＋8，
因为cos 22.5°≤|OP|≤1，
所以≤x2＋y2≤1，
故PA＋PA＋…＋PA的取值范围是[12＋2，16].
【热点突破】
热点一 向量模的最值、范围
向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合
平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.
例1 (1)已知单位向量a，b满足|a－b|＋2a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(
)
A. B.
C. D.
(2)(2024·长沙质检)已知a，b，c都是平面向量，且|a|＝|4a－b|＝1，若〈a，c〉
＝，则|b－c|的最小值为( )
A.1 B.C.2 D.3
答案 (1)B (2)A
解析 (1)由|a－b|＋2a·b＝0，
得|a－b|＝－2a·b，
两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，
即6(a·b)2＋a·b－1＝0，
解得a·b＝－或a·b＝.
因为|a－b|＝－2a·b≥0，
所以a·b≤0，
所以a·b＝－，
所以|ta＋b|＝
＝＝
＝≥，t＝时，表达式取得最小值.
(2)依题意可设a＝OA＝(1，0)，b＝OB＝(x，y)，c＝OC，则4a－b＝(4－x，－
y)，
又|4a－b|＝1，所以＝1，即(x－4)2＋y2＝1，
则点B在以D(4，0)为圆心，半径r＝1的圆上运动，
因为〈a，c〉＝，所以点C在y＝±x(x>0)上运动，
根据对称性不妨令点C在y＝x(x>0)上，
则|b－c|表示圆D上的点B与y＝x(x>0)上的点C连线段的长度|BC|，
因为圆心D到y＝x(x>0)的距离d＝＝2，
所以|b－c|＝|BC|的最小值为|BC| ＝d－r＝1，
min
即|b－c|的最小值为1.
规律方法 模的范围或最值常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；
(2)数形结合；
(3)坐标法.
训练1 (1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为
( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰
DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________.
答案 (1)C (2)5
解析 (1)可设e＝(1，0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，则1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝＝，
当x＝5时，取得最大值6，
即|a＋e|的最大值为6.
(2)如图，以DA，DC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，
设P(0，b)(0≤b≤a)，
则PA＝(2，－b)，PB＝(1，a－b)，
∴PA＋3PB＝(5，3a－4b)，
∴|PA＋3PB|＝≥5，
即当3a＝4b时，取得最小值5.
热点二 向量数量积的最值、范围
数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求
解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，
将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.例2 (1)(2024·北京朝阳区模拟)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段
BC上.当PA·PB取得最小值时，|PA|＝( )
A. B.
C. D.
(2)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(含边
界)，则PC·PD的取值范围为( )
A.(0，16] B.[0，16]
C.(0，4) D.[0，4]
答案 (1)B (2)B
解析 (1)如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线建立y轴，建立平
面直角坐标系，
由AB＝AC＝2，BC＝2，
则OA＝＝1，
所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0)，
设P(x，0)，则PA＝(－x，1)，PB＝(－－x，0)，
则PA·PB＝－x·(－－x)＝x2＋x＝－，当x＝－时，PA·PB取得最小值，
此时PA＝，|PA|＝＝.
(2)取CD的中点E，连接PE，如图所示，
所以PE的取值范围是，即[2，2]，
又由PC·PD＝(PE＋EC)·(PE＋ED)＝PE2－＝PE2－4，
所以PC·PD∈[0，16].
规律方法 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转
化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性.
训练2 (1)已知四边形 ABCD是边长为1的正方形，P为对角线AC上一点，则
PA·(PB＋PD)的最小值是( )
A.0 B.－
C.－ D.－2
(2)(2024·福州调研)在△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝4，点M为边AB的中点，
点P在边BC上，则MP·CP的最小值为________.
答案 (1)B (2)－
解析 (1)作出如图所示的图形，PA·(PB＋PD)＝PA·2PO.令AP＝λAC，则λ∈[0，1]，
PO＝AO－AP＝AC－λAC＝AC，
∵PA·2PO＝－λAC·2AC＝(2λ2－λ)·AC2＝4λ2－2λ，λ∈[0，1]，
∴当λ＝时，(PA·2PO) ＝－.
min
(2)以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知 B(4，0)，
C(0，4)，M(2，0)，
设P(x，4－x)，0≤x≤4，
所以MP＝(x－2，4－x)，CP＝(x，－x)，
所以MP·CP＝x2－2x－4x＋x2＝2x2－6x＝2－，0≤x≤4，
由二次函数的性质知，当x＝时，MP·CP取最小值－.
热点三 向量夹角的最值、范围
求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表
示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
例3 (2024·安庆模拟)已知点P(1，0)，C(0，)，O是坐标原点，点B满足|BC|＝
1，则OP与PB夹角的最大值为( )
A. B.C. D.
答案 A
解析 设点B(x，y)，可得BC＝(－x，－y)，
因为|BC|＝1，可得x2＋(y－)2＝1，
即点B的轨迹是以C(0，)为圆心，半径r＝1的圆.
如图所示，当直线BP与圆C相切且切线在圆心下方时，直线BP的倾斜角最大，
即OP与PB的夹角最大.
设过点P与圆C相切的直线PB的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0(k<0)，
则圆心到直线的距离等于圆的半径，
可得＝1，解得k＝－，
设切线的倾斜角为α(0≤α<π)，
则tan α＝－，可得α＝，
即OP与PB夹角的最大值为.
规律方法 解答本题的关键是确定动点 B的轨迹后，数形结合求解，把两向量
夹角的最值问题转化为直线与圆的位置关系问题.
训练 3 (2024·石家庄质检)在平行四边形 ABCD 中，＋＝，λ∈[，2]，则 cos∠BAD的取值范围是________.
答案
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC＝AB＋AD，
两边同乘以，
可得＝＋，
结合＋＝，
不妨设|AB|＝1，则|AD|＝2，|AC|＝λ，λ∈[，2]，
则在△ABC中，|BC|＝|AD|＝2，
可得cos B＝＝∈，
因为在平行四边形ABCD中，∠BAD＝π－B，
所以cos∠BAD＝－cos B∈.
热点四 向量系数的最值、范围
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然
后利用函数的性质或基本不等式求解.
例4 (1)如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，
若AP＝xAB＋yAC，则2x＋2y的最大值为( )A. B.2
C. D.1
(2)(2024·兰州调研)设点P在以A为圆心，1为半径的圆弧BC上运动(包含B，C
两个端点)，∠BAC＝，且AP＝xAB＋yAC，则x＋y的取值范围为________.
答案 (1)A (2)[1，2]
解析 (1)作BC的平行线与圆相交于点 P，与直线AB相交于点E，与直线AC相
交于点F，
设AP＝λAE＋μAF，则λ＋μ＝1，
因为等边三角形边长为2，所以外接圆半径为，
当点P为切点时，AE＝AF＝，
因为BC∥EF，所以设＝＝k，
则k∈，
当点P为切点时，k有最大值，
则AE＝kAB，AF＝kAC，AP＝λAE＋μAF＝λkAB＋μkAC，所以x＝λk，y＝μk，则x＋y＝λk＋μk＝(λ＋μ)k＝k≤，
所以x＋y的最大值为，故2x＋2y的最大值为.
(2)建立如图所示的直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C，
设P(cos θ，sin θ)，
所以AB＝(1，0)，AC＝，
因此有xAB＋yAC＝，
因为AP＝(cos θ，sin θ)，AP＝xAB＋yAC，
所以有
则x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin，
因为θ∈，所以θ＋∈，
所以sin∈，
故x＋y∈[1，2]，
所以x＋y的取值范围为[1，2].
规律方法 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0).
⇔(2)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1，进行转化，
列不等式或等式得到关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.
训练 4 (2024·青岛模拟)已知点 P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP＝AB＋
tAC(t∈R)，若点 P 在△ABC 的内部(不包含边界)，则实数 t 的取值范围是
________.
答案
解析 在AB上取一点D，使得AD＝AB，
过点D作DP∥AC交BC于点P，过点P作PE∥AD交AC于点E，
由平面几何知识易知AE＝AC，
由向量加法的平行四边形法则，得AP＝AB＋AC.
若点P落在△ABC的内部，则00，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为( )
A.4 B.6
C.8 D.9答案 C
解析 由题意得，AB＝OB－OA＝(a－1，1)，AC＝OC－OA＝(－b－1，2)，
∵A，B，C三点共线，
∴AB＝λAC且λ∈R，
则可得2a＋b＝1，
∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当b＝2a＝时，等号成立，
∴＋的最小值为8.
3.已知p：向量a＝(－1，1)与b＝(m，2)的夹角为锐角.若p是假命题，则实数m
的取值范围是( )
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(－2，2)
C.{－2}∪[2，＋∞) D.[2，＋∞)
答案 C
解析 当向量a＝(－1，1)与b＝(m，2)的夹角为锐角时，
有a·b>0且a与b方向不相同，
即解得m<2且m≠－2，
因为p是假命题，
所以实数m的取值范围是{－2}∪[2，＋∞).
4.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，|AD|＝2|DC|.
连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若AE＝aAC＋bAB，则a2＋b2的
最小值为( )A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵E在线段BD上，
∴AE＝λAD＋(1－λ)AB，λ∈[0，1]，
∵D为线段AC的一个三等分点，|AD|＝2|DC|，
∴AD＝AC，
∴AE＝λAC＋(1－λ)AB＝aAC＋bAB，
由平面向量基本定理得a＝λ，b＝1－λ，
∴a2＋b2＝λ2＋(1－λ)2＝λ2－2λ＋1＝＋，
∴当λ＝时，a2＋b2取得最小值.
5.已知a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0.若向量c满足|a＋b－2c|＝1，则|c|的取值
范围是( )
A.[1，－1] B.
C. D.
答案 C
解析 设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，
得a＋b－2c＝(1，0)＋(0，2)－2(x，y)＝(1－2x，2－2y).
∵|a＋b－2c|＝1，∴(1－2x)2＋(2－2y)2＝1，
∴＋(y－1)2＝，
该方程表示的是以为圆心，半径为的圆.则|c|表示圆上的点到原点的距离d，
圆心到原点的距离为＝，
故≤|c|≤，
∴|c|的取值范围是.
6.(2024·杭州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知P(3，4)，长度为2的线段AB
的端点分别落在x轴和y轴上，则PA·PB的取值范围是( )
A.[2，] B.[3，5]
C.[4，6] D.[15，35]
答案 D
解析 如图所示，建立直角坐标系.
由题意设A(a，0)，B(0，b)，
其中0≤|a|≤2，0≤|b|≤2，
由|AB|＝2，得a2＋b2＝4，
令a＝2cos θ，b＝2sin θ，
所以A(2cos θ，0)，B(0，2sin θ)，
所以PA＝(2cos θ－3，－4)，PB＝(－3，2sin θ－4)，
所以PA·PB＝(－3)×(2cos θ－3)＋(－4)×(2sin θ－4)＝－6cos θ＋9－8sin θ＋16＝－10sin(θ＋φ)＋25，tan φ＝，
所以(PA·PB) ＝35，(PA·PB) ＝15，
max min
所以PA·PB的取值范围是[15，35]，故选D.
7.(2024·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设A(2，4)，B(－2，－4)，动点P
满足PO·PA＝－1，则tan∠PBO的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设P(x，y)，
则PO＝(－x，－y)，PA＝(2－x，4－y)，
则PO·PA＝－x(2－x)－y(4－y)＝－1，
即x2－2x＋y2－4y＋1＝0，
化为(x－1)2＋(y－2)2＝4，则点P的轨迹为以D(1，2)为圆心，半径为2的圆，
又k ＝＝2＝k ，所以B，O，D三点共线，显然当直线 PB与此圆相切时，tan
OB OD
∠PBO的值最大.
又BD＝＝3，PD＝2，则PB＝＝＝，
则tan ∠PBO＝＝＝.
8.(2024·广州调研)单位圆O：x2＋y2＝1上有两定点 A(1，0)，B(0，1)及两动点
C，D，且OC·OD＝，则CA·CB＋DA·DB的最大值是( )
A.2＋ B.2＋2
C.－2 D.2－2
答案 A
解析 取AB的中点E，CD的中点F，
则OA＋OB＝2OE，OC＋OD＝2OF.
由OC·OD＝，
知|OC|·|OD|cos ∠COD＝cos ∠COD＝，
所以∠COD＝，所以△OCD为等边三角形，
所以OF＝，易得OE＝.
CA·CB＋DA·DB＝(OA－OC)·(OB－OC)＋(OA－OD)·(OB－OD)
＝2OA·OB＋OC2＋OD2－(OA＋OB)·(OC＋OD)
＝－4OE·OF＋2.
如图，当OE，OF方向相反时，－4OE·OF＋2有最大值，最大值为－4|OE|·|OF|
cos π＋2＝4××＋2＝2＋，即CA·CB＋DA·DB的最大值是2＋.故选A.
二、多选题
9.已知向量a，b，单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋b|的可能取值
为( )
A.3 B.
C. D.6
答案 CD
解析 设e＝(1，0)，a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，
1 1 2 2
由a·e＝1得x ＝1，
1
由b·e＝2得x ＝2，
2
由a·b＝x x ＋y y ＝3，可得y y ＝1，
1 2 1 2 1 2
则|a＋b|＝＝
＝≥＝，
当且仅当y ＝y ＝1时取等号.
1 2
10.(2024·厦门、福州等市质检)平面向量 m，n满足|m|＝|n|＝1，对任意的实数
t，≤|m＋tn|恒成立，则( )
A.m与n的夹角为60°
B.(m＋tn)2＋(m－tn)2为定值
C.|n－tm|的最小值为D.m在m＋n上的投影向量为(m＋n)
答案 AD
解析 设平面向量m与n的夹角为θ，
因为对任意的实数t，≤|m＋tn|恒成立，即m2－m·n＋n2≤m2＋2tm·n＋t2n2恒成立，
又|m|＝|n|＝1，所以t2＋2tcos θ＋cos θ－≥0对任意的实数t恒成立，
所以Δ＝4cos2θ－4cos θ＋1＝(2cos θ－1)2≤0，
则cos θ＝，所以θ＝60°，故A正确.
对于B，(m＋tn)2＋(m－tn)2＝1＋2tcos 60°＋t2＋1＋t2－2tcos 60°＝2＋2t2，随t的
变化而变化，故B错误.
对于C，因为|n－tm|＝＝＝，结合二次函数的性质可知当t＝时，|n－tm|取最小
值，故C错误.
对于D，向量m＋n的一个单位向量e＝＝，由向量夹角公式可得cos〈m，m＋
n〉＝＝＝，则m在m＋n上的投影向量为|m|·cos〈m，m＋n〉e＝1××＝(m＋
n)，故D正确.
11.(2024·重庆诊断)重庆荣昌折扇是中国名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳
女，深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；
金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD，其中
∠COD＝，OC＝3OA＝3，动点P在CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧
AB于点Q，且OQ＝xOC＋yOD，则下列说法正确的是( )A.若y＝x，则x＋y＝ B.若y＝2x，则OA·OP＝0
C.AB·PQ≥－2 D.PA·PB≥
答案 ABD
解析 如图，作OE⊥OC交弧CD于点E，分别以OC，OE所在直线为x，y轴
建立平面直角坐标系，则A(1，0)，C(3，0)，B，D，
设Q(cos θ，sin θ)，θ∈，则P(3cos θ，3sin θ)，
由OQ＝xOC＋yOD可得cos θ＝3x－y，sin θ＝y，且x≥0，y≥0.
对于A，若y＝x，则cos2θ＋sin2θ＝＋＝1，
解得x＝y＝(负值舍去)，故x＋y＝，A正确.
对于 B，若 y＝2x，则 cos θ＝3x－y＝0，sin θ＝1，所以OP＝(0，3)，所以
OA·OP＝(1，0)·(0，3)＝0，故B正确.
对于C，AB·PQ＝·(－2cos θ，－2sin θ)＝－sin θ＋3cos θ＝－2sin，
由于θ∈，故θ－∈，
故－3≤－2sin≤3，故C错误.对于D，由于PA＝(1－3cos θ，－3sin θ)，PB＝，
故PA·PB＝(1－3cos θ，－3sin θ)·(－－3cos θ，－3sin θ)＝－3sin，而θ＋∈，
所以sin∈，所以PA·PB＝－3sin≥－3＝，故D正确.
三、填空题
12.(2024·安康模拟)在△ABC中，CA＝CB＝2，D为AC的中点，则DC·DB的取
值范围是________.
答案 (－1，3)
解析 依题意DC·DB＝DC·(DC＋CB)＝DC2＋DC·CB＝DC2－CD·CB＝1－
1×2cos∠BCD.
又cos∠BCD∈(－1，1)，
所以1－1×2cos∠BCD＝1－2cos∠BCD∈(－1，3).
13.(2024·湖南师大附中摸底)在直角△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面
ABC内动点P满足CP＝1，则AP·BP的最小值为________.
答案 4－
解析 平面ABC内动点P满足CP＝1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半
径的圆，
因为AB⊥AC，AC＝，AB＝1，所以BC＝2，∠ACB＝30°，
所以AC·BC＝|AC|·|BC|cos 30°＝3，因为AP＝AC＋CP，BP＝BC＋CP，
所以AP·BP＝(AC＋CP)·(BC＋CP)＝AC·BC＋CP·(AC＋BC)＋CP2，
因为|CP|＝1，所以AP·BP＝4＋CP·(AC＋BC).
|AC＋BC|＝
＝＝＝，
当CP与AC＋BC共线且反向时，CP·(AC＋BC)取最小值，且这个最小值为－，
故AP·BP的最小值为4－.
14.(2024·江西八校联考)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，P是△ABC
的外接圆上一点，若AP＝mAB＋nAC，则m＋n的最小值为________.
答案 －
解析 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝1＋4－
2×1×2×cos 60°＝3，
所以BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，
所以AB⊥BC，则AC为△ABC外接圆的直径.
以线段AC的中点为坐标原点O，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角
坐标系，易得A(1，0)，C(－1，0)，B，所以AB＝，AC＝(－2，0)，
设P(cos θ，sin θ)，则AP＝(cos θ－1，sin θ)，
因为AP＝mAB＋nAC，
所以(cos θ－1，sin θ)＝m＋n(－2，0)＝，
所以m＝sin θ，n＝－cos θ＋－sin θ，所以m＋n＝sin θ－cos θ＋＝sin ＋≥－1＋
＝－，
当且仅当sin＝－1时等号成立，
即m＋n的最小值为－.
