文档内容
微专题 13 解三角形
高考定位 应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、
角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.
【真题体验】
1.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若B
＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝( )
A. B.
C. D.
2.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B
＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
【热点突破】
热点一 利用正、余弦定理求边或角
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B, c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.例1 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
规律方法 当题目条件中出现边和角的“混和体”时有两种方案：(1)全部统一
为角，将“边的齐次式”中的边直接化为对应角的正弦；(2)全部统一为边，利
用正、余弦定理将角转化为边，最后用因式分解等代数技巧化简即可.
训练1 (1)(2024·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对
边，且acos C＋asin C＝b，则A＝( )
A. B.
C. D.
(2)(2024·绵阳诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＋
＝，则＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
热点二 三角形的面积问题
三角形的面积公式
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，△ABC的外接圆半
径为R，内切圆半径为r.
(1)S＝ah(h为BC边上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝(a＋b＋c)r(r为△ABC内切圆的半径)；(4)S＝.
例 2 (2024·阜阳模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且
asin Acos B＋bsin Acos A＝acos C.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝3，且AB·AC＝1，求△ABC的面积.
规律方法 与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角
形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知
条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
训练2 (2024·湛江调研)如图，在△ABC中，点D在边AC上，且AB⊥BD.已知
cos A＝2sin sin ，AB＝.
(1)求A；
(2)若△BCD的面积为，求BC.
热点三 解三角形的实际应用
解三角形实际问题的步骤
例3 (2024·临沂模拟)在同一平面上有相距 14公里的A，B两座炮台，A在B的
正东方.某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，
其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标C，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离
为( )
A.7公里 B.8公里
C.9公里 D.10公里
规律方法 解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元
素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
训练3 (2024·湖州、衢州、丽水模拟)某学生为测量某酒店的高度，在远处选取
了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点 C与D，如图，现测得
∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100 米，在点 C 处测得酒店顶端 A 的仰角
∠ACB＝28°，则酒店的高度约为(参考数据：≈1.4，≈2.4，tan 28°≈0.53)( )
A.91米 B.101米
C.111米 D.121米
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·青岛模拟)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin B，
bc＝4，则△ABC的面积为( )
A.1 B.
C.2 D.2
2.在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
3.(2024·北京海淀区调研)在△ABC中，sin B＝sin 2A，c＝2a，则( )A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
4.(2024·河南名校调研)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且
b＝2a，2a2＋b2＝c2，则sin B＝( )
A. B.
C. D.
5.(2024·石家庄模拟)海伦公式是利用三角形的三条边的长a，b，c直接求三角形
面积S的公式，表达式为S＝，它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学
家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因
此海伦公式又译作海沦—秦九韶公式.现在有周长为 10＋2的△ABC 满足 sin
A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为( )
A.8 B.4
C.6 D.12
6.(2024·昆明诊断)在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝
45°，则sin∠ADC的值为( )
A. B.
C. D.
7.(2024·广东名校联考)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达.
现需测A，B两点间的距离，测量者在河对岸选定两点 C，D，测得CD＝ km，
同时在C，D两点分别测得∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，
则A，B两点间的距离为( )
A. km B. km
C. km D. km
二、多选题
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是()
A.若a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B.若＝，则A＝
C.若a2＋b20，sin C>0，
所以sin A＋sin C＝.故选C.
2.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B
＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
答案 2
解析 由题意得S ＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，
△ABC
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，
则b＝2.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
解 (1)由余弦定理得cos C＝＝，又00，
则得tan A＝，
又因为0b，可得C>B，即
0°cos B，故D错误.9.(2024·武汉调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与
△ABC有关的结论正确的是( )
A.若a＝2，A＝30°，则＝＝4
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是锐角三角形，则cos A，即A>－B，因为y＝cos x在上单调递减，
所以cos A0，所以cos C＝，
因为C∈(0，π)，则C＝.
11.(2024·合肥调研)如图是2024年4月30日17时46分神舟十七号返回舱(图中
C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返
回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于点D，D和观
测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝，则
此时返回舱底端离地面的距离CD＝________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程
中，球半径四舍五入保留整数)
答案 20 m
解析 设半球的半径为r m，
则2πr2＝1 200，∴r≈14，
∴BC＝5r＝70 m.
在△ABC中，由正弦定理得＝，则AB＝＝70××＝180(m)，
又∵∠DAB＝30°，∴BD＝90 m，
则CD＝BD－BC＝20 m.
12.(2024·无锡模拟)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若B＝C≠A，
且a(b2＋c2－a2)＝b2c，则A＝________.
答案
解析 因为b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2abccos A＝b2c，即2acos A＝b，
即2sin Acos A＝sin B，所以sin 2A＝sin B，
所以2A＝B或2A＋B＝π.
因为B＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.
若2A＝B，则A＝，B＝C＝；
若2A＋B＝π，则A＝B＝C＝，与B＝C≠A矛盾.综上，A＝.
四、解答题
13.(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B
＝，b＝5，＝.
(1)求a的值；
(2)求sin A的值；
(3)求cos(B－2A)的值.
解 (1)由＝得a＝c，由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，
即c2＋c2－25＝2·c·c·，
得c2－25＝c2，得c＝6，
故a＝c＝4.
(2)因为cos B＝，
所以sin B＝＝，
由正弦定理得＝，
即＝，得sin A＝.
(3)因为a0，
由sin A＝，得cos A＝，
则cos 2A＝2cos2A－1＝，
sin 2A＝2sin Acos A＝，
故cos(B－2A)＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A
＝×＋×＝.
14.(2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，A为钝角，
a＝7，sin 2B＝bcos B.
(1)求A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC
存在，求△ABC的面积.
条件①：b＝7；条件②：cos B＝；
条件③：csin A＝.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条
件分别解答，按第一个解答计分.
解 (1)由题意知，2sin B·cos B＝bcos B.
又A为钝角，所以B为锐角，
故cos B≠0，所以2sin B＝b，从而＝，
又＝＝＝，
所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
(2)若选①，结合 (1)得2sin B＝×7，
所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，
则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，
故不选择条件①.
若选②，由题知sin B＝＝，
又＝，即＝，
所以b＝3.
又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.
所以S ＝absin C＝×7×3×＝.
△ABC
若选③，由题知c·＝，所以c＝5.
由a2＝b2＋c2－2bccos A得，
49＝b2＋25＋5b，
即(b＋8)(b－3)＝0，
解得b＝3(负值舍去).
所以S ＝bcsin A＝×3×5×＝.
△ABC
