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微专题 12 三角函数的图象与性质
高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两
个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解
析式，常以选择题、填空题的形式考查； 2.利用三角函数的性质求解三角函数
的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考
查.
【真题体验】
1.(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有
的点( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(
)
A.3 B.4
C.6 D.8
3.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的
有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
4.(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________.
5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________.
【热点突破】
热点一 三角函数图象的变换
1.沿 x 轴平移：由 y＝f(x)变为 y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即 φ>0，左移；
φ<0，右移.
沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，
下移.
2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的倍.
沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来
的A倍.
例1 (2024·延边模拟)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲
线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D.
易错提醒 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，左右平移只是对其中
的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的
单位长度和方向.训练1 (1)(2024·岳阳质检)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y
＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x
(2)(2024·西安模拟)将函数f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，
所得图象关于原点对称，则m的值可以是( )
A. B.π
C. D.
热点二 三角函数的图象与解析式
已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定
系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求 A，B；由函数的周期确定 ω；确定
φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以
从图象的升降找准第一个零点的位置.
例2 (1)(2024·长沙模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解
析式可以是( )
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
(2)已知f(x)＝2tan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，f(0)＝，最小正周期T∈，f(x)图象的一个对称中心为点，则f的值为( )
A.－ B.
C. D.－
易错提醒 在本例(2)中，根据正切函数图象的对称中心的有关结论，写出参数
ω满足的关系式，注意不要只认为ω＋＝kπ，k∈Z，而是ω＋＝，k∈Z.
训练2 (1)(2024·北京石景山模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图
象如图所示，则f(－π)的值是( )
A. B.1
C.－1 D.－
(2)(2024·兰州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的最大值为
2，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将f(x)的图象向左平移个单位长度
后得到g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ＝( )
A.－ B.－
C. D.
热点三 三角函数的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性质
(1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx
＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间.
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴.
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，
函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数.
例3 (1)(多选)(2024·聊城模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为
2，则( )
A.ω＝π B.曲线y＝f(x)关于直线x＝对称
C.f(x)的最大值为2 D.f(x)在区间上单调递增
(2)(2024·烟台模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，
且在上单调递增，则正实数ω的取值范围是________.
规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，
然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据
y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求
得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t 的性质判断各选项.
训练3 (1)(多选)(2024·济南模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象在y轴上的截
距为，是该函数的最小正零点，则( )
A.φ＝
B.f(x)＋f′(x)≤2恒成立
C.f(x)在上单调递减
D.将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称
(2)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝2sin(3x＋)在上单调递增，在上单调递减，则实
数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【精准强化练】
一、单选题1.(2024·茂名模拟)下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是( )
A.f(x)＝cos2x＋sin xcos x
B.f(x)＝
C.f(x)＝cos＋cos
D.f(x)＝sincos
2.已知函数f(x)＝cos x－cos 2x，则该函数为( )
A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2
C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为
3.(2024·杭州质检)已知函数f(x)＝sin，则下列结论中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期T＝2π
B.函数f(x)的图象关于点中心对称
C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D.函数f(x)在区间上单调递增
4.(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x )＝－1，f(x )＝1，且|x －x |的
1 2 1 2
最小值为，则ω＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(2024·衡水调研)若函数f(x)＝|tan(ωx－ω)|(ω>0)的最小正周期为4，则在下列区
间中f(x)单调递增的是( )
A. B.
C. D.(3，4)
6.(2024·成都诊断)函数f(x)＝sin在区间[0，m]上的最小值为－，则m的最大值为
( )
A. B.
C. D.π
7.(2024·泉州质检)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A.[2，5] B.[1，14]
C.[9，10] D.[10，11]
二、多选题
8.(2024·枣庄模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos，则( )
A.f(x)的最大值为2
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在[0，π]上有2个零点
D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
9.(2024·潍坊模拟)函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1(0<ω<1)的图象如图所示，
则( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.y＝f是奇函数
C.y＝fcos x的图象关于直线x＝对称
D.若y＝f(tx)(t>0)在[0，π]上有且仅有两个零点，则t∈
三、填空题
10.(2024·重庆质检)将函数f(x)＝sin的图象上每个点的横坐标扩大为原来的 2倍
(纵坐标保持不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)
在x∈[0，π]上的值域为________.
11.(2024·浙江名校联模)已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在区间[0，π]上恰有
三个极值点和三个零点，则ω的取值范围是________.
12.(2024·佳木斯调研)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图，f(x )＝f(x )＝
1 2
－，则cos＝________.四、解答题
13.设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求y＝的最小正周期；
(2)求y＝f(x)f在上的最大值.
14.(2024·宜昌模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋2sin2－1(ω>0，0<φ<π)为偶函数，
且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不
变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)－m＝0在上有两个不同的根，求m的取值范
围.
【解析版】
1.(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有
的点( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 D
解析 因为y＝2sin＝2sin，
所以要得到函数 y＝2sin 3x的图象，只要把函数 y＝2sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(
)
A.3 B.4
C.6 D.8
答案 C
解析 因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，
所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，
所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
3.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的
有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案 BC
解析 对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，
又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；
对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；
对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，
即x＝＋，k∈Z，
故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC.
4.(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________.
答案 2
解析 由题意知f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
当x∈[0，π]时，x－∈，
∴sin∈，
于是f(x)∈[－，2]，
故f(x)在[0，π]上的最大值为2.
5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y
＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________.
答案 －
解析 对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点法”画图中的第五点，所以ω＋φ＝2π.①
由题知|AB|＝x －x ＝，
B A
两式相减，得ω(x －x )＝，即ω＝，
B A
解得ω＝4.
代入①，得φ＝－，
所以f(π)＝sin＝－sin＝－.
【热点突破】
热点一 三角函数图象的变换
1.沿 x 轴平移：由 y＝f(x)变为 y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即 φ>0，左移；
φ<0，右移.
沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，
下移.
2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的倍.
沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来
的A倍.
例1 (2024·延边模拟)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 结合题意可得f＝sin
＝sin(ω>0)，
因为曲线C关于y轴对称，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝2k＋(k∈Z)，
因为ω>0，所以当k＝0时，ω有最小值.
易错提醒 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，左右平移只是对其中
的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的
单位长度和方向.
训练1 (1)(2024·岳阳质检)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y
＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x
(2)(2024·西安模拟)将函数f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，
所得图象关于原点对称，则m的值可以是( )
A. B.π
C. D.
答案 (1)D (2)D
解析 (1)依题意，f＝sin ＋acos ＝＋a＝0，解得a＝－，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin.
则f(2x)＝2sin的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象.故
选D.
(2)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位，
得y＝2sin的图象，
因为y＝2sin的图象关于原点对称，
所以2m－＝kπ，k∈Z，
即m＝＋，k∈Z，当k＝3时，得m＝，
使m＝＋＝，m＝＋＝π，
m＝＋＝的整数k不存在.
热点二 三角函数的图象与解析式
已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定
系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求 A，B；由函数的周期确定 ω；确定
φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以
从图象的升降找准第一个零点的位置.
例2 (1)(2024·长沙模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解
析式可以是( )A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
(2)已知f(x)＝2tan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，f(0)＝，最小正周期T∈，f(x)图象的一个
对称中心为点，则f的值为( )
A.－ B.
C. D.－
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由图可得，A＝2，T＝－＝π，即T＝π＝，即ω＝±2，
观察各选项可知，本题考虑ω＝2即可，
则y＝2sin(2x＋φ)，
把点代入y＝2sin(2x＋φ)中，
可得sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以y＝2sin＝2sin.
(2)由f(0)＝，
可得2tan φ＝，tan φ＝，又|φ|<，所以φ＝.
因为f(x)图象的一个对称中心为点，
故ω＋ ＝，k∈Z，
得ω＝3k－1，k∈Z.
因为T∈，所以<<π，
解得<ω<4，所以ω＝2.
故f(x)的解析式为f(x)＝2tan，
所以f＝2tan＝－，
故选D.
易错提醒 在本例(2)中，根据正切函数图象的对称中心的有关结论，写出参数
ω满足的关系式，注意不要只认为ω＋＝kπ，k∈Z，而是ω＋＝，k∈Z.
训练2 (1)(2024·北京石景山模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图
象如图所示，则f(－π)的值是( )
A. B.1
C.－1 D.－
(2)(2024·兰州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的最大值为
2，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ＝( )
A.－ B.－
C. D.
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由图象可知－＝T，
解得T＝π，
因为ω>0，所以ω＝，解得ω＝2，
将代入解析式化简得sin＝1，
因为|φ|<，则＋φ＝，得φ＝，
故f(x)＝2sin，
所以f(－π)＝2sin＝2sin ＝.
(2)由f(x)的最大值为2，得A＝2，
由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
得＝×2，解得ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，
∴g(x)＝f＝2sin
＝2sin.
∵g(x)为偶函数，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，∴φ＝.
故选C.
热点三 三角函数的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性质
(1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx
＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间.
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴.
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，
函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数.
例3 (1)(多选)(2024·聊城模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为
2，则( )
A.ω＝π B.曲线y＝f(x)关于直线x＝对称
C.f(x)的最大值为2 D.f(x)在区间上单调递增
(2)(2024·烟台模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，
且在上单调递增，则正实数ω的取值范围是________.
答案 (1)AB (2)≤ω≤
解析 (1)f(x)＝sin＋cos ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由f(x)的最小正周期为2，故＝2，
即ω＝π，故A正确；
当x＝时，π×＋＝，
由x＝是函数y＝sin x的对称轴，
故曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，故B正确；
又sin∈[－1，1]，
故f(x)∈[－，]，故C错误；
当x∈时，πx＋∈，
由不是函数y＝sin x的单调递增区间，
故不是函数f(x)的单调递增区间，故D错误.
(2)依题意，函数f(x)＝2sin－1，
由f(x)＝0，得sin＝，
则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，
由x∈[0，2π]，得ωx＋∈，
由f(x)在[0，2π]上恰有5个零点，
得≤2πω＋<，解得≤ω< ，
由－≤ωx＋≤，
得－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增，
因此⊆，即－≤－，且≥，解得0<ω≤，
所以正实数ω的取值范围为≤ω≤.
规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，
然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据
y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求
得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t 的性质判断各选项.
训练3 (1)(多选)(2024·济南模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象在y轴上的截
距为，是该函数的最小正零点，则( )
A.φ＝
B.f(x)＋f′(x)≤2恒成立
C.f(x)在上单调递减
D.将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称
(2)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝2sin(3x＋)在上单调递增，在上单调递减，则实
数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 (1)AC (2)C
解析 (1)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的图象在y轴上的截距为，
所以cos φ＝，因为0<φ<，所以φ＝.
故A正确；
又因为是该函数的最小正零点，
所以cos＝0，所以＋＝，解得ω＝2，所以f(x)＝cos，
f′(x)＝－2sin，
所以f(x)＋f′(x)
＝cos－2sin
＝cos≤，故B错误；
当x∈时，2x＋∈(0，π)，故C正确；
将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，
得到y＝cos＝cos，
是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误.
(2)由2kπ－≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得－≤x≤＋，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
∵f(x)在上单调递增，
∴00).已知f(x )＝－1，f(x )＝1，且|x －x |的
1 2 1 2
最小值为，则ω＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x )＝－1，f(x )＝1，x ，x 分别为f(x)的
1 2 1 2
最小值点与最大值点，所以|x －x | ＝，
1 2min
所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.
5.(2024·衡水调研)若函数f(x)＝|tan(ωx－ω)|(ω>0)的最小正周期为4，则在下列区
间中f(x)单调递增的是( )
A. B.
C. D.(3，4)
答案 C
解析 作出函数y＝|tan u|的图象如图所示.
由图可知，函数y＝|tan u|的最小正周期为π，且其单调递增区间为(k∈Z).
对于函数f(x)，其最小正周期T＝＝4，
可得ω＝，
则f(x)＝.
由kπ0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A.[2，5] B.[1，14]
C.[9，10] D.[10，11]
答案 D
解析 当x∈时，
ωx＋∈，
∵f(x)在上单调递增，
∴(k∈Z)，
解得(k∈Z)，
又ω>0，∴
解得0)在[0，π]上有且仅有两个零点，则t∈
答案 ACD解析 依题意，f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin，
由f＝2，
得2ω·＋＝2kπ＋，k∈Z，
解得ω＝3k＋，k∈Z，
而0<ω<1，解得ω＝，f(x)＝2sin，
f(x)的最小正周期为2π，A正确；
y＝f＝2sin
＝2cos 2x是偶函数，B错误；
y＝fcos x＝2sincos x，
令g(x)＝2sincos x，
则g＝2sincos
＝2cos xcos
＝2sincos x＝g(x)，
y＝fcos x的图象关于直线x＝对称，C正确；
f(tx)＝2sin，t>0，
当x∈[0，π]时，tx＋∈，
依题意，2π≤tπ＋<3π，
解得t∈，D正确.三、填空题
10.(2024·重庆质检)将函数f(x)＝sin的图象上每个点的横坐标扩大为原来的 2倍
(纵坐标保持不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)
在x∈[0，π]上的值域为________.
答案
解析 将函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大为原来的 2倍(纵坐标保持不变)，
得到y＝sin的图象，
再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，
则g(x)＝sin＝sin.
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴sin∈，
故函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为.
11.(2024·浙江名校联模)已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在区间[0，π]上恰有
三个极值点和三个零点，则ω的取值范围是________.
答案
解析 f(x)＝cos ωx－sin ωx
＝2
＝2
＝2sin，
∵0≤x≤π，∴≤ωx＋≤ωπ＋.
设t＝ωx＋，≤t≤ωπ＋，
∵y＝2sin t，≤t≤ωπ＋有三个极值点和三个零点，
∴由y＝sin x的性质可得≤ωπ＋<4π，
∴≤ω<.
12.(2024·佳木斯调研)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图，f(x )＝f(x )＝
1 2
－，则cos＝________.
答案
解析 由题意可知，f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝.
因为0<φ<，所以φ＝，
即f(x)＝2sin，
又由f＝2sin＝0，
即＋＝2kπ＋π(k∈Z)，
可得ω＝＋(k∈Z)，
设该函数的最小正周期为T，
由题图可知>，
即>5，解得0<ω<，所以令k＝0，得ω＝，
即f(x)＝2sin，
令x＋＝mπ＋(m∈Z)，
得x＝1＋3m(m∈Z)，
由题图知x ＋x ＝－4，得x ＝－4－x ，
1 2 2 1
且f(x )＝2sin＝－，
1
则cos＝cos
＝cos
＝cos＝－sin
＝－×＝.
四、解答题
13.设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求y＝的最小正周期；
(2)求y＝f(x)f在上的最大值.
解 (1)因为f(x)＝sin x＋cos x，
所以f＝sin＋cos＝cos x－sin x，
所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x.
所以函数y＝的最小正周期T＝＝π.
(2)f＝sin＋cos＝sin x，所以y＝f(x)f＝sin x
＝(sin xcos x＋sin2x)
＝
＝sin＋，
当x∈时，2x－∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
函数y＝f(x)f在上取得最大值，且y ＝1＋.
max
14.(2024·宜昌模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋2sin2－1(ω>0，0<φ<π)为偶函数，
且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不
变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)－m＝0在上有两个不同的根，求m的取值范
围.
解 (1)∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋
2sin2－1＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)
＝2sin为偶函数，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，可得φ＝，
∴f(x)＝2sin＝2cos ωx.
∵f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos 2x.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝2cos的图象，再将横坐标缩
短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2cos的图象.
若g(x)－m＝0在上有两个不同的根，则方程cos＝在上有两个不同的根，即函数
y＝cos的图象与直线y＝在上有两个不同的交点.
∵4x－∈，
cos＝cos＝，cos 0＝1，
∴≤<1，∴1≤m<2.
故m的取值范围为[1，2).
