文档内容
第四章 《因式分解》导学案
4.1提取公因式（1）
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学习目标与重难点
学习目标：
1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因
式.
2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想
方法．
3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．
学习重点：
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。
学习难点：
让学生识别多项式的公因式。
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预习自测
1、因式分解的概念
。
2、整式乘法与分解因式之间的关系是 。
3、简便计算
5 5 5
×15− ×9+ ×2
8 8 8
4、如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表
示新长方形的面积。
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教学过程
一、认识公因式1、认真观察等式两边各有什么特点？
ma+mb=m(a+b)
公因式
多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？
【强调】多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、怎样确定多项式的公因式？
定系数（最大公因数）；定字母（相同字母）；定指数（最低次幂）
例如：2x –6x 的公因式是2x
3、练一练
① 4a + 2b 的公因式是 . ② ab+ac+ad 的公因式是 .
③3x + 9x 的公因式是 . ④2x + 6x 的公因式是 .
⑤ 7(a–3)–b(a–3) 的公因式是 .
二、提取公因式
① 4a + 2b 提取公因式是 . ② ab+ac+ad 提取公因式是 .
③3x + 9x 提取公因式是 . ④2x + 6x 提取公因式是 .
⑤ 7(a–3)–b(a–3) 提取公因式是 .
【强调】如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两
个因式 乘积 的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法。
三、典例精析
例1、将下列各式分解因式：
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
注意：多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。
例题2、把下列多项式分解因式：
（1）12x y+18xy ； （2）-x +xy-xz；（3）2x +6x +2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
甲同学：
解:12x y+18xy =3xy(4x+6y)
[不正确，系数的最大公因数是6]
乙同学：
解:-x +xy-xz =-x(x+y-z)
[不正确，提取“-”时，第二、三项未变号]
丙同学：
解:2x +6x +2x=2x(x +3x)
四、[不正确，第三项与公因式相同，提取后是1正确应为2x（x +3x+1)]
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．6a b与8ab 的公因式是( )
A．a b B．6ab C．2ab D．24a b
2．下列各个多项式的各项中，有公因式的是( )
A．x －9y B．x －3x＋5 C．a ＋b D．a b－ab ＋ab
3．多项式9x y－36xy ＋3xy提取公因式 后，另一个因式是 ．
4．(2016·宁波)分解因式：x －xy＝ ．
5．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是( )
A．x －y B．x ＋2x C．x ＋y D．x －xy＋y
6、用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz ； (3)-x z+x y； (4)36aby-12abx+6ab能力提升：
7.下列各组式子中，没有公因式的是( )
A.－a2＋ab与ab2－a2b B.mx＋y与x＋y C.(a＋b)2与－a－b D.5m(x－y)与y－x
8.边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )
A.15 B.30 C.60 D.78
9.把多项式-3x -6x因式分解，结果为( )
A.-3x(x＋2) B.-3(x2＋2x) C.-3x(x2＋2) D.3(-x2-2x)
拓展迁移
10.分解因式：1+x+x（x+1）+x(x+1）
=(1+x)[1+x+x(x+1) ]
=(1+x) (1+x)=(1+x) .
（1）上述因式分解的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1) +x(x+1) ，则需应用上述方法 次，结果是
；
（3）分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1) +⋯+x(x+1) （n 为正整数）的结果是 ．
四、总结反思、拓展升华
1、公因式的定义：
多项式各项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、公因式的找法：
(1)定系数：取各项系数的最大公约数；
(2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂
3、提公因式法的定义：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积
的形式。这种分解因式的方法叫做提公因
式法。
五、【作业布置】
基础达标：
1. 将 5x(a+b)−y(b+a )用提公因式法分解因式，应提取的公因式是 （ ）A. 5x−y B. 5b+a C. a+b D. 5x+y
2. 若 mn=−2，m−n=3，则代数式 m n−mn 的值是( )
A. −6 B. −5 C. 1 D. 6
3. 分解因式 b (x−2)+b（2−x），正确的结果是 ( )
A. （x−2)(b +b) B. b(x−2)(b+1) C. (x−2)(b −b) D. b(x−2)(b−1)
4. 多项式 x y(a−b)−xy(b−a)+y(a−b )提公因式后，另一个因式为( )
A. x −x+1 B. x +x+1 C. x −x−1 D. x +x−1
5.把下列各式分解因式：
(1)¿−a2 +ab−ac;¿
能力提升：
6. 已知ab=7,a+b=6,求多项式 的值
7.已知a+b=5,ab=3,求a b+ab 的值.
拓展迁移：
8.已知 x，y 满足：（x+y） =5，（x−y） =41；求 x y+xy 的值．
9. 若x -3x-4=1，求2029-2x +6x的值.
10.已知x，y都是自然数，且有x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=12，求x、y的值.课堂作业参考答案
1、C
2、D
3、3zy;
4、 x(x-y)
5、B
6、解：(1)ax-ay==a(x-y); (2)6xyz-3xz ==3xz(2y-z);
(3)-x z+x y==-x (z-xy); (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1)
7、B
8、D
9、A
10、（1）提取公因式；2
（2）3；
（3）
课外作业参考答案
1、C
2、A
3、D
4、B
5、 解： 解：
6、解： =ab(a+b)=7×6=42
7、解：a b+ab =ab(a+b)=3×5=15
8、解：由 （x+y =5 得：x +2xy+y =5．
由（ x−y） =41 得：x −2xy+y =41．得；x +y =23；xy=−9，
x y+xy =xy(x +y ）=−9×23=−207．
9、解：原式=2029-2(x -3x)
=2029-2×5
=2019.
10、解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)；
因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4；
经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件；
所以x=4，y=2.
