文档内容
小题限时卷 01（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟）
一、单选题
1．（2024·湖北·一模）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，得到 ，再由集合之间的包含关系列不等式组求解即可；
【详解】由 解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 ，
故选：C.
2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则
（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【分析】结合等差数列 的前 项和公式以及等差数列的性质即可求出结果.
【详解】设设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）在正方体 中，棱 的中点分别为 ， ，则直线
与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合正方体的结构特征找到直线 与平面 所成角，解直角三角形，即可求得答案.
【详解】连接 ，在正方体 中， 平面 ，棱 的中点为 ，则 平面 ，
而 平面 ，故 ，
则 即为直线 与平面 所成角，
设正方体棱长为2，则 ，
则 ，
故 ，
故选：C
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为 ，当 中有两个
数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从 这五个
数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
【答案】C
【分析】分类讨论，求出满足“有缘数”的数字个数，结合排列组合公式计算可得.
【详解】从 这五个数字中任取三个不同的数，其中“有缘数”的个数为 24；
从 这五个数字中任取两个不同的数，其中“有缘数”的个数为 ，
所以全部“有缘数”的个数为 ．
故选：C．
5．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）已知 ，若 在 上单调，则
的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 在 上单调且恒为正可得．
【详解】由题意 在 上单调且恒为正，所以 或 ，且 ，解得 或 ，
故选：D．
6．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量 ，则 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】由题设 分别在以 为原点，半径为 的圆上运动，且 ，数形结合及向量加法的
几何意义确定 的范围，即可得答案.
【详解】由题设， 分别在以 为原点，半径为 的圆上运动，且 ，
所以 ，若 是 的中点，则 ，而 ，如下图示，
由图知， ，而 ，即 .
所以 的最小值是 .
故选：D.
7．（2024·湖北·一模）已知实数 满足 ，则 最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】解法（1）采用三角换元，令 ，再结合余弦函数的值域求解即可；解法
（2）采用基本不等式求解即可；【详解】解法（1）：由 ，
令 ，即 ， ，
，即 最大值为2；
解法（2）：
当且仅当 ，即 时取等号，
，即 最大值为2，
故选：A.
8．（17-18高三·安徽马鞍山·期末）已知椭圆 与双曲线
有相同的焦点 ，若点 是 与 在第一象限内的交点，且 ,
设 与 的离心率分别为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为 , ,由题意可得 ，用 表示出 ，结合二次
函数的性质即可求出范围.
【详解】如图所示：
设椭圆与双曲线的焦距为 , ,由题意可得
， ，即
，即，
由 可知 ，令 ， ，
所以 ，故选D.
【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题.
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）在正方体 中， 分别为棱 的中点，则（ ）
A． 平面 B．
C．直线 与直线 所成角为 D．平面 经过棱 的三等分点
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明可判断AB正确；由异面直线的向量求法可得
C错误，在棱 上取一点 ，求得平面 和平面 的法向量，解方程可得 ，
可判断D正确.
【详解】在正方体 中，分别以 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则 ，
对于A， ，
设平面 的一个法向量 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，A正确；
对于B，因为 ，
所以 ，B正确；
对于C，设直线 与直线 所成角为 ，
则 ，又 ，
所以 ，C错误；
对于D，在棱 上取一点 ，如下图所示：则 ，
设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
则 ，解得平面 的一个法向量 ，
又 ，解得平面 的一个法向量 ，
因为平面 平面 ，所以当 时， 共面，
此时 ，即 解得 ，
所以平面 经过棱 的三等分点 ，可得D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条
件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量
与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
10．（2024·山东威海·一模）如图，在四边形 中， 为边 上的一列点，连接 交
于点 ，且 满足 ，其中数列 是首项为1的正项数列，则
（ ）
A．数列 为等比数列B．数列 的前 项和为
C．数列 为递增数列
D．
【答案】ABD
【分析】A选项，根据向量共线定理得到 ，从而 ，A正确；B选项，在A选
项基础上得到 ，由分组求和和等比数列求和公式得到B正确；C选项，举出反例即可；D选项，
在B选项基础上得到D正确.
【详解】A选项，因为 为边 上的一列点，设 ，
即 ，所以
，
即 ，所以 ，
即 ，所以数列 为公比为2的等比数列，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，
故 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ， ，
的前 项和为
，B正确；
CD选项， ，故 ，显然 ，
则数列 不是递增数列，C错误，D正确.故选：ABD
11．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的最大值为4
C． 在区间 上单调递减
D． 在区间 上的极小值为
【答案】ACD
【分析】A选项，计算出 ，A正确；B选项，举出反例，
，由基本不等式得到 ；C选项，求导，当 时，
，当 时，变形得到 ，令 ， ，
求导，得到 的单调性，结合 ，故 ，故 ，故 在 上单调递
减，C正确；D选项，在C选项基础上，得到 的单调性，进而可得解.
【详解】A选项， ，
故 的图象关于直线 对称，A正确；
B选项， ，
故 ，
，
由于 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，B错误；
C选项， ，当 时， ，故 ，
故 ， 在区间 上单调递减，
当 时， ，
令 ， ，
则 恒成立，
故 在 上单调递减，
由于 ， ，即 ，
故 ，故 ，
故 在区间 上单调递减，
又 在 上为连续函数，故 在区间 上单调递减，C正确；
D选项，由C知， 在区间 上单调递减，
当 时， ，
，
令 ， ，
则 恒成立，
故 在 上单调递减，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ，f′(x)>0，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，
故 恒成立，
故 在 上单调递增，
又 在 上为连续函数，故 在区间 上单调递减，
在 上单调递增，
故 在区间 上的极小值点为 ，
极小值为 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：CD选项，在处理 和 等区间上函数单调性的技巧，要变形
得到 ，构造 ，求导，得到函数单调性，从而只需判断
的大小，即可判断出f′(x)的正负，确定函数单调性.
三、填空题
12．（23-24高三上·山东·期中）已知函数 ，则 在点 处切线方程为
．
【答案】
【分析】对 求导可得 计算出 得 ，再根据题意利用导数的几何意义求解即可.
【详解】对 求导可得 ，则 ，
解得 ，
，
，切线方程为 ，整理得 .
故答案为： .
13．（2024·上海·模拟预测）已知正实数 满足 ， ，则 .
【答案】 /
【分析】令 ，则由 可得 ，从而可求出 的值，再结合 求出 ，
即可得解.
【详解】令 ，则 ，
由 ，得 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
当 时，则 ，
由 ，得 ，所以 ，
由 ，又a>0，解得 ，
所以 ；
当 时，由 ，得 ，所以 ，
由 ，又a>0，解得 ，
所以 ，
综上所述， .
故答案为： .14．（24-25高三上·福建·期中）已知函数 若存在实数 满足 ，且
，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到 ，根据 ，可将 化简为
，构造函数 ，利用导数求最值即可.
【详解】结合解析式可知当 时， ；当 时， .
因为 ，所以 .
令 ，得 ，则 ，
故 .
令 ，则 ，
令 得 ；令 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 .
所以 的取值范围为 .
故答案为：
（模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟）
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车
站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
【详解】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达，
则 ，
于是 ，
所以该列车为和谐号的概率为 .
故选：D
2．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以 为整体，利用诱导公式结合倍角公式求 ，结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为 ，则 ，
且 ，可得 ，
则 ，
，
所以 ，
故选：A.
3．（2024·湖北·一模）已知数列 为等比数列， ，若 的前9项和为 ，则数列 的前9项
和为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】记数列 公比为 且 ，利用等比数列前n项和可得 ，再由 公比
也为 及等比数列前n项和、等比中项性质，即可求结果.
【详解】记数列 公比为 且 ，则 ，故 ，
所以 公比也为 ，
则 前9项和 .
故选：D
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，四叶玫瑰线 的方程为 是 上在第一象
限内的一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据曲线的方程及三角代换得到 ，再由换元法可得 ，利用导数求最
大值即可.
【详解】如图，
点在射线 的上方，则可设 ，
代入 ，得 ．
令 ，则 ，
所以 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 是 的最大值点，即 ．
故选：A.
二、多选题
5．（山东省名校2025届高三上学期12月校际联合检测数学试题）函数
的图象，如图所示，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．函数 是奇函数
C． 的图象关于点 对称
D．若 在 上有且仅有三个零点，则
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数 ，结合给定图象求出 ，再逐项
判断即可.
【详解】依题意， ，由 ，得 ，
解得 ，而 ，则 ，
所以 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；
是奇函数，故B正确；
，
令 ，得 ，
所以 的对称中心为 ，
当 时，函数 的对称中心为 ，故C正确；
，当 时， ，
因为函数 在 上有且仅有三个零点，
所以 ，解得 ，故D正确．
故选：BCD．
6．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）若曲线 （e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，
则a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AD
【分析】设切点为 ，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，
可得到 ，有两条切线转化为 有两个不等的实根，即可
求出a的取值范围，进而得到正确选项.
【详解】设切点为 ， ，
所以切线的斜率 ，则此曲线在P处的切线方程为 ，
又此切线过坐标原点，所以 ，
由此推出 有两个不等的实根，所以 ，解得 或 ，
故选：AD．
三、填空题
7．（2024·山东威海·一模）已知底面半径为3的圆锥 ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底
面半径为1，则此圆柱的侧面积为 .
【答案】
【分析】作出圆锥的轴截面 ，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算
可得.
【详解】如图作出圆锥的轴截面 ，根据题意可知 ,
,
所以可得 ,
根据三角形相似可得 ,
所以 ,可求得 ,
根据圆柱侧面积公式可得 .
故答案为：
（模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟）
一、单选题
1．（2024·上海杨浦·一模）设无穷数列 的前 项和为 ，且对任意的正整数 ，则
的值可能为（ ）A． B．0 C．6 D．12
【答案】A
【分析】根据 与 的关系，探索数列 的结构特点，分别求出 和 ，再根据 及数列
是无穷数列对各选项进行判断.
【详解】当 时， .
当 时， ，所以 ，
两式相减得： ，因为 ，所以 .
所以数列 的奇数项是以 为首项，1为公差的等差数列，且 .
所以 .
同理，数列 的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 .
所以 .
若 ，则数列 各项均不为0，数列 是无穷数列，故A正确；
若 ，这与 矛盾，故B错误；
若 ，根据奇数项成公差为1的等差数列，则 ，则 无法求出，这与数列 是无
穷数列矛盾，故C错误；
若 ，根据奇数项成公差为1的等差数列，则 ，则 无法求出，这与数列 是无
穷数列矛盾，故D错误.
故选：A
【点睛】关键点点睛：观察出数列的特点后，一定要注意 及数列 是无穷数列这两个条件的应用.
二、多选题
2．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 在 上单调递增
B．若 ，且 ，则函数 的最小正周期为C．若 的图象向左平移 个单位长度后，得到的图象关于 轴对称，则 的最小值为3
D．若 在 上恰有4个零点，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，由复合函数单调性即可判断；对于B，直接可得 ，由此即可判断；对于C，由题
意得 结合 的范围即可判断；对于D，根据 ， ，得到
，进一步列出不等式组即可求解.
【详解】对于A，当 时，若 ，则 ，
由于 在 上单调递增，故 在 上单调递增；故A正确；
对于B，若 ，且 ，则当且仅当 ，故B正确；
对于C，若 的图象向左平移 个单位长度后，
得到的图象所对应的函数表达式为： ，
若 的图象关于 轴对称，则 ，
注意到 ，
所以当且仅当 时， 的最小值为4，故C错误；
对于D， ， ，得到 ，
若 在 上恰有4个零点，
则当且仅当 ，解得 ，即 的取值范围为 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，关键在于利用 的范围求得 ，进
而结合正弦函数的图象特征求得 的取值范围.
三、填空题3．（2024·上海普陀·一模）设平面上四点 、 、 、 满足： ， ，若
，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】首先分析向量关系，建立平面直角坐标系，设点的坐标，根据已知条件得到 ，消去m
得到 ，借助三角函数的值域得到 的取值范围，最后最后求 的最小值即可.
【详解】已知 ，则这两个向量垂直，所以 . 则Q再以MN为直径的圆上.
以原点O建立平面直角坐标系，设 ， ， ， .
由 ，可得 ，对于 ，
从 解出 ，代入 中，经过化简可以得到 .
将 代入 ，得到 ，进一步变形为 .
因为 ，所以 .
当 时，解方程 ，
令 ，则方程变为 ，可得 .
因为 ，所以 （ 舍去），则 ；
当 时， ， ， 或者 ，
又因为 且存在其他条件限制，所以 .
因为 ，当 取最小值 时， .
故答案为： .
