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小题限时卷 07（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟）
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数 ，继而得 的虚部.
【详解】由 ，
则 ， 的虚部为2.
故选：D.
2．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知集合 ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由交集的结果求出 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】依题意，由 ，得 ，此时 成立；反之当 时， 不一定成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：C
3．（2024·辽宁·模拟预测）从 中任取 个不同的数，事件 “取到的 个数之和为偶数”，事
件 “取到两个数均为偶数”，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得 和 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意 , ,故 .故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当 时， 排除A，B，即可求解.
【详解】由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 所以函数 是奇函数，其图象关于原点中心
对称，排除C；
又由当 时， 排除A，B;
故选：D．
5．（2025·河南·模拟预测）已知正数 满足 ，则当 取得最大值时， （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由条件可得得 ，代入 可得 ，设 对右侧进行换元，再结合基
本不等式求目标函数的最值，并确定取最值的条件.
【详解】由 ，得 ，
，
， ，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ．
故选：D．
6．（2025·陕西咸阳·一模）已知 在区间 内存在2个极值点，则实数a的取值范围为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，根据极值点可得 与 在 内有2个交点，利用导数判断 的单
调性和最值，结合图象分析求解.
【详解】因为 ，可知 在 内有2个变号零点，
由 可得 ，可知： 与 在 内有2个交点，
又因为 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，则 ，
且 ， ，
结合图象可得 ，所以实数a的取值范围为 .
故选：B.7．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ， ， 为 图象
的对称轴，且 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得， 为正奇数且 ，结合 为 的零点， 为 图象的对称轴，
求出符合题意的解析式，并结合 在 上单调，可得 的最大值.
【详解】由 ， 为 图象的对称轴，得 ，则 ，
由 在 上单调，得 ，解得 ，
当 时， ，由 ，得 ，此时 ，
当 时， ，当 时 取得最大值1，
即 在 上不单调，不满足题意；
当 时， ，由 ，得 ，此时 ，
当 时， ，此时 在 上单调递减，符合题意，
所以 的最大值为9.
故选：B
8．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球
均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面 与两个小球也相切，平面 被圆筒所截得到的截面为椭
圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出截面图，由圆柱高和球的半径求出 的长，由勾股定理求得 的长，再由
三角形全等，求得长半轴长 ，由圆柱得到短半轴长 ，从而求得半焦距长 ，然后由离心率公式求得离
心率的值.【详解】设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆 ，如图，作出圆柱过椭圆 的长轴的截面图，
设长轴A，B与两圆的切点是 ．连接 ，记椭圆长轴与 交于点C，
过C作 ，且CD交圆柱的母线于点D，连接 ，
则 ， ．
因为圆柱的高为16，球的半径是3，所以圆柱的底面半径为3， ．
根据对称性可知C是 ，AB的中点，故 ，则 ．易得 ，故
，则椭圆的长半轴长 ．
由题意得椭圆的短半轴长 ，所以半焦距长 ，则椭圆的离心率为 ，
故选：D．
二、多选题
9．（2025·河南·模拟预测）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测
试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于
2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知某地区
进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩 （单位 ）服从正态分布 ，且
，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记 不在区间 的人数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断BC；利用对立事件
的概率公式计算判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，
则 ，A错误；
对于B，由A知， 不在区间 的概率为 ， ， ，
因此 ，B正确；
对于C，由B知， ，因此 ，C正确；
对于D， ，D错误.故选：BC
10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线于
， 两点，则（ ）
A．
B．取 中点 ，直线 的斜率与直线 的斜率之积为
C．以 为直径的圆与 轴相切
D．若 ， ，则
【答案】ACD
【分析】设直线 的方程为 ，联立方程组化简求 ，由此可判断A，再求点 的坐
标，结合两点斜率公式求直线 的斜率，由此判断B，求 的中点到 轴的距离与圆的半径比较大小可
得结论，结合抛物线定义列方程求 ，判断D.
【详解】抛物线 的焦点 的坐标为 ，
由已知直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ，
方程 的判别式 ，
由已知 ， ，A正确，
点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，
所以直线 的斜率为 ，
当 时，
直线 的斜率与直线 的斜率之积为 ，B错误；
线段 ，
点 到 轴的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，所以线段 的中点到 轴的距离为 ，
所以以 为直径的圆的圆心到 轴的距离等于该圆的半径，
所以以 为直径的圆与 轴相切，C正确；
若 ， ，由抛物线定义可得 ， ，
所以 ，
又点 在抛物线 上，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，D正确.
故选：ACD.
11．（2025·吉林·二模）数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数
. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生
是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部
分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 等，这些音叫谐音，因为振幅较小，
我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是 ，记
，则（ ）A． 的最大值为 B． 在 上单调递增
C． 的周期为 D．
【答案】BCD
【分析】利用正弦函数性质得到 和 无法同时取得最大值判断A，利用正弦函数性质分
别判断得 ， ， 的单调性求解B，利用周期性的定义求解C，利用导数结合
分类讨论证明 ，再结合绝对值三角不等式放缩证明D即可.
【详解】对于A， ，
若 的最大值为 ，则 和 必须同时取得最大值，
由正弦函数性质得 和 无法同时取得最大值，
则 的最大值不为 ，故A错误；
对于B，由题意得 ，
因为 ，所以 ， ，
由正弦函数性质得 ， ， 在 上单调递增，
由函数的性质得，多个增函数相加，结果一定是增函数，
得到 在 上单调递增，故B正确；
对于C，令 ，
而 ，，
，
得到 的周期为 ，故C正确；
对于D，欲证 ，则证 即可，
令 ，而 ，
，则 是偶函数，
则证当 时， 即可，此时 ，
当 时， ， ，
故 在 上单调递减，得到
则 成立，当 时，同理可得 成立，
综上，结合 是偶函数，可得 恒成立，
故
，
则对于 时， 成立，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2025·河南·模拟预测）设 （其中 、 ），则 ．
【答案】
【分析】利用二项展开式计算 的值，即可得出 的值.
【详解】因为
，其中 、 ，
故 .
故答案为： .
13．（2025·福建漳州·模拟预测）若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则实
数 ．【答案】2
【分析】利用导数的几何意义得到斜率，进而写出切线方程，再联立方程组，令判别式为 ，得到
，求解参数即可.
【详解】令 ，则 ，故切点为 ，
设切线斜率为 ，而 ，则 ，
则曲线在 处的切线方程为 ，
由题意得曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，
联立方程组 ， ，
得到 ，则 ，解得 .
故答案为：2
14．（2025·吉林·二模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，
，点E在棱 上，且 ，侧面 内一动点P满足 ，则点P的
轨迹长度为 ；直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围为 .
【答案】 /
【分析】分析 点的轨迹，可求 点的轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线 与直
线 所成角的余弦值的取值范围（或者用三余弦定理求直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围）.
【详解】（法一）由 得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又 点P在平面 内，
点P在以A为圆心，1为半径， 为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为 .
建系如图，设 ，则 .
.
令 ，.
故直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围为 .
（法二）设直线 与直线 所成角为 ，取 的中点 ，根据三余弦定理可知，
，易知P从点M运动至N处， 逐渐减小，则 逐渐增大，
由图可知，P从点M运动至N处 逐渐增大，
则P在点M处时， 取得最小值，此时 ，
则P在点N处时， 取得最大值，此时 ，
故直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围为 .
（模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟）
一、单选题1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知角 的终边经过点 ，将 的终边逆时针旋转 得到角 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】先由条件求出 ，再根据角的旋转及两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 ，
所以 ，解得： .
故选：D
2．（2025·吉林·二模）已知双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线上且满足 轴，若 ，
则双曲线 的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】利用给定条件求出 ，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可.
【详解】因为 轴，且 ，双曲线 的右焦点为 ，
所以 ，设双曲线方程为 ，且 ，
将 代入双曲线方程，得到 ，联立解得 (负根舍去)，
则双曲线 的实轴长为 ，故B正确.
故选：B
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，向量 ，若
不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积 ．已知 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据条件设出向量 和 ，以及向量 的坐标，代入条件中定义，即可求解.【详解】依题意设 ，
则 ， ，
，
，
则 .
故选：C．
4．（2025·河南·模拟预测）已知 、 ，若 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简 、 、 ，求出 的取值范围，可得出 、 的取值范围，逐项判断
即可.
【详解】由题可得 ， ，
，
因为 、 ，则 ，
故 ， ，
所以， ， ， ，所以 ．
故选：B．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】设 ，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.【详解】因为 ，设
对A，知 ，易知 .选项A正确.
对C，因为 ， ， ，所以 ， ， ，
于是 ，选项C正确.
对D，若 ，则 ，即 ，则 .
由 知 .选项D正确.
对B，取 ，则 ，由 知 ，
知 ，所以 ，即 ，
，此时 ，选项B错误.
故选：ACD.
6．（2025·贵州黔东南·模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何
体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的
“刍童” ，其中 ，则（ ）
A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点
B．该“刍童”的所有侧棱与下底面 所成角的正弦值均为
C．该“刍童”外接球的表面积为
D．该“刍童”外接球表面上的点到平面 的距离的最大值为
【答案】CD
【分析】判断“刍童”不是棱台，可判断A的真假；求出侧棱与底面所成角的正弦，判断B的真假；求
“刍童”外接球半径，进而求外接球表面积，判断C的真假；先求球心到平面 的距离，再求“刍
童”外接球表面上的点到平面 的距离的最大值，判断D的真假.
【详解】对A：根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交
于一点，故A错误；
对B：如图：易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面 所成角均相等.
设上下底面的中心分别为 ，则 , , ，
设 ，则 ，且 为锐角，所以 ，故B错误；
对C：如图：
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为 ， ， （ ）
则 ，
所以该“刍童”的的外接球的表面积为： .
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为 ， ， （ ）
则 ，不合题意，故舍去.
所以该“刍童”的的外接球的表面积为： .故C正确；
对D：如图：
等腰梯形 中， ， ， ，所以 ，
即等腰梯形 外接圆的半径 .所以该“刍童”的的外接球球心到平面 的距离为： ，
所以该“刍童”外接球表面上的点到平面 的距离的最大值为 ，故D正确.
故选：CD
【点睛】结论点睛：球面上任意点到某平面的距离的最大值，等于球的半径与球心到平面的距离之和.
三、填空题
7．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列 满足： ，若
，则 ．
【答案】
【分析】根据两个式子相加和相减可得 和 分别为等比数列，即可利用等比数列的通
项求解.
【详解】由题意可得 ，
则 ， ，
又 ，
则数列 是以4为首项，公比为4的等比数列，
数列 是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以 ①， ②，
①②联立得 ，所以 ．
故答案为：
（模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟）
一、单选题
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 在该椭
圆上，若满足 为直角三角形的点 共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】数形结合，问题转化成 ，进而利用 的关系求离心率的取值范围.
【详解】如图：因为使 为直角三角形的点 有8个，所以在 中，必有 ，即 ，
所以 ，即 ，可得 .
又椭圆的离心率 ，所以 .
故选：A
二、多选题
2．（2025·吉林·二模）已知 是定义在 上的函数，对于任意实数 满足 ，当
时， ，则（ ）
A． B．
C． 有3个零点 D．若 ，则 或
【答案】ACD
【分析】利用赋值法求值判断A，利用赋值法得到 判断B，利用赋值法求解零点个数判断
C，对参数范围分类讨论结合奇函数的性质判断D即可.
【详解】对于A，已知 ，
令 ，则 ，
故 ；令 ，则 ，解得 ，故A正确；
对于B，令 ，则 ，
解得 ；令 ，则 ，
得到 是奇函数，不满足 ，故B错误；
对于C，令 ，则 ，
而 ，得到 是奇函数，且在 上有定义，
则 ， ，得到 有3个零点，故C正确，
对于D，结合 ，解得 ，显然 ，而 ，若 ，则 即可，
当 时，此时 ，则 ，符合题意，
而在 时， ，则 ， ，不符合题意，排除，
当 时， ， ，故 ，
由奇函数性质得 ，符合题意，
当 时， ，此时 ，
由奇函数性质得 ，不符合题意，排除，
综上，若 ，则 或 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解题关键是对参数范围分类讨论，然后结合奇函数的性质得到符合条件的解集即可．
三、填空题
3．（2025·河南·模拟预测）在棱长为3的正方体 中， 为线段 的三等分点（ 在
之间），一动点 满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建系，根据空间间距离公式分析可知点 的轨迹为以 为圆心，半径 的球，根
据数量积可得 ，结合球的性质可得 的范围即可得结果.
【详解】如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，
因为 ，则 ，整理可得 ，
可知点 的轨迹为以 为球心，半径 的球，
取 的中点分别为 ， 的中点为 ，
则 ，
可得
，
又因为 ，则 在球外，
则 ，即 ，
可得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：1.利用空间直角坐标系求点点 的轨迹；
2.根据数量积的性质可得 ，进而可求范围.
