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微专题 11 三角恒等变换
高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基
本关系、诱导公式是解决计算问题的工具； 2.三角恒等变换是利用三角恒等式
(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角
恒等变换的核心； 3.以选择、填空题的形式出现或隐含于解答题中，难度一般
为中档偏下.
【真题体验】
1.(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝( )
A. B.
C. D.
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A. B.
C. D.
3.(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝( )
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，
tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝________.
【热点突破】
热点一 化简问题例1 (1)(2024·宜昌联考)＝( )
A. B.
C. D.2
(2)(2024·西安模拟)等于( )
A. B.
C. D.1
规律方法 三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互
余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
训练1 (1)化简：＝________；
(2)(tan 10°－)·＝________.
热点二 求值问题
求三角函数值的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
例2 (1)(2024·衡阳模拟)已知cos＝，则sin等于( )
A.－ B.
C.－ D.
(2)(2024·河南部分学校联考)若锐角 α，β 满足 sin(α－β)＝，cos＝，则cos＝
________.
规律方法 1.注意观察条件与所求之间关系：如函数名的差异，角之间的关系.
2.注意根据角的范围确定三角函数值的范围.
训练2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝()
A.－3m B.－
C. D.3m
(2)(2024·南通模拟)若cos α，cos，cos成等比数列，则sin 2α＝( )
A. B.－
C. D.－
热点三 求角问题
给值求角问题的解题策略
(1)求相关角的某一个三角函数值.
(2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，
应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，
以排除多余的解.
例3 (1)(2024·九江模拟)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(
)
A. B.
C. D.
(2)已知α∈，且4cos α－tan ＝，则α＝________.
易错提醒 求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，
避免产生增解.
训练3 (1)(2024·长春摸底)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则
下列结论正确的是( )
A.2α＋β＝ B.2α－β＝
C.α＋β＝ D.α－β＝(2)(2024·重庆调研)若<β<π<α<，且cos(α＋β)＝－，sin 2β＝，则α－β＝
________.
【精准强化练】
一、单选题
1.已知角α的顶点为原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边过点(1＋tan 15°，1
－tan 15°)，则tan α的值为( )
A. B.－
C.－ D.
2.(2024·烟台模拟)若cos＝，则sin 2α＝( )
A.－ B.
C.－ D.
3.(2024·葫芦岛质检)已知α∈，sin 2α＝cos，则cos 2α＝( )
A.0 B.
C. D.－
4.(2024·宁波调研)已知cos＋cos＝，则cos＝( )
A.－ B.
C.－ D.
5.(2024·毕节模拟)若θ∈，且tan θ＝－，则cos ＝( )
A. B.
C.± D.±
6.sin 20°(＋tan 50°)＝( )
A. B.2
C. D.1
7.计算：·＝( )
A.－ B.－
C. D.
8.若cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β的值为( )A. B.
C. D.
二、多选题
9.(2024·海南调研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则( )
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
10.(2024·广东名校调研)若α为第一象限角，cos＝，则( )
A.sin＝－ B.cos＝－
C.sin＝－ D.tan＝－2
11.(2024·南京、盐城模拟)已知f(θ)＝cos 4θ＋cos 3θ，且θ ，θ ，θ 是f(θ)在(0，π)
1 2 3
内的三个不同零点，则( )
A.∈{θ ，θ ，θ } B.θ ＋θ ＋θ ＝π
1 2 3 1 2 3
C.cos θ cos θ cos θ ＝－ D.cos θ ＋cos θ ＋cos θ ＝
1 2 3 1 2 3
三、填空题
12.＝________.
13.(2024·池州模拟)已知sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，则tan＝________.
14.(2024·昆明诊断)已知 α，β∈(0，π)，且 tan α ＝，cos β＝－，则α＋β＝
________.
【解析版】
1.(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为cos＝sin＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.故选D.2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意，cos α＝＝1－2sin2，
得sin2＝＝＝，
又α为锐角，所以sin>0，
所以sin＝，故选D.
3.(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝( )
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
答案 B
解析 根据题意有＝，
即1－tan α＝，
所以tan α＝1－，所以tan＝＝＝2－1，故选B.
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，
tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝________.
答案 －
解析 由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，
即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.
由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，
得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，
k＋m∈Z.
又tan(α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，
故sin(α＋β)＝－.
【热点突破】
热点一 化简问题
例1 (1)(2024·宜昌联考)＝( )
A. B.
C. D.2
(2)(2024·西安模拟)等于( )
A. B.
C. D.1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)＝＝＝.(2)＝
＝
＝＝cos 30°＝.
规律方法 三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互
余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
训练1 (1)化简：＝________；
(2)(tan 10°－)·＝________.
答案 (1)4sin α (2)－2
解析 (1)＝
＝＝4sin α.
(2)原式＝·＝＝－2.
热点二 求值问题
求三角函数值的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
例2 (1)(2024·衡阳模拟)已知cos＝，则sin等于( )
A.－ B.
C.－ D.
(2)(2024·河南部分学校联考)若锐角 α，β 满足 sin(α－β)＝，cos＝，则cos＝
________.答案 (1)D (2)
解析 (1)sin＝sin
＝－cos 2＝1－2cos2
＝1－2×＝.
(2)因为0<α<，0<β<，
则－<α－β<，<α＋<，
由sin(α－β)>0，cos>0
可得0<α－β<，<α＋<，
所以cos(α－β)＝＝，
sin＝＝，
所以cos＝cos＝coscos(α－β)＋sinsin(α－β)＝×＋×＝.
规律方法 1.注意观察条件与所求之间关系：如函数名的差异，角之间的关系.
2.注意根据角的范围确定三角函数值的范围.
训练2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(
)
A.－3m B.－
C. D.3m
(2)(2024·南通模拟)若cos α，cos，cos成等比数列，则sin 2α＝( )
A. B.－
C. D.－
答案 (1)A (2)B解析 (1)由cos(α＋β)＝m得
cos αcos β－sin αsin β＝m.①
由tan αtan β＝2得＝2，②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m，故选A.
(2)由cos α，cos，cos成等比数列，
得cos2＝cos αcos，
即＝cos α
＝·－sin 2α，
所以＋cos 2α＋sin 2α＝＋cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＝－.
热点三 求角问题
给值求角问题的解题策略
(1)求相关角的某一个三角函数值.
(2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，
应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，
以排除多余的解.
例3 (1)(2024·九江模拟)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝()
A. B.
C. D.
(2)已知α∈，且4cos α－tan ＝，则α＝________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)因为cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，
所以
解得
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝.
(2)4cos α－tan＝4cos α－
＝4cos α－＝
＝＝，
所以2sin 2α＝sin α＋cos α＝2sin.
因为α∈，
所以2α∈，α＋∈，
则2α＝α＋或2α＋α＋＝π，
得α＝(舍去)或α＝.
易错提醒 求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.
训练3 (1)(2024·长春摸底)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则
下列结论正确的是( )
A.2α＋β＝ B.2α－β＝
C.α＋β＝ D.α－β＝
(2)(2024·重庆调研)若<β<π<α<，且cos(α＋β)＝－，sin 2β＝，则α－β＝
________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)因为α，β∈，所以sin α≠0.
由(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，
可得2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β，
即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β.
所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以cos(α＋β)＝cos，
因为α，β∈，所以π<α＋β<2π，
且－<－α<0，
根据函数y＝cos x的图象易知α＋β＝－α＋2π，
则2α＋β＝.
(2)因为<β<π，所以<2β<2π.
sin 2β＝>0，所以<2β<π，所以<β<，
所以－<－β<－.
因为π<α<，
所以<α－β<，<α＋β<2π.
因为<2β<π，sin 2β＝，
所以cos 2β＝－.
因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝－.
所以sin(α－β)＝sin[(α＋β)－2β]
＝sin(α＋β)cos 2β－cos(α＋β)sin 2β
＝－×－×＝，
所以α－β＝.
【精准强化练】
一、单选题
1.已知角α的顶点为原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边过点(1＋tan 15°，1
－tan 15°)，则tan α的值为( )
A. B.－
C.－ D.
答案 D
解析 tan α＝＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.2.(2024·烟台模拟)若cos＝，则sin 2α＝( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 C
解析 由cos＝可得
cos＝2cos2－1＝－，
故cos＝sin 2α＝－，故选C.
3.(2024·葫芦岛质检)已知α∈，sin 2α＝cos，则cos 2α＝( )
A.0 B.
C. D.－
答案 A
解析 因为α∈，所以2α∈(0，π)，
所以sin 2α>0.
由sin 2α＝cos化简得sin 2α＝sin α＋cos α，
两边同时平方得2sin22α＝1＋sin 2α，
即2sin22α－sin 2α－1＝0，
解得sin 2α＝1(负根舍去)，
又sin22α＋cos22α＝1，所以cos 2α＝0.
故选A.
4.(2024·宁波调研)已知cos＋cos＝，则cos＝( )A.－ B.
C.－ D.
答案 C
解析 因为cos＋cos＝，
所以cos－sin＝.
两边平方得1－sin＝，
则sin＝，
故cos＝cos＝－sin＝－.故选C.
5.(2024·毕节模拟)若θ∈，且tan θ＝－，则cos ＝( )
A. B.
C.± D.±
答案 B
解析 因为θ∈，且tan θ＝－，
所以θ∈，
又
解得cos θ＝或cos θ＝－(舍去)，
又cos θ＝2cos2－1＝，
解得cos ＝或cos ＝－，
又θ∈，所以∈，
所以cos >0，所以cos ＝.
6.sin 20°(＋tan 50°)＝( )
A. B.2
C. D.1
答案 D
解析 原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
7.计算：·＝( )
A.－ B.－
C. D.
答案 C
解析 因为
＝
＝
＝
＝＝，
所以原式＝.
8.若cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β的值为( )
A. B.
C. D.
答案 A解析 ∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.
由得
若cos(α＋β)＝，
则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×<0，
与sin β>0矛盾，故舍去；
若cos(α＋β)＝－，
则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
二、多选题
9.(2024·海南调研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则( )
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
答案 AC
解析 cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝，
因为α∈，
所以sin α＝，cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，tan 2α＝＝
－.故选AC.
10.(2024·广东名校调研)若α为第一象限角，cos＝，则( )
A.sin＝－ B.cos＝－
C.sin＝－ D.tan＝－2
答案 BD
解析 由题意得2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
则2kπ－<α－<＋2kπ，k∈Z.
若角α－是第四象限角，
则cos>cos ＝>，
所以α－是第一象限角，
且sin＝.
对于A，sin＝sin
＝cos＝cos＝，故A错误；
对于B，cos＝cos
＝－cos＝－，故B正确；
对于C，sin＝sin
＝－cos＝－cos＝－，
故C错误；
对于D，tan＝－tan＝－＝－2，故D正确.
11.(2024·南京、盐城模拟)已知f(θ)＝cos 4θ＋cos 3θ，且θ ，θ ，θ 是f(θ)在(0，π)
1 2 3
内的三个不同零点，则( )
A.∈{θ ，θ ，θ } B.θ ＋θ ＋θ ＝π
1 2 3 1 2 3
C.cos θ cos θ cos θ ＝－ D.cos θ ＋cos θ ＋cos θ ＝
1 2 3 1 2 3
答案 ACD
解析 对于A，B，由f(θ)＝0得cos 4θ＝－cos 3θ＝cos(π－3θ)，
∴4θ＝2kπ±(π－3θ)，k∈Z，
得θ＝π，k∈Z或θ＝2kπ－π，k∈Z.
∵θ∈(0，π)，∴θ＝或或，
故A正确，B错误.
cos θ cos θ cos θ ＝cos cos cos
1 2 3
＝cos cos cos
＝
＝＝
＝＝－，故C正确.
cos θ ＋cos θ ＋cos θ ＝cos ＋cos ＋cos
1 2 3
＝
＝＝＝，故D正确.
三、填空题
12.＝________.
答案 －
解析 法一
＝
＝
＝
＝－.
法二 ＝
＝＝－.
13.(2024·池州模拟)已知sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，则tan＝________.
答案 －
解析 因为sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，
故sin2β＋cos2β＋2sin βcos β＝，
故2sin βcos β＝－<0，
而β∈(0，π)，故β∈，
故sin β>0，cos β<0，
而(sin β－cos β)2＝，
故sin β－cos β＝，所以sin β＝，cos β＝－，
故tan β＝－，
故tan ＝＝－.
14.(2024·昆明诊断)已知 α，β∈(0，π)，且 tan α ＝，cos β＝－，则α＋β＝
________.
答案
解析 因为α，β∈(0，π)，且tan α＝，
cos β＝－，
所以α为锐角，β为钝角，
故sin β>0，sin β＝＝，
tan β＝＝－3.
由α∈，β∈，得α＋β∈.
又tan(α＋β)＝＝＝－1，
所以α＋β＝.
