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微专题 14 三角形中的“特征”线
高考定位 与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高
考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角
形，难度中档或偏下.
【真题体验】
(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC
面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
【热点突破】
热点一 三角形的角平分线
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
1.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝.
2.因为S ＋S ＝S ，
△ABD △ACD △ABC
所以c·ADsin＋b·ADsin ＝bcsin ∠BAC，
所以(b＋c)AD＝2bccos ，
整理得AD＝(角平分线长公式).
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin＋cos A＝
0.
(1)求角C的大小；(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积.
规律方法 解决与三角形的角平分线有关问题的方法
(1)利用角平分线定理、找边之间的关系；
(2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可利用此两个小三角形的面积和为
大三角形的面积求解.
训练1 (1)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的
角平分线交BC于D，则AD＝________.
(2)(2024·淄博模拟改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的角平分线交BC
于P点.若AP＝2，BC＝8，则△ABC的面积为________.
热点二 三角形的中线
1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
推导过程：在△ABD中，
cos B＝，
在△ABC中，cos B＝，
联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
2.中线的向量表示：AD2＝(AC2＋AB2＋2|AC|·|AB|·cos ∠BAC).
推导过程：易知AD＝(AB＋AC)，则AD2＝(AB＋AC)2＝AB2＋AC2＋|AB|·|AC|cos ∠BAC，
所以AD2＝(AC2＋AB2＋2|AC||AB|·cos ∠BAC).
例2 (2024·潍坊模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
a(sin B＋cos B)＝c.
(1)求A；
(2)若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD.
规律方法 解决三角形中线问题的常用方法
(1)利用角互补(如本例中∠ADB与∠ADC互补，其余弦值互为相反数)及余弦定
理求解；
(2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程；
(3)利用向量法求解.
训练2 (2024·金华调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且满足cos C＝－.
(1)求角B；
(2)若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积和周长.
热点三 三角形的高线
1.h ，h ，h 分别为△ABC边a，b，c上的高，则
1 2 3
h ∶h ∶h ＝∶∶＝∶∶.
1 2 3
2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度.
3.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关.
例3 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.规律方法 解决三角形的高线问题往往利用正、余弦定理求得三角形的某些边和
角来表示三角形的面积，然后解 S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝×边长×h，求
高h.
训练3 (2024·南京调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
＝sin Atan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且CH＝mCA＋nCB，求.
【精准强化练】
1.(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝2sin x·sin－.
(1)求f(x)在上的值域；
(2)已知锐角△ABC中，BC＝，BA·AC＝－3，且f(A)＝，求BC边上的中线AT的
长.
2.(2024·郑州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin C
＝ccos A，c＝2.
(1)求A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在
且唯一确定，求BC边上高线的长.
条件①：sin C＝；
条件②：b＝1＋；
条件③：a＝.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
3.(2024·福州调研)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)求角A和角C之间的等式关系；
(2)若cos C<0，BD为∠CBA的角平分线，且BD＝2，△ABC的面积为，求c的
长.
4.(2024·包头模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC上的一点，AB＝AD，BC＝.
(1)若∠DBC＝60°，求∠ADB和DA；
(2)若BD＝，证明：CD＝2DA.
【解析版】
(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC
面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解 (1)因为D为BC的中点，
所以S ＝2S ＝2··AD·DCsin∠ADC
△ABC △ADC
＝2××1·DC·＝，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4.
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，
得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，
所以c＝.
法一 在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，
所以b＝.
在△ABC中，由余弦定理，
得cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝，
所以tan B＝＝.
法二 在△ABD中，由正弦定理，
得＝，
所以sin B＝＝，
又B∈，
所以cos B＝＝，
所以tan B＝＝.
(2)法一 因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，
得＝－，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，
所以a＝2.
又S ＝××1×sin ∠ADC＝，
△ADC
得sin∠ADC＝1，
所以∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
法二 因为D为BC的中点，所以BC＝2BD.
在△ABD与△ABC中，由余弦定理，
得cos B＝＝，
整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6，
得BD＝，所以a＝2.
以下同法一.
【热点突破】
热点一 三角形的角平分线
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
1.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝.2.因为S ＋S ＝S ，
△ABD △ACD △ABC
所以c·ADsin＋b·ADsin ＝bcsin ∠BAC，
所以(b＋c)AD＝2bccos ，
整理得AD＝(角平分线长公式).
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin＋cos A＝
0.
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积.
解 (1)由已知可得2cos C·－cos(B＋C)＝0，
sin Bcos C＋cos Bcos C－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝0，
整理得，sin B(cos C＋sin C)＝0，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cos C＋sin C＝0，即tan C＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由题意得，＝＝，即＝，所以a＝2b.
因为S ＋S ＝S ，
△ACD △BCD △ABC
所以×2bsin 60°＋×2asin 60°＝absin 120°，
所以b＋a＝ab.
因为a＝2b，所以b＝3，a＝6，所以S ＝absin 120°＝.
△ABC
规律方法 解决与三角形的角平分线有关问题的方法
(1)利用角平分线定理、找边之间的关系；
(2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可利用此两个小三角形的面积和为
大三角形的面积求解.
训练1 (1)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的
角平分线交BC于D，则AD＝________.
(2)(2024·淄博模拟改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的角平分线交BC
于P点.若AP＝2，BC＝8，则△ABC的面积为________.
答案 (1)2 (2)
解析 (1)由余弦定理得cos 60°＝，
整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.
由角平分线长公式得AD＝
＝＝2.
(2)△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB，
即64＝c2＋b2＋b·c，①
由角平分线长公式得AP＝
即bc＝2(b＋c)，②联立①②得bc＝2＋2，
所以S ＝bcsin ∠BAC＝.
△ABC
热点二 三角形的中线
1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
推导过程：在△ABD中，
cos B＝，
在△ABC中，cos B＝，
联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
2.中线的向量表示：AD2＝(AC2＋AB2＋2|AC|·|AB|·cos ∠BAC).
推导过程：易知AD＝(AB＋AC)，则
AD2＝(AB＋AC)2＝AB2＋AC2＋|AB|·|AC|cos ∠BAC，
所以AD2＝(AC2＋AB2＋2|AC||AB|·cos ∠BAC).
例2 (2024·潍坊模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
a(sin B＋cos B)＝c.
(1)求A；
(2)若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD.
解 (1)在△ABC中，由正弦定理，得sin ∠BAC(sin B＋cos B)＝sin C，
由∠BAC＋B＋C＝π，得sin C＝sin(∠BAC＋B)，
所以sin∠BACsin B＋sin ∠BACcos B
＝sin∠BACcos B＋sin Bcos ∠BAC，
得sin ∠BACsin B＝cos ∠BACsin B，
又sin B≠0，所以tan ∠BAC＝1，
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝，即A＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC，
得5＝b2＋2－2b，
解得b＝3或b＝－1(舍去)，
因为D为BC的中点，则AD＝(AB＋AC)，
两边同时平方得AD2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)＝×＝，
所以|AD|＝，即AD＝.
规律方法 解决三角形中线问题的常用方法
(1)利用角互补(如本例中∠ADB与∠ADC互补，其余弦值互为相反数)及余弦定
理求解；
(2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程；
(3)利用向量法求解.
训练2 (2024·金华调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且满足cos C＝－.(1)求角B；
(2)若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积和周长.
解 (1)由cos C＝－，
得2bcos C＝2a－c，
利用正弦定理得2sin Bcos C＝2sin A－sin C，
即2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C，
化简得sin C＝2sin Ccos B.
因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos B＝，
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由正弦定理得＝2 b＝3，
⇒
设D为AC边上的中点，
则AD＝CD＝，BD＝.
法一 在△BCD中，cos ∠CDB＝，
在△ABD中，cos ∠ADB＝，
因为∠ADB＋∠CDB＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠CDB＝0，
所以a2＋c2＝17，
由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，可得9＝c2＋a2－ac，即ac＝8，
由三角形的面积公式得S ＝acsin B＝2，
△ABC
又(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝17＋2×8＝33，
所以a＋c＝，
所以△ABC的周长为3＋.
法二 利用向量的加法法则得2BD＝BA＋BC，
两边平方得4BD2＝BA2＋BC2＋2BA·BC，
即25＝c2＋a2＋ac，
由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，
得9＝c2＋a2－ac，
两式相减得16＝2ac，即ac＝8，
由三角形的面积公式得S ＝acsin B＝2，
△ABC
由25＝c2＋a2＋ac，
得(a＋c)2－ac＝25，a＋c＝，
所以△ABC的周长为3＋.
热点三 三角形的高线
1.h ，h ，h 分别为△ABC边a，b，c上的高，则
1 2 3h ∶h ∶h ＝∶∶＝∶∶.
1 2 3
2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度.
3.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关.
例3 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
解 法一 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，
所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin＝sin，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sin A>0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝3.
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C，得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得，tan A＝3>，所以，即C0，tan A＝，sin2A＋cos2A＝1，
所以sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角，
所以cos A＝，
所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)＝×＝.
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6.
规律方法 解决三角形的高线问题往往利用正、余弦定理求得三角形的某些边和
角来表示三角形的面积，然后解 S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝×边长×h，求
高h.
训练3 (2024·南京调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
＝sin Atan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且CH＝mCA＋nCB，求.
解 (1)△ABC中，＝sin Atan ，
由正弦定理和同角三角函数的商数关系，
得＝，由倍角公式得＝.
又因为A，C为△ABC的内角，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2＝，sin ＝，
则有＝，得C＝.
(2)法一 a＝8，b＝5，C＝，CA·CB＝|CA|·|CB|·cos C＝abcos C＝5×8×cos ＝
20，
所以CA2＝b2＝25，CB2＝a2＝64，
由题意知CH⊥AB，所以CH·AB＝0，
即(mCA＋nCB)·(CB－CA)＝(m－n)(CB·CA)－mCA2＋nCB2
＝20(m－n)－25m＋64n＝0.
所以5m＝44n，所以＝.
法二 △ABC 中，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋52－2×8×5×＝
49，所以c＝7.
又因为S ＝absin C＝c·CH，
△ABC所以CH＝＝＝.
所以AH＝＝，＝.
所以CH＝CA＋AH＝CA＋(CB－CA)
＝CA＋CB.
由平面向量基本定理知，m＝，n＝，
所以＝.
【精准强化练】
1.(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝2sin x·sin－.
(1)求f(x)在上的值域；
(2)已知锐角△ABC中，BC＝，BA·AC＝－3，且f(A)＝，求BC边上的中线AT的
长.
解 (1)f(x)＝2sin x·sin－
＝sin2x＋sin xcos x－
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
因为x∈，所以2x－∈，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)在上的值域为.
(2)记△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，因为△ABC为锐角三角形，
所以A∈，2A－∈，
又f(A)＝sin＝，
所以2A－＝，即A＝.
因为BA·AC＝－AB·AC＝－bccos ＝－3，所以bc＝6，
在△ABC中，由余弦定理得7＝b2＋c2－2bccos ，所以b2＋c2＝13，
因为AT为BC边上的中线，
所以AT＝(AB＋AC)，
所以AT2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)＝(c2＋b2＋bc)＝，
所以|AT|＝.
所以BC边上的中线AT的长为.
2.(2024·郑州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin C
＝ccos A，c＝2.
(1)求A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在
且唯一确定，求BC边上高线的长.
条件①：sin C＝；
条件②：b＝1＋；
条件③：a＝.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解 (1)因为asin C＝ccos A，
所以由正弦定理可得sin Asin C＝sin Ccos A，
又sin C≠0，所以sin A＝cos A，
即tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)若选条件①：sin C＝，
由正弦定理知＝＝2a，
可得sin C＝＝，
故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；
若选条件②：b＝1＋，
由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝(1＋)2＋22－2(1＋)×2×＝2，
即a＝，所以满足条件的三角形唯一.
设BC边上的高为h，
由等面积法可知S ＝bcsin A＝ah，
△ABC
即2×(1＋)×＝h，
解得h＝，
故BC边上高线的长为.若选条件③：a＝，
由正弦定理可得＝，即＝，
所以sin C＝，可得C＝或，有两解，不符合题意.
综上，应选条件②，BC边上高线的长为.
3.(2024·福州调研)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)求角A和角C之间的等式关系；
(2)若cos C<0，BD为∠CBA的角平分线，且BD＝2，△ABC的面积为，求c的
长.
解 (1)由＝得＝，
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
故＝，
即cos Bcos C－sin Bsin C＝－sin C，
cos(B＋C)＝－sin C，
由于cos(B＋C)＝－cos A，故cos A＝sin C，
则C＝－A或C＝＋A.
(2)由(1)C＝－A或C＝＋A，
因为cos C<0，得C＝＋A，B＝－2A，BD为∠CBA的角平分线，
故∠BDC＝＋A＝－A＋A＝，
故∠BDA＝，因为BD＝2，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，解得BA＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，解得BC＝，
由△ABC的面积为，
得××sin B＝，
因为B＝－2A，
所以××cos 2A＝，
解得tan 2A＝，
因为C＝＋A，故A∈，
所以A＝，所以c＝BA＝＝2，即c的长为2.
4.(2024·包头模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC上的一点，AB
＝AD，BC＝.
(1)若∠DBC＝60°，求∠ADB和DA；(2)若BD＝，证明：CD＝2DA.
(1)解 由∠DBC＝60°，∠ABC＝90°，
可得∠ABD＝30°.
因为AB＝AD，所以在△ADB中，
由正弦定理可得＝，
即sin ∠ADB＝sin ∠ABD＝，
则∠ADB＝120°或60°，
又因为∠DBC＝60°，故∠ADB＝120°，
因此∠BDC＝60°，又因为∠DBC＝60°，
所以△DBC是等边三角形，
所以DB＝DC＝BC＝，
又在△ADB中，∠ABD＝30°，∠ADB＝120°，
故∠BAD＝30°，所以DA＝DB＝.
(2)证明 令∠BDC＝θ，DA＝x，DC＝y，
因为AB＝AD，则AB＝x.
在△BDC与△BDA中，
由余弦定理可得消去cos θ，得＝，
整理得(y－2x)(xy＋2)＝0，
所以y＝2x，即CD＝2DA.
