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微专题 15 三角中的最值、范围问题
高考定位 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的
方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.
【真题体验】
(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
【热点突破】
热点一 三角函数式的最值或范围
求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，
接着利用三角函数的有界性或单调性求解.
例1 已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋.
(1)求f的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
易错提醒 求三角函数式的最值、范围问题要注意：
(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；
(2)根据所给自变量的范围正确地确定 ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调
性求三角函数式的范围.
训练1 (2024·吉林名校联考)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象经过A，B两点，
且f(x)在[－，－]上单调.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，求实数m的取值范围.
热点二 三角形中有关量的最值或范围三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定
理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.
(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成
函数形式.
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值.
考向1 三角形面积的最值或范围
例2 (2024·郴州模拟)已知向量a＝(sin x，1)，b＝(cos x，－2)，函数f(x)＝(a＋
b)·a.
(1)若a∥b，求cos 2x的值；
(2)已知△ABC为锐角三角形，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，b＝
2，且f(A)＝，求△ABC面积的取值范围.
考向2 与三角形周长或边长相关的最值或范围
例 3 (2024·湛江模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
acos(B－C)＋acos A－2csin Bcos A＝0.
(1)求A；
(2)若△ABC外接圆的直径为2，求2c－b的取值范围.
例4 (2024·北京石景山区模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且2bsin A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos C的取值范围.
易错提醒 求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，|b－c|<a<b＋c，三角形中
大边对大角等.
训练2 (2024·沧州模拟)在四边形ABCD中，△ABD为锐角三角形，对角线 AC
与BD相交于点O，AD＝2，AC＝4，BD＝，∠ABD＝.
(1)求AB；
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
【精准强化练】
1.(2024·合肥调研)已知函数f(x)＝2sin x·.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值，并求此时x的值.
2.(2024·广州模拟)在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，asin B－
bcos A＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝；
(2)求sin A＋sin C的取值范围.
4.(2024·自贡模拟)如图，在平面四边形 ABCD中，∠BAD＝，∠ADB＝，BC＝
2，CD＝3.设∠BCD＝θ.
(1)用θ表示四边形ABCD对角线AC的长；
(2)是否存在θ使四边形ABCD对角线AC最长，若存在求出cos θ及四边形对角
线AC最长的值，若不存在请说明理由.【解析版】
(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
解 (1)因为＝，
所以＝，
所以＝，
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
所以cos(A＋B)＝sin B，
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因为B∈，所以B＝.
(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，
所以sin＝sin B，
且0<A＋B<，
所以0<B<，0<－(A＋B)<，
所以－(A＋B)＝B，
解得A＝－2B，
由正弦定理得＝
＝＝＝＝
＝
＝4cos2B＋－5
≥2－5＝4－5，
当且仅当cos2B＝时取等号，
所以的最小值为4－5.
【热点突破】
热点一 三角函数式的最值或范围
求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，
接着利用三角函数的有界性或单调性求解.
例1 已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋.
(1)求f的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)因为f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
所以f＝2sin＝2sin ＝1.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin∈，
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取到最大值2；
当2x－＝－，
即x＝0时，f(x)取到最小值－.
易错提醒 求三角函数式的最值、范围问题要注意：
(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；
(2)根据所给自变量的范围正确地确定 ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调
性求三角函数式的范围.
训练1 (2024·吉林名校联考)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象经过A，B两点，
且f(x)在[－，－]上单调.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由题意可得T＝－＝π(k∈N)，
则T＝(k∈N)，
则ω＝2k＋1(k∈N).
因为f(x)在上单调，
所以－－≤，
又ω>1，所以1<ω≤4，所以ω＝3.
因为f(x)的图象经过点A，
所以2cos＝－2，
所以＋φ＝2tπ＋π(t∈Z)，所以φ＝2tπ＋(t∈Z).
因为|φ|<，所以φ＝.
故f(x)＝2cos.
(2)因为x∈，所以3x＋∈，
当3x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值，
最小值为f＝2cos＝－2.
因为对任意的x∈，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，
所以2m2－5m＋1≤－2，
所以2m2－5m＋3≤0，
即(2m－3)(m－1)≤0，解得1≤m≤.
所以实数m的取值范围为.
热点二 三角形中有关量的最值或范围
三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定
理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.
(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成
函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值.
考向1 三角形面积的最值或范围
例2 (2024·郴州模拟)已知向量a＝(sin x，1)，b＝(cos x，－2)，函数f(x)＝(a＋
b)·a.
(1)若a∥b，求cos 2x的值；
(2)已知△ABC为锐角三角形，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，b＝
2，且f(A)＝，求△ABC面积的取值范围.
解 (1)因为a∥b，所以cos x＝－2sin x，
则tan x＝－.
cos 2x＝cos2x－sin2x＝＝＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·a＝(sin x＋cos x)sin x＋(1－2)×1＝sin2x＋sin xcos x－1＝sin 2x－
cos 2x－＝sin－.
因为f(A)＝，
所以sin＝1，A∈，
得2A－＝，即A＝，
因为＝，所以c＝，
所以S ＝bcsin A＝
△ABC
＝＝＋，
由△ABC是锐角三角形，得解得<B<，则tan B>，
故<＋<2，
即△ABC面积的取值范围为.
考向2 与三角形周长或边长相关的最值或范围
例 3 (2024·湛江模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
acos(B－C)＋acos A－2csin Bcos A＝0.
(1)求A；
(2)若△ABC外接圆的直径为2，求2c－b的取值范围.
解 (1)由A＋B＋C＝π可得A＝π－(B＋C)，
所以cos A＝－cos(B＋C)，
所以acos(B－C)－acos(B＋C)
＝2csin Bcos A，
acos Bcos C＋asin Bsin C－acos Bcos C＋asin Bsin C＝2csin Bcos A，
整理可得asin Bsin C＝csin Bcos A，
由正弦定理可得
sin Asin Bsin C＝sin Csin Bcos A，
因为sin C≠0，sin B≠0，所以tan A＝，
而A∈(0，π)，所以A＝.
(2)设△ABC外接圆的半径为R，而圆的直径为2，所以2R＝2.由正弦定理可得＝＝2R＝2，A＝，
所以b＝2sin B，
c＝2sin C＝2sin，
故2c－b＝4sin －2sin B＝6cos B，
因为B∈，所以cos B∈，
所以2c－b∈(－3，6)，
所以2c－b的取值范围为(－3，6).
考向3 与三角形的角或三角函数值相关的最值或范围
例4 (2024·北京石景山区模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且2bsin A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos C的取值范围.
解 (1)因为2bsin A－a＝0，
由正弦定理得2sin Bsin A－sin A＝0，
所以(2sin B－)sin A＝0，
由于在△ABC中，sin A≠0，
所以2sin B－＝0，
即sin B＝，又0<B<，所以B＝.
(2)由(1)可知B＝，所以A＋C＝，所以cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A＋cos cos A＋sin sin A
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝sin，
由于在锐角△ABC中，
所以<A<，
所以<A＋<，
所以<sin≤1，
所以cos A＋cos C的取值范围是.
易错提醒 求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范
围可以利用余弦定理进行转化.
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，|b－c|<a<b＋c，三角形中
大边对大角等.
训练2 (2024·沧州模拟)在四边形ABCD中，△ABD为锐角三角形，对角线 AC
与BD相交于点O，AD＝2，AC＝4，BD＝，∠ABD＝.
(1)求AB；
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
解 (1)在△ABD中，由余弦定理的推论可得cos ＝＝，
化简为AB2－2AB＋2＝0，
解得AB＝＋1或－1，
当AB＝－1时，
因为cos∠BAD＝＝<0，
与△ABD为锐角三角形不符合，故AB＝＋1.
(2)作AE，CF垂直BD 于点E，F，
1
则S ＝S ＋S
▱ABCD △ABD △CBD
＝BD·AE＋BD·CF
＝BD(AOsin ∠AOB＋COsin ∠DOC)
＝BD·ACsin ∠AOB，
所以当sin ∠AOB＝1，即∠AOB＝90°，即AC⊥BD时，四边形面积最大，最大
面积为×4×＝2.
【精准强化练】
1.(2024·合肥调研)已知函数f(x)＝2sin x·.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值，并求此时x的值.
解 (1)f(x)＝2sin x·
＝2sin x＝3sin xcos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
因此，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当x∈时，2x－∈，
所以2x－＝，即x＝时，
函数f(x)在上取得最大值，为＋＝.
2.(2024·广州模拟)在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，asin B－
bcos A＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由正弦定理及题意得
sin Asin B－sin Bcos A＝sin B，
又sin B≠0，所以sin A－cos A＝1，
所以sin A－cos A＝，
即sin＝.
因为A∈(0，π)，所以A－∈，
所以A－＝，即A＝.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，
当且仅当b＝c时，等号成立，
所以S ＝bcsin A≤×4×＝，
△ABC
所以△ABC面积的最大值为.
3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝；
(2)求sin A＋sin C的取值范围.
(1)证明 由a＝btan A及正弦定理，
得＝＝，所以sin B＝cos A，
即sin B＝sin.
又B为钝角，
因此＋A∈，故B＝＋A，
即B－A＝.
(2)解 由(1)知，C＝π－(A＋B)
＝π－＝－2A>0，
所以A∈，
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－2＋.因为0<A<，
所以0<sin A<，
因此<－2＋≤.
由此可知sin A＋sin C的取值范围是.
4.(2024·自贡模拟)如图，在平面四边形 ABCD中，∠BAD＝，∠ADB＝，BC＝
2，CD＝3.设∠BCD＝θ.
(1)用θ表示四边形ABCD对角线AC的长；
(2)是否存在θ使四边形ABCD对角线AC最长，若存在求出cos θ及四边形对角
线AC最长的值，若不存在请说明理由.
解 (1)设∠BDC＝α，在△BCD中，
由正弦定理得＝，sin α＝，
由余弦定理得BD2＝4＋9－2×2×3×cos θ＝13－12cos θ，
在Rt△ABD中，∠BAD＝，
所以AD＝BD，
在△ACD中，由余弦定理得AC＝
所以AC＝
＝＝
＝
＝
＝.
(2)存在，理由如下：
由(1)得AC＝，
所以当θ－＝，θ＝时，
AC取得最大值为＝，
此时cos θ＝－.
