文档内容
微专题 19 数列的递推关系
高考定位 数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数
列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转
化为等差数列或等比数列求解，体现了化归思想在数列中的应用.
【真题体验】
1.(2021·浙江卷)已知数列{a }满足a ＝1，a ＝(n∈N*)，记数列{a }的前n项和
n 1 n＋1 n
为S ，则( )
n
A.0，a >0)型
n＋1 n
例6 在正项数列{a }中，a ＝1，a ＝2a，求数列{a }的通项公式.
n 1 n＋1 n
训练4 已知数列a ＝a＋3a ＋，a ＝2，则log (a ＋1)＝________.
n n－1 1 2 5
【精准强化练】
一、单选题
1.数列{a }中，a ＝2a ＋1，a ＝1，则a ＝( )
n n＋1 n 1 100
A.2100＋1 B.2101
C.2100－1 D.2100
2.已知数列{a }满足：a ＝a ＝2，a ＝3a ＋4a (n≥3)，则a ＋a ＝( )
n 1 2 n n－1 n－2 9 10
A.47 B.48
C.49 D.410
3.已知数列{a }满足a ＝1，a ＝，则满足a >的n的最大取值为( )
n 1 n＋1 n
A.7 B.8
C.9 D.104.设数列{a }的前n项和为S 若S ＝2a －2n＋1，则S ＝( )
n n, n n 10
A.211－23 B.210－19
C.3×210－23 D.3×29－19
5.在数列{a }中，a ＝3，a ＝2a －n＋2，若a >980，则n的最小值是( )
n 1 n n－1 n
A.8 B.9
C.10 D.11
6.已知数列{a }中，a ＝，a ＝a ＋a ·a ，则数列{a }的通项公式为( )
n 1 n＋1 n n n＋1 n
A. B.
C.－n D.
7.(2024·南昌段测)已知数列{a }满足a ＝3，a ＝a ＋2＋1，则a ＝( )
n 1 n＋1 n 10
A.80 B.100
C.120 D.143
8.(2024·西安统模)已知数列{a }满足a ＝2，a ＝6，且a －2a ＋a ＝2，若[x]
n 1 2 n＋2 n＋1 n
表示不超过x的最大整数(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，则＋＋…＋＝( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
二、多选题
9.已知数列{a }满足a ＝1，a －3a ＝2a ·a (n∈N*)，则下列结论正确的是(
n 1 n n＋1 n n＋1
)
A.为等比数列
B.{a }的通项公式为a ＝
n n
C.{a }为递增数列
n
D.的前n项和T ＝3n－n
n
10.(2024·烟台调研)已知数列{a }，{b }满足a ＝2，b ＝，a ＝b ＋，b ＝a
n n 1 1 n＋1 n n＋1 n
＋，n∈N*，则下列选项正确的有( )
A.＋＝4 B.＝
C.当n为奇数时，a ＝4b D.当n为偶数时，a ＝b
n n n n
11.(2024·郑州调研)设S 是数列{a }的前n项和，且a >0，a ＝，3a ＝
n n 1 2 n＋12S S ，则( )
n n＋1
A.a ＝ B.数列是公差为的等差数列
1
C.数列的前5项和最大 D.a ＝
n
三、填空题
12.已知数列{a }满足a ＝2a －n＋1，a ＝3，则a ＝________.
n n＋1 n 1 n
13.已知数列{a }满足：a ＝2，a ＝a ＋2n，则{a }的通项公式为________.
n 1 n＋1 n n
14.在正项数列{a }中，a ＝1，a ＝10，＝(n＝3，4，5，…).则{a }的通项a ＝
n 1 2 n n
________.
【解析版】
1.(2021·浙江卷)已知数列{a }满足a ＝1，a ＝(n∈N*)，记数列{a }的前n项和
n 1 n＋1 n
为S ，则( )
n
A.0，a ＝，
n 2
所以S >a ＋a ＝.
100 1 2
又＝＝＋＝－，
所以<，
即有<＋，
即－<，
由＝1，－<，…，－<，由累加法可得≤1＋＝，
所以≥，
所以a ＝≤＝a ，
n＋1 n
即≤，可得≤，…，≤，
由累乘法可得a ≤＝6(－)(当且仅当n＝1时取等号)，
n
所以S <6(－＋－＋－＋…＋－)＝6(－)<3，故选A.
100
2.(2019·上海卷)已知数列{a }的前 n 项和为 S ，且满足 S ＋a ＝2，则 S ＝
n n n n 5
________.
答案
解析 n＝1时，S ＋a ＝2，∴a ＝1.
1 1 1
n≥2时，由S ＋a ＝2得S ＋a ＝2，
n n n－1 n－1
两式相减得a ＝a (n≥2)，
n n－1
∴{a }是以1为首项，为公比的等比数列，
n
∴S ＝＝.
5
3.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a }满足a ＋(－1)na ＝3n－1，前16项和为540，则a
n n＋2 n 1
＝________.
答案 7
解析 因为a ＋(－1)na ＝3n－1，
n＋2 n
所以当n为偶数时，a ＋a ＝3n－1，
n＋2 n所以a ＋a ＝5，a ＋a ＝17，a ＋a ＝29，
4 2 8 6 12 10
a ＋a ＝41，
16 14
所以a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝92.
2 4 6 8 10 12 14 16
因为数列{a }的前16项和为540，
n
所以a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝540－92＝448.①
1 3 5 7 9 11 13 15
因为当n为奇数时，a －a ＝3n－1，
n＋2 n
可得a －a ＝3(n－2)－1，…，a －a ＝3×1－1，
n n－2 3 1
累加可得a －a ＝3－＝，
n 1
即a ＝＋a ，
n 1
所以a ＋a ＋…＋a ＝8a ＋(0＋8＋40＋96＋176＋280＋408＋560)＝448，
1 3 15 1
即8a ＝56，所以a ＝7.
1 1
4.(2022·北京卷)已知数列{a }的各项均为正数，其前 n项和S 满足a ·S ＝9(n＝
n n n n
1，2，…).给出下列四个结论：
①{a }的第2项小于3；②{a }为等比数列；
n n
③{a }为递减数列；④{a }中存在小于的项，
n n
其中所有正确结论的序号是________.
答案 ①③④
解析 由题意可知，∀n∈N*，a >0，
n
当n＝1时，a＝9，可得a ＝3；
1
当n≥2时，由S ＝，
n可得S ＝，
n－1
两式作差可得a ＝－，
n
所以＝－a ，则－a ＝3，
n 2
整理可得a＋3a －9＝0.
2
因为a >0，
2
所以解得a ＝<3，①正确；
2
假设数列{a }为等比数列，设其公比为q，
n
则a＝a a ，
1 3
即＝，所以S＝S S ，
1 3
可得a(1＋q)2＝a(1＋q＋q2)，
解得q＝0，不合题意，
故数列{a }不是等比数列，②错误；
n
当n≥2时，a ＝－＝>0，
n
可得a 90 000时，S >900，又a ≥，
n n所以a ·S >×900＝9，与a ·S ＝9矛盾，故④正确.
n n n n
【热点突破】
热点一 形如a ＝pa ＋f(n)型
n＋1 n
考向1 a ＝pa ＋q(p≠0，1，q≠0)
n＋1 n
例1 在数列{a }中，a ＝5，a ＝3a －4，则数列{a }的通项公式为________.
n 1 n＋1 n n
答案 a ＝3n＋2
n
解析 法一(构造法) 由a ＝3a －4，
n＋1 n
设a －λ＝3(a －λ)，
n＋1 n
即a ＝3a －2λ，故2λ＝4，λ＝2，
n＋1 n
则a －2＝3(a －2)，
n＋1 n
又a ＝5，所以{a －2}是以a －2＝3为首项，
1 n 1
3为公比的等比数列，
所以a －2＝3n，即a ＝3n＋2.
n n
法二(不动点法) 令3x－4＝x，解得不动点x＝2，
由a ＝3a －4，得a －2＝3(a －2)
n＋1 n n＋1 n
所以数列{a －2}是以a －2＝3为首项，
n 1
3为公比的等比数列，所以a －2＝3n，
n
即a ＝3n＋2.
n
考向2 a ＝pa ＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
n＋1 n
例2 已知数列{a }满足a ＝3a －4n－5，a ＝5，求数列{a }的通项公式.
n n＋1 n 1 n解 由a ＝3a －4n－5，
n＋1 n
设a ＋λ(n＋1)＝3(a ＋λn)＋m，
n＋1 n
即a ＝3a ＋2λn－λ＋m，
n＋1 n
故得
所以a －2(n＋1)＝3(a －2n)－7.
n＋1 n
令b ＝a －2n，则上式为b ＝3b －7.
n n n＋1 n
法一(构造法) 设b ＋k＝3(b ＋k)，
n＋1 n
即b ＝3b ＋2k，
n＋1 n
故2k＝－7，k＝－，
所以数列是首项为－，公比为3的等比数列，则b －＝－·3n－1，b ＝－·3n－1＋，
n n
故a ＝－·3n－1＋2n＋.
n
法二(不动点法) 令3x－7＝x，得x＝，
由b ＝3b －7得b －＝3，
n＋1 n n＋1
所以数列是首项为－，公比为3的等比数列，则b －＝－·3n－1，b ＝－·3n－1＋，
n n
故a ＝－·3n－1＋2n＋.
n
考向3 a ＝pa ＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
n＋1 n
例 3 (2024·兰州质测)在数列{a }中，a ＝－1，a ＝2a ＋4·3n－1，则 a ＝
n 1 n＋1 n n
________.
答案 4·3n－1－5·2n－1解析 法一 原递推式可化为
a ＋λ·3n＝2(a ＋λ·3n－1).
n＋1 n
比较系数得λ＝－4，
故a －4·3n＝2(a －4·3n－1)，
n＋1 n
则数列{a －4·3n－1}是首项为a －4·31－1＝－5，
n 1
公比为2的等比数列，
所以a －4·3n－1＝－5·2n－1，
n
即a ＝4·3n－1－5·2n－1.
n
法二 将a ＝2a ＋4·3n－1的两边同除以3n＋1，得＝·＋，
n＋1 n
令b ＝，则b ＝b ＋，
n n＋1 n
设b ＋k＝(b ＋k)，比较系数得k＝－，
n＋1 n
则＝，
∴是以－为首项，为公比的等比数列，
∴b －＝·，
n
则b ＝－·，
n
∴a ＝3n·b ＝4·3n－1－5·2n－1.
n n
规律方法 形如a ＝pa ＋f(n)的数列通项公式的求法
n＋1 n
(1)构造法：构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的
量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列.
(2)不动点法：①形如a ＝pa ＋q的数列求通项公式的步骤：a.由x＝px＋q求出
n＋1 n
数列{a }的不动点，b.在递推公式a ＝pa ＋q两端同时减去x，化简使其左、右
n n＋1 n
两侧结构一致，c.构造数列求通项.
②a ＝pa ＋f(n)可转化为b ＝pb ＋k的形式求解.
n＋1 n n＋1 n
训练1 (1)已知数列{a }中，a ＝1，a ＝3a ＋2，则a ＝________.
n 1 n＋1 n n
(2)已知数列{a }中，a ＝1，a ＝3a ＋3n，则a ＝________.
n 1 n＋1 n n
答案 (1)2×3n－1－1 (2)n·3n－1
解析 (1)因为a ＝3a ＋2，
n＋1 n
所以a ＋1＝3(a ＋1)，
n＋1 n
因为1＋a ＝2，所以数列{1＋a }是以2为首项，以3为公比的等比数列，
1 n
所以1＋a ＝2×3n－1，所以a ＝2×3n－1－1.
n n
(2)∵a ＝3a ＋3n，∴－＝，
n＋1 n
∴数列是等差数列，公差为，
又＝，∴＝＋(n－1)×＝，
∴a ＝n·3n－1.
n
热点二 形如a ＝pa ＋qa (a ＝a，a ＝b)型
n＋1 n n－1 1 2
例4 已知在数列{a }中，a ＝5，a ＝2，a ＝2a ＋3a (n≥3)，求这个数列的
n 1 2 n n－1 n－2
通项公式.
解 法一(构造法) ∵a ＝2a ＋3a ，
n n－1 n－2
∴a ＋a ＝3(a ＋a )，
n n－1 n－1 n－2
又a ＋a ＝7，
1 2∴{a ＋a }是首项为7，公比为3的等比数列，
n n－1
则a ＋a ＝7×3n－2，①
n n－1
又a －3a ＝－(a －3a )，a －3a ＝－13，
n n－1 n－1 n－2 2 1
∴{a －3a }是首项为－13，公比为－1的等比数列，
n n－1
则a －3a ＝(－13)·(－1)n－2，②
n n－1
①×3＋②得4a ＝7×3n－1＋13·(－1)n－1,
n
∴a ＝×3n－1＋(－1)n－1.
n
法二(特征根法) 数列{a }的特征方程为x2＝2x＋3，
n
解得x ＝－1，x ＝3.
1 2
令a ＝c ·(－1)n＋c ·3n，
n 1 2
由得
故a ＝－(－1)n＋·3n
n
＝·3n－1＋(－1)n－1.
规律方法 形如a ＝m ，a ＝m ，a ＝pa ＋qa (p，q是常数)的二阶递推数列
1 1 2 2 n＋2 n＋1 n
都可用特征根法求得通项a ，其特征方程为x2＝px＋q，①
n
若①有二异根α，β，则可令a ＝c αn＋c βn(c ，c 是待定常数)；
n 1 2 1 2
若①有二重根α＝β，则可令a ＝(c ＋nc )αn(c ，c 是待定常数).
n 1 2 1 2
再利用a ＝m ，a ＝m ，可求得c ，c ，进而求得a .
1 1 2 2 1 2 n
训练2 (1)在数列{a }中，a ＝8，a ＝2，且满足a ＝2a －a (n∈N*)，则数列
n 1 4 n＋2 n＋1 n
{a }的通项公式为________.
n
(2)在数列{a }中，a ＝1，a ＝3，a ＝3a －2a ，则a ＝________.
n 1 2 n＋2 n＋1 n n答案 (1)a ＝10－2n (2)2n－1
n
解析 (1)由题意知a －a ＝a －a ，
n＋2 n＋1 n＋1 n
所以{a }为等差数列.
n
设公差为d，由题意得2＝8＋3d，则d＝－2，
得a ＝8－2(n－1)＝10－2n.
n
(2)由题意知a －a ＝2(a －a )，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∵a －a ＝2，
2 1
∴{a －a }是首项为2，公比为2的等比数列，
n n－1
a －a ＝2n－1(n≥2)，
n n－1
当n≥2时，a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )＋a
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
显然n＝1时满足上式，∴a ＝2n－1.
n
热点三 形如a ＝型
n＋1
例5 (1)已知数列{a }中，a ＝1，a ＝，则a ＝________.
n 1 n＋1 n
(2)已知在数列{a }中，a ＝2，a ＝(n∈N*)，则a ＝________.
n 1 n＋1 n
答案 (1) (2)
解析 (1)∵a ＝，a ＝1，
n＋1 1
∴a ≠0，∴＝＋，即－＝.
n
又a ＝1，则＝1，
1
∴是以1为首项，为公差的等差数列.∴＝1＋(n－1)×＝＋，
∴a ＝.
n
(2)法一(构造法) ∵＝3·＋1，
∴＋＝3，＋＝1，
∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴＋＝3n－1，∴＝3n－1－，
∴a ＝.
n
法二(不动点法) 由方程＝x，
求出x ＝0，x ＝－2，
1 2
于是a －0＝－0＝，
n＋1
a ＋2＝＋2＝，
n＋1
两式相除得＝·，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
故＝·，解得a ＝.
n
规律方法 求形如a ＝通项公式的方法：
n＋1
(1)当q＝0时，可用构造法：两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b ＝
n＋1
pb ＋q型，求出b 的表达式，再求a .
n n n
(2)当q≠0时，可用不动点法：
①若只有一个动点x ，则是等差数列；
0
②若有两个不动点x ，x ，则是等比数列.
1 2训练3 (1)已知数列{a }的首项a ＝，a ＝，则{a }的通项公式为________.
n 1 n＋1 n
(2)(2024·武汉质检)在数列{a }中，若a ＝1，a ＝，则a ＝________.
n 1 n＋1 n
答案 (1)a ＝ (2)
n
解析 (1)因为a ＝，
n＋1
所以＝＋，－1＝＋－1＝，
所以是以－1＝为首项，为公比的等比数列，
所以－1＝，a ＝.
n
(2)取倒数得＝＋2，
即－＝2(n>1)，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以a ＝.
n
热点四 形如a ＝pa(p>0，a >0)型
n＋1 n
例6 在正项数列{a }中，a ＝1，a ＝2a，求数列{a }的通项公式.
n 1 n＋1 n
解 取以2为底的对数，得到
log a ＝log (2a)，log a ＝log 2＋2log a ，
2 n＋1 2 2 n＋1 2 2 n
log a ＝1＋2log a ，设b ＝log a ，
2 n＋1 2 n n 2 n
则有b ＝1＋2b ，则b ＋1＝2(b ＋1)，
n＋1 n n＋1 n
所以{b ＋1}是以b ＋1＝1为首项，2为公比的等比数列，
n 1
所以b ＋1＝2n－1，
n所以b ＝2n－1－1，log a ＝2n－1－1，a ＝22n－1－1.
n 2 n n
规律方法 若a ＝pa(p>0，a >0)，则构造＝q，最终求得通项.
n＋1 n
训练4 已知数列a ＝a＋3a ＋，a ＝2，则log (a ＋1)＝________.
n n－1 1 2 5
答案 31log 3－15
2
解析 由a ＝a＋3a ＋可得a ＋1＝(a ＋1)2，
n n－1 n n－1
∵a ＝2>0，根据递推公式可得出a >0，a >0，…，
1 2 3
进而可知，对任意的n∈N*，a >0，
n
在等式a ＋1＝(a ＋1)2两边取对数，
n n－1
令b ＝log (a ＋1)，则b >0，
n 2 n n
可得b ＝2b ＋log，
n n－1 2
则b ＋log＝2，
n 2
所以，数列是等比数列，
且首项为b ＋log＝log (a ＋1)＋log＝log，公比为2，
1 2 2 1 2 2
所以b ＋log＝24log＝16(2log 3－1)
5 2 2 2
＝32log 3－16，
2
即log (a ＋1)＝32log 3－16－log＝31log 3－15.
2 5 2 2 2
【精准强化练】
一、单选题
1.数列{a }中，a ＝2a ＋1，a ＝1，则a ＝( )
n n＋1 n 1 100
A.2100＋1 B.2101
C.2100－1 D.2100答案 C
解析 数列{a }中，a ＝2a ＋1，
n n＋1 n
故a ＋1＝2(a ＋1)，
n＋1 n
因为a ＝1，所以a ＋1＝2≠0，
1 1
所以{a ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
n
所以a ＋1＝2n，即a ＝2n－1，
n n
故a ＝2100－1.
100
2.已知数列{a }满足：a ＝a ＝2，a ＝3a ＋4a (n≥3)，则a ＋a ＝( )
n 1 2 n n－1 n－2 9 10
A.47 B.48
C.49 D.410
答案 C
解析 由题意a ＋a ＝4，
1 2
由a ＝3a ＋4a (n≥3)
n n－1 n－2
得a ＋a ＝4(a ＋a )，
n n－1 n－1 n－2
即＝4(n≥3)，
所以数列{a ＋a }是等比数列，公比为4，首项为4，所以a ＋a ＝49.
n n＋1 9 10
3.已知数列{a }满足a ＝1，a ＝，则满足a >的n的最大取值为( )
n 1 n＋1 n
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 C
解析 因为a ＝，所以＝4＋，
n＋1所以－＝4，
又＝1，数列是以1为首项，4为公差的等差数列，
所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，
所以a ＝，
n
由a >，即>，
n
即0<4n－3<37，解得980，则n的最小值是( )
n 1 n n－1 n
A.8 B.9
C.10 D.11
答案 C
解析 因为a ＝2a －n＋2，
n n－1
所以a －n＝2[a －(n－1)].
n n－1
因为a ＝3，所以a －1＝2，所以数列{a －n}是首项和公比都是2的等比数列，
1 1 n
则a －n＝2n，即a ＝2n＋n.
n n
因为a －a ＝2n－1＋1>0，
n n－1
所以数列{a }是递增数列.
n
因为a ＝521<980，a ＝1 034>980，所以满足a >980的n的最小值是10.
9 10 n
6.已知数列{a }中，a ＝，a ＝a ＋a ·a ，则数列{a }的通项公式为( )
n 1 n＋1 n n n＋1 n
A. B.
C.－n D.
答案 D
解析 由题意，可得a ＝a ＋a ·a ，
n＋1 n n n＋1
即－＝－1.
又＝，所以数列是以为首项，公差为－1的等差数列，
所以＝－(n－1)＝－n，所以a ＝.
n
7.(2024·南昌段测)已知数列{a }满足a ＝3，a ＝a ＋2＋1，则a ＝( )
n 1 n＋1 n 10
A.80 B.100
C.120 D.143
答案 C
解析 因为a ＝a ＋2＋1，
n＋1 n
所以a ＋1＝()2＋2＋1，
n＋1
即a ＋1＝(＋1)2，
n＋1
等式两边开方可得＝＋1，
即－＝1，
所以数列{}是首项为＝2，
公差为1的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以a ＝n2＋2n，
n
所以a ＝102＋20＝120.故选C.
10
8.(2024·西安统模)已知数列{a }满足a ＝2，a ＝6，且a －2a ＋a ＝2，若[x]
n 1 2 n＋2 n＋1 n
表示不超过x的最大整数(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，则＋＋…＋＝( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
答案 D解析 由题设，(a －a )－(a －a )＝2，a －a ＝4，
n＋2 n＋1 n＋1 n 2 1
故{a －a }是首项为4，公差为2的等差数列，则a －a ＝2n＋2，
n＋1 n n＋1 n
则(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )
n n－1 n－1 n－2 2 1
＝a －a ＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]
n 1
＝(n＋2)(n－1)(n≥2)，
所以a ＝n(n＋1)，故＝1＋.
n
又n∈N*，当n＝1时，＝2，
当n≥2时，＝1，
所以＋＋…＋＝2 025.
二、多选题
9.已知数列{a }满足a ＝1，a －3a ＝2a ·a (n∈N*)，则下列结论正确的是(
n 1 n n＋1 n n＋1
)
A.为等比数列
B.{a }的通项公式为a ＝
n n
C.{a }为递增数列
n
D.的前n项和T ＝3n－n
n
答案 AB
解析 因为a －3a ＝2a ·a ，
n n＋1 n n＋1
所以＋1＝3，
又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，
3为公比的等比数列，＋1＝2×3n－1，即a ＝.
n
所以{a }为递减数列，的前n项和
n
T ＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)
n
＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n
＝2×－n＝3n－n－1.
10.(2024·烟台调研)已知数列{a }，{b }满足a ＝2，b ＝，a ＝b ＋，b ＝a
n n 1 1 n＋1 n n＋1 n
＋，n∈N*，则下列选项正确的有( )
A.＋＝4 B.＝
C.当n为奇数时，a ＝4b D.当n为偶数时，a ＝b
n n n n
答案 BCD
解析 因为a ＝2，b ＝，a ＝b ＋，
1 1 n＋1 n
b ＝a ＋，
n＋1 n
所以a ＝b ＋＝1，b ＝a ＋＝4，
2 1 2 1
a ＝b ＋＝5，b ＝a ＋＝，
3 2 3 2
所以＋＝，故A错误；
＝＝＝，故B正确；
由B选项可知＝＝，
所以＝
故C，D正确.11.(2024·郑州调研)设S 是数列{a }的前n项和，且a >0，a ＝，3a ＝
n n 1 2 n＋1
2S S ，则( )
n n＋1
A.a ＝ B.数列是公差为的等差数列
1
C.数列的前5项和最大 D.a ＝
n
答案 AC
解析 ∵a >0，a ＝，3a ＝2S S ，
1 2 n＋1 n n＋1
∴3a ＝2a (a ＋a )，
2 1 1 2
∴a ＝或a ＝－(舍)，故选项A正确；
1 1
又3a ＝2S S ，
n＋1 n n＋1
∴3(S －S )＝2S S ，
n＋1 n n n＋1
∴－＝－，
∴数列是公差为－的等差数列，故选项B错误；
由＝＝3，得＝＋(n－1)·
＝3－＝，
∴>0，<0，
∴数列的前5项和最大，故选项C正确；
当n＝1时，
＝＝，
这与a ＝矛盾，故选项D错误.
1
三、填空题12.已知数列{a }满足a ＝2a －n＋1，a ＝3，则a ＝________.
n n＋1 n 1 n
答案 2n＋n
解析 ∵a ＝2a －n＋1，
n＋1 n
∴a －(n＋1)＝2(a －n)，
n＋1 n
∴＝2，
∴数列{a －n}是以a －1＝2为首项，2为公比的等比数列，
n 1
∴a －n＝2·2n－1＝2n，
n
∴a ＝2n＋n.
n
13.已知数列{a }满足：a ＝2，a ＝a ＋2n，则{a }的通项公式为________.
n 1 n＋1 n n
答案 a ＝2n
n
解析 由已知得a －a ＝2n，
n＋1 n
当n≥2时，a ＝a ＋(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )
n 1 2 1 3 2 n n－1
＝2＋2＋22＋…＋2n－1
＝2＋＝2n，
又a ＝2，也满足上式，故a ＝2n.
1 n
14.在正项数列{a }中，a ＝1，a ＝10，＝(n＝3，4，5，…).则{a }的通项a ＝
n 1 2 n n
________.
答案 102
解析 对＝两边同时取常用对数可得
lg a －lg a ＝(lg a －lg a ).
n n－1 n－1 n－2令b ＝lg a －lg a ，则b ＝lg a －lg a ＝1，b ＝b (n＝3，4，5，…)，
n n＋1 n 1 2 1 n－1 n－2
所以b ＝(n＝1，2，3，…)，
n
所以lg a －lg a ＝，
n＋1 n
故＝10，
由累乘法可得＝···…·＝10×10×10×…×10，
因为1＋＋＋…＋＝＝2，
故＝102，则a ＝102，
n
a ＝1，a ＝10均满足a ＝102，
1 2 n
因此，对任意的n∈N*，a ＝102.
n
