文档内容
第五章 二元一次方程组
5.1二元一次方程组的解法（代入消元）导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。
2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。
3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决
问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。
学习重点：用代入消元法解二元一次方程组。
学习难点：在解题过程中体会“消元”思想和“二元变一元”的“转化思想”。
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预习自测
知识链接
二元一次方程： 。
二元一次方程组： 。
二元一次方程的解： 。
二元一次方程组的解： 。
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教学过程
一、问题导入
小明和小颖课外参加植树活动，他们分别种了若干株绿植，小明比小颖多 2棵，如果小颖种植的给
小明1棵，那么小明种植的小颖种植的2倍，问小明小颖各种多少棵？
解：设小明种植的绿植x棵，小颖种植的绿植y棵，
x-y=2
x+1=2(y-1)
两个方程中x、y含义一样吗？【 】
能否用x表示y,或用y表示x 【x= y= 】
二、合作交流、新知探究
探究一：用代入消元法解二元一次方程组
x-y=2 ①
x+1=2(y-1) ②
1解法一：
解法二：
解：由①得 解y=：x-2由 ① 得 x = y +③2 ③
代入②中得 代x+入1=②2（ 中x得-2- y 1 + ） 2+1=2（y-1）
即 x + 1 = 2 x即-6
y+3=2y-2
解得x=7
解得y=5
把x=7代入③ 把 中 y= 得 5代y=入5 ③中得x=7
∴方程组 ∴x-方y=程2 组 的 解 x- 是 y= 2 x = 7的 解是 x=7
x + 1 = 2 ( y - 1 )
x + 1 = 2 (y - 1
y
)
= 5
y=5
验证：
小明种植的绿植7棵，小颖种植的绿植5棵
看小明比小颖是否多2棵
看小颖种植的给小明1棵，那么小明种植的是否是小颖种植的2倍。
三、典例精析
例题2： 2x+3y=16 ①
例1：解方程组
x+4y=13 ②
3x+2y=14 ①
解：由② ，得 x=13 - 4y ③
x=y+3 ②
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16
解：将②代入① ，得3（y+3）+2y=14
即 26 –8y +3y =16
即3y+9+2y=14
y=2
y=1
将y=2代入③ ，得 x=5。
将y=1代入②，得 x=4
所以原方程组的解是 x=5
所以原方程组的解是 x=4
Y=2
Y=1
2课堂总结：
1、代入消元法：将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个
方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入
消元法，简称代入法.
2、步骤：
（1）将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
（2）用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（3）把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
（4）写出方程组的解。
3、数学思想 二元 一元
转化
探究二：整体代入
解方程
x+y=8 解 方 程 ① ①
5x-2(x+y)=-1 2 （ x + 1 ）②—y=11 ②
解：把①代入解②：得① 5整x-理2×得8=x-+11=6y ③
解得x=3 把③代入②得 12y-y=11
把x=3代入①解，得求y得=1y=5
∴原方程的解把是y = 1x代=3入③，求得x=5
∴ 原 方y=程5的解是 x=5
y =1
3注意：当二元一次方程组中的系数或未知数的系数较为复杂时，可先将方程组整理成二元一次方
程组的标准形式
这里a ，b ，c ，a ，b ，c 是整数，x，y是未知数.
解方程
自己完成解答过程
四、课堂作业
基础达标：
1. 已知2x-y=3 ，用含 x 的式子表示y ，则 y= ．
2.已知2x-y=3,用含有y的式子表示x= ,
3. 用代入法解方程组 x+2y=7 ①
4x-y=1 ②
由②得 y= ----③,
把③代入①得： 解得; .
再把求得的X值代入③ 得 .
原方程的解: .
2x-5y=0 ①
4. 用代入法解方程组
3x+5y-1=0 ②
最简单的方法是( )
A.先将①变形为 再代入② B.先将①变形为y=x，再代入②
C.先将②变形为x=，再代入① D.先将①变形为5y=2x，再代入②
5.解下列方程组
（1） x -2 y = 1 ① （2 （2） y=2x-4 ①
4x+3y=26 ② 3x+y=1 ②
42x+3y=8 ①
6.用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步是 （ ）
3x-5y=5 ②
（1）由①得 ③ （2）把③代入②得 ；
（3）去分母得 24-9y-10y=5； (4)解之得y=1 ，再代入③得x=25 ．
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
能力提升：
x=1 x=2
7.若方程 mx+ny=6 的两个解是: , m= , n= .
y=1 y=-1
ax+5y=15 ①
8.甲、乙两人同时解方程组 时，
4x=by-2 ②
x=-3
甲看错了方程①中的a，解得 ，
y=-1
x=5
乙看错了方程②中的b，解得 .，
y=4
原方程组的正确的解是： .
拓展迁移：
3x-y=5
9. 已知关于x，y的二元一次方程组 与 2 x + 3 y = - 4 有相同的解.
2ax+3by=-2
ax-by=4
（1）求x，y的值；
(2)求 的值
5五、总结反思、拓展升华
1、用消元法解二元一次方程的步骤是什么？
变------代-------求-----写
2、数学思想：
二元转化成一元-----------转化思想
3、整体代入往往更简便
六、【作业布置】
基础达标：
y=1-x
1.用代入法解方程组 代入正确的是 ( )
x-2y=4
A.x-2-x=4 B. x-2-2x=4 C.x-2+2x=4 D. x-2-x=4
x+y=3
2.二元一次方程组 2 x = 4 的解是( )
x=3 x=1 x=5 x=2
A. y = 0 B. y = 2 C. y = - 2 D. y=1
3.解方程组；
2x-y=5 ①
3x+2y=14 ①
3x+4y=2 ②
x=y+3 ②
2a-b=3
4.已知一个等腰三角形的两边长a，b满足方程组 则此等腰三角形的周长为 .
a+b=3
5.某班20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有
x人，女生有y人，可列方程组为: .
6.若方程2x2a＋b－4＋4y3a－2b－3＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝ ，b＝ .
能力提升：
7. 已知关于x、y的方程组 x + y = 3 与方程组 x - y = 1 的解相同，求nm的值.
x-my=2 nx-y=2
68. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，C 为格点，点 B 为所在小正方形边长的中点．
（1）BC 的长为 ；
（2）若点 M 和 N 在边 BC 上，且∠BAM=∠MAN=∠NAC ，请在如图所示的网格中，用无
刻度的直尺作图，并简要说明点 M 和 N 的位置是如何找到的（不要求证明）
．
拓展迁移：
9.对于平面直角坐标系xoy 中的点p(a,b) ，若点 q 的坐标为(a+kb,ka+b) （其中k为常数，
k≠0 ）则称点 q为点P的“k属派生点”，例如：p(1,4) 的“2属派生点”为
q(1+2×4,2×1+4） ，即 q（9.6)
（1）点p(-2,3 ) 的“3属派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5属派生点”q的坐标为(3,-9) ，求点P的坐标.
.
课堂作业参考答案
1、 2x-3
2、
x=1
3、 4x-1； x+2(4x-1)=7； x=1； y=3; y=3
4、D
5、
（1）解：由①得：x=1+2y ③，
7把③代入②得，4(1+2y)+3y=26 ，
解得 y=2 ，
把 y=2 代入③得： x=1+2×2=5 ，
原方程组的解为： x=5
y=2
（2）解： 把①代入②得，3x+2x-4=1 ，
解得 x=1 ，
把 x=1代入①得： y=2×1-4=-2 ，
原方程组的解为： x=1
y=-2
6、C
7、4; 2.
x=14
8、 y=5.8
9、解（1）：联立不含a、b的两个方程得3x，-y=5
2x+3y=-4
解这个方程组得 x = 1 ，
y=-2
（2）解：把x=1,y=-2代入2ax+3by=-2,ax-by=4
得， 2a-6b=-2
a+2b=4
a=2
解得： ，
b=1
∴.
课外作业参考答案
1、C
2、D
3、（1）解：把②代入①得 3y+9+2y=14 （2）解：把①变形得y=2x-5 ③
解得y=1 把③代入②得 3x+8x-20=2
把y=1代入②，求得x=4 解得x=2
x=4
∴原方程的解是 把x=2代入③，求得y=-1
x=1
y=1
y=-2
∴原方程的解是 x=2
y=-1
4、5
X+y=20
3x+2y=52
85、
6、2; 1
7、[解析】把不含有m、n的两个二元一次方程组联立起来解方程，求出x、y,然后再代回含有m、n
的方程中，求出m、n的值.答案是
8、【解析】（1）BC是两条直角边分别是2，3.5的直角三角形的斜边，利用勾股定理可以求出；
答案是
（2）取格点 D，E，连接 AD，AE 交 BC 于点 M，N，点 M，N 即为所求。理由:延长AB交格
点于F,利用SSS证明△AFD≌△AED≌△AEC,根据全等三角形的对应角相等
即可证明。
9、解：（1）（7，-3）
（2）解：设点P的坐标为（a，b），
a=-2
由题意得 a + 5 b= 3 ，解得 ，
b=1
5a+b=-9
∴点P的坐标为（-2，1）
9
