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微专题 18 等差数列与等比数列
高考定位 1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题
形式出现； 2.数列的通项也是高考热点，难度中档以下.
【真题体验】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)记S 为等比数列{a }的前n项和，若S ＝－5，S ＝21S ，则
n n 4 6 2
S ＝( )
8
A.120 B.85
C.－85 D.－120
2.(2024·全国甲卷)记S 为等差数列{a }的前n项和，已知S ＝S ，a ＝1，则a ＝
n n 5 10 5 1
( )
A. B.
C.－ D.－
3.(2024·新高考Ⅱ卷)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a ＋a ＝7，3a ＋a ＝5，
n n 3 4 2 5
则S ＝________.
10
4.(2021·全国甲卷)已知数列{a }的各项为正数，记S 为{a }的前n项和，从下面
n n n
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{a }是等差数列；②数列{}是等差数列；③a ＝3a .
n 2 1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【热点突破】
热点一 等差、等比数列的基本运算
1.等差数列的通项公式：a ＝a ＋(n－1)d.
n 1
2.等比数列的通项公式：a ＝a ·qn－1.
n 1
3.等差数列的前n项和公式：S ＝＝na ＋d.
n 1
4.等比数列的前n项和公式：
S ＝
n
例 1 (1)(2024·北京海淀区模拟)已知{a }为等差数列，S 为其前 n 项和.若 a ＝
n n 1
2a ，公差d≠0，S ＝0，则m的值为( )
2 m
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)(2024·宁波调研)公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖
论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面 1 000米处开始与阿基里斯赛跑，并
且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10倍.比赛开始后，当阿基里斯跑了 1 000米时，
此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；
当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米，……，所以阿基里斯永远追
不上乌龟.按照这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为 0.1米时，乌龟爬行
的总距离为________米.
训练1 (1)(2024·枣庄模拟)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今
有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐
减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700里路，则该马第五
天行走的里程数约为( )
A.2.76 B.5.51
C.11.02 D.22.05
(2)(2024·厦门调研)等差数列{a }，{b }的前n项和分别为S ，T ，＝，a ＝2，则
n n n n 1
{b }的公差为________.
n
热点二 等差、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有a
m＋a ＝a ＋a ＝2a ，对于等比数列，有a a ＝a a ＝a.
n p q k m n p q
2.前n项和的性质(m，n∈N*)：
对于等差数列有S ，S －S ，S －S ，…成等差数列；对于等比数列有S ，S
m 2m m 3m 2m m 2m
－S ，S －S ，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).
m 3m 2m
例2 (1)(多选)设S 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a }的前n项和，则下列命
n n
题正确的是( )
A.若d<0，则S 是数列{S }的最大项
1 n
B.若数列{S }有最小项，则d>0
n
C.若数列{S }是递减数列，则对任意的n∈N*，均有S <0
n n
D.若对任意的n∈N*，均有S >0，则数列{S }是递增数列
n n
(2)(2024·合肥质检)已知等比数列{a }的首项为 1，且 a ＋a ＝2(a ＋a )，则
n 6 4 3 1
a a a …a ＝________.
1 2 3 7
训练 2 (1)(2024·咸阳模拟)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ，若 S ＝2，S ＝
n n 4 8
12，则S ＝( )
20
A.30 B.58
C.60 D.90
(2)(多选)(2024·苏州模拟)设等比数列{a }的公比为q，其前n项和为S ，前n项
n n
积为T ，并且满足条件a >1，a a >1，<0，则下列结论正确的是( )
n 1 6 7
A.q>1 B.00
n
C.若数列{S }是递减数列，则对任意的n∈N*，均有S <0
n n
D.若对任意的n∈N*，均有S >0，则数列{S }是递增数列
n n
(2)(2024·合肥质检)已知等比数列{a }的首项为 1，且 a ＋a ＝2(a ＋a )，则
n 6 4 3 1
a a a …a ＝________.
1 2 3 7
答案 (1)BD (2)128
解析 (1)对于A，取数列{a }为首项为4，公差为－2的等差数列，S ＝40，B正确；
对于C，取数列{a }为首项为1，公差为－2的等差数列，S ＝－n2＋2n，
n n
S －S ＝－(n＋1)2＋2(n＋1)－(－n2＋2n)＝－2n＋1<0，
n＋1 n
即S 0，故C错误；
n＋1 n n 1
对于D，若数列{S }是递减数列，
n
则a ＝S －S <0(n≥2)，
n n n－1
一定存在实数k，当n>k时，之后所有项都为负数，不能保证对任意 n∈N*，均
有S >0.
n故若对任意n∈N*，均有S >0，则数列{S }是递增数列，故D正确.
n n
(2)设等比数列{a }的公比为q，因为a ＋a ＝2(a ＋a )，所以q3＝＝2，所以a ＝
n 6 4 3 1 4
a ·q3＝2.由等比数列的性质得a a a …a ＝a＝27＝128.
1 1 2 3 7
规律方法 等差、等比数列性质问题的求解
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，
选择恰当的性质进行求解.
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性
等，可利用函数的性质解题.
训练 2 (1)(2024·咸阳模拟)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ，若 S ＝2，S ＝
n n 4 8
12，则S ＝( )
20
A.30 B.58
C.60 D.90
(2)(多选)(2024·苏州模拟)设等比数列{a }的公比为q，其前n项和为S ，前n项
n n
积为T ，并且满足条件a >1，a a >1，<0，则下列结论正确的是( )
n 1 6 7
A.q>1 B.01，a a >1，<0，可得a >1，00，a >a >…>a ，
n 1 1 2 n
即{a }是递减的正项数列，A错误；
n
∴00，即S >S 对任意的n∈N*都成立，C错误；
n n－1 n n n－1
∵当n≥7时，a <1；当1≤n≤6时，a >1，
n n
∴T 是T 的最大值，D正确.
6 n
热点三 等差、等比数列的证明
等差数列 等比数列
定义法 a －a ＝d ＝q(q≠0)
n＋1 n
通项法 a ＝a ＋(n－1)d a ＝a ·qn－1
n 1 n 1
中项法 2a ＝a ＋a (n≥2) a＝a a (n≥2，a ≠0)
n n－1 n＋1 n－1 n＋1 n
前n项和法 S ＝an2＋bn(a，b为常数) S ＝kqn－k(k≠0，q≠0，1)
n n
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2024·济南模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝且S ＝2a －3，令b
n n 1 n n＋1 n
＝.
(1)求证：{a }为等比数列；
n
(2)求使b 取得最大值时的n的值.
n
(1)证明 由S ＝2a －3，可得n≥2时，
n n＋1
a ＝S －S ＝2a －2a
n n n－1 n＋1 n
即n≥2，a ＝a ，
n＋1 n
又因为a ＝，所以a ＝，＝，
1 2综上，n≥1，＝，
所以{a }为首项和公比均为的等比数列.
n
(2)解 由(1)可得a ＝，
n
所以b ＝(n2＋n)，
n
n≥2时，＝＝，
令>1，
可得2≤n<5(或令<1，可得n>5)，
可知b b >b >…，
1 2 3 4 5 6 7
综上，n＝4或n＝5时，b 取得最大值.
n
规律方法 1.a＝a a (n≥2)是{a }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断
n－1 n＋1 n
一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
2.{a }为等比数列，可推出a ，a ，a 成等比数列，但a ，a ，a 成等比数列并不
n 1 2 3 1 2 3
能说明{a }为等比数列.
n
3.证明{a }不是等比数列可用特值法.
n
训练3 设S 为数列{a }的前n项和，b 为数列{S }的前n项积，已知＋＝2.
n n n n
(1)证明：数列{b }是等差数列；
n
(2)求{a }的通项公式.
n
(1)证明 因为b 是数列{S }的前n项积，
n n
所以n≥2时，S ＝，
n
代入＋＝2可得＋＝2，
整理可得2b ＋1＝2b ，
n－1 n即b －b ＝(n≥2).
n n－1
又＋＝＝2，所以b ＝，
1
故{b }是以为首项，为公差的等差数列.
n
(2)解 由(1)可知，b ＝＋(n－1)＝，则＋＝2，
n
所以S ＝，
n
当n＝1时，a ＝S ＝，
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝－＝－.
n n n－1
故a ＝
n
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·全国甲卷)已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝1，则a ＋a ＝(
n n 9 3 7
)
A.－2 B.
C.1 D.
答案 D
解析 法一 设等差数列{a }的公差为d，
n
由S ＝9a ＋d＝9(a ＋4d)＝1，
9 1 1
得a ＋4d＝，
1
则a ＋a ＝a ＋2d＋a ＋6d＝2a ＋8d＝2(a ＋4d)＝，故选D.
3 7 1 1 1 1
法二 因为{a }为等差数列，
n所以S ＝＝9a ＝1，得a ＝，
9 5 5
则a ＋a ＝2a ＝，故选D.
3 7 5
2.(2024·许昌模拟)已知等差数列{a }的前n项和为S .若a ＋a ＝1，则S ＝(
n n 15 2 010 2 024
)
A.1 012 B.1 013
C.2 024 D.2 025
答案 A
解析 由等差数列的性质可得a ＋a ＝a ＋a =1，
15 2 010 1 2 024
所以S ＝＝＝1 012.
2 024
3.(2024·长沙模拟)等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝10，S ＝30，则S ＝(
n n 10 20 40
)
A.60 B.70
C.80 D.150
答案 D
解析 由题意得q≠－1，且{a }是等比数列，
n
所以S ，S －S ，S －S ，S －S 成等比数列，
10 20 10 30 20 40 30
又因为S ＝10，S ＝30，S －S ＝20，
10 20 20 10
则S －S ＝40，S －S ＝80，
30 20 40 30
所以S ＝70，S ＝150.故选D.
30 40
4.(2024·南充二模)在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子
在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用
竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a ，
1
a ，…，a (单位：L)依次成等差数列，若 a ＋a ＋a ＝3.6，a ＝0.4，则a ＋a
2 9 1 2 3 8 1 2
＋…＋a ＝( )
9
A.5.4 B.6.3
C.7.2 D.13.5
答案 C
解析 ∵{a }为等差数列，
n
∴a ＋a ＋a ＝3a ＝3.6，故a ＝1.2，
1 2 3 2 2
∴a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a )＝(a ＋a )＝×(1.2＋0.4)＝7.2.
1 2 9 1 9 2 8
5.(2024·宿迁模拟)设S 是等比数列{a }的前n项和，若S ，S ，S 成等差数列，a
n n 3 9 6 1
＝－2，则a 的值为( )
7
A.－2 B.－
C. D.1
答案 B
解析 当q＝1时，由2S ＝S ＋S ，得18a ＝3a ＋6a ＝9a ，解得a ＝0，矛盾，
9 3 6 1 1 1 1 1
所以q≠1；
当q≠1时，则2S ＝S ＋S ，
9 3 6
即(1－q9)＝(1－q3)＋(1－q6)，
整理得q3(q3－1)(2q3＋1)＝0，解得q3＝－，
∴a ＝a q6＝－2×＝－.
7 1
6.(2024·青岛模拟)记正项等差数列{a }的前n项和为S ，S ＝100，则a ·a 的最
n n 20 10 11
大值为( )A.9 B.16
C.25 D.50
答案 C
解析 ∵S ＝×20＝100，
20
∴a ＋a ＝10，
1 20
∴a ＋a ＝a ＋a ＝10.
10 11 1 20
又∵a >0，a >0，
10 11
∴a ·a ≤＝＝25，
10 11
当且仅当a ＝a ＝5时，取“＝”.
10 11
∴a ·a 的最大值为25.
10 11
7.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列 A＝{a ，
1
a ，a ，…}重新编辑，编辑新序列为A*＝，它的第n项为，若序列(A*)*的所有项
2 3
都是2，且a ＝1，a ＝32，则a ＝( )
4 5 1
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设＝t，由题意得A*＝{t，2t，22t，…}，
则A*的第n项为＝2n－1t，
则n≥2时，a ＝···…··a
n 1
＝t·2t·22t·…·2n－2t·a
1
＝2tn－1·a .
1因为a ＝1，a ＝32，
4 5
所以23t3·a ＝1，26t4·a ＝32，
1 1
解得t＝4，a ＝.
1
二、多选题
8.(2024·广州调研)已知{a }是各项均为正数的等比数列，其前 n 项和为 S ，且
n n
{S }是等差数列，则下列结论正确的是( )
n
A.{a ＋S }是等差数列 B.{a ·S }是等比数列
n n n n
C.{a}是等差数列 D.是等比数列
答案 ACD
解析 由{S }是等差数列，可得2S ＝S ＋S ，
n 2 1 3
即2(a ＋a )＝a ＋a ＋a ＋a ，∴a ＝a ，
1 2 1 1 2 3 2 3
设{a }的公比为q.
n
∵{a }是各项均为正数的等比数列，
n
∴a ＝a q，可得q＝1，∴a ＝a >0，
3 2 n 1
∴a ＋S ＝(n＋1)a ，数列{a ＋S }是等差数列，因此A正确；
n n 1 n n
∵a＝a，∴{a}是常数列，为等差数列，因此C正确；
∵＝a >0，
1
∴是等比数列，因此D正确；
∵a S ＝na，∴{a ·S }不是等比数列，因此B不正确.
n n n n
9.(2024·大连模拟)已知递增等比数列{a }的公比为q，且满足a＋3a ＝a ，下列情
n 4 5况可能正确的是( )
A.q＝2 B.q＝
C.a ＝－1 D.a ＝2 024
4 4
答案 BCD
解析 原数列递增等价于a >0，q>1或a <0，00，q>1或q3－3q2<0，03或03或03时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0f(3)＝0，或f(1)＝－20.
4 4 4
所以A错误，B正确，C正确，D正确.
三、填空题
10.(2024·唐山模拟)设 S 为等比数列{a }的前 n 项和，a ＝，a＝a ，则 S ＝
n n 1 6 3
________.
答案解析 设等比数列{a }的公比为q，
n
由a＝a ，得(a q2)2＝a q5，
6 1 1
则q＝a ＝，
1
由等比数列求和公式可知S ＝＝.
3
11.(2024·淮北模拟)正项等差数列{a }的前n项和为S ，若，a ＋2，S 成等比数
n n 1 13
列，则的最小值为________.
答案
解析 设{a }的公差为d，则×S ＝a ＝(a ＋2)2 a ＋6d＝(a ＋2)2 6d＝a＋3a ＋
n 13 7 1 1 1 1
⇒ ⇒
4，而a >0，＝＝7＋＝7＋a ＋＋≥＋2＝，当且仅当a ＝2时取得等号.
n 1 1
12.设等比数列{a }的前 n 项和为 S .若 a a ＝2a，且 S －S ＝λS ，则 λ＝
n n 2 10 4 12 8
________.
答案 －2
解析 设等比数列{a }的公比为q，
n
由题意可知q≠1.
因为a a ＝2a，所以aq10＝2aq6，得q4＝2.
2 10
因为S －S ＝λS ，
4 12 8
所以－＝，
所以1－q4－(1－q12)＝λ(1－q8)，
所以q12－q4＝λ(1－q8)，(q4)3－q4＝λ[1－(q4)2]，
所以8－2＝－3λ，解得λ＝－2.
四、解答题
13.(2024·全国甲卷)已知等比数列{a }的前n项和为S ，且2S ＝3a －3.
n n n n＋1
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求数列{S }的前n项和.
n
解 (1)因为2S ＝3a －3，
n n＋1
所以2S ＝3a －3，
n＋1 n＋2
两式相减可得2a ＝3a －3a ，
n＋1 n＋2 n＋1
即a ＝a ，所以等比数列{a }的公比为.
n＋2 n＋1 n
因为2S ＝3a －3＝5a －3，
1 2 1
所以a ＝1，故a ＝.
1 n
(2)因为2S ＝3a －3，
n n＋1
所以S ＝(a －1)＝，
n n＋1
设数列{S }的前n项和为T ，
n n
则T ＝×－n＝×－n－.
n
14.(2024·杭州调研)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，
则称这个数列为“G型数列”.
(1)若数列{a }满足2a ＝S ＋1，判断{a }是否为“G型数列”，并说明理由；
n n n n
(2)已知正项数列{a }为“G型数列”，a ＝1，数列{b }满足b ＝a ＋2，n∈N*，
n 1 n n n{b }是等比数列，公比为正整数，且不是“G型数列”，求数列{a }的通项公式.
n n
解 (1)易知当n＝1时，可得2a ＝S ＋1＝a ＋1，即a ＝1；
1 1 1 1
而当n＝2时，2a ＝S ＋1＝a ＋a ＋1，
2 2 1 2
可得a ＝2；
2
此时＝＝2<3，不满足“G型数列”定义，猜想：数列{a }不是“G型数列”，
n
证明如下：
由2a ＝S ＋1可得，
n n
当n≥2时，2a ＝S ＋1，
n－1 n－1
两式相减可得2a －2a ＝S －S ＝a ，可得a ＝2a ，
n n－1 n n－1 n n n－1
此时从第二项起，每一项与它前一项的比为＝2<3，因此{a }不是“G型数列”.
n
(2)设数列{b }的公比为q，易知q∈N*，
n
又因为数列{b }不是“G型数列”，可得q≤3，
n
可得＝＝q，
即得a ＝qa ＋2q－2；
n＋1 n
又数列{a }为“G型数列”，
n
可得＝q＋>3；
易知“G型数列”为递增数列，因此当 n趋近于正无穷大时，q＋趋近于q，即
可得q≥3；综上可得q＝3，即a ＝3a ＋4，
n＋1 n
可得a ＋2＝3(a ＋2)，
n＋1 n
所以数列{a ＋2}是以a ＋2＝3为首项，公比为3的等比数列，
n 1
即可得a ＋2＝3×3n－1＝3n，可得a ＝3n－2，
n n
所以数列{a }的通项公式为a ＝3n－2.
n n
