文档内容
高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的
定义域、最值与值域、奇偶性和单调性； 2.利用函数的性质推断函数的图象；
3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强．
【真题体验】
1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
2.(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致
为( )
3.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A.(－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，1] D.[0，＋∞)
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数 f(x)的定义域为 R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，
f(1)＝1，则∑f(k)＝( )
A.－3 B.－2
C.0 D.1
【热点突破】
热点一 函数的概念与表示
1.复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为
f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义
域.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并
集.
例1 (1)(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的
定义域是( )
A.[－2，5] B.(－2，3]
C.[－1，3] D.(－2，5]
(2)已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.[－2，0)∪(0，2]
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2)
训练1 (1)(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝则f＝( )
A. B.
C. D.2
(2)19世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝它在现代数学的
发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值
域的是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
热点二 函数的性质
1.函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.
3.函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，
b)对称.
考向1 奇偶性与单调性
例2 (多选)(2024·河南名校大联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义
在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则( )
A.f[f(1)]0的解集为( )
A.(－2，－1) B.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
(2)(多选)(2024·茂名模拟)已知函数f(x)对于∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为
奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
B.f(x)是周期为2的函数
C.f(－1)＝0
D.f＝
热点三 函数的图象
1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有
平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性、解不等式、求解函数的零点等
问题.
例4 (1)(2024·运城模拟)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(x)·ln(x＋)的图象
大致为( )(2)(多选)已知函数f(x)＝若x 2f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·哈尔滨质检)已知函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则函数y＝f(2x－1)的
定义域是( )
A.[－5，5] B.
C.[－2，3] D.
2.(2024·河南适应性考试)已知函数f(x)＝且f(m)＝－2，则f(m＋6)＝( )
A.－16 B.16
C.26 D.27
3.(2024·湛江模拟)已知函数f(x)＝·cos x是偶函数，则实数a＝( )
A.1 B.－1C.2 D.－2
4.(2024·晋城模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足∀x，y∈(0，＋∞)，f(x
＋y)＝f(x)＋f(y)＋－，f(x)>0，且f(1)·f(2)＝5，则f(1)＝( )
A.1 B.2
C. D.
5.(2024·济南质检)若实数m满足log (－m)f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3
时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是( )
A.f(10)>100 B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000
3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，
显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000，故选B.
8.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：
①当－1≤x≤0时，f(x)＝2x－ex＋；
②y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；
③ x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x).
则f，f，f的大小关系是( )
∀
A.f>f>f B.f>f>f
C.f>f>f D.f>f>f
二、多选题
9.(2024·长沙模拟)下列函数中是奇函数的是( )A.y＝ex－e－x B.y＝x3－x2
C.y＝tan 2x D.y＝log
2
10.(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为 R，且f(x)－x与
g(1－2x)均为偶函数，则下列说法一定正确的有( )
A.f(x)关于x＝1对称 B.关于点(0，1)对称
C.g(x＋2)＋g(x)＝2 D.f(0)＝1
11.(2024·泰安调研)已知函数f(x)＝令g(x)＝f(x)－m，则( )
A.m<0或m>1时，g(x)有1个零点
B.若g(x)有2个零点，则m＝0或m＝1
C.f(x)的值域是(－2，＋∞)
D.若g(x)有3个零点，x ，x ，x ，且x f(2x)成立的 x 的取值范围是
________.
13.(2024·深圳测试)设a∈R，函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，
f(x)＝a(x－1)＋1.若y＝f(x)是R上的增函数，则a的取值范围为________.
14.设f(x)＝则f(f(－ln 2))＝________；当x∈(－∞，m]时，f(x)的值域为，则m的
取值范围是________.
【解析版】
1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
答案 B
解析 法一 对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；
对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；
对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；
对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数.故选B.
法二 易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正.
对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；
对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，
所以f(x)是偶函数；
对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)是非奇非偶函数；
对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，
所以f(x)是奇函数，故选B.
2.(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致
为( )
答案 B
解析 由题知函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－
ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；
f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋－>0，排除D.故选B.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A.(－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，1] D.[0，＋∞)
答案 B
解析 因为函数f(x)在R上单调递增，
且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，
所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；
当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.
若函数f(x)在R上单调递增，
则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.
综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B.
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数 f(x)的定义域为 R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，
f(1)＝1，则∑f(k)＝( )
A.－3 B.－2
C.0 D.1
答案 A
解析 因为f(1)＝1，
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，
故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
由①式得f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
所以f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，
f(3)＝f(2)－f(1)＝－2，
f(4)＝f(3)－f(2)＝－1，
f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知，∑f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.
【热点突破】
热点一 函数的概念与表示
1.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为
f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义
域.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并
集.
例1 (1)(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的
定义域是( )
A.[－2，5] B.(－2，3]
C.[－1，3] D.(－2，5]
(2)已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.[－2，0)∪(0，2]
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2)
答案 (1)D (2)D
解析 (1)因为函数 y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－
5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].
要使y＝有意义，则需要
解得－20，
若a>0，则f(a)－f(－a)>0，
即a＋1－[－2×(－a)－1]>0，解得a<2，
所以0－2，
所以－2g[f(2)]，g[g(1)]0的解集为( )
A.(－2，－1) B.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
(2)(多选)(2024·茂名模拟)已知函数f(x)对于∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为
奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
B.f(x)是周期为2的函数
C.f(－1)＝0
D.f＝
答案 (1)D (2)ACD
解析 (1)因为f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以结合对称性可得
f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(－1)＝f(1)＝0，若f(2x－3)>0，则2x－3>1或2x
－3<－1，故x>2或x<1，故选D.
(2)由题意f(x＋1)为奇函数得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，
故f(x)的图象关于(1，0)中心对称，故A正确；
由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得
f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的函数，故B错误；
由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
令x＝0，则f(1)＝－f(1)，因为f(1)＝0，
故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；
x∈[0，1)时，f(x)＝x2,
因为f(x)的周期为4，对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，
所以f＝f＝f＝，故D正确.
热点三 函数的图象
1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有
平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性、解不等式、求解函数的零点等
问题.
例4 (1)(2024·运城模拟)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(x)·ln(x＋)的图象
大致为( )
(2)(多选)已知函数f(x)＝若x 0，排除C，故选D.
(2)函数f(x)＝的图象如图所示，
设f(x )＝f(x )＝f(x )＝f(x )＝t，则02f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________.
答案 (1)A (2)(－∞，－3)∪(－3，0)
解析 (1)由f(x)关于y轴对称得f(－x)，再向右平移1个单位，得f(－x＋1)，最
后横坐标伸长2倍得f，即得图②所示的函数.
(2)依题意知，f(0)＝0，
当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0，
由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，
由此画出f(x)的可能图象如图所示，
由图可知，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(－3，0).
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·哈尔滨质检)已知函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则函数y＝f(2x－1)的
定义域是( )
A.[－5，5] B.
C.[－2，3] D.
答案 B
解析 函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，
则－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2，
所以函数y＝f(2x－1)的定义域是.
故选B.2.(2024·河南适应性考试)已知函数f(x)＝且f(m)＝－2，则f(m＋6)＝( )
A.－16 B.16
C.26 D.27
答案 C
解析 若m≥1，则f(m)＝3m＋1－1＝－2，
所以3m＋1＝－1，无解；
若m<1，则f(m)＝－log (m＋5)－2＝－2，
3
所以log (m＋5)＝0，所以m＝－4，
3
所以f(m＋6)＝f(2)＝32＋1－1＝26，故选C.
3.(2024·湛江模拟)已知函数f(x)＝·cos x是偶函数，则实数a＝( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
答案 B
解析 ∵f(－x)＝cos(－x)＝cos x，f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，则－a＝1，解得a＝－1.
4.(2024·晋城模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足∀x，y∈(0，＋∞)，f(x
＋y)＝f(x)＋f(y)＋－，f(x)>0，且f(1)·f(2)＝5，则f(1)＝( )
A.1 B.2
C. D.
答案 B
解析 令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)＋－2，
即f(2)－2f(1)＝－，①
又f(1)·f(2)＝5，②
联立①②解得f(1)＝2或f(1)＝－，
又f(x)>0，所以f(1)＝2.
5.(2024·济南质检)若实数m满足log (－m)2lg 2>0，排除A，故选D.
7.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3
时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是( )
A.f(10)>100 B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000
答案 B
解析 因为当x<3时，f(x)＝x，
所以f(1)＝1，f(2)＝2.
对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，
令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；
令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；
令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；
不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，
显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000，故选B.
8.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：
①当－1≤x≤0时，f(x)＝2x－ex＋；
②y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；
③ x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x).
则f，f，f的大小关系是( )
∀
A.f>f>f B.f>f>f
C.f>f>f D.f>f>f
答案 A
解析 因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，则f(1＋x)＝f(1－x)，
故f(2－x)＝f(1－(x－1))＝f(x－1＋1)＝f(x)，
f(2＋x)＝f(1＋(x＋1))＝f(1－(x＋1))＝f(－x).
又因为∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)＝f(－x)，即函数f(x)为偶函数.
所以f＝f＝f＝f，
f＝f＝f＝f＝f，f＝f.
因为当－1≤x≤0时，f(x)＝2x－ex＋，
f′(x)＝2－≤2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立，故f′(x)≤0，
又f′(x)不恒为零 ，故函数f(x)在[－1，0]上单调递减.
因为－1<－<－<－<0，
则ff>f.
二、多选题
9.(2024·长沙模拟)下列函数中是奇函数的是( )
A.y＝ex－e－x B.y＝x3－x2
C.y＝tan 2x D.y＝log
2
答案 ACD
解析 对于A，y＝f(x)＝ex－e－x的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故A满足题意；
对于B，若y＝f(x)＝x3－x2，则f(1)＝0≠f(－1)＝－2，故B不满足题意；
对于C，y＝f(x)＝tan 2x的定义域为，关于原点对称，
且f(－x)＝tan(－2x)＝－tan 2x＝－f(x)，
故C满足题意；
对于D，y＝f(x)＝log 的定义域为(－1，1)，关于原点对称，
2
且f(－x)＝log＝－log＝－f(x)，
2 2
故D满足题意.
10.(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为 R，且f(x)－x与
g(1－2x)均为偶函数，则下列说法一定正确的有( )
A.f(x)关于x＝1对称 B.关于点(0，1)对称
C.g(x＋2)＋g(x)＝2 D.f(0)＝1
答案 BC
解析 对于A，因为f(x)－x是偶函数，
所以f(x)－x＝f(－x)＋x，
则f(1－x)－(1－x)＝f(x－1)＋1－x，
f(1＋x)－(1＋x)＝f(－1－x)＋1＋x，
所以f(1－x)－(1－x)≠f(1＋x)－(1＋x)，
故A错误；
对于B，因为f(x)－x为偶函数，所以f(x)－x＝f(－x)＋x，即f(x)－f(－x)＝2x，
所以－＝＋＝2，
B正确；
对于C，因为g(1－2x)是偶函数，
所以g(1－2x)＝g(1＋2x)，
即g(1－x)＝g(1＋x)，
故g(x)的图象关于x＝1对称，
又f(x)－x为偶函数，
所以f′(x)－x′＝g(x)－1为奇函数，
所以g(x)－1关于(0，0)对称，g(x)关于(0，1)对称，所以g(－x)＋g(x)＝2.
又g(x)关于x＝1对称，所以g(1＋(x＋1))＝g(1－(x＋1)).
所以g(x＋2)＝g(1＋(x＋1))＝g(1－(x＋1))＝g(－x)＝2－g(x)，
所以g(x＋2)＋g(x)＝2，故C正确；
对于D，因为f(x)－x＝f(－x)＋x，所以f(0)＝f(0)，f(0)不一定为1，故D错误.
11.(2024·泰安调研)已知函数f(x)＝令g(x)＝f(x)－m，则( )
A.m<0或m>1时，g(x)有1个零点
B.若g(x)有2个零点，则m＝0或m＝1
C.f(x)的值域是(－2，＋∞)
D.若g(x)有3个零点，x ，x ，x ，且x f(2x)成立的 x 的取值范围是
________.
答案
解析 显然f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)＝ex－cos x，f′(x)＝ex＋sin x，
当00，
当x>2时，ex>e2，－≤sin x≤，所以f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减.
所以当f(x－1)>f(2x)时，有|x－1|>|2x|，
解得－10时，
f(x)＝a(x－1)＋1.若y＝f(x)是R上的增函数，则a的取值范围为________.
答案 (0，1]
解析 因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于原
点对称，且f(0)＝0.
当x>0时，函数f(x)＝a(x－1)＋1＝ax＋1－a，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝ax＋a－1，
所以f(x)＝
因为函数y＝f(x)是R上的增函数，
则有解得00时，f(x)∈，
且当x＝时，函数f(x)取得最大值，
可得函数图象如图所示.
当f(x)＝－1时，
－x2＋x＝－1，解得x＝，
要使f(x)在x∈(－∞，m]上的值域是，则可得m∈.
