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微专题 20 数列求和的常用方法
高考定位 近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分
组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档．
【真题体验】
(2024·全国甲卷)设S 为数列{a }的前n项和，已知4S ＝3a ＋4.
n n n n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝(－1)n－1na ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
【热点突破】
热点一 分组求和与并项求和
1.若数列{c }的通项公式为c ＝a ±b ，或c ＝且{a }，{b }为等差或等比数列，可
n n n n n n n
采用分组求和法求数列{c }的前n项和.
n
2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
例1 已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝2，a ＝4，且S －2S ＋S ＝2.
n n 1 2 n＋2 n＋1 n
(1)证明：数列{a }是等差数列，并求{a }的通项公式；
n n
(2)若等比数列{b }满足b ＝1，b ＋b ＝0，求数列{a ·b }的前2n项和T .
n 1 2 3 n n 2n
训练1 已知数列{a }的前n项和为S ，a >0，且满足(a ＋2)2＝4S ＋4n＋1，n∈N
n n n n n
.
＋
(1)求a 及通项公式a ；
1 n
(2)若b ＝(－1)na ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
热点二 裂项相消法求和
裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数
＝；＝.(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
＝.
(3)分母含无理式＝－.
例2 (2024·东北三省三校模拟)已知等差数列{a }的首项a ＝1，公差为d，记{a }
n 1 n
的前n项和为S ，S －2a a ＋14＝0.
n 4 2 3
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{a }的公差d>1，令c ＝，求数列{c }的前n项和T .
n n n n
训练2 (2024·西安二模)已知等差数列{a }的前n项和为S ，且a ＝7，S ＝27.
n n 6 6
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝，求数列{b }的前n项和T .
n n n
热点三 错位相减法求和
如果数列{a }是等差数列，{b }是等比数列，那么求数列{a ·b }的前n项和S 时，
n n n n n
可采用错位相减法.用其求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)
在写“S ”和“qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出
n n
“S －qS ”的表达式.
n n
例3 (2024·武汉模拟)设数列{a }(n∈N*)满足：a ＋＋…＋＝n2.等比数列{b }的首
n 1 n
项b ＝1，公比为2.
1
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)求数列的前n项和T .
n训练3 (2024·临汾模拟)已知数列{a }的首项a ＝1，且满足a ＝2a ＋n－1，等
n 1 n＋1 n
比数列{b }的首项b ＝，且满足b ＝b.
n 1 2n
(1)求证：数列{a ＋n}是等比数列，并求数列{a }的通项公式；
n n
(2)求数列{a b }的前n项和S .
n n n
【精准强化练】
1.(2024·昆明诊断)已知数列{3×2na }的前n项和S ＝4n＋1－4.
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝3，求数列{b }的前n项和T .
n n n
2.(2024·南京、盐城调研)已知正项数列{a }满足a ＝1，a－a＝8n.
n 1
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记b ＝a ·sin，求数列{b }的前2 024项的和.
n n n
3.在数列{a }中，＋＋＋…＋＝n2＋n.
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求＋＋…＋.
4.(2024·广州调研)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝2n＋1，数列{b }为等比数
n n n n
列，且a ＋b ＝9，S ＋b ＝128.
2 2 10 3
(1)求数列{b }的通项公式；
n
(2)设c ＝a ·b ，求数列{c }的前n项和M .
n n n n n
【解析版】
(2024·全国甲卷)设S 为数列{a }的前n项和，已知4S ＝3a ＋4.
n n n n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝(－1)n－1na ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
解 (1)因为4S ＝3a ＋4①，
n n所以当n≥2时，4S ＝3a ＋4②.
n－1 n－1
则当n≥2时，①－②得4a ＝3a －3a ，
n n n－1
即a ＝－3a .
n n－1
当n＝1时，由4S ＝3a ＋4得4a ＝3a ＋4，
n n 1 1
所以a ＝4≠0，
1
所以数列{a }是以4为首项，－3为公比的等比数列，
n
所以a ＝4×(－3)n－1.
n
(2)因为b ＝(－1)n－1na ＝(－1)n－1n×4×(－3)n－1＝4n·3n－1，
n n
所以T ＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1，
n
所以3T ＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，
n
两式相减得－2T ＝4＋4(31＋32＋…＋3n－1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－
n
4n)·3n，
所以T ＝1＋(2n－1)·3n.
n
【热点突破】
热点一 分组求和与并项求和
1.若数列{c }的通项公式为c ＝a ±b ，或c ＝且{a }，{b }为等差或等比数列，可
n n n n n n n
采用分组求和法求数列{c }的前n项和.
n2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
例1 已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝2，a ＝4，且S －2S ＋S ＝2.
n n 1 2 n＋2 n＋1 n
(1)证明：数列{a }是等差数列，并求{a }的通项公式；
n n
(2)若等比数列{b }满足b ＝1，b ＋b ＝0，求数列{a ·b }的前2n项和T .
n 1 2 3 n n 2n
(1)证明 由S －2S ＋S ＝2
n＋2 n＋1 n
得S －S －(S －S )＝2，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∴a －a ＝2，
n＋2 n＋1
又a －a ＝4－2＝2，
2 1
∴数列{a }是以2为首项，2为公差的等差数列，
n
∴a ＝2n.
n
(2)解 设等比数列{b }的公比为q，q≠0，
n
则b ＋b ＝q＋q2＝0，∴q＝－1，
2 3
∴b ＝(－1)n－1，∴a ·b ＝2n·(－1)n－1，
n n n
∴T ＝2－4＋6－8＋…＋2(2n－1)·(－1)2n－2＋2(2n)·(－1)2n－1
2n
＝(2－4)＋(6－8)＋…＋[2(2n－1)·(－1)2n－2＋2(2n)·(－1)2n－1]
＝－2＋(－2)＋…＋(－2)＝－2n.
规律方法 分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，转化为
若干个可求和的数列的和或差，然后再求和.
训练1 已知数列{a }的前n项和为S ，a >0，且满足(a ＋2)2＝4S ＋4n＋1，n∈N
n n n n n
.
＋
(1)求a 及通项公式a ；
1 n(2)若b ＝(－1)na ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
解 (1)对于(a ＋2)2＝4S ＋4n＋1，①
n n
n＝1时，(a ＋2)2＝4a ＋5，a＝1，
1 1
而a >0，则a ＝1.
n 1
又(a ＋2)2＝4S ＋4(n＋1)＋1，②
n＋1 n＋1
由②－①可得
(a ＋2)2－(a ＋2)2＝4a ＋4，
n＋1 n n＋1
a＝(a ＋2)2，而a >0，
n n
∴a ＝a ＋2，即a －a ＝2.
n＋1 n n＋1 n
∴{a }是以1为首项，2为公差的等差数列，
n
即a ＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N ).
n ＋
(2)∵b ＝(－1)n·(2n－1)，
n
∴T ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n(2n－1)，
n
当n为偶数时，T ＝ ＝n；
n
当n为奇数时，T ＝ －(2n－1)＝－n.
n
综上所述，T ＝(－1)n·n(n∈N ).
n ＋
热点二 裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数
＝；＝.
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
＝.
(3)分母含无理式＝－.
例2 (2024·东北三省三校模拟)已知等差数列{a }的首项a ＝1，公差为d，记{a }
n 1 n
的前n项和为S ，S －2a a ＋14＝0.
n 4 2 3
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{a }的公差d>1，令c ＝，求数列{c }的前n项和T .
n n n n
解 (1)由题意可得，
S －2a a ＋14＝4a ＋6d－2(a ＋d)(a ＋2d)＋14
4 2 3 1 1 1
＝4＋6d－2(1＋d)(1＋2d)＋14＝0，
整理得d2＝4，则d＝±2，
可得a ＝1＋2(n－1)＝2n－1或a ＝1－2(n－1)＝－2n＋3，
n n
故a ＝2n－1或a ＝－2n＋3.
n n
(2)因为d>1，由(1)可得d＝2，a ＝2n－1，
n
则c ＝＝－，
n故T ＝c ＋c ＋c ＋…＋c
n 1 2 3 n
＝＋＋…＋
＝1－，
所以T ＝1－.
n
易错提醒 裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相
互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.
训练2 (2024·西安二模)已知等差数列{a }的前n项和为S ，且a ＝7，S ＝27.
n n 6 6
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝，求数列{b }的前n项和T .
n n n
解 (1)设等差数列{a }的公差为d，
n
则由题意得
即解得
∴数列{a }的通项公式为a ＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
n n
(2)∵a ＝n＋1，则a ＝n＋2，
n n＋1
∴b ＝＝－，
n
∴T ＝b ＋b ＋b ＋…＋b ＝＋＋＋…＋
n 1 2 3 n
＝－＝.
热点三 错位相减法求和
如果数列{a }是等差数列，{b }是等比数列，那么求数列{a ·b }的前n项和S 时，
n n n n n可采用错位相减法.用其求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)
在写“S ”和“qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出
n n
“S －qS ”的表达式.
n n
例3 (2024·武汉模拟)设数列{a }(n∈N*)满足：a ＋＋…＋＝n2.等比数列{b }的首
n 1 n
项b ＝1，公比为2.
1
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)求数列的前n项和T .
n
(1)解 ∵a ＋＋…＋＝n2，n≥1.
1
∴a ＋＋…＋＝(n－1)2，n≥2，
1
∴＝n2－(n－1)2＝2n－1.
即a ＝n(2n－1)，n≥2，
n
当n＝1时，a ＝1，满足上式.
1
∴a ＝n(2n－1)＝2n2－n，
n
根据等比数列{b }的首项b ＝1，公比为2，可知b ＝2n－1.
n 1 n
(2)解 由(1)知＝(2n－1)·2n－1.
∴T ＝1·20＋3·21＋…＋(2n－1)·2n－1，
n
2T ＝1·21＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n.
n
∴－T ＝1＋2·21＋…＋2·2n－1－(2n－1)·2n＝1＋2·－(2n－1)·2n
n＝1＋4(2n－1－1)－(2n－1)·2n＝2·2n－(2n－1)·2n－3＝(3－2n)·2n－3.
∴T ＝(2n－3)2n＋3.
n
易错提醒 用错位相减法求和时，应注意：
(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)作差后所得等比数列的项数；(3)最后一项
的符号.
训练3 (2024·临汾模拟)已知数列{a }的首项a ＝1，且满足a ＝2a ＋n－1，等
n 1 n＋1 n
比数列{b }的首项b ＝，且满足b ＝b.
n 1 2n
(1)求证：数列{a ＋n}是等比数列，并求数列{a }的通项公式；
n n
(2)求数列{a b }的前n项和S .
n n n
(1)证明 因为a ＋n＋1＝2a ＋n－1＋n＋1＝2a ＋2n＝2(a ＋n)，
n＋1 n n n
又因为a ＋1＝2≠0，所以{a ＋n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
1 n
所以a ＋n＝2n，所以a ＝2n－n.
n n
(2)解 因为b ＝b，所以b ＝b＝＝b q＝q，
2n 2 1
故q＝，所以b ＝×＝，
n
令c ＝a b ，
n n n
则c ＝(2n－n)＝1－n·，
n
设T 为数列的前n项和，
n
所以T ＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，
n
T ＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，
n
所以T ＝＋＋＋…＋－n× －n×＝1－－n×，
n ＝T ＝2－(n＋2)×，
n
所以S ＝n－2＋.
n
【精准强化练】
1.(2024·昆明诊断)已知数列{3×2na }的前n项和S ＝4n＋1－4.
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝3，求数列{b }的前n项和T .
n n n
解 (1)令c ＝3×2na .
n n
当n＝1时，c ＝S ＝12；
1 1
当n≥2时，c ＝S －S ＝4n＋1－4n＝3×4n.
n n n－1
因为c ＝12＝3×41，所以c ＝3×4n，
1 n
所以3×2na ＝3×4n，解得a ＝2n，
n n
(2)由(1)知b ＝3＝3，
n
所以T ＝3
n
＝3＝4n＋1－4－n－6n－3.
2.(2024·南京、盐城调研)已知正项数列{a }满足a ＝1，a－a＝8n.
n 1
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记b ＝a ·sin，求数列{b }的前2 024项的和.
n n n
解 (1)因为a－a＝8n，
所以当n≥2时，a＝(a－a)＋…＋(a－a)＋a＝8(n－1)＋…＋8×1＋1＝8[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝8×＋1＝(2n－1)2.
因为a >0，所以a ＝2n－1，n≥2.
n n
当n＝1时，a ＝1符合上式，所以a ＝2n－1.
1 n
(2)b ＝a ·sin＝(－1)n＋1·(2n－1)，所以当k∈N*时，
n n
b ＋b ＝(4k－3)－(4k－1)＝－2，
2k－1 2k
故b ＋b ＋b ＋…＋b ＝(b ＋b )＋(b ＋b )＋…＋(b ＋b )
1 2 3 2 024 1 2 3 4 2 023 2 024
＝－2×1 012＝－2 024.
3.在数列{a }中，＋＋＋…＋＝n2＋n.
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求＋＋…＋.
解 (1)∵＋＋＋…＋＝n2＋n，①
则当n＝1时，＝2，即a ＝4，
1
当n≥2时，＋＋＋…＋＝n2－n，②
①－②得＝2n，∴a ＝2n(n＋1)，
n
a ＝4也满足上式，
1
故a ＝2n(n＋1).
n
(2)＝
＝＝，
∴＋＋…＋＝×
＝＝－.
4.(2024·广州调研)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝2n＋1，数列{b }为等比数
n n n n
列，且a ＋b ＝9，S ＋b ＝128.
2 2 10 3
(1)求数列{b }的通项公式；
n
(2)设c ＝a ·b ，求数列{c }的前n项和M .
n n n n n
解 (1)∵a ＝2n＋1，∴数列{a }是a ＝3，公差d＝2的等差数列，且a ＝5，
n n 1 2
∴S ＝10×3＋×2＝120.
10
设等比数列{b }的公比为q，
n
由a ＋b ＝9，S ＋b ＝128.
2 2 10 3
得解得
∴数列{b }的通项公式为b ＝2×2n－1＝2n.
n n
(2)∵a ＝2n＋1，b ＝2n.
n n
∴c ＝a ·b ＝(2n＋1)·2n.
n n n
∴M ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n，①
n
2M ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1，②
n
①－②得－M ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1＝6＋－(2n＋
n
1)×2n＋1＝－2－(2n－1)×2n＋1，
∴M ＝2＋(2n－1)·2n＋1.
n
