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微专题 21 数列的奇偶项问题
高考定位 有关数列的奇偶项问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的关
键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等，涉及求通项、求和
等.(1)求通项公式常用的方法有：隔项等差、等比数列型：将用 2k－1或2k替代
n，求出a ，a 的通项；(2)求数列的前n项和常用的方法有：方法一：分别求
2k－1 2k
出S ，S ，利用S ＝S ＋S ，这种思路本质上是分组求和；方法二：把 a
奇 偶 n 奇 偶 2k－1
＋a 看作一项，求出S ，再利用S ＝S －a 求出S ，这种思路本质上是并
2k 2k 2k－1 2k 2k 2k－1
项求和.
【真题体验】
(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{a }满足a ＝1，a ＝
n 1 n＋1
(1)记b ＝a ，写出b ，b ，并求数列{b }的通项公式；
n 2n 1 2 n
(2)求{a }的前20项和.
n
【热点突破】
热点一 a ＋a ＝f(n)或a ·a ＝f(n)型
n＋1 n n＋1 n
例1 (2024·衡水调研)已知数列{a }的前n项和为S ＝n2＋4n(n∈N*).
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{c }满足c ＋c ＝a ，且不等式c ＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，求
n n＋1 n n n
c 的取值范围.
1
训练1 在数列{a }中，已知a ＝1，a ·a ＝，记S 为{a }的前n项和，b ＝a ＋a
n 1 n n＋1 n n n 2n 2n
.
－1
(1)判断数列{b }是否为等比数列，并写出其通项公式；
n
(2)求数列{a }的通项公式；
n
(3)求S .
n
热点二 a ＝型
n
例2 已知数列{a }，a ＝1，a ＝
n 1 n＋1
(1)是否存在实数λ，使得数列{a －λ}是等比数列？若存在，求出 λ的值；若不
2n存在，请说明理由.
(2)若S 是数列{a }的前n项和，求满足S >0的所有正整数n.
n n n
训练2 (2024·烟台模拟)记等差数列{a }的公差为 d，前n项和为 S ；等比数列
n n
{b }的公比为q，前n项和为T ，已知b ＝4a ，S ＝b ＋6，T ＝7a .
n n 3 1 4 3 3 1
(1)求d和q；
(2)若a ＝1，q>0，c ＝求{c }的前2n项和.
1 n n
热点三 通项公式中含有(－1)n型
例3 (2024·宁波模拟)已知数列{a }满足a ＝1，且对任意正整数m，n都有a
n 1 m＋n
＝a ＋a ＋2mn.
n m
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求数列{(－1)na }的前n项和S .
n n
训练3 (2024·珠海质检)已知数列{a }满足a ＝1，a ＋a ＝λ·2n(n∈N*，λ是常
n 1 n n＋1
数).
(1)若λ＝0，证明：{a }是等比数列；
n
(2)若λ≠0，且{a }是等比数列，求λ的值以及数列{(－1)nlog a }的前n项和S .
n 2 3n－1 n
【精准强化练】
1.已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝4且a ＝S ＋4(n∈N*).
n n 1 n＋1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若b ＝(－1)n＋1，求数列{b }的前n项和T .
n n n
2.(2024·潍坊统考)已知正项数列{a }满足a ＝1，a (a ＋2)＝2a＋5a ＋2(n∈N*).
n 1 n＋1 n n
(1)证明：数列{a ＋1}是等比数列，并求数列{a }的通项公式；
n n
(2)设b ＝(－1)nlog (a ＋1)，数列{b }的前n项和为T ，求T .
n 4 n n n n
3.(2024·湖北部分重点中学联考)记S 为数列{a }的前n项和，已知a ＝1，a ＝，
n n 1 2
且数列{4nS ＋(2n＋3)a }是等差数列.
n n
(1)证明：是等比数列，求{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝求数列{b }的前2n项和T .
n n 2n4.(2024·合肥调研)已知数列{a }满足a ＋a ＝4n－3(n∈N*).
n n＋1 n
(1)若数列{a }是等差数列，求a 的值；
n 1
(2)当a ＝2时，求数列{a }的前n项和S .
1 n n
【解析版】
(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{a }满足a ＝1，a ＝
n 1 n＋1
(1)记b ＝a ，写出b ，b ，并求数列{b }的通项公式；
n 2n 1 2 n
(2)求{a }的前20项和.
n
解 (1)因为b ＝a ，且a ＝1，
n 2n 1
a ＝
n＋1
所以b ＝a ＝a ＋1＝2，
1 2 1
b ＝a ＝a ＋1＝a ＋2＋1＝5.
2 4 3 2
因为b ＝a ，
n 2n
所以b ＝a ＝a ＝a ＋1＝a ＋2＋1＝a ＋3，
n＋1 2n＋2 2n＋1＋1 2n＋1 2n 2n
所以b －b ＝a ＋3－a ＝3，
n＋1 n 2n 2n
所以数列{b }是以2为首项，3为公差的等差数列，
n
所以b ＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
n
(2)因为a ＝
n＋1
所以k∈N*时，a ＝a ＝a ＋1，
2k 2k－1＋1 2k－1即a ＝a ＋1，①
2k 2k－1
a ＝a ＋2，②
2k＋1 2k
a ＝a ＝a ＋1，
2k＋2 2k＋1＋1 2k＋1
即a ＝a ＋1，③
2k＋2 2k＋1
所以①＋②得a ＝a ＋3，
2k＋1 2k－1
即a －a ＝3，
2k＋1 2k－1
所以数列{a }的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
n
②＋③得a ＝a ＋3，即a －a ＝3，
2k＋2 2k 2k＋2 2k
又a ＝2，所以数列{a }的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
2 n
所以数列{a }的前20项和S ＝(a ＋a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋a ＋…＋a )＝10
n 20 1 3 5 19 2 4 6 20
＋×3＋20＋×3＝300.
【热点突破】
热点一 a ＋a ＝f(n)或a ·a ＝f(n)型
n＋1 n n＋1 n
例1 (2024·衡水调研)已知数列{a }的前n项和为S ＝n2＋4n(n∈N*).
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{c }满足c ＋c ＝a ，且不等式c ＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，求
n n＋1 n n n
c 的取值范围.
1
解 (1)由题意得
当n＝1时，a ＝S ＝5，
1 1当n≥2时，a ＝S －S ＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3，
n n n－1
当n＝1时，a ＝5，适合上式，故a ＝2n＋3.
1 n
(2)由(1)知，c ＋c ＝2n＋3，
n＋1 n
当n＝1时，c ＋c ＝5；
2 1
当n≥2时，c ＋c ＝2(n－1)＋3，
n n－1
两式相减得c －c ＝2(n≥2)，
n＋1 n－1
∴数列{c }是以c 为首项，公差为2的等差数列，
2n 2
数列{c }是以c 为首项，公差为2的等差数列.
2n－1 1
当n为偶数时，c ＝c ＋2×＝n＋3－c ；
n 2 1
当n为奇数时，c ＝c ＋2×＝n－1＋c ，
n 1 1
∴c ＝
n
对任意的n∈N*，都有c ＋2n2≥0成立，
n
①当n为奇数时，n≥1，c ＋2n2＝n－1＋c ＋2n2≥0恒成立，
n 1
即－c ≤2n2＋n－1对n为奇数恒成立，
1
当n＝1时，(2n2＋n－1) ＝2，
min
∴－c ≤2，即c ≥－2；
1 1
②当n为偶数时，n≥2，
c ＋2n2＝n＋3－c ＋2n2≥0恒成立，
n 1即c ≤2n2＋n＋3对n为偶数恒成立，
1
当n＝2时，(2n2＋n＋3) ＝13，∴c ≤13.
min 1
综上所述，c 的取值范围是[－2，13].
1
规律方法 1.构造隔项等差数列：a ＋a ＝pn＋q(p，q≠0) a ＋a ＝p(n＋
n＋1 n n＋2 n＋1
1)＋q 两式相减得⇒a
n＋2
－a
n
＝p；
⇒
2.构造隔项等比数列：a ·a ＝pqn(p，q≠0) a ·a ＝pqn＋1 两式相除得⇒＝
⇒ n＋1 n n＋2 n＋1
q.
⇒ ⇒
训练1 在数列{a }中，已知a ＝1，a ·a ＝，记S 为{a }的前n项和，b ＝a ＋a
n 1 n n＋1 n n n 2n 2n
.
－1
(1)判断数列{b }是否为等比数列，并写出其通项公式；
n
(2)求数列{a }的通项公式；
n
(3)求S .
n
解 (1)∵a ·a ＝，
n n＋1
∴a ·a ＝，
n＋1 n＋2
∴＝，即a ＝a ，
n＋2 n
∴＝＝＝.
∵a ＝1，a ·a ＝，∴a ＝，
1 1 2 2
∵b ＝a ＋a ＝＋1＝，
1 2 1
∴数列{b }是以为首项，为公比的等比数列，
n
∴b ＝·＝.
n
(2)由(1)可知a ＝a ，且a ＝1，a ＝，
n＋2 n 1 2∴数列{a }是以为首项，为公比的等比数列，数列{a }是以1为首项，为公比
2n 2n－1
的等比数列，
∴当n为奇数时，a ＝；
n
当n为偶数时，a ＝，
n
∴a ＝
n
(3)①当n＝2k时，
S ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )＝3－，
2k 1 3 2k－1 2 4 2k
②当n＝2k－1时，
S ＝S －a ＝3－－＝3－.
2k－1 2k 2k
∴S ＝
n
热点二 a ＝型
n
例2 已知数列{a }，a ＝1，a ＝
n 1 n＋1
(1)是否存在实数λ，使得数列{a －λ}是等比数列？若存在，求出 λ的值；若不
2n
存在，请说明理由.
(2)若S 是数列{a }的前n项和，求满足S >0的所有正整数n.
n n n
解 (1)由题意得a ＝a ＋2n＋1
2n＋2 2n＋1
＝(a －6n)＋2n＋1，
2n
∴a ＝a ＋1，
2n＋2 2n
故a －＝，
2n＋2又a ＝＋1＝，∴a －＝－，
2 2
即存在λ＝，使得数列{a －λ}是以－为首项，为公比的等比数列.
2n
(2)由(1)知a －＝－＝－，
2n
∴a ＝－，
2n
∵a ＝a ＋2n－1，得a ＝3a －3(2n－1)，
2n 2n－1 2n－1 2n
∴a ＋a ＝4a －6n＋3＝－－6n＋9.
2n 2n－1 2n
①当n＝2k时，
S ＝(a ＋a )＋(a ＋a )＋(a ＋a )，
2k 1 2 3 4 2k－1 2k
＝－2＋
＝－3k2＋6k－1；
②当n＝2k－1时，
S ＝S －a ＝·－3k2＋6k－.
2k－1 2k 2k
∵与－3k2＋6k在k∈N*时均单调递减，
∴S 与S 在k∈N*时均单调递减.
2k 2k－1
又S ＝1，S ＝，S ＝－，S ＝－，
1 2 3 4
∴满足S >0的所有正整数n为1和2.
n
规律方法 对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a ，a 及a ，a
2n 2n－1 2n－1 2n－
，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过 a ，a 的关系再推
2 2n 2n－1
出奇数项的通项公式.求S 时，可以先把a ＋a 看作一项，求出S ，再求S
n 2n 2n－1 2k 2k－＝S －a .
1 2k 2k
训练2 (2024·烟台模拟)记等差数列{a }的公差为 d，前n项和为 S ；等比数列
n n
{b }的公比为q，前n项和为T ，已知b ＝4a ，S ＝b ＋6，T ＝7a .
n n 3 1 4 3 3 1
(1)求d和q；
(2)若a ＝1，q>0，c ＝求{c }的前2n项和.
1 n n
解 (1)由已知条件可得b q2＝4a ，①
1 1
4a ＋6d＝b q2＋6，②
1 1
b ＋b q＋b q2＝7a ，③
1 1 1 1
由①②消去b q2得d＝1，
1
由①③得＝，
所以3q2－4q－4＝0，得q＝2或q＝－，
所以d＝1，q＝2或－.
(2)当q>0时，q＝2，则b ＝a ＝1，
1 1
所以a ＝n，b ＝2n－1，
n n
所以c ＝
n
c ＋c ＝－(2n－1)·22n－1＋2n·22n－1＝22n－1，
2n－1 2n
则{c }的前2n项和为c ＋c ＋c ＋c ＋…＋c ＋c ＝(c ＋c )＋(c ＋c )＋…＋(c
n 1 2 3 4 2n－1 2n 1 2 3 4 2n
＋c )
－1 2n
＝2＋23＋25＋…＋22n－1＝＝(4n－1).热点三 通项公式中含有(－1)n型
例3 (2024·宁波模拟)已知数列{a }满足a ＝1，且对任意正整数m，n都有a
n 1 m＋n
＝a ＋a ＋2mn.
n m
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求数列{(－1)na }的前n项和S .
n n
解 (1)由对任意正整数m，n均有a ＝a ＋a ＋2mn，
m＋n n m
取m＝1，得a ＝a ＋1＋2n，
n＋1 n
当n≥2时，a ＝a ＋(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝
n 1 2 1 3 2 n n－1
＝n2，
当n＝1时，a ＝1，符合上式，所以a ＝n2，n∈N*.
1 n
(2)当n为偶数时，
S ＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋(2n－1)＝＝；
n
当n为奇数时，S ＝S ＋(－1)na ＝S －a ＝－n2＝.
n n－1 n n－1 n
综上所述，S ＝
n
规律方法 通项中含有(－1)n的情形
(1)等差数列的通项公式乘以(－1)n，用并项求和法求数列前n项的和，
如a ＝(－1)n(2n－1)，前20项的和
n
a ＋a ＋…＋a ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39).
1 2 20
(2)等比数列的通项公式中含有(－1)n，其前n项和可写成分段的形式，可求最值，
如等比数列{a }的通项公式为a ＝(－1)n－1·，则其前n项和S ＝1－，求T ＝S －的
n n n n n
取值范围时，n分奇偶讨论，求T 的最值.
n
(3)裂项相消法求和
如a ＝(－1)n＝(－1)n，
n求和时通过(－1)n实现正负交替.
训练3 (2024·珠海质检)已知数列{a }满足a ＝1，a ＋a ＝λ·2n(n∈N*，λ是常
n 1 n n＋1
数).
(1)若λ＝0，证明：{a }是等比数列；
n
(2)若λ≠0，且{a }是等比数列，求λ的值以及数列{(－1)nlog a }的前n项和S .
n 2 3n－1 n
(1)证明 a ＋a ＝λ·2n(n∈N*)，
n n＋1
当λ＝0时，a ＋a ＝0，a ＝－a ，
n n＋1 n＋1 n
所以数列{a }是首项为1，公比为－1的等比数列.
n
(2)解 因为a ＝1，a ＋a ＝λ·2n(n∈N*)，λ≠0，且{a }是等比数列，
1 n n＋1 n
所以a ＋a ＝1＋a ＝λ·2，a ＝2λ－1，
1 2 2 2
a ＋a ＝2λ－1＋a ＝λ·22，a ＝2λ＋1，
2 3 3 3
所以(2λ－1)2＝1×(2λ＋1)，
而λ≠0，故解得λ＝，
则a ＝2，a ＝4，所以等比数列{a }的公比q＝2，
2 3 n
则a ＝2n－1，a ＝23n－2，所以(－1)nlog a ＝(－1)nlog 23n－2＝(－1)n(3n－2).
n 3n－1 2 3n－1 2
当n为偶数时，
S ＝(－1)＋4＋(－7)＋10＋(－13)＋16＋…＋[－(3n－5)]＋(3n－2)＝3×＝n＝，
n
当n为奇数时，
S ＝S －(3n＋1)＝(n＋1)－(3n＋1)＝＝.
n n＋1综上所述，S ＝.
n
【精准强化练】
1.已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝4且a ＝S ＋4(n∈N*).
n n 1 n＋1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若b ＝(－1)n＋1，求数列{b }的前n项和T .
n n n
解 (1)因为a ＝S ＋4，
n＋1 n
当n＝1时，a ＝S ＋4＝8，
2 1
当n≥2时，a ＝S ＋4，
n n－1
所以a －a ＝a ，
n＋1 n n
即a ＝2a (n≥2，n∈N*)，
n＋1 n
又因为＝＝2，满足上式，
所以{a }是以4为首项，2为公比的等比数列，
n
则a ＝4×2n－1＝2n＋1.
n
(2)因为b ＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1，
n
所以T ＝－＋…＋
n
(－1)n＋1＝1＋.
2.(2024·潍坊统考)已知正项数列{a }满足a ＝1，a (a ＋2)＝2a＋5a ＋2(n∈N*).
n 1 n＋1 n n
(1)证明：数列{a ＋1}是等比数列，并求数列{a }的通项公式；
n n
(2)设b ＝(－1)nlog (a ＋1)，数列{b }的前n项和为T ，求T .
n 4 n n n n
(1)证明 因为a (a ＋2)＝2a＋5a ＋2＝(2a ＋1)(a ＋2)，a >0，
n＋1 n n n n n所以a ＝2a ＋1，
n＋1 n
所以a ＋1＝2(a ＋1)，
n＋1 n
所以数列{a ＋1}是首项为a ＋1＝2，公比为2的等比数列.
n 1
所以a ＋1＝2n，即a ＝2n－1.
n n
(2)解 结合(1)知b ＝(－1)nlog 2n＝(－1)n·，
n 4
所以当n为偶数时，T ＝＋＋…＋＝·n＝n.
n
当n为奇数时，T ＝T －b ＝－＝－.
n n＋1 n＋1
所以数列{b }的前n项和T ＝
n n
3.(2024·湖北部分重点中学联考)记S 为数列{a }的前n项和，已知a ＝1，a ＝，
n n 1 2
且数列{4nS ＋(2n＋3)a }是等差数列.
n n
(1)证明：是等比数列，求{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝求数列{b }的前2n项和T .
n n 2n
(1)证明 ∵a ＝1，a ＝，∴S ＝1，S ＝，
1 2 1 2
设c ＝4nS ＋(2n＋3)a ，则c ＝9，c ＝18，
n n n 1 2
又数列{c }为等差数列，∴c ＝9n，
n n
∴4nS ＋(2n＋3)a ＝9n，
n n
∴4S ＋＝9.
n
当n≥2时，4S ＋＝9，
n－1
∴4a ＋－＝0(n≥2)，
n∴－＝0(n≥2)，
又2n＋1≠0，
∴－＝0(n≥2)，
即＝·(n≥2)，
又＝1≠0，
∴是以1为首项，为公比的等比数列，
∴＝，即a ＝.
n
(2)解 ∵b ＝
n
且a ＝，
n
∴b ＝
n
∴T ＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(31＋33＋…＋32n－1)
2n
＝＋
＝n2＋
＝n2＋，
∴T ＝n2＋.
2n
4.(2024·合肥调研)已知数列{a }满足a ＋a ＝4n－3(n∈N*).
n n＋1 n
(1)若数列{a }是等差数列，求a 的值；
n 1
(2)当a ＝2时，求数列{a }的前n项和S .
1 n n解 (1)若数列{a }是等差数列，则
n
a ＝a ＋(n－1)d，a ＝a ＋nd.
n 1 n＋1 1
由a ＋a ＝4n－3，
n＋1 n
得a ＋nd＋a ＋(n－1)d＝4n－3，
1 1
即2d＝4，2a －d＝－3，
1
解得d＝2，a ＝－.
1
(2)法一 由a ＋a ＝4n－3(n∈N*)，
n＋1 n
得a ＋a ＝4n＋1(n∈N*).
n＋2 n＋1
两式相减，得a －a ＝4，
n＋2 n
由a ＋a ＝1，a ＝2，得a ＝－1，
2 1 1 2
所以数列{a }是首项为a ＝2，公差为4的等差数列；数列{a }是首项为a ＝
2n－1 1 2n 2
－1，公差为4的等差数列，
所以a ＝
n
当n为奇数时，a ＝2n，a ＝2n－7.
n n－1
S ＝a ＋a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )＝＋＝；
n 1 2 3 n 1 3 n 2 4 n－1
当n为偶数时，a ＝2n－5，a ＝2n－2，
n n－1
S ＝a ＋a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )＝＋＝.
n 1 2 3 n 1 3 n－1 2 4 n综上，S ＝
n
法二 由于a ＋a ＝4n－3，
n＋1 n
于是S ＝(a ＋a )＋(a ＋a )＋…＋(a ＋a )
2n 1 2 3 4 2n－1 2n
＝1＋9＋…＋(8n－7)＝
＝4n2－3n，
由此可得当n为偶数时，S ＝，
n
而当n为奇数时，n＋1为偶数，
于是S ＝S －a
n n＋1 n＋1
＝－(2n－3)
＝.
综上，S ＝
n
