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人教A版数学--数列专题三
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法
求和,
分组（并项）法求和
典例1、已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 的前 项和为 ，求证： ；
（3）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
随堂练习：已知等比数列 的公比 是 的等差中项．等差数
列 满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）将数列 与数列 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新
数列的前50项和；（3） ，求数列 的前 项和 ．
典例2、在等差数列 中，已知 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前n项和 ；
（3）记 ，数列 的前n项和为 ，若对任意的 ， ，都有
，求正整数k的最小值．
随堂练习：已知数列 中， ， ， ，数列 的前n项和
为S.
n
（1）求 的通项公式；（2）已知 ，
（i）求数列 前n项和T；
n
（ii）证明：当 时， .
典例3、已知数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）若数列 ， ，求 前 项和 .随堂练习：已知等差数列 的前 项和为 ，公差为1，且满足 ．数列 是首
项为2的等比
数列，公比不为1，且 、 、 成等差数列，其前 项和为 ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，求正整数 的值；
（3）记 ，求数列 的前 项和 ．
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n
项和,
分组（并项）法求和
典例4、已知数列 是等差数列，记 为 的前n项和， 是等比数列，
．
（1）求 ；
（2）记 ，求数列 的前2n项和．随堂练习：已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
典例5、已知数列 ， ， ，数列 为等比数列，满足 ，且， ， 成等差数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记数列 满足： ，求数列 的前 项和 .
随堂练习：已知等差数列 的前 项和为 ，数列 为正项等比数列，且 ，
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 设 的前 项和为 ，求 ．典例6、已知等比数列 的前n项和为 ，且满足 ，数列 满足：
， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设数列 的通项 ，求数列 的前n项和 ．
随堂练习：已知正项数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）将数列 和数列 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列 ，
求 的前50项和．人教A版数学--数列专题三答案
典例1、答案：（1） ， ；（2）证明见解析；（3） .
解: (1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1. 从而 的通项公式为 .
由 ， 又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(2)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ， 所以 .
(3)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
随堂练习：答案： （1） ， ； （2） ； （3）
．
解：（1）依题有 ,因为 ，解得：
． 数列 是等差数列,设其公差为 , ，解得：
.
（2）数列 与数列 都是递增数列, ,
, ,
新数列的前50项和为: .
（3）∵ ，
设 ,
，
，两式相减有
,
∴ . ∴
.
.
典例2、答案：（1） （2） （3）9
解：（1）设 公差为 ，则 ，解得 ，
所以 ；
（2）由题意 ，所以 ，
；
（3）由（1） ，
， ，
相减得 ，
，由 ，得 ，
令 ，则
，
设 ， 则 ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，
， ， ， 所以当 时， ，当时， ，
当 时， 递减，当 时， 递增，
， ， ， 因此当 时， ，当
时， ，
所以满足 的 的最小值是9，即 的最大值是9．
随堂练习：答案： （1） （2）（i）T ；（ii）证明见
n
解析
解：（1）由题意可知，数列 的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数
列，
偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.
当n为奇数时， ；
当n为偶数时，
（2）（i） ，
，
；
（ii） ， ，则 ；
（ 时等号成立） 当 时，
设 ，
；综上，当 时， .
典例3、答案：（1） （2） （3）
解：（1）当 时， ，可得 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差得 ，可得 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 .
（2） ，所以， ， 所以，
，
上述两个等式作差得 ，
因此， .
（3）由题意可得 ， ，
所以，
.
随 堂 练 习 ： 答 案 ： （ 1 ） ， ； （ 2 ） 4 ； （ 3 ）
.
解：（1）依题意， ，解得 ，则 ，
设数列 的公比为q，因 ， ， 成等差数列，则 ，
有 ，而 ，解得 ， ，
所以数列 和 的通项公式分别为： ， .（2）由（1）知， ， ，
，
依题意， ，整理得 ，而 ，解得
，
所以正整数n的值是4.
（3）由（1）知
，
令数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为
，
则 ，
于是得 ，
两式相减得：
，
因此， ，
，
数列 的前 项和 .
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由题意得 ，所以 ①，又 是等比数列， 所以 ，
因为 ，所以 ②，
又 ，故由①②联立解得 ，
又 是等差数列，所以 为定值，即 为定
值，
故 为等比数列，首项 ，公比 ， 所以 的通项公式为
．
（2）由（1）得 ，
所以 ，
即 是以1为首项，4为公差的等差数列，
令 ，则 ，
记 的前n项和为 ， 所以 ，
数列数列 的前2n项和为 ．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设公差为 ，则 ，即 ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，整理得 ，因为 所以 ，代入 ，解得 ， 所以 .
（2） ,
所以
.
典例5、答案： （1） ， （2）
解：（1）由题意， ， ， ，令 得 ，又数列 为等
比数列，
所以 ，即数列 为公比为 等比数列.
所以由 可得 即 ，
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
数列 的通项公式： .
由 ， ， 成等差数列，得： ， ， ，有 .
（2）由（1）知 ，数列 的奇数项是首项为3，公差为4的等
差数列，
偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列..
随堂练习：答案： （1） ； （2）
解：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
，
或 是正项等比数列， ， ．
（2）由（1）知 ， ，
．
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）设数列 的公比为q，
因为 ，即 ，得 ，解得 或 ，
当 时， ，不合题意，舍去，所以 ，
由 ，解得 ，所以 ，
对于 ，因为 ①，当 时， ，则 ，
当 时， ②，
由①－②得 ，即 ，
又 ，也适合上式，故 ， ，
采用累乘法求通项得 ， 所以 ．
（2）由（1）可得： ，则 ，
则数列 的前n项和 ，
①当 为偶数， 时，
采用分组求和： ，
， 所以
；
②当 为奇数， 且 时， 为偶数，由（1）中结论得，
此时 ，
当 时， ，也适合上式， 所以 .
综上所述， ．
随堂练习：答案：（1） （2）2150
解：（1）依题意 ， 当 时， ，解得 ，
由 ， 当 时，有 ，
作差得： ， 所以 ，
因为 ， 所以 ，
所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列， 所以 .
（2）由（1）得， ， 又 ，同时 ， 所以
所以
．
所以 的前50项和为2150．
