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专题强化十九 动态圆问题
目标要求 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.理解“平移
圆”“旋转圆”“放缩圆”“磁聚焦”等模型的适用条件及解决方法．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故
边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．解题步骤
分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形
3．常见的几种临界情况
(1)直线边界
最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图1，P为入射点，M为出射点．
图1
(2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应
的圆心角最大．
当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形
磁场对应的圆心角最大．
题型一 “平移圆”模型
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同
速度大小一定，方
一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆
适用条件 向一定，但入射点
周运动的半径相同，若入射速度大小为v，则半径R
0
在同一直线上
＝，如图所示带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线
轨迹圆圆心共线
上，该直线与入射点的连线平行
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平
界定方法
移圆”法
例1 (多选)如图2所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，
磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界
MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入
射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
图2
A．粒子在磁场中的运动半径为
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案 CD
解析 带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，
其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处
射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区
域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运
动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为t ＝＝，选项D正确．
min题型二 “旋转圆”模型
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁
场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初
速度大小为v，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
速度大小一 0
适用条件
定，方向不同
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点
P为圆心、半径R＝的圆上
轨迹圆圆心共
圆
界定
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方
方法
法称为“旋转圆”法
例2 如图3所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强
度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射
入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力及
粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之
比为( )
图3
A．1∶1 B．2∶3 C.∶2 D.∶3
答案 C
解析 粒子在磁场中运动时，Bqv＝，粒子运动轨迹半径R＝＝d；由左手定则可得，粒子沿
逆时针方向偏转，做匀速圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端，距A点的竖直距离L ＝＝d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A
1
点的竖直距离L ＝＝d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为L＝L ＋L ＝d，因为R0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒
子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为
( )图4
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．
设轨迹交半圆 于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示．圆心角θ
＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与 相切时，β最大，此
时β＝30°，可得θ＝π，则t＝T＝，故选C.
例4 (2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同
轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图5所示．一速率为v的电子从圆心沿
半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制
在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
图5
A. B.
C. D.
答案 C
解析 磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径
为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联立
解得B＝，故选C.题型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图6甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果
轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会
聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为 B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量
为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒
子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行
四边形，OA(OB、OC)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
1 2 3
图6
例5 (多选)(2020·山东泰安市一模)如图7所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强
磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点 P以
速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质
量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以
下说法正确的是( )
图7
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
答案 ACD
解析 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨
迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误．粒子速度
大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝＝R，根据几何关系
可知，入射点P、O、出射点与轨迹的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO
平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关
系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：t
