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专题强化十七 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
目标要求 1.能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间.2.学会处理带电粒子在直线边界、
平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题.3.会分析带电粒子在匀强磁
场中的多解问题．
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力 F的方向，其交点即为
圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点
即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据 r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力
方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α.
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α.
3．时间的计算方法方法一 利用圆心角、周期求得t＝T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
4．在多边形边界或角形区域磁场
带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把
握以下两点：
(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入．
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出．
①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为 d＝2Rsin α，
如图甲所示．
②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙所
示．考向1 带电粒子在直线边界磁场中运动
例1 如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点
垂直MN和磁场方向射入磁场，经t 时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向
1
以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t 时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为( )
2
A．3 B．2 C. D.
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考向2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
例2 (多选)如图所示，在圆形边界的磁场区域，氕核 H和氘核H先后从P点沿圆形边界
的直径入射，从射入磁场到射出磁场，氕核H和氘核H的速度方向分别偏转了60°和120°角，
已知氕核H在磁场中运动的时间为t，轨迹半径为R，则( )
0
A．氘核H在该磁场中运动的时间为2t
0
B．氘核H在该磁场中运动的时间为4t
0
C．氘核H在该磁场中运动的轨迹半径为R
D．氘核H在该磁场中运动的轨迹半径为R
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考向3 带电粒子在平行边界磁场中运动
例3 (多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度大
小为B，磁场的宽度为 d，磁场方向垂直于 xOy平面向里．一个质量为 m、电荷量为－
q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右
边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的
运动情况，下列说法正确的是( )A．它的轨迹半径为d
B．它进入磁场时的速度为
C．它在磁场中运动的时间为
D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d
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考向4 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场中运动
例4 (多选)(2023·河北石家庄市模拟)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O＝90°，∠A
＝60°，AO＝L，D为AC的中点．△AOC中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为 m、电荷量为－q、速度大小
均为v＝的粒子．不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说
0
法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的半径为L
B．与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出
C．在AC边界上有粒子射出的区域长度为L
D．所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
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带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电粒子在
磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻
找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
临界点常用的结论：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
题型二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、
临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
考向1 磁场方向不确定形成多解
例5 (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重
力忽略不计．为把这束负离子约束在 OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知 O、
A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强
磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B>，垂直纸面向里
B．B>，垂直纸面向里
C．B>，垂直纸面向外
D．B>，垂直纸面向外
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考向2 带电粒子电性不确定形成多解
例6 (多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强
度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回．一
质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射
出．下列说法正确的是( )
A．带电粒子一定带负电荷B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
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考向3 临界状态不确定形成多解
例7 (多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成
两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小
不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重
力．若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角
的可能组合为( )
A.kBL，0° B.kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
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