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专题 31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题 100 题
类型一:存在性问题---角度关系1-20题
1．已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，直线 与C的一条渐近线交于
点P，且 ．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设Q为双曲线C右支上的一个动点在x轴上是否存在定点M，使得 ？若存在，求
出点M的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】
（1）
（2）满足条件的点M存在，坐标为
【分析】
（1）设直线 与渐近线 的交点为P，两方程联立方程组可求得 ，再由 列
方程可求出 ，再由离心率为2可求出 ，从而可求出双曲线方程，
（2）设 为双曲线C右支上一点，则 ，当 ，可得 ，从而可求
得 ，当 时，则由 ，可得 ，然后分 和 求解
即可
（1）根据双曲线的对称性不妨设直线 与渐近线 的交点为P，则联立 得：
由 可得： ，即 ，
由离心率 可得： ，故
所以双曲线的标准方程为： ．
（2）假设存在点 满足题设条件．
由（1）知双曲线C的右焦点为 ．
设 为双曲线C右支上一点，则
①当 时， ．因为 ，
所以 ，于是 ，所以 ．即 ．
②当 时，
因为 ，所以
（ⅰ）当 时，上式化简得：
又 即： ，带入上式得：
所以 解得 ．即
（ⅱ）当 时， ，即 也能满足综上可得：满足条件的点M存在，其坐标为 ．
2．已知双曲线 ： ， ， ， ， ，
五点中恰有三点在 上.
（1）求 的方程；
（2）设 是 上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点 ，使得 ,
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）存在，定点
【分析】
（1）、根据五点的坐标及双曲线的对称性和顶点的特征确定 都在 上，得到方程组，求得 ， ，
即可得 的方程；
（2）、根据条件及补角的定义得到 ，分 轴与 不与 轴垂直两种情况分析求解.
（1）
若 ， ， 在双曲线 上，则 ， ， 只能是双曲线 的顶点，
， ， 三点中只能有一点是顶点， 都在双曲线 上，
， ， 两点关于 上对称，
由双曲线顶点的位置特征分析可知， 在 上，
将 ， 代入双曲线 的方程 中，则 ，得 ， ，故 的方程为 .
（2）
假设存在定点 满足题意， ， ， ，
.
①、当 轴时， , ， ，
在 中， ,
， ，此时 .
②、当 不与 轴垂直时，假设 ，满足 .设 ，则 ， ，
，
又 ， ，即 ，所以假设成立.
故存在定点 ，使得 .
3．已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆
C上，直线PA交x轴于点M．
（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得
∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】
（1） ；
（2）存在； 或【分析】
（1）根据椭圆的几何性质得出 ，即可求出椭圆方程，再求出 的方程，即可得解．
（2）求解得出 ， ， ， ，运用图形得出 ， ，求解即可得出
即 ， ，根据 ， 的关系整体求解．
（1）
解：由题意得出
解得： ， ，
，
和点 ，
的方程为： ， 时，
，
（2）
点 与点 关于 轴对称，点 ，
点 ，
直线 交 轴于点 ，
， ，存在点 ，使得 ， ，
， ，
即 ， ，
， ，
故 轴上存在点 ，使得 ， 或
4．设点A、F分别是双曲线 的左顶点和右焦点，点P是双曲线右支上的动点.
(1)若 是直角三角形，求点P的坐标；
(2)是否存在常数 ，使得 对任意的点P恒成立？证明你的结论．
【答案】(1) 或 ；(2)存在，证明见解析．
【分析】
(1)结合双曲线方程 ，分类讨论 和 两种情况，即可求解；
(2)首先讨论当当 轴时，求出 ，然后讨论 不垂直 轴时的情况，根据双曲线对称性，令点 在
第一象限，分别表示出 ， ，再结合点 在双曲线上，即可求解.
【详解】
(1)设P点坐标为 ，由已知 ， ，则 ， ，若 ，则 ，代入 得 ，
∴P点坐标为 ．
若 ，则 ．
由 得 ， ，
∴P点坐标为 ．
综上，P点坐标为 或 .
(2)当 轴时，由(1)知 ， ．
以下证明：当 不垂直于x轴时， 也成立．
设P点坐标为 ，由对称性，假设P在第一象限，且 不垂直于x轴，
∴ ， ， ，
结合正切二倍角公式联立以上三式可得， ，
∴ ．
综上，存在 ，使得 对任意的点P恒成立.
5．已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， 为坐标原点，点 在椭
圆 上，且满足 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知过点 且不与 轴重合的直线 与椭圆 交于 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得. 若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）由题设条件可得 ，即 ，结合余弦定理以及 ，
可得解 ；
（2）转化 为 ，用点坐标表示斜率可得
，将直线和椭圆联立，结合韦达定理即得解.
【详解】
（1）由 知 ，
在 中， ，
△
，
解得 ，
所以椭圆 ；
（2）假设存在点 满足条件，设直线 方程为 ，
设 ，
消去 有 ，
，.
因为 ，
所以 ，即 ，
解得 .
所以存在 ，使得 .
6．已知椭圆 的上、下焦点分别为 ，离心率为 ，点 是椭圆上一点，
的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的动直线 交 于 两点， 轴上是否存在定点 ，使得 总成立？
若存在，求出定点 ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ； （2） .
【分析】
（1）由离心率 ，得到 ，再由 的周长，得到 ，求得 的值，
即可求得椭圆的方程；
（2）假设存在这样的点 ，使得 ，当直线 的斜率存在时，设 ，联立方
程组，得到 ，由 ，得到 ，代入求得
，得到 ，得出 ；当斜率不存在是，得到直线 过点 ，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意，椭圆 的离心率为 ， 可得 ，即 ，又由点 是椭圆上一点， 的周长为 ，可得 ，
即 ，解得 ，所以 ， ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）设 ，且 ，
假设存在这样的点 ，使得 ，
当直线 的斜率存在时，设 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，
整理得
，
因为 ，所以 ，即点 ；
当斜率不存在是，此时直线 的方程为 ，直线 过点 .
综上可得，在 轴上存在定点 ，使得 总成立.
7．已知双曲线 的实半轴长为1，且 上的任意一点 到 的两条渐近线的距离
乘积为
（1）求双曲线 的方程；
（2）设直线 过双曲线 的右焦点 ，与双曲线 相交于 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得
的平分线与 轴或 轴垂直？若存在，求出定点 的坐标；否则，说明理由．【答案】（1） ；（2）存在点 使得 的平分线与 轴或 轴垂直.
【分析】
（1）由已知得 ，渐近线为 ，利用点到直线的距离公式列方程即可求得 ，进而可得双曲线
的方程；
（2）假设存在 满足题意，可得 ，设设 ， ，直线
与双曲线方程联立，消去 可得关于 的二次方程，得出 、 代入 即
可求解.
【详解】
（1）由题意可得： ，所以双曲线
所以渐近线方程为 ，
设 ，则 ，即 ，
因为 在双曲线上，所以 ，即 ，
所以 ，解得： ，
所以双曲线 的方程为：
（2）假设存在 ，使得 的平分线与 轴或 轴垂直，则可得 ，
，设 ， ，直线 ，
由 可得： ，
所以 ， ，所以 ，
即 恒成立，
整理可得： ，
所以
即 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以存在点 使得 的平分线与 轴或 轴垂直.
8．已知点 ， ，动点 满足直线 和 的斜率之积为 ，记 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）问在第一象限内曲线 上是否存在点 使得 ，若存在，求出点 的坐标，若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）设 ，根据斜率之积为 即可求得方程；
（2）设 ，由题可得 ，结和已知可得 ，与曲
线 联立即可求解.
【详解】
解：（1）设 ，由题意可得， ，
化简可得 ，
故曲线 的方程为 ；
（2）设 ，且 ， ①
， ，
因为 ，所以 ，
即 ，化简可得 ，②
由①②可得， ，解得 或 （舍），此时 ，
所以第一象限内曲线 上存在点 使得 ．
9．已知椭圆 ，点 为焦点，过 且垂直于 轴的直线交椭圆于S，T两点，
且 ，点 为x轴上一点，直线 与椭圆C交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得
？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）由 ，得 ，又 ，根据椭圆中 之间的关系即可求解；
（2）假设存在x轴上的点 满足题意，由对称性,设出A、B的坐标，求出直线PA、PB的方程，令x=0求出M、N的坐标，再由 ，得 ，即 ，结合
点 在椭圆上即可求解．
【详解】
解：（1）由题意， ，即 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ；
（2）假设存在点Q使得 ，设 ，
因为 ，所以 ，
则 ，即 ，所以 .
因为直线 交椭圆C于A，B两点，则A，B两点关于y轴对称.
设 ，因为 ，
则直线PA的方程为： ，令 ，得 ，
直线PB的方程为： ，令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
又因为点 在椭圆 上，所以 ，
所以 ，即 ，
所以存在点 ，使得 成立.
10．已知双曲线 ( ， )的离心率为2，过点 且斜率为 的直线 交双曲线 于， 两点.且 .
（1）求双曲线 的标准方程.
（2）设 为双曲线 右支上的一个动点， 为双曲线 的右焦点，在 轴的负半轴上是否存在定点 .使
得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，坐标 .
【分析】
（1）由离心率可设双曲线 的方程为 ，将直线 与双曲线 联立，结合 可
解得 ，进而可得双曲线 的标准方程；
（2）在 轴的负半轴上假设存在定点 满足题意，当 垂直于 轴时，易得 ，当 不垂直于
轴时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得 .
【详解】
（1）设双曲线 的焦距为 .
由双曲线 的离心率为2知 ，所以 ，
从而双曲线 的方程可化为 .
令 得 .
设 ， .
因为 ，
所以 ， .
因为 ，所以 ，
于是 ，
解得 ，
所以双曲线C的标准方程为 .
（2）假设存在点 ( )满足题设条件.
由（1）知双曲线 的右焦点为 .
设 ( )为双曲线 右支上一点.
当 时，因为 ，
所以 ，于是 ，所以 . 即 .
当 时， ， .
因为 ，
所以 .
将 代入并整理得 ，
所以 解得 . 即 .
综上，满足条件的点 存在，其坐标 .11．在直角坐标系中，动圆 经过点 且与直线 相切.
（1）动圆 圆心 的轨迹为曲线 ，求曲线 的方程；
（2）直线 交曲线 于 ， ， 轴上是否存在一点 ，使得当 变动时，都有
？说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，理由见解析.
【分析】
（1）利用抛物线的定义即可求解.
（2）设 为符合题意的点， ， ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，将直线
与 联立，利用韦达定理得出 ，使 即可求解.
【详解】
（1）设动圆 圆心 ，则 到定点 的距离等于到直线 ，
圆心 的轨迹为抛物线，即 ，即 ，
所以
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设 为符合题意的点， ， ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ，将 代入 得方程整理得 .∴ ， .
∴ .
当 时，有 ，则直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补，
故 ，所以 符合题意.
12．已知抛物线 ： 与离心率为 的椭圆 ： 的一个交点为 ，
点 到抛物线 的焦点的距离为2.
（Ⅰ）求 与 的方程；
（Ⅱ）设 为坐标原点，在第一象限内，椭圆 上是否存在点 ，使过 作 的垂线交抛物线 于点 ，
直线 交 轴于点 ，且 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）不存在点 .
【分析】
（Ⅰ）由抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，代入准线方程可求出 值，从而求出抛物线
方程；代入抛物线方程可求出 点坐标，代入椭圆方程，结合离心率联立可解出 ，从而求出椭圆方程；
（Ⅱ）直线 与 轴交于点 ，因为 ，且有 ，可得出
， ，即 为线段 中点，则有 ，设直线 的方程为：
，求出直线 的方程，分别与椭圆和抛物线联立，求出点坐标，代入求解即可.
【详解】
解：（Ⅰ）因为抛物线方程为 ，则准线方程为： ，点 到焦点的距离等于到准线的距离，所以有 ，解得： ，抛物线方程为： .
则 或 ，且点 在椭圆上，有 ，又椭圆离心率为 ，即 ，即 ，联立
求解： ，所以椭圆方程为 .
（Ⅱ）由题意，直线 斜率存在且大于0，设直线 的方程为： ，因为 ，则有直
线 的方程为： ，
由 得： ，即 ；
由 得： ，即 .
设直线 与 轴交于点 ，因为在第一象限内，满足 ，又 ，所以有
， ，所以 ，即 为线段 中点，所以 ，
即 ， 无解，所以不存在点 的坐标使得 .
13．椭圆E： ＋ ＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋
∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，Q(1，0).
【分析】
（1）由顶点得 ，结合离心率求得 ，然后可求得 ，得椭圆方程；（2）存在点Q(m，0)满足题意，题意说明直线QM和QN的斜率存在，分别设为k，k．等价于k＋k＝
1 2 1 2
0，设M(x，y)，N(x，y)，设直线l的方程为y＝k(x－4)，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得
1 1 2 2
，代入 求得参数 ，得定点．
【详解】
（1）由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝ ，得c＝ .
由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2.
∴所求椭圆的方程为 ；
（2）若存在点Q(m，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，
则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k，k．等价于k＋k＝0.
1 2 1 2
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．
由 ，
得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0.
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以 ＞0.
即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜ .
设M(x，y)，N(x，y)，则x＋x＝ ，xx＝ ，
1 1 2 2 1 2 1 2
y＝k(x－4)，y＝k(x－4)，
1 1 2 2
令k＋k＝ ＋ ＝0，
1 2
(x－m)y＋(x－m)y＝0，
1 2 2 1
当k≠0时，2xx－(m＋4)(x＋x)＋8m＝0，
1 2 1 2
，
化简得， ＝0，
所以m＝1.
当k＝0时，也成立．所以存在点Q(1，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°.
14．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，且 的垂心
为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 （斜率为 ）交椭圆 于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得射线
平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）利用垂心的性质和斜率公式列式解得 ，再根据点 在椭圆 上，可求出 ，从
而可得结果；
（2）假设存在定点 满足题意，其坐标为 ，联立直线 ： 与椭圆： ，利用韦达
定理得到 与 ，根据斜率公式得到 ，再根据 对 恒成立可解得
结果.
【详解】
（1）设 ，由 的垂心为 ，得 ，
所以 ，则 ，解得 ，
所以 .
由点 在椭圆 上，得 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 .
（2）假设存在定点 满足题意，其坐标为 ，易知直线 的方程为 ，代入 ，
消去 ，得 ， ，
设 则 ，
所以
，
由已知得 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 ，
此时点 的坐标为 .
所以存在定点 满足题意，其坐标为 .
15．已知椭圆 的短轴长和焦距都为2，直线 与椭圆 交于不同的两点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 ，直线 分别交 轴于 两点，问： 轴上是否存在点 ，使得
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在； ．
【分析】
（1）利用短轴长和焦距都为2，求得 代入 ，从而求得椭圆方程；（2）设出直线
方程，和椭圆方程联立，利用韦达定理结合 三点共线将问题转化为 ，代入数值
即可求得结果．
【详解】解：（1）由题意 ，解得 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）依题意直线 的斜率存在且 ，
设 ．
由 得 ，
所以 ，带入 得 ，
因为 三点共线，所以 ，
设 ，
即 ，则 ，
由 ，令 ，则 ．
假设存在点 使得 ．设 ，
因为 ，所以 ．则 ．
即 ，所以 ，
则 ，
所以存在点 使得 成立.
16．已知椭圆 与双曲线 有两个相同的顶点，且 的焦点到其渐近线的距离恰好为 的短半轴的长度．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作不垂直于坐标轴的直线 与 交于 ， 两点，在 轴上是否存在点
，使得 平分 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在点 ，使得 平分 ．
【分析】
（1）由已知求出双曲线的焦点以及渐近线方程，进而求出焦点到渐近线的距离，由此求出椭圆的方程；
（2）设出直线 的方程以及 ， ， 的坐标，联立直线 与椭圆的方程，写出韦达定理，求出直线 ，
的斜率，利用 平分 可得直线 ， 的斜率的和为0，化简即可求解．
【详解】
解：（1）由题意可得 ，
双曲线 的焦点为 ，渐近线方程为： ，
则焦点到渐近线的距离为 ，所以 ，
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）存在点 使得 平分 ，
由题知，直线 的斜率存在且不为0，又直线过点 ，
则设直线 的方程为 ，
， ， ，
联立方程 ，消去 整理可得：
，所以 ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以
，
即 ，
则 ，
化简可得 ，因为 ，所以 ，
综上，存在点 ，使得 平分 ．
17．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，动点 的轨
迹记为 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 也在曲线 上，且 ，求 的面积；
（3）是否存在常数 ，使得对动点 恒有 成立？请给出你的结论和理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在 满足题意，证明见解析.
【分析】
（1）根据双曲线定义，结合焦点坐标，写出双曲线方程；
（2）设 ，根据条件写出 ，代入双曲线方程，解得两点坐标，从而求得面积；
（3）不妨设 在第一象限，则 ， ，设 ，表示出斜率 ，，证得 ，从而 .
【详解】
（1）根据定义动点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为2的双曲线右支，故曲线右支的方
程为
（2）设 ，则且 ，故
因为 ， 均在曲线 上，所以
当 时， ， 的面积为 ；
当 时， ， 的面积为 ；
综上， 的面积为
（3）当 时，易知 ， ，若存在，则 .
不妨设 在第一象限，则 ， ，
设 ，则 ， ，
即 ，综上，存在 满足题意.
18．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，当 与 轴
垂直时， 的周长为 .
（1）求 的方程：
（2）在 轴上是否存在点 ，使得 恒成立( 为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说
明理由.【答案】（1） ；（2）存在， 点坐标为 .
【分析】
（1）利用焦半径公式表示 ，代入坐标 ，求 的长度，并表示 的周长，求 ；
（2）假设存在点 ，设 ，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示 ，
求定点 的值.
【详解】
（1）当 与 轴垂直时， ， ，
从而有
解得 ，
所以 的方程为 ；
（2）设 ， ， ，由题可知直线 斜率不为零，设 ，
代入抛物线方程 消去 ，得 ，从而 ， ，①
由 可得 ，
而
将①代入，从而得 恒成立，所以 ，
因此存在点 满足题意， 点坐标为 .
19．已知双曲线 的离心率为 ，点 为 上位于第二象限的动点，
（1）若点 的坐标为(-2，3 ，求双曲线 的方程；（2）设 分别为双曲线 的右顶点､左焦点，是否存在常数 ，使得 如果存在，请求
出 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）依题意可得 ，即可得到方程为 ，再代入点 ，即可求出双曲线方程；
（2）由（1）知：双曲线方程 ，即可表示出 ，当直线 的斜率不存在时求出 的值，
当直线 的斜率存在时，设 表示出 ，再利用二倍角公式计算
可得；
【详解】
解：（1） 离心率 ，
又 双曲线方程 ，
把点 代入双曲线方程得 解得 ，
故双曲线 的方程为
（2）由（1）知：双曲线方程
①当直线 的斜率不存在时，则 ，此时
②当直线 的斜率存在时，设 其中
因为 故 故渐近线方程为 ，
所以
又 ，
所以
又
综上：存在常数 满足
20．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切且与圆 内
切，设圆心 的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
（2）若 ， 是曲线 上的动点，且直线 过点 ，问在 轴上是否存在定点 .使得( 为坐标原点).若存在，请求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，定点 .
【分析】
（1）设动圆的圆心为 ，利用两圆外切和内切的关系得到 ，由椭圆的定义即
可得到动点 的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；
（2）假设存在定点 符合题意，将 转化为 ，利用两点间斜率公式代入
化简，再联立直线与椭圆的方程，消去 得到韦达定理，由两个关系式化简整理即可得到答案．
【详解】
（1）设动圆的半径为 ，圆心为 ，
则有 ，
所以 ，
即 在以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆上，
设 ( )，于是 ， ， .
所以点 的轨迹方程为 .
（2）假设存在定点 符合题意，当直线 的斜率 存在时；
设其方程为 ， ， .
由 ，得直线 ， 的倾斜角互补，
故
又
∴ ①，由 消去 ，整理得： .
此时 ，
又 ， ，②
将②带入①得： ，③
∵ 不恒为0，∴当且仅当 时，③式成立
∴当直线 的斜率 存在时，存在定点 满足题意
当直线 的斜率不存在时，点 也满足 ，符合题意.
综上所述：
在 轴上存在定点 ，使得 .
类型二:存在性问题---面积关系1-20题1．设直线 与双曲线 交于M，N两个不同的点，F为右焦点.
（1）求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；
（2）当 时，设直线 与C交于M，N，三角形 面积为S，判断：是否存在k使得
成立？若存在求出k的值，否则说明理由.
【答案】
（1）双曲线的渐近线方程为 ，它们所夹的锐角为
（2）存在， 或
【分析】
（1）令 得出渐近线方程，而后求出所夹的锐角；
（2）将直线方程代入到双曲线方程消去x并化简，进而利用根与系数的关系结合三角形面积公式求得答案.
（1）
由题意，令 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，易得它们所夹的锐角为 .
（2）
右焦点F的坐标为 ，
设 ，联立 得 ，
化简得 或 且 ，
所以 ，又 ，所以三角形 面积，即 或
，满足题意，所以存在 或 使得 成立.
2．已知椭圆 ， ， 为左、右焦点，直线 过 交椭圆于 ， 两点．
（1）若直线 垂直于 轴，求 ；
（2）当 时， 在 轴上方时，求 、 的坐标；
（3）若直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直
线 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2） ， ，
（3）存在， 或
【分析】
（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得 ， 的坐标，则 可求；
（2）设 ， ，由 ，利用数量积为0求得 与 的方程，再由 在椭圆上，得
与 的另一方程，联立即可求得 的坐标．得到直线 的方程，与椭圆方程联立即可求得 的坐标；
（3）设 ， ， ， ， ， ， 由条件可得 ，再结合韦达定理列方
程即可.
（1）依题意， ，当 轴时，则 ， ，得
（2）
设 ， ， ，
，
又 在椭圆上，满足 ，即 ，
，解得 ，即 ．
直线 ，
联立 ，解得 ， ；
所以， ， ，
（3）
设 ， ， ， ， ， ，
直线 ，
则 ，
．
联立 ，得 ．
则 ， ．
由直线 的方程： ，得 纵坐标 ；
由直线 的方程： ，得 的纵坐标 ．
若 ，即 ，，
， ，
代入根与系数的关系，得 ，解得 ．
存在直线 或 满足题意．
3．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆上任意一点 到焦点距离的最小值
与最大值之比为 ，过 且垂直于长轴的椭圆 的弦长为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线与椭圆 相交的交点 、 与右焦点 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？
若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）根据题意得到 和 ，结合 ，联立方程组，求得 的值，即可求解；
（2）设 的内切圆半径为 ，由 ，根据椭圆的定义，化简得到
，设直线 ，联立方程组，结合根与系数的关系，化简得到，根据函数的单调性，即可求解.
【详解】
（1）由题意，椭圆上任意一点 到焦点距离的最小值与最大值之比为 ，
可得 ，即 ，
又由过 且垂直于长轴的椭圆 的弦长为 ，可得 ，
联立方程组，可得： ， ，所以 ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）设 的内切圆半径为 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，
要使 的内切圆面积最大，只需 的值最大，
由题意直线 斜率不为 ，设 ， ，直线 ，
联立方程组 ，整理得 ，
易得 ，且 ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
设 ，可得 ，
所以当 ，即 时， 的最大值为 ，此时 ，所以 的内切圆面积最大为 .
4．已知平面直角坐标系上一动点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍．
（1）求点 的轨迹方程：
（2）若点 与点 关于点 对称，求 、 两点间距离的最大值；
（3）若过点 的直线 与点 的轨迹 相交于 、 两点， ，则是否存在直线 ，使 取得最
大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）14；（3）存在； 或 ．
【分析】
（1）由已知列关于 ， 的方程化简即可求得点 的轨迹方程；
（2）设 ，由点 与点 关于点对称，可得点 坐标为 ，把 的坐标代入（1）中的轨迹
方程，整理可得点 的轨迹方程为 ，由此可得 、 两点间距离的最大值；
（3）由题意知 的斜率一定存在，设直线 的斜率为 ，且 ， ， ， ，则 ，联立
直线与圆的方程，由判别式大于0求得 的范围，再求出 及 到直线 的距离，代入三角形面积公式，
利用配方法求最值，得到 值，可得直线方程．
【详解】
解：（1）由已知， ．
，即 ，
（2）设 ，因为点 与点 关于点 对称，
则 点坐标为 ，
点在圆上运动，
点 的轨迹方程为 ，即： ，
；
（3）由题意知的斜率一定存在，设直线 的斜率为 ，且 ， ，
则 ： ，
联立方程： ，
，
又 直线 不点 ， ．
点 到直线 的距离 ， ，
，
， ，
当 时， 取得最大值 ，此时， ，
直线 得方程为 或 ．
5．在直角坐标系 中，已知点 ， ，直线 ， 交于 ，且它们的斜率满足：
.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设过点 的直线 交曲线 于 ， 两点，直线 与 分别交直线 于点 ， ，是否存在常数 ，使 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
(1)设点 ，利用 得点 的轨迹方程；
(2)由题设直线 的方程为 ，联立直线 与 的轨迹方程，结合韦达定理求出 的面积，再通
过点 ， 推出点 ， 的坐标，再求出 的面积，根据两个面积的关系可确定 的
值.
【详解】
(1)设 ，由 ， ，得 ， ，
∵ ，∴ ，
整理得： .
(2)存在常数 ，使 .证明如下：
由题意，直线 的斜率存在，且过点 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，
由韦达定理得， ， .
.
所以 .
直线 的方程为 ，取 ，得 ，直线 的方程为 ，取 ，得 .
所以
.
∴ .
∴ .
故存在常数 ，使 .
6．在①离心率 ，②椭圆 过点 ，③ 为椭圆上一点， 面积的最大值为 ，这三个条件
中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆 的左、右
焦点分别为 、 ，已知椭圆 的短轴长为 ，______.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 交椭圆 于 、 两点，请问 的内切圆 的面积是否存在最大值？若存在，求出
这个最大值及直线 的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在直线 ， 的内切圆 的面积最大值为 .【分析】
（1）选①离心率 ，得到方程组 ，解之即可求出结果；
选②椭圆 过点 ，得到方程组 ，解之即可求出结果；
选③先分析出 面积的最大时，点 为椭圆得上顶点或者下顶点，得 ，解之即可求出
结果；
（2）根据题意分析出当 最大时， 也最大， 内切圆的面积也最大，因此只需要求出 的
最大面积，设出直线方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出 的面积，换元法结合导数求出
函数的最值，进而求出结果.
【详解】
解：（1）选①离心率 ，
依题意 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ;
选②椭圆 过点 ，依题意 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ;
选③ 为椭圆上一点， 面积的最大值为 ，由于 面积的最大时，点 为椭圆得上顶点或者
下顶点，所以 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ;
（2）设 内切圆 的半径为 ，则 的面积
，
当 最大时， 也最大， 内切圆的面积也最大，
设 ， ， ， ， ， ，
则 ，
显然直线得斜率不为0，所以设直线的方程为
由 ，得 ，
，
， ，
，所以 ，
令 ，则 ，且 ，有 ，因为
令 ，
当 时， ，则 在 ， 上单调递增，有 ，
，即当 ， 时， 有最大值3，得 ，
这时所求内切圆的面积为 ，
所以存在直线 ， 的内切圆 的面积最大值为 .
7．双曲线 的中心在原点 ，焦点在 轴上，且焦点到其渐近线 的距离为2．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，与其渐近线分别交于 ，
（从左至右）两点．
①证明： ；
②是否存在这样的直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）①见详解；② .
【分析】
（1）根据双曲线的基本量的运算，结合距离公式即可得解；
（2）①若要证明 则需求得各点坐标利用距离公式来证，可设直线l方程为y＝kx+2，和椭圆方程
联立利用韦达定理求得A，B两点间的相关关系，再分别和渐近线联立求得M、N两点坐标即可得证；对
②进行转化可得 ，化简求值即可得解.
【详解】（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x，
由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线 ，
渐近线的方程为 ，焦点F（±c，0），
所以 解得a＝1，b＝2，
所以双曲线的方程为 ；
（2）①由（1）知双曲线的方程为 ，
其渐近线的方程为y＝±2x，设直线l：y＝kx+2，
因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2，
联立 ，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，
设A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
所以x+x＝ ，xx＝ ，
1 2 1 2
联立 ，解得x＝ ，y＝ ，则M（ ， ），
联立 ，解得x＝ ，y＝ ，则N（ ， ），
所以|AM|＝ ，|BM|＝ ，
所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x﹣ ）2﹣（x+ ）2]
1 2
＝（1+k2）[（ ﹣x﹣ ）2﹣（x+ ）2]
2 2＝（1+k2）[（﹣ ﹣x）2﹣（x+ ）2]
2 2
＝（1+k2）[（ +x）2﹣（x+ ）2]＝0，
2 2
所以|AM|＝|BN|．
②由 共线，可得 ，
由①可得 ，
解得 ，所以 符合题意，
所以直线 的方程为 .
8．已知椭圆 的离心率 ，点A，B，N分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不过原点 直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且直线 的斜率依次成等比数列.椭
圆 上是否存在一点 ，使得以 为邻边的平行四边形 的面积为定值？若存在，求出该定值；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）利用向量的坐标表示可得 ，结合已知条件求 、 ，写出椭圆方程即可.
（2）设直线 为 ， ，则 ，由题设可得 、、 ，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求 、 ，可求
、 ，进而求得 、 ，即可确定 的面积是否为定值.
【详解】
（1）由题意， ，又 ，
∴ ，又 且 ，
∴ ， ，故椭圆 .
（2）设直线 为 ， ，则 ，
∴由题设知： 且 ， ，
联立直线与椭圆方程得： ，
∴ ，
∴ ，而O到 的距离 ，
∴ ，而 ，
∴ ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，此时符合题设，∴ 为定值.
9．已知抛物线 ，椭圆 ，若抛物线过点 ，抛物线与椭圆有
共同的焦点 ，且椭圆 的离心率 ．
（I）求椭圆与抛物线的方程；
（II）直线 的方程为 ，若不经过点 的直线 与抛物线交于 ， （ ， 分别在 轴两侧），与
直线 交于点 ，与椭圆交于点 ， ，设 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，若 ．
（i）证明：直线 恒过定点；
（ii）点 关于 轴的对称点为 ，试问 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不
存在，请说明理由．
【答案】（I）椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ；（II）（i）证明见解析，（ii）
存在， ．
【分析】
(1)用待定系数法分别求出抛物线和椭圆的方程.
(2)（i）当直线 的斜率 ，不合题意；当斜率存在且不为 ，设 和点 ， ，
联立抛物线方程，消元得一元二次方程，由韦达定理知 和 的值，结合点坐标表示出 代
入 得出 即可得出结果.
（ii）设点 ， ， ，直线 ： ，联立椭圆方程，消元得一元二
次方程，由韦达定理知 和 的值，得出 过定点 ，进而 ，结合基本不等式即可.
【详解】
（I）设椭圆的半焦距为 ，
因为抛物线与椭圆有共同的焦点 ，
所以 ， ．
因为椭圆 的离心率 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ，
抛物线 的方程为 ．
（II）（i）证明：当直线 的斜率 时，不符合题意；
当直线 的斜率存在且不为 时，设直线 ，令 ，得 ，
故点 ，设点 ， ，
联立 ，消去 得 ，
则 ， ， ，
直线 的斜率 ，
同理得直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ．
因为 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，
所以 或 ．
当 时， ，与A， 在 轴两侧矛盾；
当 时，直线 的方程为 ，即直线 恒过点 ．
（ii）设点 ， ， ，
直线 ： ，代入椭圆 的方程消去 得 ， ，
则 ， ，
所以直线 ： ．
令 ，得 ，
所以 过定点 ，
所以 的面积 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的面积存在最大值，最大值为 ．
10．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的四个顶点围成的四边形的面积为 ，
左、右焦点分别为 、 ，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；（2）过 的直线 与椭圆 相交于 、 两点， 的内切圆 的面积是否存在最大值？若存在，求出
这个最大值及直线 的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，直线 的方程为 .
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）设直线 的方程为 ，设 、 ，联立直线 的方程与椭圆 的方程，列出韦达
定理，利用换元法结合导数法可求出 面积的最大值，进而可得出圆 的半径及直线 的方程.
【详解】
（1）依题意有 ，解得 .
所以椭圆 的标准方程是 ；
（2）设 内切圆 的半径为 ，
则 的面积 ，
当 最大时， 也最大， 内切圆的面积也最大．
设直线 的方程为 ，由 ，得 ，
，
设 、 ，则 ， ，
所以， ，令 ，则 ，且 ，则有 ，
令 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在区间 上为减函数，则 ，
此时， ，解得 ，则直线 的方程为 .
所以， 有最大值 ，得 ，此时所求内切圆的面积为 ，
所以存在直线 ，使得 的内切圆 的面积最大值为 .
11．已知椭圆C： 的左顶点为 离心率 ，过点A的直线 与椭圆交于点
B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设AB的中点为 ，射线 与椭圆 交于点 ，是否存在直线 使 的面积是 面积的3
倍？若存在，求直线 的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， 或 .
【分析】
（1）由 ， ，结合 即可求解.
（2）设直线 ： ，将直线与椭圆联立，求出点 坐标以及直线 ，再将直线 与椭圆联立，
求出 ，得出 ，再由三角形面积 ，得出 ，即 ，解方法
即可求解.
【详解】
（1）因为 ， ，且 ，解得 ，所以椭圆C的方程为 .
（2）由题意可知直线的斜率存在，
设直线 ：
，消 化简可得 ，
设 ，
故 ， ，
所以 ， ，所以 ，
故 ，
所以 ： ，
，解得 ， ，
所以 ， ，
由 ， ，且 ，
即 ，
即 ，
所以 ，即 ,
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
12．已知圆 ，动圆M过点 且与圆C相切.
（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；
（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，
试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）是定值，定值为 .
【分析】
（1）由题意分析出M的轨迹是椭圆，即可求出椭圆方程；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出四边形OAPB的面积，整理证明得定值.
【详解】
解：（1）因为 ，所以点D在圆内.
又因为圆M过点D且与圆C相切，所以 ，
所以 .
即点M的轨迹是以C，D为焦点的椭圆.
则 ，即 .
又因为 ，所以 .
故动圆圆心M的轨迹E的方程为： .
（2）当直线AB的斜率不存在时，可得直线AB的方程为 ，此时 ，所以四边形OAPB的
面积 .
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 ，由 整理得， .
因为直线l与轨迹E相交于A，B两点，
所以 .
设 ， ，则 ， .
所以 .
设AB的中点为Q，
则Q的坐标为 .
因为四边形OAPB为平行四边形，所以 ，
所以点P的坐标为 .
又因为点Р在椭圆上，所以 .
整理得， .
又因为 ，
原点О到直线AB的距离为 ，
所以平行四边形OAPB的面积 .
综上可知，平行四边形OAPB的面积为定值 .13．已知A，B分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 的上顶点，
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知动点 在椭圆 上，两定点 ， ．
①求 的面积的最大值；
②若直线 与 分别与直线 交于 两点，问：是否存在点 ，使得 与 的面积相等？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）① ；②存在；点 或 ．
【分析】
（1）由题意可得 得出 ，即可求解；
（2）①设 ，写出直线MN的方程，进而可得点P到直线MN的距离为d，由两点之间的
距离可得 ，进而可得 ，即可求解.
②设 ,则 写出直线MP，PN的方程，解得C, D的坐标，求出|
CD|,进而可得 ,由 与 面积相等，解得 , 即可得出答案.
【详解】
（1）由题意得 ，则 ， ．
由 ，得 ，即 ，
所以椭圆E的方程为 ．
（2）①设 ，直线 即： ，点P到直线MN的距离 ，
，
则 ，即 ，
②设 ， ，点P到直线MN的距离 ，
．
直线 ，令 ，可得 ，
直线 ，令 ，可得 ，
， 到直线CD的距离为 ，
，
与 面积相等， ，
故 （舍）或 ，
解得 ，带入椭圆方程得 ，
故点 或 ．
14．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：
k ﹣k ＝﹣2．
AD BD
（1）求点D的轨迹C的方程；（2）设过点（0，2）的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是
否存在常数入，使 ＝λ ，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
OPQ OMN
【答案】（1）x2＝2y ；（2）存在，值为4．
【分析】
（1）用直接法求曲线方程；
（2）用“设而不求法”分别表示出 和 整理化简得求出.
OPQ OMN，
【详解】
解：（1）设D（x，y），由A（﹣2，2），B（2，2），
得 ， ，
∵k ﹣k ＝﹣2，∴ ，
AD BD
整理得：x2＝2y ；
（2）存在常数入＝4，使 ＝λ ．
OPQ OMN
证明如下：
由题意，直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+2，P（x，y），Q（x，y）．
1 1 2 2
联立 ，得x2﹣2kx﹣4＝0．
则x+x＝2k，xx＝﹣4．
1 2 1 2则 ．
直线OP：y ，取y＝﹣1，得 ，
直线OQ：y ，取y＝﹣1，得 ．
则|x ﹣x |＝| |＝
M N
．
∴ ．
∴ ＝4 ．
OPQ OMN
故存在常数λ＝4，使 ＝λ ，．
OPQ OMN
15．已知椭圆 ： 的左、右顶点分别是 ， ，右焦点为 ，点 是椭圆 上一动点（异于 ，
），点 与点 关于原点对称，分别连接 ， 并延长交于点 ，连接 并延长交椭圆 于点 ，
记 的面积与 的面积分别为 ， ．
（1）当 的坐标为 时，求 的值．
（2）是否存在点 使得 ？若存在，求出点 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）存在， .
【分析】
（1）先根据题意写出直线 ， ， 的方程，再建立方程组求 ， 两点的坐标，然后将 的
面积与 的面积之比转化为点 ， 的纵坐标的绝对值之比即可得解；
（2）先设 点坐标，得到直线 ， 的方程，然后联立直线 与直线 的方程得点 的坐标，再根据面积关系和 ， ， 三点共线，求出点 的坐标，然后利用点 ， 在椭圆 上，得到方程，最后解
出点 坐标．
【详解】
解：（1）由已知得 ， ， ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 和直线 的方程，解得 ．
易知直线 的方程为 ，与椭圆 的方程 联立，消去 得 ，则
，又 ，所以 ．
所以 ．
（2）假设存在点 ，使得 ，
则 ①，
由（1）知 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立直线 ，直线
的方程，解得 ，
因为 ，且 ， ， 分别位于 轴两侧，故可得 ．
因为 ， ， 三点共线，则 ， ， ，所以 ，即
，解得 ，
又点 在椭圆 上，故 ②．
联立①②，解得 ， ，所以存在点 ，使得 ．
16．已知椭圆 ，拋物线 ，点 ，斜率为 的直线 交拋物线于
两点，且 ，经过点 的斜率为 的直线 与椭圆相交于 两点.
（1）若拋物线的准线经过点 ，求拋物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在 ，使得四边形 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及 的值；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1）标准方程为 ，焦点(1，0)；（2）存在，面积最大为 ， .
【分析】
(1)由抛物线的准线方程 根据条件可得 可求出 的值，从而得到答案.
(2) 设 ，由 ，即得到 设点 到 的距离 ，则四
边形 的面积 ，然后方程联立求出弦长 ，由点到直线的距离公式求出 ，从
而求出答案.
【详解】解：（1）抛物线的准线方程 焦点坐标 ，
则 抛物线的标准方程为 焦点(1，0)
（2）设
由 得点 在直线 上，且
设点 到 的距离 ，四边形 的面积 .
由 ,得
则 ,则
因为 所以所以
由 的斜率分别为 可设
有
故直线 ，令
则直线 代入椭圆方程 ，得
点 到 的距离 ，
四边形的面积
当且仅当 时面积最大为
17．如图所示，已知 、 分别是椭圆 ： 的左、右顶点，点 是椭圆 上位于 轴上方的动点，
点 与点 关于 轴对称，直线 ， 与 轴分别交于 ， 两点.（1）求线段 的长度的最小值；
（2）当线段 的长度最小时，在椭圆 上是否存在这样的点 ，使得 的面积为1？若存在，确定
点 的个数，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；（2）存在，两个.
【分析】
（1）设直线 的方程为 ，用 表示出 的坐标，最后把 的长度表示成 的函数，
再运用基本不等式即可；
（2）点 在平行于直线 且与直线 的距离等 的直线上，问题转化为直线与椭圆交点个数问题.
【详解】
（1）设直线 的方程为 ，从而可知 点的坐标为 ，
由 得 ，∴ ，
所以可得 的方程为 ，从而可知 点的坐标 .
∴ ，当且仅当 时等号成立，
故当 时，线段 的长度取最小值2.
（2）由（1）知，当 取最小值时， ，此时 ，
直线 的方程为 ，∴ .
要使椭圆 上存在点 ，使得 的面积等于1，只需 到直线 的距离等于2，所以点 在平行于直线且与直线 的距离等 的直线 上.
设直线 ： ，则有 ，解得 或 ；
则直线 ： 或 ，
由 得 ，则 ，方程无解；
而 与椭圆有两个交点.所以这样的点 有两个.
18．如图，已知抛物线 的焦点为 ，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在
A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.
（1）求证：点N在定直线上；
（2）是否存在点N，使得 的面积是 的面积和 的面积的等差中项，若存在，请求出点N
的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【分析】
（1）由题意设直线 ， ， ，将直线与抛物线方程联立求出两根之和、两根之
积，求出直线 以及直线 ，将两直线联立求出交点即证.
（2）由（1）知点N为 的中点，取 的中点E，则 ，利用抛物线的定义可得 ，， ， ，根据 ，可得
，即 ，结合韦达定理即可求解.
【详解】
解（1）由题知
所以
设直线 ， ，
联立 得
所以
对 求导得
所以直线 的斜率为
所以直线 即 ①
同理直线 ②
联立①和②得
所以点N的坐标为 ，即点N在定直线 上
（2）由（1）知点N为 的中点
取 的中点E，则
由题知
所以所以
而 ，
若存在点N满足题意
则
即
所以 即 ③
又因为 ④
将③代入④解得
由（1）知 即
经检验，存在 满足题意.
19．已知椭圆C 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，M为C上一点，
面积的最大值为 .
（1）求C的标准方程；
（2）设动直线l过 且与C交于A，B两点，过 作直线l的平行线 ，交C于R，N两点，记 的面
积为 ， 的面积为 ，试问： 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1） ；（2）存在，最大值为6.
【分析】（1）根据离心率可以得到关系式 ，根据 面积的最大值为 ，可得到 ，根据椭
圆中有 ，三个关系式可解出 ，从而得到椭圆方程.
（2）根据题意，分斜率存在和不存在的情况，设出直线l的方程. 再设出A,B坐标，与椭圆方程联立，求
出 关系式.表示出 ，换元，利用基本不等式求出最大值.
【详解】
解：（1）设椭圆C的半焦距为c，由题知 面积取得最大值时，为 为上下顶点时取得，故
则 ，解得
所以椭圆方程 .
（2）当直线l斜率存在时，设直线 ， ， ，
将 代入 ，
得 ，
恒成立，
所以 ， ，
由 ，则 ， ，
则 ，，
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时取到等号，
即 ， 时， 取最大值为6.
当直线l的斜率不存在时，不妨设 ，
， ，
.
综上，当 时， 的最大值为6.
20．已知椭圆C∶ ( )的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，M为C上一点，
面积的最大值为 .
（1）求C的标准方程；
（2）已知点 ，O为坐标原点，不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点，且 .试问
∶ 的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1） ；（2）存在，最大值为6.
【分析】
（1）根据椭圆的离心率公式、椭圆的性质、椭圆中 的关系进行求解即可；
（2）通过直线斜率与倾斜角之间的关系，由 可以得到 ，这样利用直线方程与椭
圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式、换元法、基本不等式进行求解即可.
【详解】
（1）设椭圆C的半焦距为c，
由题， 面积最大值为 ，则 ，解得
所以椭圆方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
将 代入 ，得 ，
，由 得 ，
， ，
由 ，得 ，即 ， ，
整理得 ，
即 ，
所以 ， ，
所以直线l： 经过 ，且 恒成立，
，，
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即 ， 时， 的面积取最大值为6.
类型三:存在性问题---向量关系1-20题
1．已知椭圆C： 的离心率为 ，且 是C上一点．（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点 作直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使 为定值？若存在，
求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在； ，该定值为
【分析】
（1）根据题意，将点代入椭圆方程，再椭圆离心率公式和 ，由此即可求出结果；
（2）设直线AB的方程为 ，将其与椭圆方程联立化简，求出韦达定理，设 根据数量积公
式和韦达定理化简可得 ，根据 为定值，即可求出结果.
（1）
解：由题意知 ，∴椭圆C的方程为 ．
（2）
解：设直线AB的方程为 ， ， ，，即 ，
所以
假设存在这样的 符合题意，则 ，
，要使其为定值，则 ，解得 ．
∴存在 符合题意，该定值为 ．
2．已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴，长轴长为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过椭圆的左焦点 作直线 ，且直线 交椭圆 于 ， 两点，问 轴上是否存在一点 ，使得
为常数，若存在，求出 坐标及该常数，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）在 轴上有在定点 ，使得 恒为常数，这个常数为
【分析】
（1）利用待定系数法设出椭圆的标准方程，由椭圆的几何性质，列出方程组，求出 ， 的值，再利用 ，
， 的关系求出 ，即可得到答案；
（2）①当直线 与 轴不垂直时，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后利用数量积
的坐标表示结合韦达定理化简 ，利用它是常数，求出 的值，得到 坐标及该常数；②当直线 与
轴垂直时，求出 ， 的坐标，求出 的值以及常数．结合以上两种情况，即可确定答案．
（1）
设椭圆 的标准方程为 ，
由题意可得， ，解得 ，
所以 ，
故椭圆 的方程为 ；
（2）
由（1）可知， ，
假设在 轴上存在一点 ，使得 恒为常数．
①当直线 与 轴不垂直时，设其方程为 ，设 ， ， ， ，
联立方程组 ，可得 ，
所以 ， ，
故，
因为 是与 无关的常数，
则有 ，即 ，
此时 ；
②当直线 与 轴垂直时，此时点 、 的坐标分别为 ， ，
当 时，亦有 ．
综上所述，在 轴上有在定点 ，使得 恒为常数，这个常数为 ．
3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点 ；过点 的直线l与椭
圆C相交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，满足 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在直线l满足条件，其方程为
【分析】
（1）设椭圆C的方程为 ，根据椭圆C的长半轴长为2，且经过点 ，可得，即可得到答案；
（2）由题意得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为： ，利用韦达定理，代入向量等式可得
，求出 的值，即可得到答案；
（1）
（1）∵中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点 ，
∴设椭圆C的方程为 ，
由题意得 ，解得 ，
∴椭圆C的方程为 ．
（2）
∵过点 的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
∴若存在直线l满足题意，则直线l的斜率必存在，
设直线l的方程为： ，
由 ，
得 ，
∵直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，
设A、B两点的坐标分别为 ，
∴ ，
整理，得 ，解得 ，
又 ，∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，∵ ，∴ ，
∴存在直线l满足条件，其方程为 ．
4．椭圆 与抛物线 有一个公共焦点且经过点 .
（1）求椭圆 的方程及其离心率；
（2）直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为原点，是否存在点 满足 ，
，若存在，求出 的取值范围，若不存在，请说明理由
【答案】（1） ， ；（2）存在， 或 .
【分析】
（1）由题意，椭圆的 ，再代入 ，联立即得解 ， ，再由 即可得离心率；
（2）由题意，R为 的重心，将直线与椭圆联立，借助韦达定理可得
，且 在圆 上，代入可得
，由 可得， ，代入可得 ，结合 的范围可得解.
【详解】（1）由题意，抛物线的标准方程为 ，
∴抛物线焦点坐标为
即在椭圆中 ， ，
将点 代入曲线 的方程，
得
由 得 ，
， ，
则椭圆 的方程为
则椭圆的离心率
（2）存在符合要求的点 .
直线 与椭圆 相交于 ， 两点，
联立方程 ，整理得
设 ， 两点坐标为 ， ，
则 ，
，
得
∵点 满足 且 ，
的重心 在圆 上，
，
即 ，
，
，
即 ，
，
，
令 ，
则 ，
则 ，
或
5．已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点 的距离小1.
（1）求曲线C的方程；
（2）过F作弦 ， ，设 ， 的中点分别为A，B，若 ，求 最小值并求弦 ，
所在直线的方程；（3）是否存在一定点T，使得 ？若存在，求出T的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】（1） ；（2）最小值为4， 或 ；（3）存在， .
【分析】
第（1）小题，易得动点M到直线 的距离与到点 的距离相等，符合抛物线的定义，由求轨迹
方程的定义法，即得曲线C的方程；
第（2）小题，以直线 的斜率为k参数，则易得 的斜率为 ，分别求出A，B坐标（在求出A点坐
标后，把坐标中的k用 代，即得B点的坐标），从而求向量 的模，并运用基本不等式求 的最小
值，由等号成立的条件确定k的值，得 、 所在直线的方程；
第（3）小题，是探索性问题，首先由条件 ，通过向量变形可确定A，T，B三点共线，再探
求直线 是否过定点.
【详解】
解：（1）由条件M到 的距离等于到直线 的距离，所以曲线C是以F为焦点，直线 为
准线的抛物线，其方程为 .
（2）设 ，代入 得， .
由韦达定理 ∴ ， .
∴ ，∵ ，∴ ，只要将A点坐标中的k换成 ，得 .
故 （当且仅当 时取“=”）.
∴ 最小时，弦 、 所在的直线方程为 ，即 或 .（3）∵ ，即A，T，B三点共线，，是否存在一定点T，使
得 ，即探求直线 是否过定点，由（2）知，直线 的方程为
.
即 .
∴直线 过定点 .
故存在一定点 ，使得 .
6．已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴
长为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点 的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足 （O为坐标原
点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）由题意得 ，解方程组可求出 的值，从而可求得椭圆C的标准方程；
（2）当直线 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
， ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去 ，利用根与系数的关系，再结合可求出 的值，从而可求出直线方程
【详解】
（1）由题意得： ，解得
∴椭圆 的标准方程是
（2）当直线 的斜率不存在时， ，
，不符合题意
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ， ，
由 消 整理得：
，
解得 或
，
∴
∵
∴
解得 ，满足所以存在符合题意的直线，其方程为 .
7．已知椭圆 的离心率为 ，两焦点 ， 与椭圆上的顶点 构成边长为2的等边
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？如果有，
求出点 的坐标及定值；如果没有，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在点 ，定值为 .
【分析】
（1）根据 是等边 且边长为2，及 ，列出方程组，可求解 ；
（2）当直线斜率存在时，用坐标表示：
代入韦达定理即得解，当斜率不存在时，验证成立即可
【详解】
（1）∵ ，∴ ， ，
∵ 是等边 且边长为2，∴ ， ，又 ，∴ ，
故 ， ， ，∴椭圆方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ， ， ，
，则 .若存在定点 满足条件，
则有
，
如果要上式为定值，则必须有
因此点 ；
当直线 斜率不存在时，直线 ，代入椭圆方程可得
此时 成立；
故存在点 满足 .
8．设直线 ： 与双曲线 ： 相交于A，B两点， 为坐标原点．
（1） 为何值时，以 为直径的圆过原点？
（2）是否存在实数 ，使 且 ？若存在，求 的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， ．
【分析】
（1）将直线方程与双曲线方程联立消去y，由根与系数的关系得到两根关系，再根据以 为直径的圆过
原点，得到 ，进而得到两点坐标间的关系，进而解出答案；
（2）先假设存在，利用 得到 的比值，然后利用 化简得到两点的坐标关
系，进而得到答案.
【详解】（1）由 ， 消去 整理得 .
依题意得 ， ，∴ 且 ，
设 ， ，由根与系数的关系得： ， ，
又以 为直径的圆过原点，所以 ，即 ，
，则 ，所以 ．
（2）假设存在实数 满足条件．
∵ ， ，∴ ， ．
又 ，故 ，即 ，
所以 ，∴ ，故存在实数 满足题意．
9．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，长轴端点和短轴端点的距离为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 上异于椭圆 端点的任意一点，过点 且平行于 的直线 与椭圆 相交于 ，
两点（点 为坐标原点），是否存在实数 ，使得 成立？若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）首先根据题意得到 ，再解方程组即可得到答案。（2）首先设过点 的直线 ： ，设 ， ，与椭圆联立得到
，从而得到
，联立 得到
，根据 得到 ，代入求解即可。
【详解】
（1）依题意得 ，
所以椭圆 的方程： 。
（2）因为 是椭圆 上异于椭圆 端点的任意一点，且 ，故直线 的斜率存在．
设过点 的直线 ： ，设 ， ．
由 ，消去 并整理，得 ．。
由 。
又因为 ，
．
综上，存在实数 ，使得 成立，且 ．
10．已知椭圆 的右焦点F 是抛物线 的焦点，过点 垂直于 轴的直线被椭圆
2
所截得的线段长度为3．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ．请问：在x轴上是
否存在定点，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）由题知焦点坐标为(1，0)，进而根据待定系数法求解即可；，
（2）假设在x轴上存在定点 ，使得 为定值，设 ，则 ，进而联立方
程得 ，故 ，进而令 即可求解得答案.
【详解】解：（1）∵抛物线 的焦点坐标为(1，0)，椭圆C过点 ，
∴ ，解得 ，
∴
（2）假设在x轴上存在定点 ，使得 为定值.
设 ，则 ，由 ，得 ，
∵动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ，
∴ ,即 ，
此时 ，
∴ .
∴
∴
∴当 时，即 ，
∴存在点 ，使得 为定值
11．双曲线 ： 的顶点与椭圆 ： 长轴的两个端点重合，且一条渐近线
的方程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）过双曲线 右焦点 作直线 与 分别交于左右两支上的点 ， ，又过原点 作直线 ，使 ，且与双曲线 分别交于左右两支上的点 ， ．是否存在定值 ，使得 ？若存在，请求
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在； .
【分析】
（1）利用椭圆方程先求出a和b，直接写出双曲线的方程；
（2）若存在定值 ，使得 ，则 ，设出 的方程，分别与双曲线联立，用设
而不求法表示出 和 ，求出 .
【详解】
解：（1）由椭圆 ： 得到： ，
双曲线的渐近线方程为 ，得到： ，解得： .
则双曲线 的方程 ．
（2）若存在定值 ，使得 ，∵ 与 同向，∴ ，
∵ ，设 ： ，由 消去 整理得： ，∴ ，
由 交 左右两支于 、 两点，
有 ，即 ，则 ，，
由于 ，可设 ： ，由 消去 整理得： ，∴ ，
由此 ，
∴ ，故存在定值 ，使得 ．
12．椭圆 的上下焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为椭圆 上的一个动点，
的面积最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作直线与椭圆 相交于 ， 两点，是否存在 轴上的点 ，使得 为定值？
若存在，求出 ；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在； ．
【分析】
（1）根据离心率可得 ，根据面积得 ，求得 即可得出方程；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，可化简得出 ，满足
即可.
【详解】
（1）离心率 ，所以 ，所以 ．
因为 的面积最大值为 ，所以 ，即 ，所以 ，故 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）假设存在符合要求的点 ．
若直线 斜率存在，则可设直线 的方程为 ．
联立 ，消去 ，整理得 ．
由题意可知 ，设 ， ，
则 ， ，
因为 ， ，
所以
若 为定值，则 ，解得 ，
则 ，此时 ．
若直线 斜率不存在，则直线 的方程为 ，
代人 得 ，
不妨设 ， ，此时若取 ，则 ， ，故 ．
综上所述，存在 轴上的点 ，使得 为定值，此时 ．
13．已知椭圆 过 ， 两点，直线 交椭圆 于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 过点 ，是否存在常数 ，使得 为定值，若存在，求 的值及定值；若不
存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， ， 为定值 .
【分析】
（1）由已知条件可得 ，再将点 的坐标代入椭圆方程中可求出 的值，从而可求出椭圆
的标准方程；
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 为 ，将直线方程代入椭圆方程中，消去 后，再利用根
与系数的关系，然后由 化简后代入前面的值，
可得 ，从而有 ，可求出 ，进而可得结果，当当直线 斜
率不存在时，直接可求出 的坐标，从而可求得 的值
【详解】
（1）由已知得 且 ，解得 ，
∴ 椭圆方程为 .
（2）①当直线 的斜率存在时，设直线 为 代入 得：
， ， ，若 为定值，故 ，解得 ，定值为
②当直线 斜率不存在时， ，
所以 ， ， ， ， ，
，当 时，
综上所述，存在常数 ，使得 为定值 .
14．已知椭圆 的左、右焦点 ， 恰好是双曲线 的左右顶点，过
点 的直线交直线 交椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），当 轴时，直线 在y轴上的截距为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上是否存在点M满足： ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在；直线 方程为 ．
【分析】
（1）由题意求出A,B,D坐标，可列出关于a,b,c的方程，求出即可得解；（2）设 ， ，利用向量可得点M的坐标为 ，分斜率存在不存在讨论，当直
线斜率存在时，联立椭圆方程，求出点M坐标，再代入椭圆即可求解.
【详解】
（1）因为双曲线 的左右顶点为 ， ，
所以 ， ，则 ，
因为直线 过点 ，所以当 轴时， ，
因为直线 在y轴上的截距为 ，所以直线 与y轴的交点坐标为 ，
因为原点O是 的中点， 与x轴垂直，
所以 是线段 的中点，
则 ，即 ，
又 ，所以 ，
解得， ， ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）设 ， ，由 得，点M的坐标为 ，
当 轴时，由（1）知， ， ，
所以点 ，此时点M不在椭圆上，不满足条件；
当直线 的斜率存在时，因为 ，所以设直线 的方程为 ，
联立 得， ，
所以 ，
则 ，
由点M在椭圆C上知， ，
即 ，
解得 ，所以 ，则 ，
此时，直线 方程为 ．
15．已知椭圆 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆 的短轴为直径的
圆与直线 相切．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设过椭圆 右焦点且不重合于 轴的动直线与椭圆 相交于 、 两点，探究在 轴上是否存在定点
，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在； ．
【分析】
（1）由椭圆 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆 的短轴为直径的圆与直线
相切，列出方程组，求得 的值，即可求解；
（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，联立方程组，结合根与系数的关系，结合向量的数量积的运算求得 ，进而得到 ，确定定点 ，②当
直线的斜率不存在时，验证成立，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意，椭圆 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆 的短轴为直径的圆与直线
相切，
可得 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
由 ，且 ， ，
假设 轴上存在定点 ，使得 为定值，
则 ，
要使得 为定值，则 的值与 无关，
所以 ，解得 ，
此时 为定值，定点 ，②当直线的斜率不存在时， ， ， ，
则 ， ，可得 ，
综上所述，在 轴上存在定点 ，使得 为定值 ．
16．已知动点P到点 的距离与到直线 的距离之比为 .
（1）求动点 的轨迹 的标准方程；
（2）过点 的直线l交 于M，N两点，已知点 ，直线BM，BN分别交x轴于点E，F.试
问在 轴上是否存在一点G，使得 ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1） ；（2）存在，点 .
【分析】
（1）由直译法列出方程化简即可；
（2）设出直线 方程 ，以及 ， , ， ,通过代换用 表示 ，
化简得到一个常数即可.
【详解】
（1）设点 ，则 ，
化简得
故动点 的轨迹 的标准方程为
（2）设直线 的方程为联立方程组 ，得 ，
得: 或
， .
设 ，定点 存在，其坐标为
， ，
则
令 ，求出与 轴的交点
， ， ，
即有:
即即
当直线 与 轴重合时，
解得
所以存在定点 ， 的坐标为 .
17．已知椭圆C： ，过点 的直线l交椭圆C于点A，B.
（1）当直线l与x轴垂直时，求 ；
（2）在x轴上是否存在定点P，使 为定值？若存在，求点P的坐标及 的值；若不存在，说
明理由.
【答案】(1) (2) 存在点 ，使得
【分析】
(1)将 代入椭圆方程求出点A，B的坐标，从而可得答案.
(2)当直线l与x轴不重合时，设 ，与椭圆方程联立，写出韦达定理，将 的坐标表达式写
出来，将韦达定理代入，分析式子为定值的条件，再验证直线l与x轴重合时的情况，可得答案.
【详解】
(1) 当直线l与x轴垂直时,直线将 代入 ，得 ，解得
即 ,所以
(2) 设
当直线l与x轴不重合时，设
由 ，可得
则
所以 ，
当 ，即 时， 的值为定值 与 无关.
当直线l与x轴重合时，且 时，
所以存在点 ，使得 为定值.
18．已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
（1）求双曲线 的方程；（2）设过点 的直线l与曲线 交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得 为常数？
若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在； ；定点 ．
【分析】
（1）由已知得到a、b、c的方程组，解出a、b、c，即可求出双曲线 的方程；
（2）设直线 的方程为 ，设定点 ，联立方程组，用“设而不求法”表示出 为常数，
求出t，即可求出定点Q.
【详解】
解：（1）由题意， ，解得 ， ．
∴双曲线方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，设定点 ，
联立 ，得 ．
∴ ，且 ，解得 且 ．
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
．∴
为常数，与 无关，
∴ ，即 ，此时 ．
∴在 轴上存在定点 ，使得 为常数．
19．已知椭圆 的离心率 ，过右焦点 的直线 与椭圆交于 ，
两点， 在第一象限，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）在 轴上是否存在点 ，满足对于过点 的任一直线 与椭圆 的两个交点 ， ，都有 为
定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在点 ，满足 为定值．.
【分析】
（1）根据题意得出 ，及 ，直线与椭圆联立解出 即可得出椭圆方程；
（2）设出直线方程（要分类讨论），联立直线与椭圆，将向量的数量积用 的形式表示，再利
用韦达定理整理并分析出得到定值的条件即可求解.【详解】
（1）由 ，及 ，得 ，设椭圆方程为 ，联立方程组
得 ．则 ，
所以 ．所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）当直线 不与 轴重合时，设 ，联立方程组
得 ．
设 ， ， ，则有 ， ．
于是
，
若 为定值，则有 ，得 ， ．
此时 ：当直线 与 轴重合时， ， ，
也有 ．
综上，存在点 ，满足 为定值．
20．已知双曲线 ，直线 交双曲线于 两点.（1）求双曲线 的顶点到其渐近线的距离；
（2）若 过原点， 为双曲线上异于 的一点，且直线 的斜率 均存在，求证： 为
定值；
（3）若 过双曲线的右焦点 ，是否存在 轴上的点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有
成立？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）存在点 ，使得 .
【分析】
（1）由双曲线方程可得顶点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果；
（2）设 ， ， ，表示出 ，将 代入双曲线方程，两式作差
整理可得定值；
（3）当直线 斜率存在时，设 ，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，利用向量坐标运算
可表示出 ，由此可构造方程组求得 ，得到 ；当直线 斜率不存在时，可知
满足 ；综合两种情况可得结果.
【详解】
（1）由双曲线方程可知其顶点坐标为 ，渐近线方程为 ；
由双曲线对称性知：双曲线顶点到任一渐近线的距离相等，
取 ，顶点 ， 所求距离 ，
即双曲线 的顶点到渐近线的距离为 ；
（2）由双曲线对称性知： 关于原点对称，设 ， ， ， ；
均为双曲线上的点， ，两式作差得： ，
，即 为定值 ；
（3）由双曲线方程知： ；
当直线 斜率存在时，设 ，
由 得： ，则 ；
设 ， ，则 ， ，
， ，
；
，解得： ， ；
当直线 斜率不存在时， ， ，此时 使得 ；
综上所述：存在点 ，使得 .类型四:存在性问题---数量关系1-20题
1．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，P为椭圆C上的一个动点.
当P是C的上顶点时，△ 的面积为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率存在的直线 与C的另一个交点为Q，是否存在点 ，使得 ?若存在，求出t
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） ；
（2）存在点 ，使得 ，且 .
【分析】
（1）根据题意，结合椭圆的性质，列方程组求出 、 、 ，即可求解；
（2）根据题意，结合设而不求法以及中垂线的性质，即可求解.
（1）
根据题意，由离心率为 ，得 ，
由当P是C的上顶点时， 的面积为 ，得 ，
△联立 ，解得 ，故椭圆C的标准方程为 .
（2）
根据题意，知 ，设直线 ： ，
联立 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
设 为 的中点，则 .
当 时，若 ，易得 ；
当 时，若 ，则 ，得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，由 ，得 .
综上所述， .
故存在点 ，使得 ，且 .
2．如图所示，已知椭圆 ，与 轴不重合的直线 经过左焦点 ，且与椭圆 相交于 ， 两
点，弦 的中点为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点．（1）若直线 的斜率为 ，求直线 的斜率．
（2）是否存在直线 ，使得 成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2） 或
【分析】
（1）由题意，求出直线 的方程，设出点 ， 的坐标，联立方程组可得 ， 的坐标及其中点 的坐标，
即可得直线 的斜率；
（2）假设存在直线 使得 成立，讨论直线斜率的情况，联立方程组分析可得是否满足题
意，即可得答案.
（1）
解：由已知可得 ，又直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，解得 ， ，
所以 的中点 ，于是直线 的斜率为 ；
（2）
解：假设存在直线 ，使得 成立，
当直线 的斜率不存在时， 的中点 ，
所以 , ，矛盾；
故直线斜率存在，可设直线 的方程为 （ ），
联立直线与椭圆方程得 ，
则 ， ，
于是 ，
点 的坐标为 ，
，
直线 的方程为 ，
联立椭圆于直线 ，得 ，
设 ，则 ，
由题意 ，即 ，
化简得 ，故 ，
所以直线 的方程为 或 .
3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆 的离心率为 ，椭圆 上的一点
满足 轴，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 为椭圆 的左顶点，若点 为椭圆 上异于点 的动点，设直线 的斜率分别为
，且 ，过原点 作直线 的垂线，垂足为点 ，问：是否存在定点 ，使得线段 的
长为定值？若存在，求出定点 的坐标及线段 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1） .
（2）存在， ，线段 的长为 .
【分析】
（1）由 ，得到 ，再由离心率为 ，得到 ，结合 ，求得 的值，即可
求得椭圆的方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程组，得到 ，结合 ，列出方程得到
，求得 ，得出直线 的方程 ，再结合 ，得到点 在以 为直
径的圆上，即可求解.
（1）解：由椭圆 上的一点 满足 轴，且 ，可得 ，即 ，
又由椭圆 的离心率为 ，可得 ，即 ，
因为 ，联立方程组，可得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）
解：由椭圆 ，可得 ，
设直线 的方程为 ，则 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
由 ，可得 ，
即 ，
可得 ，
整理得 ，所以 ，所以 或 （舍去），
所以直线 的方程为 ，即 ，
当 时， ，可得直线 过定点 ，
因为 ，所以点 在以 为直径的圆上，
所以当点 为线段 的中点时，线段 的长为定值，此时线段 的长为 .
4．平面内两个动圆的圆心分别为 ，半径分别为 ，其中 满足 ，且
．
（1）求证：圆 与圆 相交，并求两圆的交点的轨迹E的方程；（2）过点 的动直线l与曲线E相交于C，D两点．在平面直角坐标系 中，是否存在与点P不
同的定点M，使得 恒成立？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在 满足条件.
【分析】
（1）利用椭圆的定义即可求解.
（2）设直线 ，假设存在，将直线与椭圆方程联立消 ，由已知利用韦达定理即可求解.
（1）
（1） ，
，两圆相交，交点为E，
，
所以点E的轨迹为椭圆， ，
所以 ，
又因为 ，
故点的轨迹E的方程为 .
（2）
设 ，假设存在 ，
①若 ， ，
因为 ， ，应在 轴上，记为 ，
②若 时，则 ，消 可得 ，
设 ，且
则 ，
且 在直线 上，
又 ，
，
整理可得 ，
即 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
故存在 满足条件.
5．已知点 ， 分别是直线 及抛物线 ： ( )上的点，且 的最小值为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 交于点 ， ，线段 中点为 ，判断 轴上是否存在点 ，使得
为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，定值为 .
【分析】
（1）由给定条件可得已知直线与抛物线C相离以确定p的范围，再设点B坐标，由点到直线距离而得最
小值即可求解；
（2）假定存在点N(t，0)符合要求，将直线 与 联立消元得一元二次方程，设出点P，Q坐
标，利用韦达定理并借助向量即可作答.
（1）
解：依题意直线y=2x+2与抛物线C没有公共点，由 得 ， ，即
，
设点 是抛物线 上任意一点，则 ，
而 的最小值为 ，则 ，解得 或 (舍去)，
所以抛物线 的方程为 ；
（2）
解：设 ， ， ，把直线 与 联立得 ，
由题意可得 ，则 ， ，而M为线段PQ中点，
于是得，
从而有 时， 是定值，与k的取值无关，
所以x轴上存在点 ，使得 为定值 .
6．已知点 ，点 是圆 上的动点，线段 的垂直平分线与 相交于点 ，点
的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
（2） 为曲线 上不同两点， 为坐标原点，线段 的中点为 ，当△ 面积取最大值时，是否
存在两定点 ，使 为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，定值为 .
【分析】
（1）由题设易得 ，结合椭圆的定义求参数a、b、c，写出 的方程即可；
（2）直线 的斜率存在，联立椭圆方程应用韦达定理可得 、 ，结合点线距离公式、弦长公式
及三角形面积公式求 关于参数的表达式，易得 最大时 ，再应用中点公式求 坐标，
根据坐标的特点确定 的轨迹，进而判断定点的存在性；直线 的斜率不存在，设 可
得 关于 的表达式，求面积最大时 值，进而确定 坐标，判断是否符合斜率存在时的 轨迹即可.
【详解】
（1） 在线段 的垂直平分线上，
，又 在 上，
，则 的轨迹是以 为焦点的椭圆，∴ ，即 ， ， ，故 的方程为 ；
（2）当直线 的斜率存在时，设 直线的方程为 ，联立直线 和椭圆 的方程消去 得，
，化简得 ，
∴
，
当 时， 取得最大值 ，此时 ，
又 ，则 ，
∴ ，令 ，则 ，
因此平面内存在两点 ，使得 .
当直线 的斜率不存在时，设 ，则 ，
∴ ，即当 取得最大值 .
此时 中点 的坐标为 ，满足方程 ，即 .
7．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，且过点 .（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点（不同于点 ），记直线 ， 的斜率分别为 ， ，
试判断是否存在定值 ，使当 变化时 总成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，定值 .
【分析】
（1）代入离心率和点的坐标即可求解.
(2)联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理，得到 的表达式，从而解出 ，即可.
【详解】
解：（1）由题意知 解得
所以椭圆 的方程是 .
（2）由（1）知 ，设 ， ，将 代入 ，
得 ，所以 ， ，
且 ，解得 .
，
即 恒成立，所以 解得 .所以存在定值 ，使当 变化时， 总成立.
8．已知双曲线 与 有相同的渐近线，点 为 的右焦点，
为 的左，右顶点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若直线 过点 交双曲线 的右支于 两点，设直线 斜率分别为 ，是否存在实数入
使得 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）根据 的渐近线方程求出 ，然后再根据焦点坐标求出 的值，从而求双曲线 的标准方程；
（2）设出直线 的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线 斜率，根据韦达定理求
的值，从而求出 的值.
【详解】
（1） 的渐近线为 ， ，
， ，
所以双曲线 的标准方程 .
（2）由已知， ，
过点 与右支交于两点，则 斜率不为零，
设 ，由 ，消元得 ，因为 与双曲线右支交于两点，所以 ，解得
，
，
，
，
， ，
，
存在 使得 .
9．在平面直角坐标系中，已知椭圆 的其中一个焦点 是抛物线 的焦点，
且椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过左焦点 且斜率不为零的动直线 与椭圆 交于 两点，试问在 轴上是否存在一个定点 ，若
设焦点 到两直线 距离分别为 ，则 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1） ；（2）存在，坐标为 .
【分析】
（1）求出焦点 的坐标，即可得出c的值，再根据椭圆 的离心率为 ，即可求得a，b，从而可得答案；（2）设直线 的方程为 ， ，联立方程组 ，利用韦达定理求
得 ， ，由焦点 到两直线 距离分别为 ，则 ，可得 轴为 的平分线，
得 ，再根据斜率公式整理化简即可得出答案.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
∵ ，∴ ， ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）由题设直线 的方程为 ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ， ，
由已知得： 轴为 的平分线，得 ，
所以 ，所以 ，
所以
所以 ，即 ，
故存在满足条件的定点 ，其坐标为 .
10．已知椭圆 的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，在x轴上是否存在点P，使出 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）根据条件建立关于 的方程，求解即可；
（2）设直线l的方程为 ，联立椭圆方程，求出 ，结合韦达定理化简即可
求解.
【详解】
（1）由题知， ，
所以 ，
由 ，得 ，则 ，①
又 ，
又 ，③
由①②③，解得 ，所以椭圆C的方程为 .
（2）由（1）知， ，设 ，直线l的方程为 ，
联立 得 ， ，
设 ，
所以 ，
又
所以 ，因为
要使 ，只需 恒成立，因为 ，
所以 ，即点 满足条件.
11．已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为
（2，﹣2）．
（1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；
（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得 ＝
【答案】（1） ；（2）存在λ＝2.
【分析】
（1）对抛物线方程求导，结合导数的几何意义，可得过点 的切线方程为 ，过点 的切线
方程为 ，又点 为两切线的交点，即可得直线 的方程为 ，即可求解．
（2）设过点 的直线 为 ，联立直线与抛物线方程，可得 ，结合韦达定理和两点
之间的斜率公式，即可求解．
【详解】
解：（1） ， ， ， ，抛物线方程 ，
求导可得 ，
过点 的切线方程为 ，过点 的切线方程为 ，
点 为两切线的交点，
， ，
过 ， 的直线方程为 ，化简可得， ，
．
（2）由题意可知， ，过点 的直线 为 ，
设直线 与抛物线 交于 ， ， ， ，
联立直线与抛物线方程 ， ，
由韦达定理可得， ， ，
，同理可得， ，
，
，
存在 ，使得 ．
12．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为抛物线 上的一点，且 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 在抛物线 上，记直线 的斜率为 ，直线的斜率为 ，试判断是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， 的个数为2.
【分析】
（1）由 为抛物线 上的一点，且 ，得到 且 ，求得 ，即可得
到抛物线 的标准方程；
（2）由（1）设直线 的方程为 ，联立方程组，得到 ， ，结合斜率公式，化
简得到 ，得到 ，结合方程根的个数，即可求解.
【详解】
（1）由题意，抛物线 的方程为 ，
且 为抛物线 上的一点，且 ，
则 且 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 .
（2）由（1）知抛物线 ，可得 ，
直线 的斜率不为0，可设直线 的方程为 ，
联立方程得 ，消去 并化简得 ，
设 ， ， ，则 ， .
因为 ， 两点在抛物线 上，所以 ，
所以 ，同理可得 ，则 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以方程 有两个不同的解，
故满足 的点 的个数为2.
13．已知点 ， 分别是直线 及抛物线 ： ( )上的点，且 的最小值为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 交于点 ， ，线段 中点为 ，判断 轴上是否存在点 ，使得
为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）是定值，定值为 .
【分析】
(1)由给定条件可得已知直线与抛物线C相离以确定p的范围，再设点B坐标，由点到直线距离而得最小值
即可求解；
(2)假定存在点N(t，0)符合要求，将直线 与 联立消元得一元二次方程，设出点P，Q坐
标，利用韦达定理并借助向量即可作答.
【详解】
（1）依题意直线y=2x+2与抛物线C没有公共点，由 得 ， ，即
，
设点 是抛物线 上任意一点，则 ，
而 的最小值为 ，则 ，解得 或 (舍去)，所以抛物线 的方程为 ；
（2）设 ， ， ，把直线 与 联立得 ，
由题意可得 ，则 ， ，而M为线段PQ中点，
于是得
，
从而有 时， 是定值，与k的取值无关，
所以 轴上存在点 ，使得 为定值 .
14．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右顶点为 ，且其两个焦点与短
轴顶点相连形成的四边形为正方形.过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 的中点为 ，试判断是否存在实数 ，使得 为定值.若存在，求出 的值，并求出
该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， ，0.
【分析】
（1）由题可得 ， ，结合 可求；
（2）可得 ，设出直线 方程，与椭圆联立，根据韦达定理表示出 ，可得
，即可得出定值.【详解】
（1）.由题意可知， ，且 ，
又因为 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）.因为 是 的中点，故 ，
由题意可知，直线 的斜率不为0，设
与椭圆 的方程联立， ，消去 ，整理得 ，
设 ， ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，
将 ， 代入上式，整理得 ，
若对任意 ， 为定值，则 或 ，
因为 ，所以 ，此时 .
15．如图，在平面直角坐标 系中，已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于
两点，设 的准线与 轴的交点为 当 时， ．（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若点 过点 的直线 与 交于 两点，是否存在 轴上的定点 使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在点 使得 恒成立.
【分析】
（1）设直线 的方程，将其代入抛物线 的方程，利用韦达定理求得点 ， 的坐标的关系，再结合已
知条件可求得 的值，即可求解；
（2）使得 恒成立，即证明 轴是∠PMQ的角平分线，联立方程，结合韦达定理即可得
到结果.
【详解】
（1）因为 ，所以 ．
由题意得直线 的斜率不为0，
设直线 ，代入 ，
消去 得 ，△ 成立．
设点 ， ， ， ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．又 ，所以 ，
所以抛物线 的标准方程为 ；
（2）假设存在点 使得 恒成立.
设直线 ，代入 消 得 ，△ 成立，
设 ， ， ， ，
则 ， ，
∴
当 时， ，
∴ ，
即 ，所以点 到直线 和直线 的距离相等，
∴ .
又∵ ，
∴ ，恒成立，
∴存在点 使得 恒成立.
16．如图，分别过椭圆 左、右焦点 、 的动直线 、 相交于 点，与椭圆 分
别交于 、 与 、 不同四点，直线 、 、 、 的斜率 、 、 、 满足 ．
已知当 与 轴重合时， ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在定点 、 ，使得 为定值？若存在，求出 、 点坐标并求出此定值；若不存
在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在点 和点 ，且 的定值为 ．
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，由此可得出椭圆 的方程；
（2）分直线 或 斜率不存在和这两条直线的斜率都存在进行分类讨论，在第一种情况下，求出点 的坐
标，在第二种情况下，设直线 、 的斜率分别为 、 ，联立直线 与椭圆的方程，列出韦达定理，根
据 可得出 ，设点 ，求出点 的轨迹方程，结合椭圆的定义可得出结论.【详解】
（1）当 与 轴重合时， ，即 ，所以 垂直于 轴，
将 代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，
所以，当 与 轴重合时，则 ，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ；
（2）焦点 、 坐标分别为 、 ，
当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为 或 ；
当直线 、 的斜率存在时，设斜率分别为 、 ，设 、 ，
由 ，得： ，
所以： ， ，
则：
同理： ，
因为 ，所以 ，即 ，
由题意知 ，所以 ，
设 ，则 ，即 ，
当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为 或 也满足此方程，所以在椭圆 上存在点 和点 ，使得 为定值，定
值为 ．
17．已知抛物线 的焦点为 ，半径为1的圆 的圆心位于 轴的正半轴上，过圆心 的动直线
与抛物线交于 、 两点，如图所示．
（1）若圆 经过抛物线 的焦点 ，且圆心位于焦点的右侧，求圆 的方程；
（2）是否存在定点 ，使得 为定值，若存在，试求出该定点 的坐标，若不存在，则说明
理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）求得焦点 坐标后可得圆心 的坐标，从而得圆方程；
（2）假设存在定点 ( )满足题意，设直线 ，代入抛物线方程整理，设 、
，则 ，然后计算 ，分析它是关于 的恒等式，由此求得 ．
【详解】
解：（1）抛物线 的焦点为 ，则圆心 为 ，故圆 的方程为 ，
（2）假设存在定点 ( )满足题意，设直线 ，
联立 ，消去 ，得 ，
设 、 ，则 ，
当且仅当 ，即 时， 为定值，
故存在 ，使得 为定值．
18．已知椭圆 的离心率 ，直线 被以椭圆C的短轴为直径的圆
截得的弦长为 .
（1）求椭圆C的方程.
（2）过点M(4，0)的直线交椭圆于A，B两个不同的点，问：是否存在实数 ，使得
，若存在，求出 的范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）先求出原点到直线 的距离，再由圆的半径、圆心距和弦的关系求出 的值，再由离心
率可求出 的值，从而可求出椭圆的方程；（2） ，当直线l的斜率为0时，可求出 ，
，从而可求出 的值，当直线l的斜率不为0时，设直线 ， ，
，将直线与椭圆方程联立方程组，消去 ，利用根与系数的关系，然后表示出 ，
，再求出比值即可
【详解】
（1）因为原点到直线 的距离为 ，
所以 ，
解得 ，
又 ，得 ，
所以橢圆C的方程为 .
（2） ，
当直线l的斜率为0时， ， ，
所以 ，
当直线l的斜率不为0时，
设直线 ， ， ，
联立方程组 ，
得 ，
由 ，得 ，所以 ， ，
，
，
，
由 ，得 ，
所以 ，
即 ，
综上可得：存在实数 ，使得 ，且
.19．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，动点 在椭圆 上， 面积最大
值为 ，离心率
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 交于 两点，问:是否存在实数，使得 恒成立.如
果存在.求出 的值.如果不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在实数 ．
【分析】
（1）根据离心率公式，三角形面积公式以及 关系列方程组求解即可求出方程；
（2）讨论直线斜率是否存在，从而设直线方程代入椭圆方程，结合韦达定理得出两根关系，利用弦长公
式代入条件化简求解即可求出结果．
【详解】
(1）由题意可得
解得 .
故椭圆 的标准方程为 ；
如图，由 可知 .
当直线 的斜率不存在时，
，则
当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，
则直线 的方程为 ，联立
整理得 ，
则
从而
故
由题意可得 ，
则
因为 ，
所以
综上，存在实数 ，使得 恒成立．
20．已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， .过F且斜率存在的直
线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，（2）【分析】
（1）依题意得到 ， ，即可求出 、 ，再根据 ，即可求出椭圆方程；
（2）由（1）知 ， ，设直线 的方程为 ， ， ， ，
表示出 ， ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可求出参数的值；
【详解】
解：（1）因为离心率为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 ， ，又 ，
所以 ，所以椭圆方程为
（2）由（1）知 ， ，设直线 的方程为 ， ，
因为 与 关于原点对称，所以
所以 ，
若存在 ，使得 恒成立，所以
所以
两边同乘 得
又因为 在椭圆上，所以
所以
所以
当 时，则
所以 ①；当 时， 与 重合，
联立方程 ，消元得 ，所以
所以 ，
代入①得 ，整理得 ，解得类型五:存在性问题---几何关系1-20题
1．已知椭E： 的右顶点为A，右焦点为F，上､下顶点分别为B，C， ，直
线CF交线段AB于点D，且 .
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）是否存在直线l，使得l交E于M，N两点.且F恰是△BMN的垂心？若存在，求出l的方程；若不存
在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）分别求出直线 ， 的方程，再求得 的坐标．然后将 转化为 ，得到
，再结合 ，求得 和 的值，从而得到椭圆的标准方程；
（2）只要能通过假设存在满足题意的直线，根据 是 的垂心，得到 ，进而确定直线
的斜率，由此设出直线 的方程并与椭圆方程联立；再根据 是 的垂心，得到 ，将其
转化为 或 ，并结合韦达定理，即可求得 的值，求得直线 的方程．
（1）
解：设椭圆 的右焦点 ，
则直线 的方程： ，直线 的方程： ，联立 解得 ，则 ，
由 ，则 ，
则 ， ， ，则 ，
由 ， ，解得： ， ， ，
椭圆 的标准方程为 ．
（2）
解：假设存在满足条件的直线 ，
由垂心的性质可得 ，又 从而得到直线 的斜率 ，
设 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，整理得： ，
由 ，解得： ，
， ．
由 ，则 ，即 ，
整理得 ，
将 ， ，
代入化简得 ，
，，
提取公因式 ，可得 ，
即 ，
由 ，则 ，
解得 ，满足 ，
的值 ，
直线 的方程 ．
2．已知抛物线 ，直线 交抛物线C于M、N两点，且线段 中点的纵坐
标为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点 ，且与抛物线C有两个交点A，B，都有抛物线C的焦点F在以
为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1） ；
（2）存在满足题意正数 ，且 ．
【分析】
（1）设 ，直线方程代入抛物线方程，利用中点坐标公式求得参数 ，得抛物线方程；
（2）假设存在满足题意的 ，然后设 ，设直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得
，利用 恒成立可求得 的范围．
（1）
设 ，由 得， ，则 ，由题意 ， ，
所以抛物线方程为 ；
（2）
假设存在满足题意的点 ，显然直线的斜率存在，设直线方程为 ，
由 得， ， 时直线与抛物线没有两个交点，
由 ，因为 ， 恒成立，
设 ，则 ，
焦点F在以 为直径的圆内，则 ， ，
，
恒成立，因为 ，所以 ，又
所以 ．
所以存在满足题意正数 ，且 ．
3．已知双曲线 过点 ，焦距为 ， ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点 的直线 与双曲线C交于M，N两点，使△ 构成以 为顶角的等
腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） .
（2）存在，直线 为 或 .
【分析】
（1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C的方程；
（2）由题设有 ，设直线 为 ， ，并联立双曲线方程，应用韦达定理、
中点坐标公式求M，N的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k，进而可得直线l的方程.
（1）
由题设， ，又 在双曲线上，
∴ ，可得 ，
∴双曲线C的方程为 .
（2）
由（1）知： ，设直线 为 ， ，
联立双曲线方程可得： ，由题设 ，
∴ ， ，则 .
要使△ 构成以 为顶角的等腰三角形，则 ，
∴ 的中点坐标为 ，
∴ ，可得 或 .
∴存在直线 为 或 ，使△ 构成以 为顶角的等腰三角形.4．已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点， ,求直线方程；
（3）椭圆 上是否存在关于直线 对称的两点 、 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，
请说明理由.
【答案】
（1）
（2） 或
（3）存在，
【分析】
（1）根据抛物线的焦点可以求出椭圆的 ，根据离心率求出 ，从而确定椭圆方程
（2）设直线的点斜式方程，与抛物线联立，用焦点弦公式和韦达定理结合即可求解
（3）因为 、 两点关于直线 对称，所以可设直线 的方程为 ，且 中点在直线
上，即可求出直线方程
（1）
抛物线 的焦点坐标为 ，所以椭圆中 ，因为椭圆的离心率为 ，即 ，所以
， ，所以椭圆方程为
（2）
设过抛物线焦点的直线方程为 ，联立 得： ，设，则 ，根据焦点弦公式可得： ，解得：
， ，所以直线方程为 或
（3）
因为 、 两点关于直线 对称，所以可设直线 的方程为 ，联立 得：
，令 得： ，设 ，则
， ，所以 中点坐标为 ，由已知条件可得，中点
在直线 上，代入得： ， ，所以存在两点 、 ，且 所在的
直线方程为
5．设动点 的坐标为 （ 、 ），向量 ， ，且 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作直线 与曲线 交于 、 两点，若 （ 为坐标原点），是否存在直线 ，
使得四边形 为矩形，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2）不存在，证明见解析
【分析】
（1）根据题意得到 ，利用椭圆定义得到答案.
（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，根据矩形得到
，带入数据计算得到答案.
（1）向量 ， ， ，
表示到 到两个定点 和 的距离之和为定值 ，故轨迹为椭圆.
， ，故 ，故轨迹为： .
（2）
假设直线存在，
当直线斜率不存在时， 三点共线，不满足；
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，则 ，
故 ， 恒成立，
， ，故四边形 为平行四边形，
四边形 为矩形，故 ，
即 ，
带入化简得到： ，
即 ，
整理： ，方程无解，假设不成立，故不存在.
6．已知椭圆 的离心率 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆交于 两点．是否存在直线 使得以 为直径的圆过点 ？若
存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；
（2）存在， 方程为 或 .
【分析】
（1）利用离心率， 点坐标和椭圆 关系可构造方程组求得椭圆方程；
（2）当 斜率不存在时易知其满足题意；当 斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形
式，利用 可构造方程求得斜率，由此可得直线方程.
（1）
由题意得： ，解得： ， 椭圆 的方程为 ；
（2）
当 斜率不存在时，即 时， 为椭圆短轴两端点，
则以 为直径的圆为 ，恒过点 ，满足题意；
当 斜率存在时，设 ， ， ，
由 得： ， ，解得： ；
， ，
若以 为直径的圆过点 ，则 ，即 ，
又 ， ，
，解得： ，满足 ，即 ， ；
综上所述：存在直线 使得以 为直径的圆过点 ， 方程为 或 .
7．已知椭圆 ： 的焦距为8，且椭圆经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，试问在直线 上是否存在一点 ，使得
为正三角形？若存在，求出相应的直线 的方程；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在，直线方程为 .
【分析】
（1）根据椭圆 的焦距为8，可得 ，又由椭圆经过点 ，可得 ，再结合
求得 ， ， ，进而得到椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 为 ，联立直线 和椭圆 的方程，消去 得到关于 的一元二次方程，
设 ， 两点的坐标分别为 ， 和 ， ， 的中点 ， ，将 ，点 的坐标，用 表示，
根据 成等边三角形，得 ①， ②，联立①②解出 和 即可．
（1）（1）由题意可得 ，解得 ， ，
故椭圆方程为 .
（2）
由题意知，过点 的直线斜率存在，设过点 的直线 为 ，
由 ，消 可得 ，
设 ， 两点的坐标分别为 ， 和 ， ，
， ，
则 ，
设线段 的中点 ， ，则 ， ．
是正三角形，
且 ，
上存在一点 满足题意，则 ，
，①
由 ，可得 ，②
联立①②得 ， ，
即存在一点 ，使得 为正三角形，此时直线 为 .8．已知椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 ，上、下顶点分别为 ， ， ，
直线 交线段 于点 ，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）是否存在直线 ，使得 交 于 ， 两点，且 恰是△ 的垂心？若存在，求出 的方程；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， 的方程为 ．
【分析】
（1）法一：由题设求 、 、 、 坐标，用椭圆参数表示 的横坐标，根据 得 ；法二：
设 的左焦点为 ，连接 ，根据椭圆的对称性易得 ，进而有 ，即可得 ，再由
椭圆参数关系及已知求出参数，写出椭圆方程.
（2）由题设有 且 ，可设 为 ， ， ，联立椭圆方程应用
韦达定理求 、 ，又 结合向量垂直的坐标表示求参数m并验证，即可判断存在性.
【详解】
（1）法一：设 ，又 ， ， ，
∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
由 ，得点 的横坐标为 ．
由 ，知： ，则 ，即 ，解得 ，
法二：如图，设 的左焦点为 ，连接 ．由椭圆的对称性，得 ，则 ，即 ．
设 ，则 ， ，可得 ，有 ，
∴ ．
由 ，即 ，得 ，
∴ ， ， ．故椭圆 的标准方程为 ．
（2）由（1）知 ， ，则直线 的斜率 ．
假设存在满足题意的直线 ，则 ．
设 的斜率为 ，则 ，所以 ．
设 的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，则 ， ．
由 ，得 ．
又 ，即 ，又 ， ，
∴ ，又 ， ，∴ ，即 ，整理
得 ，解得 或 ．
当 时， 或 与 重合，不符合题意；
当 时，满足 ，
∴存在直线 ，使得 是△ 的垂心， 的方程为 ．
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是椭圆 上的一个动点，以 为圆心过椭
圆左焦点 的圆与直线 相切， 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，以 ， 为邻边作平行四边形
，是否存在常数 ，使得点 的轨迹在椭圆 上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）设椭圆 的半焦距为 ，运用点到直线的距离公式，解方程可得 ，再由椭圆的定
义，可得 ，由 的关系，求得 ，进而得到椭圆方程;
（2）求得直线 的方程，与椭圆方程联立,运用判别式大于0，以及韦达定理和向量的坐标运
算，求得 的坐标，代入椭圆方程，解方程可得 ，即可判断存在性.
【详解】
（1）设椭圆 的半焦距为 ．
因为以 为圆心过椭圆左焦点 的圆与直线 相切，
所以 到直线 的距离为 ，解得 ．
因为 的周长为 ，
所以 ，即 ，
解得 ．
则 ．故椭圆 的方程为 ．
（2）根据题意直线 ，
联立可得 ， ，
设 ， ，则 ，
， ，
，
且 ， ，
代入椭圆 的方程可得 ，解得 或
（舍去），满足 ，所以存在常数 .
10．已知椭圆 ： ， ， 分别为椭圆长轴的左、右端点， 为直线 上异于点 的任意一
点，连接 交椭圆于 点.
（1）求证： （其中 为坐标原点）为定值；
（2）是否存在 轴上的定点 ，使得以 为直径的圆恒通过 与 的交点．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在 轴上的定点 ．【分析】
（1）由椭圆方程可得 的坐标， 设出 的坐标，由 及 ，可得
坐标的关系，进而可得 为定值；
（2）假设存在定点 满足条件，因为以 为直径的圆恒通过 与 的交点，所以 ，
结合（1）中结论 ，化简可得 ，因为 ，所以 ，即可得存在 轴上的定
点 满足条件.
【详解】
解：（1）证明：由椭圆的方程可得： ， ，
设 ， ，
则 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
又 ，整理得 ，
所以 为定值；（2）假设存在定点 满足条件，设 ， ，
则以 为直径的圆恒通过 与 的交点，可得 ，
即 ，①
又由（1）有 ，②
所以由①②可得 ，因为 ，解得 ，
所以存在 轴上的定点 ，使得以 为直径的圆恒通过 与 的交点．
（2）问解题的关键是将以 为直径的圆恒通过 与 的交点，转化为 .
11．如图所示，A，B分别是椭圆 的左右顶点，F为其右焦点，且
.点P是椭圆C上异于A､B的任一动点，过点A作直线 轴.以线段 为直
径的圆交直线 于点A､M，连接 交直线l于点Q.
（1）求椭圆C的方程；
（2）试问在x轴上是否存在一个定点N，使得直线 必过该定点N？若存在，求出N点的坐标，着不存
在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）由题意得 ， ，依题意得到方程组，求出 、 ，再根据 求出 ，即
可求出椭圆的方程．（2）假设在 轴上存在一个定点 ，使得直线 必过定点 ，设动点 ， ，由点 在椭圆
上，求出 ，再求出直线 的方程，联立 ， 的方程，得交点 ，由此能求出直线 过定
点 ．
【详解】
解：（1）由题意得 ， ，
即 ，
解得： ， ，
，
所求椭圆的方程为： ．
（2）假设在 轴上存在一个定点 ，使得直线 必过定点 ，
设动点 ， ，由于 点异于 ， ，
故 ，且 ，
由点 在椭圆上，
故有 ， ，①
又由（1）知 ， ， 直线 的斜率 ，
又点 是以线段 为直径的圆与直线 的交点， ，
，
直线 的方程：
联立 ， 的方程 ，得交点 ， ．、 两点连线的斜率 ，②
将①式代入②式，并整理得： ，
又 ， 两点连线的斜率 ，
若直线 必过定点 ，则必有 恒成立
即 整理得： ，③
将①式代入③式，得
解得： ，
故直线 过定点 ．
12．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，长轴长为 ，A､B为椭圆上的两个动点，
当A､B关于原点对称时， 的最大值为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）若存在实数 使得 ，过点A作直线 的垂线，垂足为N，直线 是否恒过某点？若
恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，定点为 .
【分析】
（1）由题得 ，解方程即得解；
（2）当AB斜率不存在时，易得直线 经过定点 .当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
设 ， ，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，求出 ，令 ，
化简即得解.【详解】
（1）由题知， 且 为定值，
当 为短轴时， 取得最大值 ，
因此 ，解得 ，
∴椭圆C的方程为 .
（2）当AB斜率不存在时，易得直线 经过定点 .
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，设 ， ，显然直线 不与x轴重合，
即 ；
联立 ，得： ， ，
则 ， ，
∴ ， ，
令 ，得 .
易得 ，所以 ，
即直线 过定点 .
13．已知椭圆 ，其离心率为 ．
（1）若 ，点 在椭圆 上，点 在直线 上，且 ，试判断直线 与圆 的位置
关系，并证明你的结论．（2）是否存在过椭圆 的右焦点 的直线 ，使得其与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，且
满足坐标原点 关于点 的对称点在椭圆 上．若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线 与圆 相切；证明见解析；（2）存在；斜率为 ．
【分析】
（1）根据 和离心率的值先求解出椭圆 的方程，设出 的坐标，根据 得到坐标之间的关系，
同时将圆心到直线 的距离化简并与半径作比较，由此判断出直线与圆的位置关系；
（2）分别考虑直线的斜率是否存在，直线的斜率存在时，直线方程为 ；直线的斜率不存在时，直线
的方程设为 ，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理形式表示出 点坐标，根据 点坐标表
示出 的对称点 的坐标，根据点 在椭圆上求解出直线的斜率.
【详解】
解：（1）由题意可得 ， ，所以 ， ，
则椭圆的方程为 ．
设 ， ，其中 ，因为 ，
因为 ，即 ，所以 ，
①当 时， ，而 在椭圆上，
则 ，即 ，解得 ，
故此时直线 的方程为 ；
圆 的圆心 到 的距离为 ，此时直线 与圆 相切；
②当 时，直线 的方程为 ，
即 ，圆心 到直线 的距离 ，又 ， ，故 ，
此时直线 与圆 相切．
综上可得，直线 与圆 相切．
（2）由题意可得 ， ，
故 ，椭圆 的方程为 ，右焦点 ，
设过 的直线 的方程为 或 ，
当 为 时， 的中点 即为原点 ，显然不满足题意；
当直线 的方程为 时，由 可得 ，
则 ，故 ，
由 在直线 上，可得 ，
所以 ，则点 关于 的对称点 的坐标为 ，
又 在椭圆上，可得 ，
即 ，即 ，解得 ，
此时直线 的斜率为 ，
所以存在满足题意的直线 ，斜率为 ．
14．已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 作直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.问：x轴上是否存在点Q，使得直线MQ与直线
NQ关于x轴对称？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在
【分析】
（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出 ， ，由此能求出椭圆 的方程；
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，假设在 轴上存在定点 ，联立直线
与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由 与 关于 轴对称，得到 ，即可求出 ，从而得
到定点坐标；
【详解】
解：（1）依题意 ， ，又 ，解得 ，所以椭圆方程为
（2）存在 轴上在定点 ，使得直线 与直线 恰关于 轴对称，
设直线 的方程为 ，与椭圆联立可得 ．
设 ， ， ， ，假设在 轴上存在定点 ．
， ．
与 关于 轴对称， ，
即 ，
，
，
．在 轴上存在定点 ．使得直线 与直线 恰关于 轴对称．
特别地，当直线 是 轴时，点 ．也使得直线 与直线 恰关于 轴对称．
综上，在 轴上存在定点 ．使得直线 与直线 恰关于 轴对称．
15．已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点，线段 与圆
相切于该线段的中点 ，且 的面积为2.
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 上是否存在三个点A， ， ，使得直线 过椭圆 的左焦点 ，且四边形 是平行四
边形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，直线 ： .
【分析】
（1）连接 ，可得 为 的中位线，可得 且 ，根据椭圆的定义，可求
得 ，代入面积公式，结合题意，即可得求得a值，进而可得c值，根据a，b，c的关系，求得b，即可
得答案.
（2）设直线 的方程为： ， ， ， ，将直线与曲线联立，根据韦达
定理可得 ， 的表达式，即可得P点坐标，根据P在椭圆上，代入椭圆方程，即可求
得m值，即可得答案.
【详解】
（1）连接 ，由 ，且
∴ 为 的中位线，∴ 且 ，
∴根据椭圆的定义可得： ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，∴ ，
∴椭圆 的方程为：
（2）设直线 的方程为： ， ， ，
联立 ，可得 ，
∴ ，∴ ，
由 在椭圆上，代入可得 ，解得 ，
∴存在直线 ： 符合题意.
16．已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于不同的 两点.
（1）若直线 的方程为 ，求线段 的长；
（2）若直线 经过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，求证： 三点共线；
（3）若直线 经过点 ，抛物线上是否存在定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过点 ？若存在，
求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）存在定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过点 .
【分析】
（1）联立直线方程与抛物线方程，可得 ，根据 在 上，由抛物线定义可求得结果；
（2）设 ， ， ，联立直线方程与抛物线方程可得 ，利用两点连线斜率
公式表示出 ，整理得 ，由此证得结论；
（3）设存在点 满足题意，设 ，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，由
可得到 ，讨论可得 时满足题意，由此确定
点坐标.
【详解】
（1）设 ， ，联立 得： ， ，
抛物线的方程为 ， 抛物线的焦点 ，
又直线 过抛物线的焦点 ，
由抛物线的定义可得： .
（2）由题意知：直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， ， ，则 ，
联立 得： ，
则 ，解得： ，
，即 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
， 三点共线.
（3）假设存在点 ，使以弦 为直径的圆恒过点 ，
设过点 的直线 的方程为： ，
联立 得： ，
则 ，设 ， ，则 ， ，
点 总在以弦 为直径的圆上， ， ，
又 ， ，
，
，
当 或 ，等式成立，
当 或 ，有 ， ，则
，
即 ， 当 时，无论 取何值等式都成立，
将 代入 得： ， ；
综上所述：存在点 ，使得以弦 为直径的圆恒过点 .
17．从抛物线 上各点向 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程，并说明曲线 是什么曲线；
（2）过点 的直线 交曲线 于两点 、 ，线段 的垂直平分线交曲线 于两点 、 ，探究是
否存在直线 使 、 、 、 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）曲线 的方程为 ，曲线 是焦点为 的抛物线；（2）存在；圆 的方程为或 ．
【分析】
（1）设抛物线 上的任意点为 ，垂线段的中点为 ，根据中点坐标公式得出 ，代
入等式 化简可得出曲线 的方程，进而可得出曲线 的形状；
（2）设直线 的方程为 ，将直线 的方程与曲线 的方程联立，列出韦达定理，求出 ，求
出线段 的中点的坐标，进一步求出线段 的中垂线 的方程，求出 ，根据四点共圆结合垂径定
理可得出关于 的等式，求出 的值，进一步可求得圆的方程，由此可得出结论.
【详解】
（1）设抛物线 上的任意点为 ，垂线段的中点为 ，
故 ，则 ，代入 得 ，得曲线 的方程为 ，
所以曲线 是焦点为 的抛物线；
（2）若直线 与 轴重合，则直线 与曲线 只有一个交点，不合乎题意.
设直线 的方程为 ，根据题意知 ，设 、 ，
联立 ，得 ， ，则 ， ，
则 ，
且线段 中点的纵坐标为 ，即 ，
所以线段 中点为 ，因为直线 为线段 的垂直平分线，可设直线 的方程为 ，
则 ，故 ，
联立 ，得 ，
设 、 ，则 ， ，
故 ，
线段 中点为 ，
假设 、 、 、 四点共圆，则弦 的中垂线与弦 中垂线的交点必为圆心，
因为 为线段 的中垂线，则可知弦 的中点 必为圆心，则 ，
在 中， ，所以 ，
则 ，
故 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以存在直线 ，使 、 、 、 四点共圆，且圆心为弦 的中点 ，
圆 的方程为 或 ．
18．已知椭圆 ： 的短轴长为2，离心率为 ，左顶点为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；（2）若不与 轴平行的直线 交椭圆 于 两点，试问：在 轴上是否存在定点 ，当直线 过点 时，
恒有 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在； ．
【分析】
（1）根据椭圆的简单几何性质以及题意可得， ，再由 即可解出 ，得到椭圆
的标准方程；
（2）方法一：假设存在 轴上的点 满足题意，由特殊情况 斜率不存在时求得点 的
坐标为 ，当 斜率存在时，设直线 ，证得 ，即可判断出在 轴上存在定点
，当直线 过点 时，恒有 ．
方法二：假设存在点 满足条件，由题可设直线 ，联立直线方程和椭圆方程，由
即可解出 ，从而判断出在 轴上存在定点 ，当直线 过点 时，恒有 ．
【详解】
（1）由题得 ，又由
得 ，所以椭圆方程为 ．
（2）
方法一：假设存在 轴上的点 满足题意，则 ，由（1）
①当 斜率不存在时，易得
由 得， ，即 ．解得 或 （舍去），即点 的坐标为 ．
②当 斜率存在时，由①无妨设直线
由 ，
，即
综上，在 轴上存在定点 ，当直线 过点 时，恒有 ．
（2）解法二：假设存在点 满足条件，由题可设直线
设 由 ，
即：
化简得： ，解得 或 （舍去）所以在 轴上存在定点 ，当直线 过点 时，恒有 ．
19．A，B为椭圆 的左右顶点， ，E为椭圆C上任意一点（异于左右顶点），
设AE，BE的斜率分别为k 和k， ，
1 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线 与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线 相交于点Q，试探究：在坐
标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明
理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】
（1）由题意求出 ，得出椭圆的标准方程；
（2）假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，利用向量的坐标运算及韦达定
理可求出 的坐标.
【详解】
（1）易知 ， ， ，
设 ， ，又 ， ，
代入得 ，
椭圆C的方程为 .
（2）由 得 ①
因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点 ，所以 且 ，化简得 ②
将②代入①整理得 ， ，所以
由 得
假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，
设 ，则 对满足②的m，k恒成立
因为 ， ，
由 ，化简整理得 ③
由于③式对满足②式的m，k恒成立，所以 解得
故存在定点 ，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
20．已知 、 分别为椭圆 的左顶点和下顶点， 为直线 上的动点， 的最
小值为 ．
（1）求 的方程；
（2）设 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ，问：是否存在点 ，使得四边形 为梯
形，若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在； ．
【分析】
（1）设 ，求出 取得最小值 ，，由 求出 ，从而可得 的方程；
（2）假设存在点 满足题设，设 ， ．联立直线 与椭圆方程，求出 ，联立直线
与椭圆方程求出 ，利用 得到 ，代入 ，可求出 即可得解.【详解】
（1）由题设得 ， ．设 ，
则 ， ．
所以 ，
于是当 时， 取得最小值 ，所以 ，解得 ．
所以 的方程为 ．
（2）假设存在点 满足题设，设 ， ．
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
将 代入 得 ，
可得 ，所以 ．
将 代入 得 ，
可得 ．
若四边形 为梯形，则 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，整理可得 ，
即 ，解得 ．
故当 时，四边形 为梯形．
