文档内容
专题 3.1 函数的概念及其表示
题型一 已知函数解析式求定义域
题型二 识别函数及相同函数
题型三 抽象函数的定义域
题型四 待定系数法求解析式
题型五 换元法求解析式
题型六 赋值思想求解析式
题型七 单调性法求函数的值域与最值
题型八 基本不等式法求函数的值域与最值
题型九 分离变量法求函数的值域与最值
题型十 分段函数求自变量或函数值
题型十
分段函数及图象的应用
一
题型一 已知函数解析式求定义域
例1．（2023·河北·统考模拟预测）设全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由定义域得到 ，从而求出补集.
【详解】由题意得， ，解得 ，因为 ，所以 ，
故 ．
故选：A．
例2．（2023春·江西·高一校联考期中）函数 的定义域为______.
【答案】
【分析】根据代数式有意义，可得 ，进而结合正切函数的图象及性质和一元二次不等式求解即可.
【详解】由 ，解得 ，
所以 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为： .
练习1．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）函数 的
定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的具体形式，直接列式求函数的定义域.
【详解】根据函数形式可知，函数的定义需满足
，解得： 且 ，
所以函数的定义域为 .
故选：B
练习2．（2023·北京朝阳·二模）函数 的定义域为________.
【答案】
【分析】解不等式 即可得函数的定义域.
【详解】令 ，可得 ，解得 .
故函数 的定义域为 .
故答案为: .
练习3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）求函数的定义域为__________________.
【答案】
【分析】根据对数以及根式的性质，转化成三角函数的不等式，由三角函数的性质即可求
解.
【详解】 的定义域需要满足 ，即 ，
所以 ，其中 ，即 ，
故答案为： .
练习4．（2023春·广东河源·高三龙川县第一中学校考期中）求函数
的定义域为_________．
【答案】
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数 有意义，则 ，即 ，
解 ，得 ，
解 ，得 ，于是 ，
所以所求定义域为 .
故答案为：
练习5．（2022秋·高三单元测试）函数 的定义域为________．
【答案】
【分析】根据根式的性质有 ，利用指数函数的单调性解不等式求定义域即可.【详解】由题设 ，即 ，
所以 ，可得 ，
故函数定义域为 .
故答案为：
题型二 识别函数及相同函数
例3．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）下列各图中，不可能是函数 图象的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，可得答案.
【详解】对于C，当 时，任意 对应两个 ，显然C错误.
故选：C.
例4．（2022秋·山东东营·高三利津县高级中学校考阶段练习）下列四组函数中 与
是同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、对应关系等知识确定正确答案.
【详解】A选项， 的定义域是 ， 的定义域是 ，所以不是同
一函数.
B选项， 的定义域是 ， 的定义域是 ，所以不是同一函数.
C选项， ，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一函
数.
D选项， 的定义域是 ， 的定义域是 ，所以不是同一函数.
故选：C
练习6．（2022秋·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）设集合 ，
，则下列图象能表示集合 到集合 且集合Q为值域的函数关系的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合函数的定义分别检验各选项即可判断.
【详解】对于 ,由函数的定义知 的定义域不是 ，不符合题意；
对于 , 的值域不是 ，不符合题意；
对于 , 中集合 中有的元素在集合 中对应两个函数值,不符合函数定义;
对于 ,能表示集合 到集合 的函数关系.
故选: .
练习7．（2023春·福建莆田·高三校考期中）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（
）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与【答案】D
【分析】分别判断函数的定义域和对应关系，判断两个函数是否是同一函数.
【详解】对于A选项， 的定义域是 ，解得： ，
所以 的定义域是 ，
的定义域是 ，解得： ，
所以 的定义域是 ，
并且 ，所以两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是同一函数；
对于B选项， ， ，两个函数的定义域相同，都是 ，对应法则也相同，所以是
同一函数；
对于C选项，两个函数的定义域相同，当 与 时， ，故两个函数对应法则也
相同，所以是同一函数；
对于D选项， 的定义域是 ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不同，
所以不是同一函数.
故选：D
练习8．（2022秋·黑龙江鸡西·高一校考阶段练习）对于函数 若 ，则下列
说法正确的个数为（ ）
①
② 有且只有一个
③ 若 ，则
④ 若 ，则
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据函数的基本概念判断即可.
【详解】解：对于函数 ，若 ， ，则根据函数的定义可得 ，且
唯一；
故有若 ，有 ，故①②④正确；
若 ，则不一定 ，如 ，则 ，但 ，故③错误；故说法正确的个数为3.
故选：B.
练习9．（2021秋·广西崇左·高三崇左高中校考期中）下列函数中，与函数 是
同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，进而将函数的解析式化简，最后得到答案.
【详解】由题意， ，则函数 的定义域为 ，所以
，所以与 是同一函数的是 .
故选：A.
练习10．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考阶段练习）（多选）下列对应法则
满足函数定义的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用换元法结合函数的定义逐项分析判断.
【详解】对A：令 ，则 或 ，
∴对于自变量 对应两个函数值 、 ，A错误；
对B：令 ，则 ， ，
∴对于自变量 对应唯一的函数值 ，B正确；
对C：令 ，则 或 ，
∴对于自变量 对应两个函数值 、 ，C错误；
对D：令 ，即 ，
则 ，即 ，
∴对于自变量 对应唯一的函数值 ，D正确；
故选：BD.
题型三 抽象函数的定义域例5．（2022秋·高三单元测试）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】定义域为 的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.
【详解】由题意得 ，故 ，故函数 的定义域为 .
故选：D
例6．已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域.
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求法即可解决
【详解】∵函数 的定义域为
∴ ，解之得：
故函数 的定义域为：
练习11．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）函数 的定义域为 ，值域为
，那么函数 的定义域和值域分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据复合函数的定义域和值域求解即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的定义域 .
将函数 的图象向左平移2个单位，
可得 的图象，故其值域不变．
故选：D.
练习12．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知函数 的定义域为
，则函数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.
【详解】函数 的定义域为 ，则 ，因此在 中， ，
函数 有意义，必有 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：C
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于 的不等式组，由此可解得函数
的定义域.
【详解】因为函数 的定义域为 ，对于函数 ，
则有 ，解得 或 .
因此，函数 的定义域为 .
故选：A.
练习14．（2022秋·四川·高三四川省平昌中学校考阶段练习）函数 的定义域为
，则 的定义域为________.
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求 的定义域即可.
【详解】由于函数 的定义域为 ，则 ，所以函数 的定义
域为 ，
则函数 中 ，所以 ，即 的定义域为 .
故答案为： .练习15．（2022秋·高三课时练习）已知 的定义域为 ，求 的定义域.
【答案】
【分析】令 ， ，根据二次函数的性质求出 的范围，即可得 的定义
域.
【详解】解：令 ， ，
由二次函数的性质可得 ，
所以 的定义域为 .
题型四 待定系数法求解析式
例7．（2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）二次函数 满足
，且 .
(1)求 的解析式；
(2)求 在 上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设 ，由 得 ，由 ，得
，解方程组求出 ， 的值，从而求出函数的解析式；
（2）对 讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．
【详解】（1）解：设 ，因为 ，所以 ，
即 ，
根据 ，即 ，
解得 ， ，所以 ；
（2）解：函数 ，其对称轴为 ，
当 即 时，区间 为减区间，
最小值为 ；
当 ，即 时， 取得最小值1；当 ，即 时，区间 为增区间，
取得最小值 ．
综上可得 时，最小值为 ；
时，最小值为1；
时，最小值为 ．
例8．（2022秋·高三课时练习）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x）
的解析式为_________
【答案】 或
【分析】设出一次函数解析式，化简 ，结合函数相等可得答案.
【详解】设 ，则
于是有 解得 或 所以 或
.
故答案为： 或 .
练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （a，b为常数，其中
且 ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得 ，排除A，C；代入 ,得 ，从
而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以 ，排除A，C；
又因为函数过点 ,
所以 ，解得 ．故选：D
练习17．（2021秋·高三课时练习）某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x
之间的关系式为 ，其中，当 时， ；当 时， ，且此产品生
产件数不超过20．则y关于x的解析式为______________．
【答案】 （ ，且 ）
【分析】根据已知条件将两组值代入得到二元一次方程组，求解a，b的值，得到函数解析
式，并根据应用条件写出定义域的范围即可.
【详解】由题意知 ，即 ，解得 ，
所以所求函数的解析式为 （ ，且 ）．
练习18．（2020秋·云南昆明·高三校考期中）已知 为一次函数，且 ，
则 的值为_______．
【答案】
【分析】设 ，代入已知关系式可构造方程组求得 解析式，
代入 即可得到结果.
【详解】 为一次函数， 可设 ，
，
，解得： 或 ， 或 ，
.
故答案为： .
练习19．（2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知函数 为一次函数，
若 ，
(1)求 的解析式；
(2)若 为定义在R上的增函数，且 ， .求 的最值.
【答案】(1) 或
(2)最小值 ，无最大值【分析】（1）设 (a )，可得 ，进而可得解；
（2）由条件得 ，利用 ，结合基本不等式即可得
解.
【详解】（1）设 (a )，∴ ，
即 ，∴ 且 ，解得： 或
∴ 或
（2）∵ 为R上的增函数，∴
∴
∴
当且仅当 ，即 时取“=”
∴ 有最小值 ，无最大值.
练习20．已知函数 ，且 .
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.
（2）利用二次函数的单调性，求出函数 在给定区间上的最值作答.
【详解】（1）函数 ，且 ，则 ，解得 ，
有 ，
所以 的解析式是 .
（2）由（1）知， ，函数 在 上单调递减，在 上单调
递增，
因此 ，而 ，则 ，
所以 在区间 上的取值范围是 .题型五 换元法求解析式
例9．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 ______．
【答案】 /2.5
【分析】根据函数解析式，令 ，得 ，代入函数解析式计算即可求解.
【详解】由题意得， ，
令 ，由 ，得 ，
∴ ．
故答案为： .
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 _______，
=_______．
【答案】 11
【分析】利用换元法可求出 ，进一步可得 .
【详解】令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为： ； .
练习21．（2023·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】应用换元法求函数解析式即可.
【详解】因为 , ,则设 即
则 ,即
所以
故选: .
练习22．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 __．
【答案】
【分析】先令括号里1 t，求出 的范围，将 用 表示，求出 的解析式，最后在
将 换成 即可．
【详解】设 （ ），则 ， ，（ ），
则 .
故答案为：
练习23．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数 ，若 ，则a＝
__________．
【答案】
【分析】先用换元法求得函数 ，然后结合对数的计算，即可求解.
【详解】解：根据题意，设 ，则 ，故 ．
若 ，则 ，解得 ．
故答案为：
练习24．（2022秋·江西上饶·高三校考期中）已知函数 ，则
__________
【答案】
【分析】令 ，可得 ，代入 可得出 的表达式，即可得出函数
的解析式.
【详解】令 ，可得 ，由 可得 ，因此， .
故答案为： .练习25．（2023秋·四川成都·高三校考期末）已知 ，则 ______．
【答案】 ，
【分析】用换元法求解函数解析式．
【详解】令 ，其中 ，则 ，即
故答案为： ， ．
题型六 赋值思想求解析式
例11．（2023春·云南文山·高三校联考期中）已知函数 的定义域为R，对任意
均满足： 则函数 解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由 ，可得 ①，
又 ②，①＋②得： ，解得 ，
故选：A．
例12．（2022秋·高三课时练习）已知函数 为奇函数， 为偶函数，
，则 ________； ______.
【答案】
【分析】根据奇偶性定义，结合已知等式可构造方程组求得结果.
【详解】 为奇函数， 为偶函数， ，
，
由 得： ， .
故答案为： ； .
练习26．（2023·重庆·二模）已知对任意的实数a均有
成立，则函数 的解析式为________．【答案】
【分析】先利用方程组思想结合诱导公式求出 或 ，再利用换元法即可得
解，注意函数的定义域.
【详解】由 ，①
得 ，
即 ，②
得： ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
练习27．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）函数 满足 ，则
_________.
【答案】
【分析】利用构造法，整理函数解析式，代值可得答案.
【详解】由题意，建立 ，消去 可得： ，
整理可得 ，则 .
故答案为： .
练习28．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 上的函数 满足
，则 ___________.
【答案】
【分析】利用方程组法求函数解析式，将 换成 ，两式联立即可求解.
【详解】因为定义在 上的函数 满足 ，将 换成 可得： ，将其代入上式可得：
，
所以 ，
故答案为： .
练习29．（2022秋·浙江温州·高一温州中学校考期中）已知奇函数 和偶函数 满
足 .
(1)求 和 的解析式；
(2)若对于任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】(1)根据已知条件再用－x替换x再构造一个关于 、 的方程，与已知方程
联立即可求得答案；
(2)设A= ，B= ，由题可知A ，列出不等式组即可求出k
的范围．
【详解】（1）由题可知， ， ， ，①
故 ，即 ，②
①和②联立解得， ， ；
（2）设A= ，
令 ，则 化为 ，
易知 在 上单调递增，故 ， ，
故 ；
设B= ，令 ，则 化为 ，
易知 在 单调递增，故 ，
则 时， ．
若对于任意的 ，存在 ，使得 ，
则A ，则显然k＞0，则B= ，
则 ，
则 ，解得 ．
练习30．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在 上的函
数 满足 ，则 ___________.
【答案】
【分析】分别令 ， ，可构造方程组求得结果.
【详解】令 ，则 ；令 ，则 ；
由 得： .
故答案为： .
题型七 单调性法求函数的值域与最值
例13．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知集合 ，
，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据指数函数的性质解得集合B，结合交集的概念和运算即可求解.
【详解】由 ，得 ，
解得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 .
故选：A.
例14．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）若定义运算 ，
则函数 的值域是___________.
【答案】
【分析】根据给定的定义，求出函数 的解析式，再分段求出值域作答.
【详解】依题意，由 ，得 ，即 ，解得 ，
由 解得 ，因此 ，
显然函数 在 上单调递减，取值集合为 ，在 上单调递增，取值集合是
，
所以函数 的值域为 .
故答案为：
练习31．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数 ，则 的最
小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】求 时函数 的最小值及 时函数 的最小值，最后两个最小值比较，
谁最小即为函数 的最小值.
【详解】当 时，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 有最小值为 ，
当 时，函数 在 上单调递增，
所以 ，综上，当 时，函数 有最小值为1.
故选：C
练习32．（2023春·湖北咸宁·高三校考开学考试）当 时，函数 的值
域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性得出值域.
【详解】因为指数函数 在区间 上是增函数，所以 ，
于是 ，即
所以函数 的值域是 .
故选：C.
练习33．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高三校考期末）函数 （ ）在
上的最大值是（ ）．
A．0 B．1 C．3 D．a
【答案】C
【分析】根据对数的单调性，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以该函数是单调递增函数，
所以 ，
故选：C
练习34．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为__________
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.
【详解】 为开口方向向上，对称轴为 的抛物线，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，
的值域为 .
故答案为： .
练习35．（2022秋·新疆·高三乌鲁木齐市第70中校考期中）若函数的值域是 ，则实数 的取值范围是 __．
【答案】
【分析】先根据基本不等式求出 时 的取值范围，然后根据 的范围得出 在
上的单调性，求出值域．根据题意，即可得出答案.
【详解】因为函数 .
当 时，有 ，当且仅当 时等号成立.
当 ，即 时，有 ，不满足题意；
当 ，即 时， 在 上单调递减，有
，不满足题意；
当 ，即 时， 在 上单调递增，有
.
要使 的值域是 ，则应有 ，所以 .
综上所述，当 时， 的值域是 .
故答案为： .
题型八 基本不等式法求函数的值域与最值
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数 的解析式，再利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，即
，①又因为函数 为奇函数，则 ，即
，②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .
故选：B.
例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在 上的奇函数 ，当 时，
，则该函数的值域为________.
【答案】
【分析】根据奇函数的性质求得 ，再结合基本不等式求 时其 的取值
范围，再结合奇函数的性质求 时函数值的范围，由此可得函数值域.
【详解】因为 为 上的奇函数，
所以 ，所以 ，
又当 时， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
即当 时， ，
因为 为 上的奇函数，
所以函数 的图象关于原点对称，
所以 时， ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
练习36．（2022秋·湖南怀化·高三校联考期末）若对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ,则 ，利用基本不等式可以求出结果.
【详解】令 ，由题意可得 ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
，所以实数 的取值范围为 .
故选：C.
练习37．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知 为奇函数.求
的值及 的最大值；
【答案】 ，
【分析】根据奇函数的性质 ，求出 的值，再代入检验，则 ，
利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为 定义域为 ，且为奇函数，
所以 ，所以 ，
当 时 ， 所以 ，符合题意；
由
，
当且仅当 ，即 ，等号成立，
所以 的最大值为 .
练习38．已知 是奇函数．
(1)求 的值；(2)求 的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质，建立方程，可得答案；
（2）利用基本不等式，结合奇函数性质，可得答案.
【详解】（1）因为 是奇函数，则 ，
所以 ，
可得： ，
则 恒成立，故 ．
（2）由（1）可知 ， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立；
又 是奇函数，所以 的值域为 ．
练习39．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考阶段练习）已知函
数 ．
(1)求关于 的不等式 的解集；
(2)若 ，求函数 在 上的最小值．
【答案】(1)当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 或 .
(2)
【分析】（1 ）利用一元二次不等式的解法及对参数 分类讨论即可求解；
（2 ）根据已知条件及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由 可得 ，即 ，
当 时，不等式 ，解得 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
综上：当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 或 .
（2）由 ，得 ，解得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
则 ，当且仅当 ，即
时，等号成立，
所以当 时，函数 在 上的最小值为 .
练习40．（2023秋·广东河源·高三龙川县第一中学统考期末）求函数 的值
域．
【答案】
【分析】先转化构造乘积为定值,再分情况应用基本不等式求解即可.
【详解】 ，
若 ，则 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ 的值域为 ．
题型九 分离变量法求函数的值域与最值
例17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】先根据解析式求出定义域,再对函数解析式进行分离常数,最后确定值域即可.
【详解】解:由题知, ,
,
,
,
即 值域为 .
故选:B
例18．（2021·高三课时练习）函数 的值域为__．
【答案】[ ,2]
【分析】先换元令t＝sinx，t∈[-1,1]，再分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数
的值域．
【详解】解：令t＝sinx，t∈[-1,1]，
所以原式可化为： ，
∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4，
∴ ，则 ，
∴ ，函数 的值域为 ．
故答案为： ．
练习41．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为__________
【答案】
【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果.【详解】 ，
， ， ，
即 的值域为 .
故答案为： .
练习42．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）（多选）已知函数
，则（ ）．
A． 的值域是 B． 的定义域为
C． D．
【答案】ACD
【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到 的对称中心，即可判
断C、D正误.
【详解】由 ，则定义域为 ，值域为 ，
所以 是 的对称中心，则 ，
综上，A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
练习43．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考期末）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为
C．函数 是奇函数 D．函数 在 上为减函数
【答案】ABC
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为 ，所以 ，所以函数 的定义域为 ，故A正确；
B： ，由
，
所以函数 的值域为 ，故B正确；C：因为 ，
所以函数 是奇函数，所以C正确；
D：因为函数 是增函数，因为 ，
所以函数 是减函数，
所以函数 是增函数，
故 是增函数，故D不正确，
故选：ABC.
练习44．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）（多选）点
在函数 的图象上，当 ，则 可能等于（ ）
A． B． C． D．0
【答案】AD
【分析】由点在线上得 ，则 ， ，由复合函数性质逐
步讨论值域即可
【详解】点 在函数 的图象上，∴ ，∴
，
∵由 得 ，
.
故选：AD
练习45．（2023·高三课时练习）函数 的定义域是______，值域是______．
【答案】
【分析】由题意可得 , 易得函数的定义域, 变形可得 , 由
的范围结合不等式的性质可得值域.
【详解】由 可得 ,函数的定义域为 ,
又
,
，
所以函数的值域为 ；
故答案为： ； .
题型十 分段函数求自变量或函数值
例19．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数 ，
若 ，则实数 的值是（ ）
A． 或5 B．3或 C．5 D．3或 或5
【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别讨论 ， 两种情况，结合题中条件，即可求出结
果.
【详解】若 ，则 ，∴ （ 舍去），
若 ，则 ，∴ ，
综上可得， 或 .
故选：A．
例20．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数 ，则
___________．
【答案】 /
【分析】求得 ，结合 的解析式可求得 的值.
【详解】因为 ，且 ，
则 .故答案为： .
练习46．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 若
，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据 的范围，即可确定 单调范围，进而代入即可分情况求解.
【详解】根据题意，当 时， ，不符合题意；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意．
故选:B．
练习47．（2022秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数 ，则函数
的所有零点之和为___________．
【答案】
【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数 的所有零点，从而得解．
【详解】设 ，则 ，
①当 时， ，得 ；
②当 时， ，得 ；
综上所述：若 ，则 或 .
故 或 ，则有：
①由 ，可得 或 ，解得 或 ；
②由 ，可得 或 ，解得 或 ；综上所述：函数 的所有零点为 ， ， ，4.
故所有零点的和为 ．
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：根据题意分 和 两种情况讨论，运算求解,
练习48．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数 ，则
________．
【答案】 /
【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.
【详解】解：由题知 ， .
故答案为：
练习49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 内的最大值是
最小值的两倍，且 ，则 ______
【答案】 或
【分析】分 、 两种情况讨论，利用指数函数的单调性可得出关于实数 的值，
可得出函数 的解析式，进而可求得 的值.
【详解】当 时，函数 在 内单调递增，
此时函数 的最大值为 ，最小值为 ，
由题意得 ，解得 ，则 ，
此时 ；
当 时，函数 在 内单调递减，
此时函数 的最大值为 ，最小值为 ，由题意得 ，解得 ，则 ，
此时 ．
故答案为： 或 .
练习50．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数 ，则
______.
【答案】 / .
【分析】根据分段函数 ，和 ，利用 转化为
求解.
【详解】
，
故答案为： .
题型十一 分段函数及图象的应用
例21．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数
.若函数 存在最大值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合 存在最大值即可求解
【详解】当 时，函数不存在最大值，故 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
所以此时 ；
当 时， 在区间 上单调递减，所以此时 ，若函数 存在最大值，则 ，解得 ，又 ，
所以 的取值范围为
故答案为：
例22．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数 在 是
减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析出函数 在 、 上均为增函数，再结合分段函数的单调性可得
出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】当 时， ，所以， 在 上为减函数，
因为 在 是减函数，且函数 在 上为减函数，
只需 ，解得 .
故选：B.
练习51．（2023·北京东城·统考二模）设函数 ，若 为增函数，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得 且 ，结合 与
的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.
【详解】因为 ，当 时 函数单调递增，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
要使函数 为增函数，则 且 ，又函数 与 在 上有两个交点 和 ，
且 的增长趋势比 快得多，
与 的函数图象如下所示：
所以当 时 ，当 时 ，当 时 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B
练习52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法，令 ，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分析，
结合函数图像分析即可解决问题.
【详解】令 ，则 即为 ，
当 时， ，故 无解，
当 时， 即为 ，
在同一平面直角坐标系下画出 和 的大致图像如图，由图可得当且仅当 时， ，
综上所述， 的解为 ，又 ，
所以 ，
当 时， ，
故 ，解得： ，所以 ，
当 时， ，
故 ，解得： ，所以 ，
综上所述，不等式 的解集是 .
故选：D.
练习53．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）设函数 若 存在
最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，讨论 、 ，结合一次函数、二次函数性质判断
是否存在最小值，进而确定参数范围.
【详解】由 ，函数开口向上且对称轴为 ，且最小值为 ，
当 ，则 在定义域上递减，则 ，
此时，若 ，即 时， 最小值为 ；若 ，即 时， 无最小值；
当 ，则 在定义域上为常数，而 ，故 最小值为 ；
当 ，则 在定义域上递增，且值域为 ，故 无最小值.
综上， .
故选：B
练习54．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）设函数 存在
最小值，则 的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据 的值与 的大小关系进行分类讨论，每种情况分别求函数在 和
的最小值，并比较大小即可.
【详解】①当 时， ，故函数 在 上单调递增，因此 不存在最小值；
②当 时， .
当 时， ，故函数 存在最小值；
③当 时， ，故函数 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， .
若 ，则 不存在最小值，故 ，解得 .
此时 满足题设；
④当 时， ，故函数 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， .
因为 ，所以 ，
因此 不存在最小值.
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
练习55．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设函数 ．
①若 ，则函数 的值域为________；
②若 在R上是增函数，则 的值可以是________．（写出符合条件的一个值）【答案】 2( 的任意数)
【分析】（1）求出分段函数的各自的值域，再将两集合取并集即可；
（2）分段函数 在R上是增函数，需要满足各个分段区域内是增函数，还得满足端点
值的条件.
【详解】①若 ，则函数 ，
当 时， 为增函数，则 ，
当 时， 为增函数，则 ，
的值域为 ；
②若 在R上是增函数，则需满足
，解得 ，
故答案为： ；2( 的任意数).
