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专题25 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
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题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动................................................................................1
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动................................................................................3
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动..............................................................................10
类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动..............................................................................16
类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场......................................................................24
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题..............................................................................36
类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题........................................................................37
类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题..........................................................................46
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题..............................................................53
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为
圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点
即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力
方向距离为r的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝α.
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动
【例1】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，
， ，一束 粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子
具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知 粒子的质量为3m，电荷量为q。以下
正确的为（ ）
A．粒子能到达de中点
B．从bc边界出的粒子运动时间相等
C．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】C
【详解】A． 粒子在磁场中做匀圆周运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子要在
区域运动，在经 点时轨道半径最大，此时粒子没能到达de中点，因此粒子不能到达de中
点，A错误；BC．设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当
最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长，由几何关系可知，当c点
与g点重合时，粒子运动时间最长，即从bc边界出的粒子运动时间不相等。如图所示，设
运动半径为R，由几何关系则有
解得
已知 粒子的质量为3m，电荷量为q，其在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
B错误，C正确；
D． 粒子在磁场中运动的周期为
在 中，设 为 ， 为θ，由几何关系可得
可得则粒子在磁场中运动的最长时间为
D错误。
故选C。
【例2】如图所示，在xOy平面的 的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率
相等的大量质子从原点O朝各个方向均匀发射到第一象限内，发现从磁场上边界射出的质
子数占总数的 ，不计质子间相互作用及重力，则质子在磁场中做匀速圆周运动的半径
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据洛伦兹力提供向心力可得
可知速率相等的大量质子的运动半径也相等，可知从原点均匀发射到第一象限内，从磁场
上边界射出的质子数占总数的 ，则从磁场上边界射出的电子的发射角度范围有
则根据质子的偏转轨迹和几何关系可得，能从上边界射出的电子的发射角度在设轨迹半径为 R ，则由几何关系知
代入得
故选C。
【例3】．如图所示，在直线边界 的上方存在垂直纸面向里磁感应强度为 的匀强
磁场， 点在 上。现从 点垂直 在纸面内向上发射速度大小不同、质量均为 、电
量均为 的粒子，已知 ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则
粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，当粒子由N点飞出时，运动的时间最长，运动轨迹如图所示设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有
解得
由
联立解得
则
由牛顿第二定律有
解得
由几何关系可知，粒子运动轨迹的长度为
则粒子的运动时间为故选C。
【例4】如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点
垂直MN和磁场方向射入磁场，经t 时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向
1
以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t 时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为( )
2
A．3 B．2 C. D.
【答案】 A
【解析】 电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图
所示，
电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，
电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 t 时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据
2
半径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子
2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t ＝＝，电子2运动的时间t ＝＝，所以＝
1 2
3，故A正确，B、C、D错误．
【例5】如图，一个质量为m，电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以
速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成
45°角。OP=a。则以下说法正确的是（ ）
A．带电粒子运动轨迹的半径为a
B．磁场的磁感应强度为
C．OQ的长度为D．粒子在第一象限内运动的时间为
【答案】BD
【详解】A．带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如下图
设带电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得
解得
故A正确；
B．根据牛顿第二定律可得
解得
故B正确；
C．根据几何知识可得
故故C错误；
D．带电粒子做匀速圆周运动的周期为
由几何知识可得
则
故D正确。
故选BD。
【例6】如图所示，两个速度大小相同、比荷不同的带电粒子1、2，沿水平方向从同一点
垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向
的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的（ ）
A．轨迹半径之比为2∶1 B．比荷之比为2∶1
C．时间之比为3∶2 D．周期之比为2∶1
【答案】B
【详解】A．粒子1和粒子2的圆心O 和O，如图所示
1 2
设粒子1的半径R=d
1
对于粒子2，由几何关系可得
解得
故轨迹半径之比为1∶2，故A错误；
B．由牛顿第二定律可得
化简可得
可知，比荷之比为2∶1，故B正确；
D．周期
得
故两粒子周期之比为1∶2，故D错误；
C．速度的偏转角即圆心角，故粒子1的运动时间
粒子2的运动时间
故它们在磁场中运动的时间之比为3∶4，故C错误。
故选B。类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
【例1】如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的 点
沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为 ，运动轨迹为 ；若粒子射入
磁场时的速度大小为 ，运动轨迹为 。不计粒子的重力，下列判断正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．速度 小于速度
C．粒子以速度 射入时，在磁场中运动时间较长
D．粒子以速度 射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大
【答案】BC
【详解】A．根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；
B．根据牛顿第二定律有
解得
根据图中轨迹可知， ，则有
故B正确；
C．粒子在磁场中的运动周期为粒子在磁场中的运动时间为
由图可知运动轨迹为 对应的圆心角大于运动轨迹为 对应的圆心角，故粒子以速度
射入时，在磁场中运动时间较长，故C正确；
D．粒子在磁场中受到的洛伦兹力大小为
，可知 ，故粒子以速度 射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较小，故D错误。
故选BC。
【例2】．如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里，磁感应强
度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v 沿和直径 成 角的方向垂
0
直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点 射出。已知 为区域磁场的一条直径，不计电荷
的重力，下列说法正确的是（ ）
A．该点电荷带负电
B．该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为RC．该点电荷的比荷为
D．该点电荷在磁场中的运动时间为
【答案】AD
【详解】A．由题意可知，点电荷应向下偏转，由左手定则可知，该点电荷带负电，故A
正确；
B．由题意可知，点电荷在磁场中做匀速圆周运动轨迹对应的弦长为2R，设点电荷做匀速
圆周运动的半径为r，由弦长公式可得
解得
故B错误；
C．点电荷做匀速圆周运动所受洛伦兹力提供向心力，则有
则比荷
故C错误；
D．由题意可知，点电荷做匀速圆周运动的圆心角
则该点电荷在磁场中的运动时间为
故D正确。
故选AD。
【例3】．如图所示，在平面 中的圆形区域内有一个垂直纸面向里匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一电子从a点以初速度v平行于x轴正方向射入磁场，
并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为 。电子在磁场中运动
的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设电子的轨迹半径为R，电子的运动轨迹如图所示
根据几何关系可得
解得
电子在磁场中运动的时间为
故选B。
【例4】如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为 的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以 的速度垂
直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且 ，下列选项正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N点射出方向竖直向下
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
【答案】C
【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为
四边形AONP的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为
故A错误；
B．粒子在磁场中速度偏转 ，从N点射出方向是与竖直方向呈 ，故B错误；
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形
SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确；D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最
小，最小面积为
故D错误。
故选C。
【例5】如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀
强磁场（未画出），一质量为m、带电荷量为 的微粒从圆上的N点以一定的速度沿图中
虚线方向射入磁场，从圆上的M点离开磁场时的速度方向与虚线垂直。已知圆心O到虚线
的距离为 ，不计微粒所受的重力，下列说法正确的是（ ）
A．微粒在磁场区城内运动的时间为
B．微粒射入磁场时的速度大小为
C．微粒在磁场中运动的轨迹半径为D．微粒到圆心O的最小距离为
【答案】B
【详解】A．设微粒的速度大小为v，微粒在匀强磁场中运动的轨道半径为r，则有
，
解得
由于偏转角为 ，则轨迹对应的圆心角也为 ，则有
解得
故A错误；
C．作出粒子的运动轨迹如图所示
A点为微粒运动轨迹的圆心，设圆心O到MA的距离为x，到MC的
距离为y，则有
， ，
解得
故C错误；
B．根据结合上述解得
故B正确；
D．微粒到圆心O的最小距离
结合上述解得
故D错误。
故选B。
类型3 带电粒子在环形边界磁场中运动
【例1】2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装罫创造了新的世
界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为 和 的真空同轴圆柱面之间，加有与轴
线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里， 。假设氘核 沿内环切线向左进入
磁场，氚核 沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间
的相互作用，则 和 的动量之比为（ ）
A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．3∶1
【答案】C
【详解】根据左手定则，作出粒子的运动轨迹如图所示根据几何关系，氘核 的半径为
根据几何关系，氚核 的半径为
根据洛伦兹力提供向心力
可得
动量为
和 的动量之比为
故选C。
【例2】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的
方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为 v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。
已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成
的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀
速圆周运动轨迹的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感
应强度最小为B，由几何关系有＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律有evB＝m，解得B＝，选项C正确。
【例3】2023年7月5日，中核集团正式签约承建全球首个全高温超导核聚变实验装置，
彰显了我国在此领域技术水平居国际前列。在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，
叫磁约束。如图所示为核聚变中磁约束装置的简化图，圆环状匀强磁场区域的内半径为
R，外半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直于环面，中空区域内带电粒子的质量为
1 2
m，电荷量为q，具有各个方向的速度。下列说法正确的是（ ）
A．要使所有带电粒子约束在半径为R 的区域内，则带电粒子的最大速度为
2
B．从内环边缘相切射出的所有带电粒子都约束在磁场区域内运动的最大速度为C．要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R 的区域，
2
D．要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R 的区域，
2
【答案】AD
【详解】AB．带电粒子的速度越大，在磁场中圆周运动的半径就越大，要使带电粒子约束
在半径为R 的区域内，如下图
2
可得带电粒子圆周运动的最大半径为
根据
可得带电粒子的最大速度为
该速度同时也是从内环边缘相切射出的带电粒子仍在磁场区域运动的最大速度。A正确，
B错误；
CD．要使以大小为v的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R 的区域，临
2
界状态如下图所示设临界状态圆周运动半径为 ，由几何关系可得
根据AB选项分析可知磁感应强度越大则半径越小，有
方程联立可得
要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R 的区域
2
C错误，D正确。
故选AD。
【例4】2023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡
马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验
堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在
某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为 ，外半径为 ，被束缚的带电粒子的比荷
为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都
不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为 的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大
小可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的
方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子最大轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
要使粒子不离开磁场由于
故选CD。
【例5】．如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成
的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电
荷量为 q（ ）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在
磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
可得
粒子仅在磁场中运动，则
或代入可得
或
故选ACD。
【例6】2020年12月4日，新一代“人造太阳”装置——中国环流器二号M装置
（HL-2M）在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚
变。其简化模型如图所示，核聚变主要原料氕核 和氘核 均从圆心O沿半径方向
射出，被约束在半径为 和 两个同心圆之间的环形区域，该区域存在与环面垂直的匀
强磁场。则下列说法正确的是（ ）
A．若有粒子从该约束装置中飞出，则应减弱磁场的磁感应强度
B．若两种粒子速率相同，氕核 不会从该约束装置中飞出，则氘核 也一定不会从
该约束装置中飞出
C．若两种粒子在磁场中做圆周运动的半径相同，则两种粒子具有相同大小的动量
D．若氘核 在磁场中运动的半径 ，则氘核 会从该约束装置中飞出
【答案】C
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
解得如果减弱磁场的磁感应强度，粒子轨道半径变大，更容易飞出去，A错误；
B．由上面分析得
氕核与氘核速率相同，所带电荷量相同，磁感应强度也相同，氕核 不会从该约束装置
中飞出，但氘核质量更大，所以轨道半径更大，氘核有可能飞出该装置，B错误；
C．由上面分析得
氕核与氘核所带电荷量相同，轨道半径相同，磁场的磁感应强度也相同，则两种粒子具有
相同大小的动量，C正确；
D．如图所示
设氘核轨道半径为r，当轨迹和外部大圆相切时是氘核飞出该装置的临界状态，根据几何
关系有
解得
若氘核 在磁场中运动的半径 ，则氘核 不会从该约束装置中飞出，D错误。
故选C。类型4 带电粒子在三角形或四边形边界磁场
【例1】如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面的匀强磁
场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。 时刻，磁场方向正好垂直于
abc所在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v 从a点垂直于ac边射出，并从
0
P点第一次进入三角形abc区域。磁感应强度大小始终为B。不计带电粒子重力，求：
（1）粒子的荷质比；
（2）粒子第一次到达c点的时刻。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）根据牛顿第二定律得
根据几何关系可得
联立解得
（2）粒子的运动轨迹如图所示粒子在磁场中的运动时间为
粒子做圆周运动的周期为
在磁场外运动的时间为
粒子第一次到达c点的时刻为
联立解得
【例2】如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于
纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向
发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )A.kBl，kBl B.kBl，kBl
C.kBl，kBl D.kBl，kBl
【答案】 B
【解析】 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为r ＝，由洛伦兹力提供
a
向心力，有evB＝m，又＝k，解得v ＝；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何
a a
关系有r2＝l2＋(r－)2，解得：r＝，由洛伦兹力提供向心力，有evB＝m，又＝k，解得v
d d d d d
＝，选项B正确．
【例3】如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC
边长为l， 为 ，一群比荷为 的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC
边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时
间为 ，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为 ，则以下说法中正确的是
（ ）
A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为【答案】AD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直 边射出的粒子在磁场中运动的时
间是 ，由
可得
解得
故A正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为 ，则有
可得
画出该粒子的运动轨迹如图所示
设轨道半径为 ，由几何知识得
可得故B错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力可得
则粒子射入磁场的速度大小为
故C错误；
D．射入的粒子恰好不从 边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D正确。
故选AD。
【例4】．如图所示，边长为L的正方形 内表面涂有荧光材料，粒子打在表面会被
吸收并发出荧光。正方形区域内存在方向垂直该平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁
场，粒子源从正方形 边的中点P沿垂直磁场方向持续发射质量为m、电量为q的带正
电的某种粒子，发射速度方向斜向上，速度大小与发射角的关系为 ， 为发射速
度方向与水平方向的夹角， ，其中 的粒子恰好从 边中点射出。不计
粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子从P点运动至与 边相切所需的时间为B．粒子在 边发出荧光的总长度为L
C．打在B点的粒子轨道半径为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】AC
【详解】A．当 的粒子速度v=v，粒子恰好从AB边中点射出，则
0
当粒子从P点运动至与DC边相切时，则轨道半径
即
可知所有粒子的轨迹圆心都在AB边上；当轨迹与DC相切时
由几何关系
可得
r=L
α=60°
则粒子运动的时间
选项A正确；B．当粒子轨道与DC边相切时，粒子打到BC边上的位置为上边缘，可知粒子在 边发
出荧光的总长度小于L，选项B错误；
C．打在B点的粒子轨迹如图，此时轨迹与B点相切，设 ，则
其中
由几何关系
解得
解得轨道半径为选项C正确；
D．当轨迹圆与B点相切时，粒子在磁场中转过的角度大于90°，此时运动时间
选项D错误。
故选AC。
【例5】如图所示的正方形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从ad边中点e
沿ec方向射入磁场。当射入速度大小为v时，恰好从bc边中点f飞出磁场。不计粒子所受
重力。下列说法正确的是（ ）
A．当粒子速度大小为 时，粒子离开磁场时的速度方向与磁场边界垂直
B．当粒子速度大小为 时，粒子在磁场区域运动过程中速度方向改变了90°
C．粒子两次射入速度大小分别为 ，在磁场中运动时间分别为 ，若 ，
则有
D．若粒子射入速度大小合适，可能从ab边界上任一点飞出磁场
【答案】ABC
【详解】A．由左手定则判断，粒子带负电，做匀速圆周运动
周期设正方形边长为L，粒子射入速度方向与ef时夹角为θ，有
当粒子射入速度大小为v时，轨迹对应的圆心角为 ，运动时间
由几何关系可得
当粒子速度大小为 时，轨迹半径
粒子的轨迹圆心恰好位于cb边的延长线上，如图1所示，粒子离开磁场时速度方向应与磁
场边界垂直，故A正确；
B．设粒子速度大小为 时，在磁场区域运动过程中速度方向改变了90°，轨迹半径
如图2所示。由几何关系可得解得
即
故B正确；
C．粒子入射速度变小，轨迹半径变小，粒子两次射入速度大小分别为 ，只要两次不
都是从ea边射出， 时，轨迹半径
轨迹对应的圆心角
则有
若两次都是从ea边射出， 时，轨迹半径
轨迹对应的圆心角
则有
故C正确；
D．当入射速度使粒子运动轨迹恰好与ab边界相切时，设切点为g，速度再小时，粒子就
从ea边射出，所以粒子不可能在ag间飞出磁场，故D错误。
故选ABC。
【例6】．如图所示，正三角形ABC内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中末画出），磁感
应强度的大小为B，三角形的边长为L，B点有一离子源，能发出速率相同、方向不同的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为 ，粒子的速率 ，粒子的重力忽略不计，不
考虑粒子之间的相互作用，（已知 ）。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．与BC边夹角为 的粒子从BC边射出，且射出的速度方向与BC边夹角仍为
C．从BC边射出的粒子轨迹可能与AC边相切
D．当粒子射入磁场速度方向与BC边夹角为 时，从AC边射出的粒子在磁场中运动
的时间最短
【答案】AD
【详解】ABC．洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，所以有
所以粒子做圆周运动的半径为
又因为粒子的速率
解得
所以当粒子射入磁场的速度方向与BC边夹角为 时，粒子恰好从C点射出，速度方向与
BC边夹角为 ，则粒子的速度方向与BC边界夹角在 内均从BC边界射出磁场，
从C点射出磁场的粒子在磁场中运动时间最长，最长时间为而
解得
故A正确，BC错误；
D．当粒子从AC边界的中点O射出时，BO为到AC边的最短距离，因此当BO为轨迹上的
弦长时所对应的圆心角最小，即对应的粒子在磁场中运动的时间最短，设粒子射入磁场时
速度方向与BO的夹角为 ，则根据几何关系有
，
解得
所以
此时粒子射入磁场时速度方向与BC边界夹角为 ，故D正确。
故选AD。
【例7】．在矩形 区域内存在一个垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，
边长为 ， 边长为 。带正电的粒子从O点沿 方向以不同速率射入，已知粒子
的质量为m、电荷量为q，粒子所受重力及粒子间的相互作用均忽略不计。取，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．垂直边界 射出时，粒子的速度大小为 D．垂直边界 射出时，粒子的速度大
小为
【答案】AC
【详解】AB．由几何关系有
解得
设粒子做圆周运动的半径为R，由
可得
可知粒子在磁场中做圆周运动的周期和速度无关。由几何关系可知粒子偏转的最大圆心角
粒子运动的最长时间故A正确，B错误；
CD．粒子垂直于 边射出时，由几何关系有
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
故C正确，D错误。
故选AC。
题型二 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至
少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立
几何关系求解．1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，
故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对
应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．
类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
【例1】如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的有界匀强磁场，其边
界AB、CD相距为d，在左边界的Q点处有一质量为m、带电量为-q的粒子沿与左边界成
30°的方向射入磁场，粒子重力不计。求：（本题要求3个小问都要在答题卡上画出带电粒
子在磁场区域内运动的轨迹）
（1）带电粒子能从AB边界飞出的最大速度；
（2）若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，粒子在磁场中运动的速度和时间各是多少？
（3）若带电粒子的速度是（2）中的 倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场，则粒
子能打到CD边界的距离大小？【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【详解】（1）设粒子轨迹半径为 ，临界情况如图甲所示
由几何条件知
粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
解得最大速度为
（2）带电粒子能从右边界垂直射出，作出轨迹如图乙所示由几何关系知
粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
解得
粒子转过的圆心角为60°，所用时间为
粒子做圆周运动，周期
解得
（3）当粒子速度是（2）中的 倍时，根据
结合上述解得由几何关系可得粒子能打到CD边界的范围如图丙所示
根据几何关系可知，粒子打到CD边界的距离
解得
【例2】如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为
B的匀强磁场 含边界 ，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有
质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成 角向下。PQ是与x
轴平行的荧光屏 质子打到荧光屏上不再反弹 ，P、Q两点的坐标分别为 ，
。已知质子比荷 ， 。求： 结果均可用分数表示
（1）质子在磁场中运动的最长时间是多少;
（2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的
取值范围是多少。【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）质子能打到y轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示
由周期公式
又由几何关系可知
则粒子在磁场中运动的最长时间
（2）当质子轨迹与PQ相切时，如图1所示，设此时初速度为 ，轨迹半径为R，由几何
关系可得
又
解得
当粒子运动轨迹与磁场边界相切时，如图2所示，设此时初速度为 ，轨迹半径为 ，由几何关系可得
又
解得
综上可得
【例3】空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段 是屏与纸面
的交线，长度为 ，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷
量为q、速率相同的粒子； ，P为垂足，如图所示，已知 ，若 上
所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】粒子要打中 的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从 飞出，绕过距离最近的 点，从右侧打中 最下端的 点，粒子运动的轨迹如图所示
为轨迹圆的弦长， 为 中点， ， ；粒子运动的半径为 ，根
据几何关系可知四边形 为平行四边形，则
解得
粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
解得粒子的最小速率为
故选C。
【例4】如图所示，一个质量为 、带负电荷粒子的电荷量为 、不计重力的带电粒子从
轴上的 点以速度 沿与 轴成 的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于
轴射出第一象限。已知 。
（1）求匀强磁场的磁感应强度 的大小；
（2）让大量这种带电粒子同时从 轴上的 点以速度 沿与 轴成0到 的方向垂直磁
场射入第一象限内，求 轴上有带电粒子穿过的区域范围；
（3）为了使该粒子能以速度 垂直于 轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于 平面、磁感强度为 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这
矩形磁场区域的最小面积 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）粒子运动轨迹半径设为 ，如图所示
根据几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力可得
解得（2）粒子从 轴上 之间射出，设 点纵坐标为 为轨迹圆的直径，如图所示，由
几何关系得
解得
可知 轴上有带电粒子穿过的区域范围为
（3）为了使该粒子能以速度 垂直于 轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个
垂直于 平面、磁感强度为 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，粒子在
此磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
如图所示，由几何关系可得矩形磁场区域的最小面积为解得
【例5】如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应
强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为
m、电荷量为q的粒子（不计粒子重力），在竖直平面内，沿着与MN夹角为 的方
向射入磁场中。则下列说法正确的是（ ）
A．若带电粒子带负电，入射速度只要大于 ，粒子就会从PQ射出
B．粒子在磁场中运动的最长时间可能是
C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为
D．若在该空间再加一个匀强电场，粒子有可能做匀加速直线运动
【答案】BC
【详解】A．若带电粒子带负电，粒子恰好从PQ射出，轨迹如图由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
解得粒子入射速度
入射速度只要大于 ，粒子就会从PQ射出，A错误；
B．若带电粒子带正电，粒子在磁场中运动的最长时间对应轨迹为
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
运动时间粒子在磁场中运动的最长时间可能是 ，B正确；
C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子（带负电），在磁场中运动时间均为
C正确；
D．若在该空间再加一个匀强电场，带电粒子受电场力与洛伦兹力，由于洛伦兹力垂直于
速度方向，且大小为
若粒子做匀加速直线运动，则速度增加，洛伦兹力变大，合力不再与速度共线，所以若在
该空间再加一个匀强电场，粒子不可能做匀加速直线运动，D错误。
故选BC。
类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题
【例1】如图所示，OACD是一长为OA=l的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一
质量为m、带电量为q的粒子从O点以速度v 垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，
0
粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带正电
B．匀强磁场的磁感应强度为
C．粒子从O到A所需的时间为
D．矩形磁场的宽度最小值为
【答案】CD【详解】A．由题意可知，粒子进入磁场时所受洛伦兹力斜向右下方
由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；
B．粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
故B错误；
C．由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角 ，粒子在磁场中做圆周运动的周
期
粒子在磁场中的运动时间
C正确；
D．根据图示，由几何知识可知，矩形磁场的最小宽度
故D正确。故选CD。
【例2】如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O
点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意
方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂
直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的
粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角越大，在磁场中运动的时间越长，由题可知，
水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，故粒子粒子轨迹的半径为a，打到MN上、下
表面的粒子均被吸收，如图所示有两种情况
打在MN上表面时，粒子运动轨迹最大的圆心角为 ，当粒子打在MN下表面时，若OP
为轨迹圆的弦，则轨迹所对圆心角最大，其中
故粒子运动轨迹最大的圆心角为
根据 可知粒子在磁场中运动的时间为
故粒子在磁场中运动的最长时间为
故选A。
【例3】如图所示，空闻有半径为R的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸
面，在距圆心O为 处有一粒子源， 时刻沿纸面内的任意方向上均匀发射出速度大小
相同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的半径为 ，则（ ）
A．粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为
B．粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为
C． 时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
D． 时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
【答案】AD【详解】
AB．如图1所示，当粒子的轨迹以AB为弦长时经历的时间最小，由几何关系得圆心角为
，故粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为
故A正确，B错误；
CD．因粒子均匀分布于各个方向，故粒子数之比与角度成正比，如图2所示，当
时，由几何关系知出磁场与未出磁场的粒子数之比为 ，故C错误，D正确。
故选AD。
【例4】．如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为O的圆形区域内充满磁感应强度为B
的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角三角形，
，从圆形磁场最高点P沿PO方向向圆形区域内射入大量速率不同的同种
粒子，粒子所带电荷量均为q、质量均为m且带正电。忽略粒子之间的相互作用力和粒子
重力，关于打在MN区域的粒子，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间B．打在收集板上的粒子的最大速率
C．整个过程中位移最小的粒子速率
D．整个过程中位移最小的粒子运动的时间
【答案】AD
【详解】A．如图甲所示，设出射点为 ，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 ，根
据几何关系有
粒子射到M点时， 最小， 最大，粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知
因为周期
所以
则
故A正确；B．设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，根据几何关系有
粒子射到N点时，打在收集板上的粒子速度最大
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故B错误；
C．整个过程中粒子位移大小为P到直线MN上的点的距离，点到直线垂线最短，如图乙
所示，设位移最短时打在Q点，PQ⊥MN，根据几何关系有
， ， ，
位移最小的粒子的速率
又故位移最小的粒子运动的时间
故C错误，D正确。
故选AD。
【例5】如图所示，直角三角形abc区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发
射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下
列说法正确的是（ ）
A．粒子运动的速率可能为
B．粒子在磁场中运动的时间可能为
C．bc边界上有粒子射出的区域长度最大为
D．有粒子经过的磁场区域的面积最大为
【答案】BCD
【详解】A．根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，根据几何知
识可得半径为
根据洛伦兹力提供向心力解得
同理若粒子从c点射出，则速度
则粒子的速度不可能为 ，故A错误；
B．粒子在磁场中运动的周期为
当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间为
故B正确；
CD．根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在cb上的点到c点的距离最大，即
所以打在bc边界上有粒子射出的区域长度最大为 ，有粒子经过的磁场区域的面积最
大为
故CD正确。
故选BCD。题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定
临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
类型 分析 图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负
带电粒子电性
电荷，初速度相同时，正、负粒子在
不确定
磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负
电，其轨迹为b
只知道磁感应强度大小，而未具体指
磁场方向
出磁感应强度方向，由于磁感应强度 若B垂直纸
不确定
方向不确定而形成多解 面向里，其轨迹为a，若B垂直
纸面向外，其轨迹为b
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过
临界状态
磁场飞出，也可能转过180°从入射界
不唯一
面一侧反向飞出，于是形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场
运动具有
空间运动时，运动往往具有周期性，
周期性
因而形成多解
【例1】如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直
纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强
度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为 的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直
接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。
（1）求OP之间的距离；
（2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区
域，求粒子射入时速度大小的可能值。
【答案】（1） （2）
【详解】（1）根据牛顿第二定律
得
粒子运动轨迹如图
OP长度为
（2）粒子从 点离开一定是从区域Ⅰ与 相切离开磁场区域，故根据几何关系
即
，
解得
【例2】如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内无磁场，圆形区域外存在方向垂直
于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的粒子从O点以
大小为v的速度沿半径方向射出，射出后粒子做周期性运动。不计粒子重力，则粒子运动
的周期可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】作出粒子的部分运动轨迹如图：以后以同样的运动形式，直到速度回到开始的速度则完成一个周期性运动，则粒子运动的
周期
其中
当 时，周期
当 时，周期
故选AD。
【例3】．如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成
的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电
荷量为 q（ ）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在
磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
可得
粒子仅在磁场中运动，则
或
代入可得
或
故选ACD。
【例4】如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强
磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源
位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为
的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知 ，则
粒子的速度可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】粒子可能在两个磁场间做多次的运动。画出可能的粒子轨迹如图所示
分析可知，由于粒子从b点从左侧磁场进入右侧磁场，粒子在ab间做匀速圆周运动的圆弧
数量必为偶数个，且根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角均为120°，根据几何关系可得
粒子运动的半径为
解得
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得A．当 时， 。符合条件，故A正确；
B．当 时， 。不符合条件，故B错误；
C．当 时， 。不符合条件，故C错误；
D．当 时， 。不符合条件，故D错误。
故选A。
【例5】．如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，
三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，
粒子源能沿 的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q不计
粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v 为哪些值时粒子能通过B点（ ）
0
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】粒子可能的轨迹如图所示由几何关系得
（n=1,2,3 ）
由牛顿第二定律得
解得
（n=1,2,3 ）
n=1时
n=3时
粒子可以通过B点，故AC符合题意，BD不符合题意。
故选AC。
【例6】．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。
现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动
的时间可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得
根据线速度和周期的关系，可得
联立解得
由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角
1
为θ＝60°，则对应时间分别为
2
故选AD。
【例7】如图，纸面内有一矩形abcd，其长ab为4l、宽ad为 ，P、Q为ab边上的点，
。在矩形abcd外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度
大小为 。一质量为m、带电荷量为q（ ）的粒子，从P点垂直ab以速度 向外射入
磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为 ，粒子从P点垂直ab射入磁
场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】AB．根据粒子从P点垂直ab射入磁场，从Q处进入无场区，可判断粒子做圆周
运动的半径
粒子在磁场中做圆周运动，有
解得
粒子速度变为
粒子在磁场中做圆周运动，有
由数学知识可知，粒子先以Q为圆心做 个圆周运动到ad的中点M，再沿直线MN运动到
N（Nc=l），再经过 个圆周运动到P点，沿直线PM运动到M，再经过 个圆周运动到N
点，沿直线NP运动到P，之后重复上述运动，粒子运动轨迹如图所示可知粒子在一个周期内经过P点两次。由P点沿圆弧运动到M点所用时间
由M点沿直线运动到N点所用时间
粒子以2v 垂直ab向外经过P，则粒子运动的时间
1
粒子运动的路程
当k=2时为A选项，而B选项无法取到，故A正确，B错误；
CD．粒子以2v 大小与ab方向成30°角经过P，则
1
粒子运动的路程
当k=2时为C选项，当k=3时为D选项，故CD正确。
故选ACD。
