文档内容
第11讲 圆锥曲线中的中点弦问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙卷（文科）， 已知方程求双曲线的渐近线
由弦中点求弦方程或斜率
第12题,5分 讨论双曲线与直线的位置关系
2022年新Ⅱ卷，第16题,5分 由中点弦求弦方程 根据弦长求参数
求双曲线中的弦长
2022年新Ⅱ卷，第21题,12 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参
根据双曲线的渐近线求标准方程
分 数
根据韦达定理求参数
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算
2.会用点差法求解相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 椭圆中点弦斜率公式
x2 y2
(1) 若 M(x ,y ) 为椭圆 + =1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
0 0 a2 b2
b2
k .k =− =e2−1
AB OM a2
y2 x2
(2) 若 M(x ,y ) 为椭圆 + =1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
0 0 a2 b2
a2 1
k .k =− =
AB OM b2 e2−1
2. 双曲线的中点弦斜率公式
x2 y2
(1) 若 M(x ,y ) 为双曲线 − =1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
0 0 a2 b2
b2
k ⋅k = =e2−1
AB OM a2
y2 x2
(2) 若 M(x ,y ) 为双曲线 − =1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
0 0 a2 b2
a2 1
k ⋅k = =
AB OM b2 e2−13. 抛物线的中点弦斜率公式
p
(1) 若 M(x ,y ) 为抛物线 y2=2px 弦 AB(AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 k =
0 0 AB y
0
x
(2) 若 M(x ,y ) 为抛物线 x2=2py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 k = 0
0 0 AB p
4. 中点弦斜率拓展
x2 y2 b2x
在椭圆 + =1 中, 以 P(x ,y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=− 0 ;
a2 b2 0 0 a2y
0
x2 y2 b2x
在双曲线 − =1 中, 以 P(x ,y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 0 ;
a2 b2 0 0 a2y
0
p
在抛物线 y2=2px(p>0) 中，以 P(x ,y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=
0 0 y
0
5. 椭圆其他斜率形式拓展
椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一
点，则有
椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一
点，则有
（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于 两点，P点是椭圆上异于 两点
椭圆的方程为
的任一点，则有
6. 点差法妙解中点弦问题
若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 A(x ,y )、B(x ,y ),
1 1 2 2
将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB的中点和斜率有关的式子, 可以大大
减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
x2 y2
（1） 设点: 若 A(x ,y ),B(x ,y ) 是椭圆 + =1(a>b>0) 上不重合的两点,则
1 1 2 2 a2 b2{
x2 y2
1+ 1=1
a2 b2
x 2 y 2
2 + 2 =1
a2 b2
(x +x )(x −x ) (y + y )(y −y )
（2） 作差: 两式相减得 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0,
a2 b2
（3）表斜率: y 1 −y 2 是直线 AB 的斜率 k, (x 1 +x 2, y 1 + y 2 ) 是线段 AB 的中点 (x ,y ),
x −x 2 2 0 0
1 2
y + y y −y b2 y b2
化简可得 1 2 ⋅ 1 2=− ⇒ 0 ⋅k=− , 此种方法为点差法。
x +x x −x a2 x a2
1 2 1 2 0
考点一、 椭圆中的中点弦问题
1．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交
于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ，
， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2所以直线 ，即
2．（重庆·高考真题）直线 与圆 相交于两点 ， ，弦 的中点为 ，
则直线 的方程为 ．
【答案】 .
【详解】设圆心 ，直线 的斜率为 ，弦AB的中点为 ， 的斜率为 ， 则 ，所以
由点斜式得 ．
3．（全国·高考真题）已知椭圆E: ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．
若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1
C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
【答案】D
【详解】设 、 ，所以 ，运用点差法，所以直线 的斜率为 ，设直线方
程为 ，联立直线与椭圆的方程 ，所以 ；又因
为 ，解得 .
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆 上的两点A，B关于直线 对称，则弦AB的中
点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ， 的中点为 ，可得 ，运用“点差法”求解可
得 ，代入 求得结果.
【详解】设 ， ， 的中点为 ，则 ，由点 在椭圆上得 ，两式相减得 ，
整理得 ，
由 ， ，即 ，
将 代入 ，解得 ， ，
所以 .
故选：D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 ＋ ＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，
则这条弦所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】根据点差法求出弦所在直线的斜率得解.
【详解】设弦为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，两式相减并化简得 ，
即 ，则 ，
所以弦所在直线的方程为 ，即 .
故答案为： .
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点， 为 中点，为坐标原点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出点 ， ， 的坐标，根据坐标求出 的关系式，把 ， 两点坐标代入椭圆方程，利
用点差法化简即可求解．
【详解】设 ， ， ，
则 ， ， ，
所以 ，所以 ，
将 ， 两点坐标代入椭圆方程可得： ，
两式作差可得： ，
所以 ，则 ，
故选：D
4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两点，
线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则 ，由点差法求解离心率即可.
【详解】设 ，则 ，
则 ，两式相减可得 ，
，即 ，即 ， ，故 .
故选：B
5．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的
直线交椭圆 于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆焦点坐标以及 的中点坐标，利用点差法即可得 ，可求出椭圆 的方程.
【详解】不妨设A(x ,y ),B(x ,y )，所以 ，
1 1 2 2
两式相减可得 ，整理可得 ，
根据题意可知直线 的斜率为 ，
由 的中点坐标为 可得 ；
因此 ，可得 ，
又焦点为 可得 ，解得 ；
所以椭圆 的方程为 .
故选：A
考点二、 双曲线中的中点弦问题
1．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.
2．（全国·高考真题）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过F的直线 与 相交于A，B
两点，且AB的中点为 ,则 的方程式为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵k = =1,
AB
∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),
则 - =1.整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
则x +x = =2×(-12),
1 2
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为 - =1.故选B.
3．（全国·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于 ， 两
点，若 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法得 ，再根据焦点坐标得 ，解方程组得 ， ，即得结果.
【详解】设双曲线的方程为 ，由题意可得 ，设 ， ，则的中点为 ，由 且 ，得 ，
，即 ，联立 ，解得 ， ，故所求双曲线的方程为
．故选D．
【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线 上不同两点，下列点中可为线段 的中
点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法结合选项得出 方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.
【详解】设 的中点 ，
所以 ，
易知 ，
由点差法可得
，
若 ，此时 ，
与双曲线联立 ，
即 与双曲线只有一个交点，故A错误；
若 ，则此时 ，
与双曲线联立
，即 与双曲线有两个交点，故B正确；
若 ，则此时 ，
与双曲线联立 ，
即 与双曲线有一个交点，故C错误；
若 ，则此时 ，
与双曲线联立 ，显然无解，
即 与双曲线没有交点，故D错误；
故选：B
2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线 交于A，B两点，线段AB的中点为点
，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设A(x ,y )，B(x ,y )，代入双曲线方程，两式相减可得 ，由题目条件经整理
1 1 2 2
后可得答案.
【详解】设A(x ,y )，B(x ,y )，则直线l的斜率为
1 1 2 2
代入 ，得 ，两式相减得： .
又线段AB的中点为点 ，则 .
则 .经检验满足题意.
故选：D
3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线 与双曲线 交于 两点，
点 是弦 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用点差法可求 的关系，从而可求双曲线的离心率.
【详解】设 ，则 ，且 ，
所以 ，整理得到： ，
因为 是弦 的中点，
所以 ，所以 即
所以 ，
故选：A.
4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线 交于A、B两点，且弦AB的中点为
，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程．
【详解】设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ，
又 ， ，
两式相减，得 ，
即 ，整理得 ，
直线l的斜率为 ，
直线l的方程为 ，
化简得 ，经检验满足题意.
故答案为： .
5．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交双曲线E于A、B两点.若 的中点坐标为 ，则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，由 ，利用点差法求解.
【详解】解：设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，化简得 ，
又 ，解得 ，
所以双曲线的方程为： .
故选：D.
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线 ： 的左右顶点分别为 、 ．
(1)求以 、 为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程；
(2)直线 过点 与双曲线 交于 两点，若点 恰为弦 的中点，求出直线 的方程；
【答案】(1) .
(2) .
【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点 ， ，再结合离心率为 ，求出 得解；
（2）利用点差法求出直线 的斜率进而求出直线方程；
【详解】（1）由题意可得， ， ，则 ，
又 ， ，所以椭圆的标准方程为 .
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，点 恰为弦 的中点，则 ， ，
1 1 2 2
又因为 两点在双曲线上，
可得 ，两式相减得 ，
化简整理得 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
经检验，满足题意.
7．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）如图1、2，已知圆 方程为 ，点 ．M是圆
上动点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，过点 是否存在一条直线 ，使得直线 与曲线 交于两点 ，且
是线段 中点．
【答案】(1)
(2)不存在这样的直线
【分析】（1）根据双曲线的定义求得点 的轨迹方程.
（2）利用点差法求得直线 的方程，联立直线 的方程和点 的轨迹方程联立，根据方程组无解求得
正确答案.
【详解】（1）
由中垂线性质知，
所以
所以点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线
设此双曲线方程为 ，则
所以点 的轨迹方程为 ．
（2）
设 可得
两式相减得
由题意 ，所以
直线 方程为 ，
由 ，得
∵ ．∴不存在这样的直线 ．
考点三、 抛物线中的中点弦问题
1．（四川·高考真题）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，则 等于
（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C【详解】设直线 的方程为 ，由 ，进而可求出 的
中点 ，又由 在直线 上可求出 ，∴ ，由弦长公式可
求出 ．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
2．（山东·高考真题）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若
线段 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为 ,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x- ,即x=y+ ,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设
A(x ,y ),B(x ,y ),则y +y =2p,∴ =p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
1 1 2 2 1 2
3．（北京·高考真题）已知点 在抛物线 上，ΔABC的重心与此抛物线的焦点 重合(如图).
（1）写出该抛物线的方程和焦点 的坐标；
（2）求线段 中点 的坐标；
（3）求 所在直线的方程.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）将A点坐标代入抛物线方程，由此求得 ，进而求得抛物线方程和焦点坐标.
（2）根据重心坐标公式列方程，求得 ，再由中点坐标公式求得 的坐标
（3）利用点差法求得直线 的斜率，进而求得直线 的方程.【详解】（1）将 代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ；
（2）设 ，由于 ，由重心坐标公式得 ，
化简得 ，
所以 中点 的坐标为 ；
（3）设 所在直线斜率为 ，将 代入抛物线方程得 ，两式相减并化简得
，即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即
.
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线中的中点弦问题，属于基础题.
1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线 ，过点 的直线 与 相交于A，B两点，且
为弦AB的中点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．−2
【答案】D
【分析】直线 与 相交于A，B两点，且点 为弦AB的中点，利用点差法求解.
【详解】解：设 ，
因为直线 与 相交于A，B两点，所以 ，
由题意得 ，
故选：D
2．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线 焦点的直线 交抛物线于 两点，已知 ，线
段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】设直线 的方程为 ，利用设而不求法求弦长|AB|的表达式，再求线段 的垂直平分线，由条件列方程求 可得结论.
【详解】抛物线 的焦点 的坐标为 ，
由题意可知：直线 的斜率不为 ，但可以不存在，且直线 与抛物线必相交，
可设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ，
可得 ，即 ，
设 的中点为P(x ,y )，则 ， ，
0 0
可知线段 的垂直平分线方程为 ，
因为 在线段 的垂直平分线上，
则 ，可得 ，
联立方程 ，解得 ，
故选：B.
3．（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线 上两点 ， 关于直线 对称，且
，则 中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得 ，进而求得 中点坐标.【详解】因为抛物线 上两点 ， 关于直线 对称，
故 和直线 垂直，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
故 中点坐标是 ，即
故选：B
4．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线 的准线为 ，点 在抛物线 上，
且线段 的中点为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为 ，再利用点差法，即可求解.
【详解】由抛物线 的准线为 ，可得 ，可得 ，所以 ，
设 ，可得 ，且 ，
两式相减，可得 ，
可得 ，所以直线 的方程为 ，
即 .
故选：A．
5．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线 ，过C的焦点F且倾斜角为 的直线交
C于A，B两点，线段AB的中点为W， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设 ，代入抛物线方程两式相减可得 ，进而求得
，由 求得 值.
【详解】设 ，则 两式相减，可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
代入直线 ，得 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：B
6．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知抛物线C： 的焦点为F，准线为 .过抛物线C顶点的
直线l与准线 交于点M，与抛物线C交于另一点N.若|MF|=|NF|，则点N的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，表示出 ，再由 ，可得 列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】
如图，由题意，得 ，准线 ： .
设直线l的方程为 （由题意，知k存在且 ），则点 ， .
设线段MN的中点为E，则点 ，所以直线EF的斜率 .
由 ，得 ，所以 ，所以 ，整理得 ，解得 ，
所以 ，所以点N的横坐标为 .
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先确定点 在椭圆内部，设交点为A(x ,y ),B(x ,y )，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利
1 1 2 2
用点斜式可得直线方程.
【详解】因为 ，故点 在椭圆内部，过点 的直线恒与椭圆有两个交点，设交
点为A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
又 ，两式相减得 ，
整理得 ，
所以以点 为中点的弦所在的直线方程为 ，
即 .
故选：C.
2．（21-22高三上·贵州·阶段练习）已知双曲线 的离心率为2，过点 的直线与双
曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦 的中点，则直线 的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得 ，又 ， ，可得 .
则双曲线C的方程为 .设 ， ，
则 两式相减得 ，
即 .
又因为点P恰好是弦 的中点，所以 ， ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
经检验满足题意
故选：C
3．（21-22高二下·安徽·开学考试）已知点 ， 是双曲线 上的两点，线段 的中点是
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设 ， ，则 ，
两式相减得 ，
即 ，
∴ .
故选D.4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设 ，结合“点差法”，即可直线 的斜率，得到答案.
【详解】设 ，代入抛物线 ，可得 ，
两式相减得 ，
所以直线 的斜率为 ，
又因为 的中点为 ，可得 ，
所以 ，即直线 的斜率为 .
故选：C.
5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线 与椭圆 相交于 两点，椭
圆的两个焦点是 ， ，线段 的中点为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段 的中点为 ，利用点差法求得 ，再利用三角形面积公式求解．
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，由题可知 ， ，
1 1 2 2
则 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
故选：B．
二、填空题
6．（23-24高二上·宁夏·期中）已知 为抛物线 上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 .
【答案】 /0.5
【分析】设出点 的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率.
【详解】由题意，
为抛物线 上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，
设 ，线段AB中点为 ，
∴ ， ，
∴ 即
∴直线AB的斜率为：
故答案为：
7．（2022高三上·全国·专题练习）已知椭圆 ： 的中心为 ， 为左焦点， 为椭
圆上顶点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，线段AB的中点坐标为 ，则椭圆的离心率为
【答案】 /
【分析】设 ， ， ，利用中点坐标公式得到直线 斜率为 ，再
利用 得到 即可求解.
【详解】由题意设 ， ， ，则 ，
两式相减可得： ，
因为： ， ，所以
即直线 斜率为 ，
又直线 斜率为 ，所以 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，得 ，得 .
故答案为：
三、解答题
8．（2024高三·全国·专题练习）设直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．求：
(1)线段AB的长；
(2)AB的中点M的坐标．
【答案】(1)8
(2)（3，2）.
【详解】
解：（1） （解法1：求交点）由
解得 或
所以AB＝ ＝8.
（解法2：设而不求——弦长公式）
设点A（x，y），B（x，y），M（x，y）.
1 1 2 2 0 0
由 消去x并整理，得y2－4y－4＝0，
所以Δ＝16＋16＝32>0，y＋y＝4，yy＝－4，所以x＋x＝6，
1 2 1 2 1 2
所以AB的中点M的坐标为（3，2）.
由求根公式得|y－y|＝ ＝4 ，
1 2所以AB＝ ＝ |y－y|＝8.
1 2
（解法3）（设而不求——焦半径公式）
设点A（x，y），B（x，y），M（x，y）.
1 1 2 2 0 0
由 消去x并整理，得y2－4y－4＝0.
Δ＝32＞0，y＋y＝4.
1 2
因为直线l经过抛物线的交点F（1，0），
所以AB＝AF＋FB＝x＋x＋p＝y＋y＋2＋2＝8.
1 2 1 2
（2） 由解法1知AB的中点M的坐标为（3，2）.
【考查意图】
直线被圆锥曲线截得弦长和弦中点问题的处理方法．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，
离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线交椭圆 于 两点，求弦 中点坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的焦点求出 的值，然后由椭圆的离心率计算 ，再由平方关系得到 ，可写出
椭圆的方程；
（2）设 的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标.
【详解】（1）依题意得：
，即 ，解得
，解得
椭圆 的方程为
（2）如图所示：设 ， 中点为 ，
所以
则
又 两点在椭圆 上，可得 ，
两式相减可得 ，整理得
，①.
过点 斜率为 的直线为 .
因为 在直线上，故 ，②
联立①②，解得
所以 中点坐标为 .
10．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线 的其中一个焦点为 ，一条渐近线
方程为
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点的纵坐标为4，求直线 的方
程.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由题意，联立方程求出 ，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.【详解】（1）由焦点可知 ，
又一条渐近线方程为
所以 ，
由 可得 ,解得 ， ，
故双曲线 的标准方程为
（2）设 ，AB中点的坐标为
则 ①， ②，
② ①得： ，
即 ，又 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即
一、单选题
1．（2024·吉林白山·一模）不与坐标轴垂直的直线 过点 ， ，椭圆
上存在两点 关于 对称，线段 的中点 的坐标为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点差法求出 ，再结合 进行计算得出结果.
【详解】设 为坐标原点，在椭圆 中，设 ，则 ，
所以 ，
因为 关于 对称，所以 ，所以 ，由线段 的中点 的坐标为(x ,y )，得出 ．
1 1
所以 ，
又 ，
∴ ，即 ，
又 ，∴ ，所以所求离心率为 .
故选：C．
2．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原
点，以 ， 为邻边作平行四边形 ，点 恰好在 上．若线段 的中点 在直线 上，则
直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，利用点差法得到 ，根据平行四边形的性质及点 在椭圆上得到 ，求出k和
点M的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设A(x ,y )，B(x ,y )， ，
1 1 2 2
则 ，两式相减，得 ，
故 ，即 ①．
又四边形 为平行四边形， 为线段 的中点，所以 为线段 的中点，
所以 ，又P在椭圆 上，
所以 ，即 ②．
由①②，得 ，故直线 的方程为 ，
即 ．
故选：B．3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 ，过点 作倾斜角为 的直线与
交于 ， 两点，当 为线段 的中点时，直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法可得 ，由 ， ，可得 ，可求椭圆的
离心率.
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，所以 ，
1 1 2 2
两式相减得 ，即 ，
又 ，所以 ，整理得 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：D.
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 ，直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，
若点P在直线l上，且直线OP把 分成面积相等的两部分，则下列能作为点P的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD【分析】
利用直线与双曲线的位置关系逐个选项分析即可.
【详解】
由A，B，P三点共线且直线OP把 分成面积相等的两部分可得点P为线段AB的中点，
选项A：数形结合可知，直线l的方程为 时，点 为AB的中点，故 可以作为点P的坐标，A
正确．
已知双曲线 ( )直线 与双曲线交于 ， 两点，AB的中点坐标
为 ， 则 ， ， 两 式 相 减 可 得 ， ， 得
选项B：由二级结论可得直线l的斜率 ，
故直线l的方程为 ，联立得 得 ， ，
不能作为点P的坐标，B错误．
选项 C：可得直线 l 的斜率 ，故直线 l 的方程为 ，联立得 ，得
， ， 可以作为点P的坐标，C正确．
选项 D：可得直线 l 的斜率 ，故直线 l 的方程为 ，联立得 得
， ， 可以作为点P的坐标，D正确．
故选：ACD
【点睛】
本题将中点弦问题和直线与双曲线的位置关系有机整合，设问角度新颖，重点考查数形结合思想和逻辑推
理能力，需要考生将问题转化为判断直线与双曲线是否有两个交点的问题，逐一验证选项是否正确，考查
考生灵活运用所学知识解决综合问题的能力，在注重考查基础知识的同时，对考生的思维能力要求较高，
有较好的选拔功能．
三、填空题
5．（23-24高三上·山东德州·期末）若直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 两点， 的中垂线交 轴于点 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，其中点为C，将A，B两点代入抛物线方程，结合斜率公式与 ，
可得 ，即可得 ，后由抛物线定义可得|AB|，即可得答案.
【详解】设 ，其中点为C，坐标为 .
将A，B两点代入抛物线方程，有 ，
两式相减可得： ，设 ，
则 ，因 ，
则 .
又F(1,0)，则 .
又准线方程为 ，过A，B两点分别做准线垂线，垂足为 ，
则由抛物线定义，可得 .故 .
故答案为： .
6．（2022高三·全国·专题练习）设 是椭圆 上不关于坐标轴对称的两点， 是
线段 的中点， 是坐标原点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为 .【答案】 /
【分析】
利用点差法即可得到 ，最后利用离心率公式即可.
【详解】设点 ，则 ，
把 ， 的坐标代入椭圆方程可得: ，
两式作差可得： ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆的离心率为 ，
故答案为： .
四、解答题
7．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，过焦点 作直线 交抛物线
于 两点， 为抛物线 上的动点，且 的最小值为1.
(1)抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 的准线于点 ，求线段 的中点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，结合抛物线的定义分析可知 ，即可得方程；
（2）由题意可得直线 过点 和F(1,0)，求直线 的方程，与抛物线联立，结合韦达定理求中点坐
标.
【详解】（1）由题意可知：抛物线 的焦点 ，准线为 ，
设 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由题意可知：直线 与抛物线 必相交（斜率不为0），
设A(x ,y ),B(x ,y )，线段 的中点 ，
1 1 2 2
且直线 过点 和F(1,0)，
则直线 的方程 ，即 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，可知 ，
将y =2代入 可得 ，
M
所以线段 的中点的坐标为 .
8．（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线 ( )经过点 ，其渐近线方程为
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)不能，证明见解析；
【分析】
（1）由渐近线方程求得一个 关系，再代入点的坐标，可解得得双曲线方程；
（2）设出交点坐标，若 是线段 的中点，利用点差法求出直线l方程，再联直线与双曲线查看是
否有解，即可判断.【详解】（1）由题双曲线 ( )经过点 ，其渐近线方程为 ，
所以 ， ，
解得 ，
所以双曲线C的方程为： .
（2）
当直线l垂直x轴时，直线l的方程为 ，此时直线l与双曲线只有一个交点，不满足；
当直线l不垂直x轴时，斜率存在，
设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
所以 ，
两式作差得 ，
即 ，
若 是线段 的中点，则 ，
则 ，
所以直线l的斜率 ，
则直线l的方程为 ，
将直线l与双曲线联立 ，得 ，
，方程无解，
所以这样的直线不存在，即点P不能是线段 的中点.9．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆
外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线
(1)求 的方程；
(2)是否存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，该直线方程为
【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得 ，结合椭圆的定义可求出结果；
（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果.
【详解】（1）设动圆 的半径为 ，
依题意得 ，所以 为定值，且 ，
所以动点 的轨迹 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
， ， ， ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）假设存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，
设 ， ，
则 ，两式相减得 ，
得 ，即 ，
由点斜式得直线 方程为 ，即 .
所以存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点，且该直线方程为 .10．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 ，椭圆的右焦点为 ．
(1)求过点 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；
(2)判断点 与椭圆的位置关系，并求以 为中点的椭圆的弦所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)在椭圆内部， ．
【分析】（1）解法一：将椭圆方程化为标准式，即可求出 点坐标，即可得到直线 的方程，联立直线与
椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；解法二：将椭圆方程化为标准式，即可求出
点坐标，即可得到直线 的方程，再由弦长公式直接计算；
（2）将点代入椭圆方程，即可判断点与椭圆的位置关系，设以 为中点椭圆的弦与椭圆交于
，利用点差法求出中点弦的斜率，从而求出中点弦方程.
【详解】（1）解法一：因为椭圆 ，即 ，则 ，
所以椭圆的右焦点为 ，
则过点 且斜率为1的直线方程为 ，
由 ，消去 整理得 ，显然 ，设直线与椭圆交于 ， ，
∴ ， ，
所以 ．
解法二：椭圆 ，即 ，则 ，
所以椭圆的右焦点为 ，
则过点 且斜率为1的直线方程为 ，即 ，
由 ，其中，
所以 ．
（2）∵ ，∴点 在椭圆内部．
设以 为中点的弦与椭圆交于 ，
∵ 为 中点，∴ ，
把 分别代入椭圆 ，
得 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴以 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 ，整理得 ．
1．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点A是椭圆 与
抛物线 的交点，过点A的直线l交椭圆 于点B，交抛物线 于M（B，M不同于A）．
1
（Ⅰ）若p= ，求抛物线 的焦点坐标；
16（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
1 √10
【答案】（Ⅰ）( ,0)；（Ⅱ）
32 40
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得 关于p,m,λ的表达式，得到关于p,m,λ的
方程，利用基本不等式消去参数，得到关于 的不等式，求解得到 的最大值；方法二利用韦达定理和中
点公式求得A(x ,y )的坐标关于 的表达式，根据点A(x ,y )在椭圆上，得到关于 关于 的函数
0 0 0 0
表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到
y2+ y y +8p2=0．根据判别式大于零，得到不等式Δ= y2−32p2≥0，通过解方程组求得
0 1 0 1
y2=−4 p2+2p√4 p2+2，代入求解得到 的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点 的参数坐标，
1
2 2
利用斜率关系求得 的坐标关于p,t的表达式．作换元u=( +t) ，利用点A在椭圆上，得到
t
1
p2=
，然后利用二次函数的性质求得 的最大值
2u2+4u
1 1 1
【详解】（Ⅰ）当p= 时， 的方程为y2= x，故抛物线 的焦点坐标为( ,0)；
16 8 32
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设A(x ,y ),B(x ,y ),M(x ,y ), l:x=λy+m，
1 1 2 2 0 0
由{
x2+2y2=2
⇒(2+λ2 )y2+2λmy+m2−2=0，
x=λy+m
−2λm −λm 2m
∴y + y = ,y = ,x =λ y +m= ，
1 2 2+λ2 0 2+λ2 0 0 2+λ2
λ2m2 4 pm λ2m
由 在抛物线上，所以 = ⇒ =4 p，
(2+λ2
)
2 2+λ2 2+λ2
又{
y2=2px
⇒y2=2p(λy+m)⇒y2−2pλy−2pm=0，
x=λy+m
∴y + y =2pλ，∴x +x =λ y +m+λ y +m=2pλ2+2m，
1 0 1 0 1 0
2m
∴x =2pλ2+2m−
.
1 2+λ2
x2
+ y2=1
由{ 2 ⇒x2+4 px=2,即x2+4 px−2=0
y2=2px
−4 p+√16p2+8
⇒x = =−2p+√4 p2+2
1 2
1+λ2 8p
⇒−2p+√4 p2+2=2pλ2+2m⋅ =2pλ2+ +8p≥16p，
2+λ2 λ21 √10
所以√4 p2+2≥18p，p2≤ ，p≤ ，
160 40
√10 2√10 √5
所以， 的最大值为 ，此时A( , ).
40 5 5
[方法二]【最优解】：
设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0)，A(x ,y ).
0 0
将直线 的方程代入椭圆 得：(m2+2)y2+2mty+t2−2=0，
mt
所以点 的纵坐标为y =− .
M m2+2
将直线 的方程代入抛物线 得： ，
2p(m2+2) 2p(m2+2) 2
所以y y =−2pt，解得y = ，因此x = ，
0 M 0 m 0 m2
1 2 4 2 2
由 解得 =2(m+ ) +4(m+ ) ≥160，
p2 m m
√10 √10
所以当m=√2,t= 时， 取到最大值为 .
5 40
[方法三] ：点差和判别式法
设A(x ,y ),B(x ,y ),M(x ,y )，其中 ．
1 1 2 2 0 0
x2
1+ y2=1,
2 1
因为{ 所以 ．
x2
2+ y2=1,
2 2
y y −y 1
整理得 ，所以
0
⋅
1 2=−
．
x x −x 2
0 1 2
y −y y −y
又 1 2=k =k = 1 0,y2=2px ,y2=2px ，
x −x AB AM x −x 1 1 0 0
1 2 1 0
y y −y 1
0 ⋅ 1 0 =−
所以 y2 y2 y2 2，整理得y2+ y y +8p2=0．
0 1 − 0 0 1 0
2p 2p 2p
因为存在 ，所以上述关于 的二次方程有解，即判别式Δ= y2−32p2≥0． ①
1
y2=2px ,
1 1
由{x2 得x =−2p+√4 p2+2．
1+ y2=1, 1
2 1
√10
因此y2=2px =−4 p2+2p√4 p2+2，将此式代入①式解得p≤ ．
1 1 40√10 √5 √10
当且仅当点M的坐标为( ,± )时，p的最大值为 ．
10 10 40
[方法四]：参数法
y −y 2p
设M(2pt2,2pt),k = A M = ，
AM x −x y + y
A M A M
2p 2pt b2 1 −4 p 2 2 2
由k k = ⋅ =− =− ，得y = −y =−2p( +t),x =2p( +t) ．
AB OM y + y 2pt2 a2 2 A t M t A t
A M
令u=( 2 +t) 2 ，则u∈[8,+∞)，点A坐标代入椭圆方程中，得p2= 1 ≤ 1 = 1 ．
t 2u2+4u 2×82+4×8 160
√10 √10 √5
所以p = ，此时M坐标为( ,± )．
max 40 10 10
2．（2018·全国·高考真题）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为
．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求
该数列的公差．
【答案】（1） ；（2）证明见解析，公差为 或 ．
【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明．
（2）方法一：解出m,进而求出点P的坐标，得到 ,再由两点间距离公式表示出 ， ，得到直线
的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法
设 ，则 .
两式相减，并由 得 ，
由题设知 ，于是 .①
由题设得 ，故 .
［方法二］：【通性通法】常规设线
设 ， ，当 时，显然不满足题意；由 得， ，所以， ，
，即 ，而 ，所以 ，
又 ，所以 ，
，即 ，解得： ．
［方法三］：直线与椭圆系的应用
对原椭圆作关于 对称的椭圆为 ．
两椭圆方程相减可得 ，即为 的方程，故 ．
又点 在椭圆C内部可得 ，解得： ．
所以 ．
［方法四］：直线参数方程的应用
设l的参数方程为 （ 为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得
．设 是线段中点A，B对应的参数， 是线
段 中点，知 得 ，即 ．而点 在C内得 ，
解得： ，所以 ．
（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想
由题意得 ，设 ，则
.
由（1）及题设得 .
又点P在C上，所以 ，从而 ， .
于是 .同理 ，所以 .
故 ，即 ， ， 成等差数列.
设该数列的公差为d，则
.②
将 代入①得 .
所以l的方程为 ，代入C的方程，并整理得 .
故 ，代入②解得 .
所以该数列的公差为 或 .
［方法二］：硬算
由 ，知点F为 的重心，由三角形重心坐标公式可得 ，即 ．
由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得 ，即 ．
由（1）有 ，直线l的方程为 ，将其与椭圆方程联立消去y得 ，求
得 ，不妨设 ，所以 ， ，
，同理可得，
，所以 ，而 ，故 ．
即该数列的公差为 或 .
［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用
因为线段 的中点为 ，得 ．
由 ，知点F为 的重心，由三角形重心坐标公式可得 ，
由椭圆方程可知，
由椭圆的焦半径公式得 ， ．所以．
由方法二硬算可得， 或 ，从而公差为 ，即该数列的
公差为 或 .
【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，
即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；
方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据 即可证出，该法是解决直线
与圆锥曲线位置关系的通性通法．
方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，
进而得证，避免联立过程，适当简化运算；
方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；
（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；
方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大；
方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解．
3．（陕西·高考真题）设椭圆C： 过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为 ，结
合椭圆的性质，可得 = ；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程．
（Ⅱ）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x ，y ），B（x ，y ），联立直线与椭圆的方
1 1 2 2
程，化简可得方程x2﹣3x﹣8=0，解可得x 与x 的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方
1 2
程，可得中点的纵坐标，即可得答案．
解：（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），
将（0，4）代入C的方程得 ，即b=4
又 得 = ；即 ，∴a=5
∴C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与C的交点为A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
将直线方程 代入C的方程，得 ，
即x2﹣3x﹣8=0，解得 ， ，
∴AB的中点坐标 ，
，
即中点为 ．
点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方
程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决．
4．（福建·高考真题）已知椭圆 的左焦点为 为坐标原点.
(1)求过点 ，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A､B两点，线段 的垂直平分线与x轴交于点G，求点G
横坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆左焦点F的坐标，左准线l的方程，再求出圆的方程作答.（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与椭圆的方程
联立，列出韦达定理，求出线段 的垂直平分线方程，可求得点 的横坐标，利用不等式的基本性质可
求得点 的横坐标的取值范围.
【详解】（1）椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，
半焦距 ，则 ，
依题意，所求圆的圆心 在直线 ，
设 ，则半径 ，
而 ，解得 ，
所以所求圆的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
因为直线 过椭圆的左焦点 ，
所以方程 有两个不相等的实根．
设点 、 ，设 的中点为 ，
则 ， ， ．
直线 的垂直平分线 的方程为 ，
令 ，则 .
因为 ，所以
故点 的横坐标的取值范围 .
5．（上海·高考真题）已知椭圆C的焦点 ，且长轴长为6，设直线 交椭圆C
于A、B两点，求线段AB的中点坐标
【答案】【分析】先由已知求出椭圆的标准方程，再由直线 交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定
理求得其中点坐标．
【详解】由题意，可得椭圆焦点在 轴上，其中 ，则 ，
所以椭圆的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，可得 ，
则中点 ，可得 ，所以 ，
即 的中点坐标为 .
故答案为： .
