文档内容
第11讲 圆锥曲线中的中点弦问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙卷（文科）， 已知方程求双曲线的渐近线
由弦中点求弦方程或斜率
第12题,5分 讨论双曲线与直线的位置关系
2022年新Ⅱ卷，第16题,5分 由中点弦求弦方程 根据弦长求参数
求双曲线中的弦长
2022年新Ⅱ卷，第21题,12 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参
根据双曲线的渐近线求标准方程
分 数
根据韦达定理求参数
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算
2.会用点差法求解相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 椭圆中点弦斜率公式
x2 y2
(1) 若 M(x ,y ) 为椭圆 + =1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
0 0 a2 b2
b2
k .k =− =e2−1
AB OM a2
y2 x2
(2) 若 M(x ,y ) 为椭圆 + =1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
0 0 a2 b2
a2 1
k .k =− =
AB OM b2 e2−1
2. 双曲线的中点弦斜率公式
x2 y2
(1) 若 M(x ,y ) 为双曲线 − =1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
0 0 a2 b2
b2
k ⋅k = =e2−1
AB OM a2
y2 x2
(2) 若 M(x ,y ) 为双曲线 − =1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
0 0 a2 b2
a2 1
k ⋅k = =
AB OM b2 e2−13. 抛物线的中点弦斜率公式
p
(1) 若 M(x ,y ) 为抛物线 y2=2px 弦 AB(AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 k =
0 0 AB y
0
x
(2) 若 M(x ,y ) 为抛物线 x2=2py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 k = 0
0 0 AB p
4. 中点弦斜率拓展
x2 y2 b2x
在椭圆 + =1 中, 以 P(x ,y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=− 0 ;
a2 b2 0 0 a2y
0
x2 y2 b2x
在双曲线 − =1 中, 以 P(x ,y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 0 ;
a2 b2 0 0 a2y
0
p
在抛物线 y2=2px(p>0) 中，以 P(x ,y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=
0 0 y
0
5. 椭圆其他斜率形式拓展
椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一
点，则有
椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一
点，则有
（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于 两点，P点是椭圆上异于 两点
椭圆的方程为
的任一点，则有
6. 点差法妙解中点弦问题
若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 A(x ,y )、B(x ,y ),
1 1 2 2
将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB的中点和斜率有关的式子, 可以大大
减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
x2 y2
（1） 设点: 若 A(x ,y ),B(x ,y ) 是椭圆 + =1(a>b>0) 上不重合的两点,则
1 1 2 2 a2 b2{
x2 y2
1+ 1=1
a2 b2
x 2 y 2
2 + 2 =1
a2 b2
(x +x )(x −x ) (y + y )(y −y )
（2） 作差: 两式相减得 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0,
a2 b2
（3）表斜率: y 1 −y 2 是直线 AB 的斜率 k, (x 1 +x 2, y 1 + y 2 ) 是线段 AB 的中点 (x ,y ),
x −x 2 2 0 0
1 2
y + y y −y b2 y b2
化简可得 1 2 ⋅ 1 2=− ⇒ 0 ⋅k=− , 此种方法为点差法。
x +x x −x a2 x a2
1 2 1 2 0
考点一、 椭圆中的中点弦问题
1．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交
于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
2．（重庆·高考真题）直线 与圆 相交于两点 ， ，弦 的中点为 ，
则直线 的方程为 ．
3．（全国·高考真题）已知椭圆E: ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．
若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1
C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆 上的两点A，B关于直线 对称，则弦AB的中
点坐标为（ ）
A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 ＋ ＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，
则这条弦所在的直线方程为 ．
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点， 为 中点，
为坐标原点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两点，
线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的
直线交椭圆 于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点二、 双曲线中的中点弦问题
1．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过F的直线 与 相交于A，B
两点，且AB的中点为 ,则 的方程式为
A． B． C． D．
3．（全国·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于 ， 两
点，若 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是A． B．
C． D．
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线 上不同两点，下列点中可为线段 的中
点的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线 交于A，B两点，线段AB的中点为点
，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线 与双曲线 交于 两点，
点 是弦 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线 交于A、B两点，且弦AB的中点为
，则直线l的方程为 ．
5．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过点 的直
线交双曲线E于A、B两点.若 的中点坐标为 ，则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线 ： 的左右顶点分别为 、 ．
(1)求以 、 为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程；(2)直线 过点 与双曲线 交于 两点，若点 恰为弦 的中点，求出直线 的方程；
7．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）如图1、2，已知圆 方程为 ，点 ．M是圆
上动点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，过点 是否存在一条直线 ，使得直线 与曲线 交于两点 ，且
是线段 中点．
考点三、 抛物线中的中点弦问题
1．（四川·高考真题）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，则 等于
（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（山东·高考真题）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若
线段 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A． B．
C． D．
3．（北京·高考真题）已知点 在抛物线 上，ΔABC的重心与此抛物线的焦点 重合(如图).（1）写出该抛物线的方程和焦点 的坐标；
（2）求线段 中点 的坐标；
（3）求 所在直线的方程.
1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线 ，过点 的直线 与 相交于A，B两点，且
为弦AB的中点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．−2
2．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线 焦点的直线 交抛物线于 两点，已知 ，线
段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线 上两点 ， 关于直线 对称，且
，则 中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线 的准线为 ，点 在抛物线 上，
且线段 的中点为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线 ，过C的焦点F且倾斜角为 的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知抛物线C： 的焦点为F，准线为 .过抛物线C顶点的
直线l与准线 交于点M，与抛物线C交于另一点N.若|MF|=|NF|，则点N的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为
（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三上·贵州·阶段练习）已知双曲线 的离心率为2，过点 的直线与双
曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦 的中点，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二下·安徽·开学考试）已知点 ， 是双曲线 上的两点，线段 的中点是
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线 与椭圆 相交于 两点，椭
圆的两个焦点是 ， ，线段 的中点为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
6．（23-24高二上·宁夏·期中）已知 为抛物线 上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线
AB的斜率为 .
7．（2022高三上·全国·专题练习）已知椭圆 ： 的中心为 ， 为左焦点， 为椭
圆上顶点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，线段AB的中点坐标为 ，则椭圆的离心率为
三、解答题
8．（2024高三·全国·专题练习）设直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．求：
(1)线段AB的长；
(2)AB的中点M的坐标．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，
离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线交椭圆 于 两点，求弦 中点坐标.
10．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线 的其中一个焦点为 ，一条渐近线
方程为
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点的纵坐标为4，求直线 的方
程.
一、单选题
1．（2024·吉林白山·一模）不与坐标轴垂直的直线 过点 ， ，椭圆
上存在两点 关于 对称，线段 的中点 的坐标为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原
点，以 ， 为邻边作平行四边形 ，点 恰好在 上．若线段 的中点 在直线 上，则
直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 ，过点 作倾斜角为 的直线与
交于 ， 两点，当 为线段 的中点时，直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 ，直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，
若点P在直线l上，且直线OP把 分成面积相等的两部分，则下列能作为点P的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（23-24高三上·山东德州·期末）若直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 两点， 的
中垂线交 轴于点 ，则 ．
6．（2022高三·全国·专题练习）设 是椭圆 上不关于坐标轴对称的两点， 是
线段 的中点， 是坐标原点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为 .
四、解答题
7．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，过焦点 作直线 交抛物线
于 两点， 为抛物线 上的动点，且 的最小值为1.
(1)抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 的准线于点 ，求线段 的中点的坐标.
8．（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线 ( )经过点 ，其渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
9．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆
外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线
(1)求 的方程；
(2)是否存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
10．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 ，椭圆的右焦点为 ．
(1)求过点 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；
(2)判断点 与椭圆的位置关系，并求以 为中点的椭圆的弦所在的直线方程．
1．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点A是椭圆 与
抛物线 的交点，过点A的直线l交椭圆 于点B，交抛物线 于M（B，M不同于A）．
1
（Ⅰ）若p= ，求抛物线 的焦点坐标；
16
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
2．（2018·全国·高考真题）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为
．
（1）证明： ；（2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求
该数列的公差．
3．（陕西·高考真题）设椭圆C： 过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．
4．（福建·高考真题）已知椭圆 的左焦点为 为坐标原点.
(1)求过点 ，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A､B两点，线段 的垂直平分线与x轴交于点G，求点G
横坐标的取值范围.
5．（上海·高考真题）已知椭圆C的焦点 ，且长轴长为6，设直线 交椭圆C
于A、B两点，求线段AB的中点坐标
