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专题10 磁场 带电粒子在磁场中的运动
目录
考点一 磁场对通电导线的作用力问题.........................3
.......3
...............4
1. 安培力作用下导体的平衡问题.........................4
2. 安培力作用下导体运动情况判定的五种方法. 5
..................5
考向一 磁场对通电导线的作用力问题.....................5
考点二 带电粒子在磁场中的运动.................................8
.......8
.............13
1. 带电粒子在磁场中的运动规律.......................13
2. 带电粒子在有界匀强磁场中的运动...............13
3.带电粒子在有界匀强磁场中的临界及极值问题15
4. 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题16
5. “平移圆”模型................................................17
6. “旋转圆”模型...................................................17
7. “放缩圆”模型................................................18
8. “磁聚焦”与“磁发散”模型........................18
................19
考向一 带电粒子在磁场中的圆周运动...................19
考向二 带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题
20
考向三 带电粒子在磁场中运动的多解问题...........22
1
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考点要求
考题统计
磁场对通电导线的
作用力问题
考向一磁场对通电导线的作用力问题：2023•北京•高考真题(2 题)、2023•江苏•
高考真题(2 题)、2022•湖南•高考真题、2022•天津•高考真题、2022•浙江•高考
真题、2021•江苏•高考真题、2021•广东•高考真题、2022•湖北•高考真题、
2021•重庆•高考真题
带电粒子在磁场中的运动
考向一 带电粒子在磁场中的圆周运动：2023•天津•高考真题、2023•福建•高考
真题、2022•北京•高考真题、2021•湖北•高考真题
考向二 带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题：2023•浙江•高考真题、
2022•辽宁•高考真题、2021•北京•高考真题、2021•全国•高考真题、2021•海
南•高考真题
考向三 带电粒子在磁场中运动的多解问题：2023•全国•高考真题、2023•湖北•
高考真题、2022•湖北•高考真题、2022•浙江•高考真题
考情分析
【命题规律及方法指导】
1.命题重点：本专题就是高考的热点，一是安培力结合力学的考察、二是带电粒子在磁场
中运动的考察。
2.常用方法：动态放缩圆、定点旋转圆、圆平移、圆对称等几何知识、立体空间图形降维
法。
3.常考题型：选择题，计算题．
【命题预测】
1.本专题属于热点、难点内容；
2.高考命题考察方向
①磁场对通电导线的作用力问题：安培力作用下的力电综合问题。
②带电粒子在磁场中的运动：在有界磁场中的运动及临界判断、电性或磁场方向不确
定带来的多解问题。
2
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考点一 磁场对通电导线的作用力问题
1．（2022·江苏·高考真题）如图所示，两根固定的通电长直导线a、b 相互垂直，a 平行于纸面，电流方向
向右，b 垂直于纸面，电流方向向里，则导线a 所受安培力方向（ ）
A．平行于纸面向上
B．平行于纸面向下
C．左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D．左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
【考向】磁场对通电导线的作用力问题
【答案】C
【详解】根据安培定则，可判断出导线a 左侧部分的空间磁场方向斜向右上，右侧部分的磁场方向斜向下
方，根据左手定则可判断出左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里。
故选C。
2．（2022·湖北·高考真题）（多选）如图所示，两平行导轨在同一水平面内。一导体棒垂直放在导轨上，
棒与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与
水平向右方向的夹角θ 可调。导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁
场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动。已知导体棒加速时，加速度的最大值为
g；
减速时，加速度的最大值为
g，其中g 为重力加速度大小。下列说法正确的是（ ）
A．棒与导轨间的动摩擦因数为
B．棒与导轨间的动摩擦因数为
3
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C．加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，θ=60°
D．减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，θ=150°
【考向】磁场对通电导线的作用力问题
【答案】BC
【详解】设磁场方向与水平方向夹角为θ1，θ1<90°;当导体棒加速且加速度最大时，合力向右最大，根据左
手定则和受力分析可知安培力应该斜向右上方，磁场方向斜向右下方，此时有
，令
，
，根据数学知识可得
，则有
，同理磁场方向与水平方向夹角为θ2，
θ2<90°，当导体棒减速，且加速度最大时，合力向左最大，根据左手定则和受力分析可知安培力应该斜向
左下方，磁场方向斜向左上方，此时有
，有
，所以有
，当加速或减速加速度分别最大时，
不等式均取等于，联立可得
，带入
，可得α=30°，此时
，加速阶段加速度大
小最大时，磁场方向斜向右下方，有
，减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向左上方，有
，故BC 正确，AD 错误。
故选BC。
1. 安培力作用下导体的平衡问题
1）求解安培力作用下导体平衡问题的基本思路
①选对象：通电导线或通电导体棒
②平面化分析力：变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈
表
⭕
示，电流方向用“×”或“●”表示，由左手定则判断安培力的方向，并画出平面受力分析图，安培力的方
向F 安⊥B、F 安⊥I.如图所示：
4
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④列方程：在其他力基础上多一个安培力，根据平衡条件列方程
2）求解关键
①电磁问题力学化.
②立体图形平面化.
2. 安培力作用下导体运动情况判定的五种方法
1）电流元法：分割为电流元――――――→安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向
2）特殊位置法：在特殊位置→安培力方向→运动方向
3）等效法
①环形电流⇋小磁针
②条形磁铁⇋通电螺线管⇋多个环形电流
4）结论法：同向电流互相吸引，异向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且
电流方向相同的趋势
5）转换研究对象法：先分析电流所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用
力
考向一 磁场对通电导线的作用力问题
1．（2023·广东深圳·校考模拟预测）（多选）如图甲所示，为特高压输电线路上使用六分裂阻尼间隔棒的
情景。其简化如图乙，间隔棒将6 条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点、、、
、、
上，
为正六边形的中心，A 点、B 点分别为
、
的中点。已知通电导线在周围形成磁场的磁感应强度与
电流大小成正比，与到导线的距离成反比。6 条输电导线中通有垂直纸面向外，大小相等的电流，其中
导线中的电流对导线中电流的安培力大小为
，则（ ）
A．A 点和B 点的磁感应强度相同
B．其中导线所受安培力大小为
5
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C．、、、
、五根导线在
点的磁感应强度方向垂直于
向下
D．、、、
、五根导线在
点的磁感应强度方向垂直于
向上
【答案】BC
【详解】A．根据对称性可知A 点和B 点的磁感应强度大小相等，方向不同，关于
点对称，故A 错误；
B．根据题意可知、对导线的安培力大小
，
、
对导线的安培力大小为
，
对导线，安培力大小为
，根据矢量的合成可得导线所受安培力
，故B 正确；CD．根据安培定则，、
两条导线在
点的磁感
应强度等大反向，、两条导线在
点的磁感应强度等大反向，、、、
、五根导线在
点的磁感
应强度方向与导线在
点的磁感应强度方向相同，垂直于
向下，故C 正确，D 错误。
故选C。
2．（2024·陕西西安·校联考模拟预测）（多选）如图所示，水平绝缘桌面上有两平行导轨与一电源及导体
棒MN 构成的闭合回路，已知两导轨间距为L，质量为m 的导体棒MN 与两导轨垂直，通过导体棒的电流
为I，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与水平面成角斜向上，导体棒MN 静止，重力加速度大小为
g，则导体棒MN 受到的（ ）
A．摩擦力大小为
B．摩擦力大小为
C．支持力大小为
D．支持力大小为
【答案】AD
【详解】以导体棒为研究对象，分析受力如图所示
其中，导体棒和磁场垂直，故导体棒受到的安培力大小F=BIL，对导体棒根据平衡条件知在水平方向有
，在竖直方向
，解得支持力大小为
故选AD。
6
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考点二 带电粒子在磁场中的运动
1．（2022·北京·高考真题）正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于
纸面的匀强磁场，从P 点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3 所示。下列说法
正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1 对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2 对应的粒子初速度比轨迹3 的大
D．轨迹3 对应的粒子是正电子
【考向】带电粒子在磁场中的圆周运动
【答案】A
【详解】AD．根据题图可知，1 和3 粒子绕转动方向一致，则1 和3 粒子为电子，2 为正电子，电子带负
电且顺时针转动，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，A 正确，D 错误；B．电子在云室中运行，
洛伦兹力不做功，而粒子受到云室内填充物质的阻力作用，粒子速度越来越小，B 错误；C．带电粒子若
仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
，解得粒子运动的半径为
，根据题图可知轨迹3 对应的粒子运动的半径更大，速度更大，粒子运动过程中受到云室内物质的
阻力的情况下，此结论也成立，C 错误。
故选A。
2．（2023·全国·高考真题）（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有一个
小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 射入，然后与筒壁发生碰撞。
假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小
不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
7
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D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
【考向】带电粒子在磁场中的多解问题
【答案】BD
【详解】D．假设粒子带负电，第一次从A 点和筒壁发生碰撞如图，
为圆周运动的圆心
由几何关系可知
为直角，即粒子此时的速度方向为
，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由
圆的对称性在其它点撞击同理，D 正确； A．假设粒子运动过程过O 点，则过P 点的速度的垂线和OP 连
线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A 点的速度垂线和AO 连线的
中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O 点，A 错误；B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心
组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如图所示
即撞击两次，B 正确；C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不
一定减少， C 错误。
故选BD。
3．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy 平面
（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度
大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与
x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正离子束，
沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四
8
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象限的离子数与总离子数之比η。
【考向】带电粒子在有界磁场运动的临界或极值问题
【答案】（1）
；
（2）
（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得r1=2L
根据
解得
在磁场中运动的周期
运动时间
（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2 与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得r2=2L
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根据
解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x 轴，则由动量定理
即
求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x 轴上的过程中
解得
则速度在
~
之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在
~
，又
粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
4．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R 的空心转筒P，可绕过O 点、垂直
xOy 平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方
向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q 与y 轴交于A 点。离子源
M 能沿着x 轴射出质量为m、电荷量为 – q（q> 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进
入转筒，经磁场偏转后恰好沿y 轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带
电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B 的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q 的A 处，求转筒P 角速度ω 的大小；
（2）较长时间后，转筒P 每转一周有N 个离子打在板Q 的C 处，OC 与x 轴负方向的夹角为θ，求转
筒转动一周的时间内，C 处受到平均冲力F 的大小；
（3）若转筒P 的角速度小于
，且A 处探测到离子，求板Q 上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探
测点位置和O 点连线与x 轴负方向的夹角）。
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【考向】带电粒子在磁场中运动的多解问题
【答案】（1）①
，②
，k = 0，1，2，3…；（2）
，n = 0，
1，2，…；（3）
，
，
【详解】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v 的离子在磁场中圆周运动半径为
，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中k = 1，
，n = 0，2 或者
可得
，
，
11
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1. 带电粒子在磁场中的运动规律
在带电粒子只受洛伦兹力作用的条件下（电子、质子、α 粒子等微观粒子的重力通常忽略不计），
1）若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），带电粒子以入射速度v 做匀速直线运动.
2）若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速率v 做匀速圆
周运动.
①洛伦兹力提供向心力：
qvB =m v2
r .
②轨迹半径：
r= mv
qB .
③周期：
T=2πr
v
、
T=2πm
qB
，可知T 与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁
感应强度有关．
④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间
t= θ
2π T
.
⑤动能：
Ek=1
2 mv 2= p2
2m= Bqr 2
2m .
2. 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1）圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F 的方向，其交点即为圆心，
如图甲．
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆
心，如图乙．
2）半径的确定和计算
①连接圆心和轨迹圆与边界的交点，确定半径，然后用几何知识求半径，常用解三角形法，如图
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R=
L
sinθ 或由R2=L2+( R−d)2
求得
R= L2+d2
2d
②在分析几何关系时，特别要掌握以下两点
Ⅰ、粒子速度的偏向角φ 等于圆心角α，且等于AB 弦与切线的夹角(弦切角θ)的2 倍(如图所
示)，即ϕ=α=2θ=ωt .
Ⅱ、相对的弦切角θ 相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝π.
3）运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α 时，其运动时间：
t= θ
2π T
或
t= l
v (l 为弧长)．
4）数学原理
①几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交．
②对称性：圆与直线相交，轨迹(圆弧)关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，轨
迹(圆弧)关于两圆心的连线轴对称．(如图)
③构造三角形
④确定角度
Ⅰ、有已知角度：利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；
Ⅱ、没有已知角度：利用边长关系确定．
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3.带电粒子在有界匀强磁场中的临界及极值问题
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电粒子在磁场中运
动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状
态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
1）临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界
(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2）解题步骤：分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三
角形
3）解题方法
①物理方法
I、利用临界条件求极值；
Ⅱ、利用问题的边界条件求极值；
Ⅲ、利用矢量图求极值；
②数学方法
Ⅰ、利用三角函数求极值；
Ⅱ、利用二次方程的判别式求极值；
Ⅲ、利用不等式的性质求极值；
Ⅳ、利用图像法、等效法、数学归纳法求极值；
4）临界点常用的结论：
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
②时间最长或最短的临界条件：当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越
长；当比荷相同，入射速率v 不同时，圆心角越大，运动时间越长；
5）典型模型
①直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
图甲中粒子在磁场中运动的时间t=T
2 =π m
Bq ;
图乙中粒子在磁场中运动的时间t=(1- θ
π)T=(1- θ
π)
2π m
Bq =2m(π-θ)
Bq
;
图丙中粒子在磁场中运动的时间t=θ
π T=2θm
Bq .
最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
②平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
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图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=θm
Bq ,t2=T
2 =π m
Bq ;
图乙中粒子在磁场中运动的时间t=θm
Bq ;
图丙中粒子在磁场中运动的时间t=(1- θ
π)T=(1- θ
π)
2π m
Bq =2m(π-θ)
Bq
;
图丁中粒子在磁场中运动的时间t=θ
π T=2θm
Bq .
③圆形边界(进出磁场具有对称性)
Ⅰ、沿径向射入必沿径向射出，如图所示．
Ⅱ、不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径
的夹角也为θ，如图所示．
公共弦为小圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两
端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大．当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹
圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大
4. 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界
状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
①找出多解的原因：磁场方向不确定形成多解、临界状态不唯一形成多解、运动的周期性形成多
解
②画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
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5. “平移圆”模型
1）适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上
例：粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场
时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R= mv 0
qB ，如图所示
2）特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与
入射点的连线平行
3）界定方法：将半径为R= mv 0
qB 的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”
法
6. “旋转圆”模型
1）适用条件：速度大小一定，方向不同
例：粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速
圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R= mv 0
qB ，如图所示
2）特点：轨迹圆圆心共圆，如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、
半径R= mv 0
qB 的圆上
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3）界定方法：将一半径为R= mv 0
qB 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法
称为“旋转圆”法
7. “放缩圆”模型
1）适用条件：速度方向一定，大小不同
例：粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场
中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
2）特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大．
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
3）界定方法：以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，
这种方法称为“放缩圆”法
8. “磁聚焦”与“磁发散”模型
条件：当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时,存在两条特殊规律
1）磁聚焦：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒
子都从磁场边界上的同一点射出,并且出射点的切线与入射速度方向平行
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证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，
可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．
2）磁发散：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则
粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行
四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(沿水平方向)．
考向一 带电粒子在磁场中的圆周运动
1．（2024·广东东莞·校联考模拟预测）（多选）如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体（等
量的正离子和电子）约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托克马克。我国托克马克装置在世界上首次
实现了稳定运行 100 秒的成绩。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠管
的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时，下列说法正确的是（ ）
A．离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，磁场对其做负功
B．离子在磁场中运动时，磁场对其一定不做功
C．离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，速度变大
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D．离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小
【答案】BD
【详解】AB．离子在磁场中运动时，由于洛伦兹力方向总是与速度方向垂直，可知磁场对其一定不做功，
故A 错误，B 正确；C．因洛伦兹力不做功，则离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，速度不变，选项C
错误；D．离子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得
，解得
，离子由磁场的左侧区域
向右侧区域运动时，磁感应强度变大，可知离子运动半径减小，故D 正确。
故选BD。
考向二 带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）如图所示，宽度为
的有界匀强磁场，磁感应强度为
，
和
是它的两条边界。现有质量为
，电荷量的绝对值为
的带电粒子以
方向射入磁场。要使粒子不能
从边界
射出，则粒子入射速度的最大值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】题目中只给出粒子“电荷量的绝对值为
”，未说明是带哪种电荷。如图所示
若
为正电荷，轨迹是如图所示的左方与
相切的
圆弧，轨道半径
，又
，得
，若
为负电荷，轨迹如图所示的右方与
相切的
圆弧，则有
，
，得
，则粒子入射速度的最大值可能是
（
为正电荷）
或
（
为负电荷）。
故选BD。
3．（2023·广东湛江·统考模拟预测）“新一代人造太阳”的“中国环流三号”托卡马克装置，于8 月25
日首次实现100 万安培等离子体电流下的高约束模式运行，这一重大进展再次刷新我国磁约束聚变装置运
行纪录。磁约束是用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动。如图所示，有一磁感应强度大小为B、方向
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垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界分别是半径为R 和2R 的同心圆，O 为圆心。比荷为
的带电粒子在
半径为R 的中空区域内往各个方向运动，且速度大小不等。不考虑粒子间的相互作用及重力等因素的影响。
若已知中空区域中的带电粒子的最大速度为vm。
（1）若要求所有粒子均无法穿出环形磁场的外边缘，则环状区域内磁场的磁感应强度的最小值应为
多少；
（2）若环形区域内磁感应强度大小为第（1）问磁场的最小值，有一粒子从圆心O 处射出，进入环形
磁场区域后恰好与外边缘相切，然后再回到O 点，则该粒子的速度是vm的多少倍，此过程中该粒子在环形
磁场中运动的时间是多少。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）当粒子刚好沿着内圆切线进入环形磁场时，要求此方向不飞出外圆，是保证所有粒子无法
穿出环形磁场的外边缘的临界条件。如图甲所示
几何关系可得
洛伦兹力提供向心力
解得
（2）如图乙所示，当粒子源在O 点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切，被磁场约束的粒子
每次经过磁场的时间为最大值
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设粒子运动半径为r0。在
中
即
解得
根据
解得
该粒子在磁场中的周期为
由几何知识求
解得
此过程中该粒子在环形磁场中运动的时间
考向三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
4．（2024·河北邯郸·统考二模）（多选）如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向里，磁感应强
度大小为B 的匀强磁场，P 点有一粒子源，某时刻粒子源向磁场所在区域与磁场垂直的平面内所有方向发
射大量质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子，粒子的速度大小相等，这些粒子射出磁场时的位置均位于
PQ 圆弧上且Q 点为最远点。已知PQ 圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互
作用，则（ ）
A．粒子从P 点入射的速率
B．粒子在磁场中运动的最长时间
C．若将磁感应强度的大小增加到
，则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的
D．若将粒子的速率增大为原来的2 倍，则粒子在磁场中运动的最长时间
【答案】ACD
【详解】A．从
点射人的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为
，则
之间的距离为轨迹圆的直径，
已知
圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，可知旋转圆的轨迹半径
，粒子在匀强磁场中由洛伦
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兹力提供向心力有
，解得
，故A 正确；B．当粒子轨迹半径
时，粒子在磁场中
运动的最长时间为一个周期
，故B 错误；C．根据洛伦兹力提供向心力可得
，当将磁感应
强度的大小增加到
，旋转圆半径
，此时弧长对应的弦长为
，因此有粒子射出的边界
圆弧对应的圆心角为
，则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的
。故C 正确；D．若将粒子的速率增大
为原来的2 倍，则旋转圆的半径变为原来的2 倍，即
，此时粒子运动轨迹对应的弦最长时，
圆心角最大，粒子运动时间最长，磁场圆直径为弦是最长时间，根据几何关系，此时圆心角为
，因此
粒子在磁场中运动的时间为
，故D 正确。
故选ACD。
5．（2023·浙江·校联考一模）如图甲所示，
点是一个粒子源，能在上半平面内沿着各个方向均匀、持续
地发射电荷量为，质量为
，速度大小恒定的电子。上半平面内的半圆形区域内，存在垂直纸面向里，
磁感应强度为
的匀强磁场。半圆形区域半径为
，圆弧边缘是由金属材料制成的极板，当电子打到极板
上会瞬间被极板吸收，并与外电路形成回路，因此可以测出回路中的电流大小。则
（1）电子速度
为多大时，有三分之二的电子能打到极板；
（2）电子以第（1）问中的
发射，测得外电路的电流强度大小为，试求半圆弧极板在半径方向受
到的作用力大小之和；
（3）如图乙所示，若磁场形状改为半圆形环状磁场区域，圆环内半径为，外半径为
。磁场方向和
大小不变，粒子源仍在圆心
。若电子的发射速度为，每秒钟发射
个，则电子速度与外电路的电流
强度的关系式。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）根据题意，由左手定则可知，若有三分之二的电子能打到极板，表明右侧60 度范围内发射
的电子无法打到极板，如图所示
有几何关系得
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由牛顿第二定律有
解得
（2）若电子以
发射，任意一电子打到极板时，与半径方向的夹角均为
，如图所示
因此电子由于吸收引起的动量改变均相同
又因为外电路的电流强度大小为I，则时间打到极板上的电子数目为
设半圆弧极板在半径方向受到的作用力大小之和为
，由动量定理有
解得
（3）根据题意，粒子以速度进入，运动轨迹如图所示
设粒子运动的轨迹半径为
，由几何关系得
解得
又有
解得
可知，当
时，所有电子都无法打到极板上，电流强度为0；当
时，发射方向
沿
的电子经偏转后刚到打到极板右下端C 点，如图所示
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在三角形
中，由余弦定理得
由正弦定理得
即
在三角形
中可得轨迹圆半径为
因此
又因为电流强度为
则
因此
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