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专题11 带电粒子在复合场中的运动
目录
01 带电粒子在复合场中的运动··············································································2
考向一 带电粒子在组合场中的运动······························································································2
考向二 带电粒子在复合场中的运动····························································································23
02 常见电学仪器···································································································46
考向一 常见电学仪器····················································································································46
1
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01 带电粒子在复合场中的运动
考向一 带电粒子在组合场中的运动
1．（2023·重庆·高考真题）某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示，xOy 平面内，x 轴下方
充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x 轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与y
轴负方向成α 角），另一部分无电场，该边界与y 轴交于M 点，与x 轴交于N 点。只有经电场到达N 点、
与x 轴正方向成α 角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M 点向电场内发射一个比荷为
的带电粒子
A，其速度大小为v0、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T 后进入磁场，且通过N 点的速度大小
为2v0。忽略边界效应，不计粒子重力。
（1）求角度α 及M、N 两点的电势差。
（2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为
的带电粒子，只要速度大小适
当，就能通过N 点进入磁场，求N 点横坐标及此边界方程。
（3）若粒子A 第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为B1，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为
上一次的一半，则粒子A 从M 点发射后，每次加速均能通过N 点进入磁场。求磁感应强度大小B1及粒子
A 从发射到第n 次通过N 点的时间。
2
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2．（2023·辽宁·高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。
金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。
质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，
并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定
性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
3
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3．（2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy 平
面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N 与y 轴平行放置，板N 中间有一小孔O。有一由x 轴、y 轴和以
O 为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸
面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一
左边界与y 轴平行且相距为l、下边界与x 轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁
场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M 逸出后经极板间电压U 加速（板间电场视为匀
强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被
置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M 的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电
子的重力及电子间的作用力。当频率为ν 的光照射板M 时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O 点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围；
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小
，区域Ⅱ的磁感应强度大小
，求被探测到的
电子刚从板M 逸出时速度vM的大小及与x 轴的夹角
；
（3）为了使从O 点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电
场强度E 和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E 的最大值和B2的最大值。
4
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4．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系
中，
空间内充满匀强磁场I，
磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿y 轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度出射，速度
方向与轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，经坐标原点
沿轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四次穿过
平面
的位置坐标（用d 表示）；
（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，也从
点沿
轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差
（忽略离子间相互作用）。
5
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6
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5．（2022·天津·高考真题）如图所示，M 和N 为平行金属板，质量为m，电荷量为q 的带电粒子从M 由
静止开始被两板间的电场加速后，从N 上的小孔穿出，以速度v 由C 点射入圆形匀强磁场区域，经D 点穿
出磁场，CD 为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与
磁场方向垂直，重力略不计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N 间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
7
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6．（2021·全国·高考真题）如图，长度均为l 的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P 和M
处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有
垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处
以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P 点处射入磁场，从两挡板下边缘Q 和N 之间射出磁场，运动过
程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距离。
8
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7．（2021·重庆·高考真题）如图1 所示的
竖直平面内，在原点O 有一粒子源，可沿x 轴正方向发射速
度不同、比荷均为
的带正电的粒子。在
的区域仅有垂直于平面向内的匀强磁场；
的区域仅有
如图2 所示的电场，
时间内和
时刻后的匀强电场大小相等，方向相反（
时间内电场方向竖直
向下），
时间内电场强度为零。在磁场左边界
直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画
出）。0 时刻发射的A 粒子在
时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B 粒子在
时刻以与A 粒
子相同的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为
；C 粒子在
时刻发射，其发射速
度是A 粒子发射速度的
，不经过磁场能被收集器收集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界
效应。
(1)求电场强度E 的大小；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)设
时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。
9
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8．（2021·北京·高考真题）如图所示，M 为粒子加速器；N 为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互
垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S 点释放一初速度为0、质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子，经M 加速后恰能以速度v 沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。
不计重力。
（1）求粒子加速器M 的加速电压U；
（2）求速度选择器N 两板间的电场强度E 的大小和方向；
（3）仍从S 点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q 的带正电粒子，离开N 时粒子偏离图中
虚线的距离为d，求该粒子离开N 时的动能
。
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9．（2021·山东·高考真题）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x 轴垂直交
于坐标原点O，其内充满垂直于
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
；Ⅱ区宽度为L，左边界
与x 轴垂直交于
点，右边界与x 轴垂直交于
点，其内充满沿y 轴负方向的匀强电场。测试板垂直x 轴
置于Ⅱ区右边界，其中心C 与
点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m 的正离子，加速后沿x
轴正方向过O 点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x 轴正
方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向
相反且平行y 轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，需沿x 轴移动测试
板，求移动后C 到
的距离S。
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10．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d 的中间有小孔的
两平行金属板M、N 和边长为L 的立方体构成，其后端面P 为喷口。以金属板N 的中心O 为坐标原点，垂
直立方体侧面和金属板建立x、y 和z 坐标轴。M、N 板之间存在场强为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场；
立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z 方向的分量始终为零，沿x 和y 方向的分量
和
随时间周期性变
化规律如图乙所示，图中
可调。氙离子（
）束从离子源小孔S 射出，沿z 方向匀速运动到M 板，经
电场加速进入磁场区域，最后从端面P 射出，测得离子经电场加速后在金属板N 中心点O 处相对推进器的
速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为
，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于
推进器的质量。
（1）求离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节
的值，使得从小孔S 射出的离子均能从喷口后端面P
射出，求
的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P 射出的离子数为n，且
。求图乙中
时刻离子束对推进器作用力沿z 轴方向的分力。
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11．（2021·河北·高考真题）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为
、
带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板
与正极板成
倾斜放置，用于
吸收打在其上的粒子，C、P 是负极板上的两点，C 点位于O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶（忽略靶的
大小），用于接收从上方打入的粒子，
长度为
，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒
子所受重力。
。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P 点处的粒子靶上，求可调电源电压
的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板
上，求电压的最小值
；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P 点左右可调，则负极板上存在H、S 两点（
，H、S
两点末在图中标出）、对于粒子靶在
区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只
能接收到n（
）种能量的粒子，求
和
的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
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12．（2024·河南·校联考模拟预测）（多选）如图所示，P、Q 两个平行金属板之间的电压为U，AC 上方
有垂直纸面向外的匀强磁场，AC 下方存在电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于AC，且垂直于磁
场方向。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子（不计粒子重力）从靠近P 板的S 点由静止开始做加速
运动，从小孔M 沿垂直于磁场的方向进入匀强磁场中，速度方向与边界线的夹角θ=60°，粒子恰好从小孔
D 垂直于AC 射入匀强电场，最后打在N 点，已知AD=L，AN=2L，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子从小孔M 进入磁场时的速度大小为
B．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
L
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．匀强电场的电场强度大小为
13．（2024·浙江金华·校联考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xoy 的y 轴左侧存在沿x 轴正方向的
匀强电场，在y 轴的右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，匀强磁场右边界放一竖直的屏，屏与y 轴平行，
且与y 轴间距为2L。电场中有一点A 其坐标为
，从A 点以初速度大小为
沿y 轴正方向射出一
质量为m、电量为q 的正电荷粒子，粒子重力不计。粒子从坐标原点O 进入磁场并恰好打在屏上的P 点，
P 点在x 轴上。求：
（1）粒子在O 点的速度大小以及电场强度的大小；
（2）粒子从A 到P 的运动时间及磁感应强度B 的大小；
（3）保持其它条件不变，改变磁感应强度大小，让磁场在0.5B 到2B 之间变化，粒子可打到屏的范围；
（4）保持其它条件不变，且保持（2）问的磁感应强度B 不变，并在磁场区再加一个大小与（1）问
中电场强度相等、方向竖直向下的匀强电场（图中未画出），粒子恰好打在屏上Q 点，Q 点的坐标为
，求粒子打在Q 点时速度方向与水平方向的夹角。
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14．（2024·贵州·统考一模）如图所示，在xOy 平面第一象限有沿y 轴负方向的匀强电场、第四象限有垂
直纸面向里的匀强磁场，在坐标为（0，h）的A 点有一带电粒子以某一初速度沿+x 方向抛出，从坐标为
（L，0）的C 点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为q、质量为m，匀强电场的电场强度为
E，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过x 轴时的位置与坐标原点的距离。
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15．（2024·江西赣州·赣州中学校考模拟预测）某同学设计的某种质谱仪原理如图所示，图中两圆为共轴
的两金属圆筒的截面，两圆筒间存在沿半径方向的辐向电场，各处场强大小相等，电势差U 未知，且电势
差与电场中两点沿半径方向的距离成正比，小圆筒内有垂直纸面向外的匀强磁场，其壁上开有两条狭缝
a、b，两狭缝与圆心O 连线的夹角为120°。已知小圆筒半径为R，大圆筒半径为2R，磁感应强度为B。让
比荷为k 的粒子从O、a 连线延长线与大圆筒内壁交点处由静止释放，加速进入小圆筒，然后从狭缝b 飞出，
和大圆筒内壁碰撞后再次进入磁场，并返回狭缝a 做周期性运动。并且粒子与两圆筒内壁的碰撞均为弹性
碰撞，碰后速度大小不变，方向立刻反向，不计粒子重力，不考虑碰撞过程经历的时间，求：
（1）两圆筒间的电势差；
（2）粒子从O、a 连线延长线与大圆筒内壁交点出发到再次返回该点的时间。
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16．（2024·广东汕头·校考一模）某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X 射线，对肿
瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理如图所示。圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为
B。水平放置的目标靶长为2l，靶左端 M 与磁场心O 的水平距离为l，竖直距离为
，从电子枪逸出的
电子（质量为m、电荷量为e 初速度可以忽略）经匀强电场加速时间t 后，以速度
沿PO 方向射入磁场，
（PO 与水平方向夹角为
）电子离开圆形磁场区域后恰好能击中M 点，求：
（1）匀强电场E 的大小
（2）匀强磁场B 的方向及电子在磁场中运动的时间。
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17．（2024·西藏拉萨·校联考一模）如图，直角坐标系xOy 第Ⅰ、Ⅱ象限内存在着沿y 轴正方向的匀强电
场，第Ⅲ、Ⅳ象限内存在着垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
。一带负电的粒子从
y 轴上P 点（0，10cm）以
的速度平行于x 轴进入匀强电场，粒子从x 轴上的Q 点（20cm，0）进
入匀强磁场。已知粒子的比荷为
，不计粒子重力，求：
（1）电场强度大小；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径。
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18．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示。研究员在研究带电粒子的受控轨迹时。设置了以下场景，
空间中存在
平面直角坐标系。其第一象限内存在方向沿y 轴负向的匀强电场。电场强度为 E；第四象
限内有一条分界线ON 与x 轴正方向的夹角为：
在 轴与ON 间存在垂直纸面向外的匀强磁场。研究
员将一带正电的粒子从y 轴上的距原点O 距离d 的P 点，以速度v0垂直y 轴打入电场，经电场偏转后经
轴进入磁场，在磁场中运动一段时间后从ON 上以垂直于y 轴的速度方向射出。已知粒子的比荷为
，
不计粒子重力。求：
（1）粒子从 轴打出点到原点的距离以及粒子过该点时的速度 大小；
（2）磁场的磁感应强度 B 的大小；
（3）若改变磁感应强度 B 的大小，使粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切再次打入电场。求
粒子第三次进入磁场时距离 O 点的距离
。
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19．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）如图所示，在xOy 平面内，x 轴下方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，
x 轴上方存在电场强度的大小为E、与y 轴负方向成θ=30°的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的带
电粒子以垂直电场方向的初速度v0从y 轴上的M 点开始运动，从x 轴上的N 点进入磁场，进入磁场时的速
度大小为2v0，方向与x 轴正方向夹角也为θ，粒子恰好从坐标原点O 第2 次通过x 轴。忽略边界效应，不
计粒子重力，求：
（1）M、N 两点的电势差；
（2）N 点到坐标原点O 的距离；
（3）带电粒子从M 点运动到O 点所用的时间。
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20．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，离子源产生的甲、乙两种离子，先由静止经电压为U 的加
速电场加速后在纸面内运动，再从O 点沿与磁场边界成45°角方向射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面向里的有界匀强磁场。已知甲种离子从磁场边界的N 点射出，乙种离子从磁场边界的Ｍ点射出，OM 长
为L，MN 长为3L，不计离子重力和离子间的相互作用。
（1）求甲种离子的比荷；
（2）求乙种离子在磁场中的运动时间。
22
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21．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图所示，在
平面内，有两个半圆形同心圆弧，与坐标轴分别交
于、、点和
、
、
点，其中圆弧
的半径为
。两个半圆弧之间的区域内分布着辐射状的电
场，电场方向由原点
向外辐射，其间的电势差为
。圆弧
上方圆周外区域，存在着上边界为
的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，圆弧
内无电场和磁场。
点处有一粒子源，在
平面内
向轴上方各个方向，射出质量为
、电荷量为的带正电的粒子，带电粒子射出时的速度大小均为
，被辐射状的电场加速后进入磁场，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒子从磁场
返回圆形区域边界后的运动。
（1）求粒子被电场加速后的速度；
（2）要有粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，求磁场的磁感应强度的最大值
；
（3）当磁场中的磁感应强度大小为第（2）问中
的
时，求能从磁场上边界射出粒子的边界宽度
。
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考向二 带电粒子在复合场中的运动
22．（2023·浙江·高考真题）AB、CD 两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。
两板间距10cm，电荷量为
、质量为
的小球用长为5cm 的绝缘细线悬挂于A 点。闭合
开关S，小球静止时，细线与AB 板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD 板上的M 点（未标出），则（
）
A．MC 距离为
B．电势能增加了
C．电场强度大小为
D．减小R 的阻值，MC 的距离将变大
23．（2023·山西·高考真题）一电子和一α 粒子从铅盒上的小孔O 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放
置的屏幕P 上的a 和b 两点，a 点在小孔O 的正上方，b 点在a 点的右侧，如图所示。已知α 粒子的速度约
为电子速度的
，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为（ ）
A．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
24．（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向
竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，
磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。
A 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区
域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从
24
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CF 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域
Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t>t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t>t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
25．（2022·重庆·高考真题）2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等
离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平
向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q 的正离
子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不
计离子重力，则（ ）
A．电场力的瞬时功率为
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
26．（2022·辽宁·高考真题）（多选）如图所示，带电荷量为
的球1 固定在倾角为
光滑绝缘
斜面上的a 点，其正上方L 处固定一电荷量为
的球2，斜面上距a 点L 处的b 点有质量为m 的带电球
25
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3，球3 与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b 点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为
，球2、3 间的静
电力大小为
。迅速移走球1 后，球3 沿斜面向下运动。
为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球
3 的说法正确的是（ ）
A．带负电
B．运动至a 点的速度大小为
C．运动至a 点的加速度大小为
D．运动至ab 中点时对斜面的压力大小为
27．（2022·广东·高考真题）（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸
面向里的匀强磁场。电子从M 点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P 两点。已知M、P 在同一等
势面上，下列说法正确的有（ ）
A．电子从N 到P，电场力做正功
B．N 点的电势高于P 点的电势
C．电子从M 到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M 点所受的合力大于在P 点所受的合力
28．（2022·湖北·高考真题）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极
相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口
喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差为U 时，电荷量为q、半径为r 的球状油滴在板间保持静止。若
仅将金属板间电势差调整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（ ）
26
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A．q，r
B．2q，r
C．2q，2r
D．4q，2r
29．（2021·湖北·高考真题）（多选）如图所示，一匀强电场E 大小未知、方向水平向右。两根长度均为L
的绝缘轻绳分别将小球M 和N 悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量
大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的
2 倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．M 带正电荷
B．N 带正电荷
C．
D．
30．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电
荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空
间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均
为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在时刻，A 到达位置S，速度为
，此时弹
簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，A
的速度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，、
、
均为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等
效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限
度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
27
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（2）求时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
31．（2023·山西·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，
可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正
极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
28
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32．（2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1 所示，金属板与可调电
源相连形成电场，方向沿y 轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直
平面向外。电场强度和磁感应
强度随时间的变化规律如图2 所示。板间O 点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为
、
初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）
时刻释放的粒子，在
时刻的位置坐标；
（2）在
时间内，静电力对
时刻释放的粒子所做的功；
（3）在
点放置一粒接收器，在
时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期
间被捕获。
29
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33．（2022·湖南·高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为
和
，直流电源的内阻不计，平行板电
容器两极板水平放置，板间距离为
，板长为
，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为
、带
电量为
的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘
点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电
容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为
，忽略空气阻力。
（1）求直流电源的电动势
；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度
；
（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值
。
30
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34．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨在B 点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度
大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有方向与x 轴夹
角为
的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
31
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35．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923 年的
诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d 的足够大金属极板，上极板中央
有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为
、位于
同一竖直线上的球形小油滴A 和B，在时间t 内都匀速下落了距离
。此时给两极板加上电压U（上极板接
正极），A 继续以原速度下落，B 经过一段时间后向上匀速运动。B 在匀速运动时间t 内上升了距离
，随后与A 合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的
空气阻力大小为
，其中k 为比例系数，m 为油滴质量，v 为油滴运动速率，不计空气浮力，重力
加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B 的带电量和电性；B 上升距离
电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
32
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36．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入
工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，
经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感
应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分
别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置
M 和N 处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L 的正方体，其偏转系统的底面
与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O 点
（即图中坐标原点，x 轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经
过电场和磁场偏转的角度都很小。当α 很小时，有
，
。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
33
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37．（2024·全国·校联考一模）如图所示，竖直放置的半径为
的四分之一光滑圆弧轨道
与粗糙绝缘水
平轨道
在B 处平滑连接，
为圆弧轨道的圆心，OB 左侧空间存在竖直向下的匀强电场，场强大小为
。
一质量为
带负电的物块，电荷量
，以一定的初速度从A 点沿切线进入圆弧轨道。物块与水平轨
道
间的动摩擦因数为
。已知重力加速度大小为
，下列说法正确的是（ ）
A．无论在A 点的初速度多大，物块一定能沿圆弧轨道运动到B 点
B．物块以不同的初速度从A 点沿圆弧轨道滑到B 点，其在B 点的速度最小为0
C．物块以不同的初速度从A 点沿圆弧轨道滑过B 点后，最终可停在距B 点
的位置
D．物块沿圆弧轨道滑过B 点后，最终停在
上，因摩擦产生的热量最小值为
38．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直纸面（
平面）向外，电场的方向沿y 轴正方向。一质量为m、电荷量为q 的带电粒子在电场和磁场的作用下，
从坐标原点O 由静止开始运动（其轨迹如图所示）。已知磁感应强度的大小为B，电场强度大小为E，不
计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动轨迹是抛物线
C．粒子距离x 轴的最大距离为
D．粒子运动过程中的最大速度为
34
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39．（2023·四川成都·统考一模）如图，空间存在范围足够大的匀强电场，场强大小
，方向水平向
右。竖直面内一绝缘轨道由半径为R 的
光滑圆弧
与足够长的倾斜粗糙轨道AB、CD 组成，AB、CD
与水平面夹角均为45°且在B、C 两点与圆弧轨道相切。带正电的小滑块质量为m，电荷量为q，从AB 轨
道上与圆心O 等高的P 点以
的速度沿轨道下滑。已知滑块与AB、CD 轨道间的动摩擦因数
，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．滑块在AB 轨道下滑时的加速度大小为g
B．滑块在
轨道中对轨道的最大压力为3mg
C．滑块最终将在
轨道之间做往复运动
D．滑块在AB 轨道及CD 轨道上运动的总路程为2R
40．（2024·浙江·校联考一模）空间中固定一电量为
的点电荷，且存在某方向的匀强电场
，使一初速
度为
，带电量为
的小球恰可绕该点电荷作半径为的圆周运动，则（ ）
A．若点电荷电量为
，则匀强电场方向一定向上
B．将点电荷电量变为
，则小球圆周运动半径变为
C．换用另一带电量
的小球使之仍以
绕该点电荷做圆周运动，则小球运动半径仍为
D．若只撤去点电荷
，同时调节场强为
，则小球将作类平抛运动
41．（2023 上·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考期中）（多选）一带电荷量为＋q 的滑块放在粗糙水
平地面上，空间存在水平向右、电场强度大小为E 的匀强电场，给滑块一向右的初速度，滑块恰好做匀速
直线运动。突然在空间施加沿纸面与水平方向成60°角、斜向右下方、电场强度大小也为E 的另一匀强电
场，滑块仍然做匀速直线运动，关于滑块在两个叠加电场中的运动，下列说法正确的是（ ）
35
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A．滑块对地面的压力大小为
B．滑块与地面间的动摩擦因数为
C．滑块受到地面的滑动摩擦力大小为
D．滑块在两个叠加电场中运动时受到的电场力与受到的重力大小相等
42．（2024·四川凉山·统考一模）（多选）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xoy，整个空间存在平
行xoy 平面与y 轴正方向成45°角的匀强电场E。质量为m 的带电小球从坐标原点O 沿x 轴的正方向以速度
v 水平抛出，经过一段时间小球以
v 的速度穿过y 轴正半轴某点（图中未画出），不计空气阻力，则
（ ）
A．小球可能带负电
B．小球所受电场力的大小为
mg
C．小球电势能最大时动能最小
D．小球电势能最大时水平速度等于竖直速度
43．（2023·河南开封·统考一模）（多选）如图所示，P、Q、S 是三个带同种电荷完全相同的带电小球，
现将P、Q、S 三小球从同一水平面上静止释放，P 小球经过有界的匀强电场落到地面上，Q 小球经过有界
的匀强磁场落到地面上，S 小球直接落到地面上，O 点是它们释放点在地面上的投影点，忽略空气阻力，
下列说法正确的是（ ）
36
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A．只有S 小球能落在O 点上，且P、Q 小球可以落在O 点的异侧
B．只有S 小球能落在O 点上，且P、Q 小球一定落在O 点的同侧
C．三小球落地时，动能大小关系为EkP>EkQ=EkS
D．三小球所用的时间关系为tP=tS>tQ
44．（2023·天津和平·统考二模）（多选）如图所示，在空间中存在水平向右的足够大匀强电场，一带电
小球从电场中的A 点以某一速度水平向右进入电场，一段时间后到达最右端B 点，之后又回到A 点正下方
的C 点（图中未标出），不计空气阻力，下列分析正确的是（ ）
A．小球从A 点运动到B 点电势能增加量等于动能的减小量
B．小球从A 点到B 点所用时间与从B 点到C 点所用时间相等
C．小球在C 点时的动能一定大于在A 点时的动能
D．A、B 两点间与B、C 两点间竖直位移相等
45．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）如图所示，在水平方向的匀强电场中，一质量为m 的带电小球用一
轻绳连接恰好在竖直平面内绕O 点做半径为R 的圆周运动，运动轨迹上均匀地分布着A、B、C、D、F、
G、H 和P 点，OA 垂直于电场强度方向。已知小球带电荷量为
，电场强度
（g 为重力加速
度），则下列说法错误的是（ ）
A．小球在A 点时的速度为
B．小球运动至C 点的电势能小于H 点时的电势能
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C．小球运动过程中绳子的最大拉力为
D．小球运动过程中的最小速度为
46．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）（多选）如图所示，ab 和bc 区域的宽度均为d．ab 区域存在水平向
左、电场强度大小为E 的匀强电场；bc 区域存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向上，电场
强度大小为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小
。今有一带正电的微粒从a 边缘平行电场方
向以初速度
水平向右射入电场，从b 边缘的P 点进入bc 区域时的速度大小不变，方向变为竖直向下。已
知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．a、P 两点间距离为
B．微粒在ab 区域中做半径为d 的匀速圆周运动
C．微粒在bc 区域中做半径为
的匀速圆周运动
D．微粒在ab、bc 区域中运动的总时间为
47．（2024·云南红河·统考一模）（多选）如图所示，边长均为
的正方形区域
和
位
于同一竖直平面内，
内存在竖直方向的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场，
内存在匀强电场。
一质量
、电荷量
的小球，从距A 点正上方
的O 点静止释放，进入
后做匀速圆周运动，之后恰好从C 点沿水平方向进入
，取
，则（ ）
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A．
内的电场强度
，方向竖直向上
B．磁感应强度
，方向垂直纸面向里
C．若
内存在竖直向下的匀强电场
，恰好能使小球从F 点飞出，则
两点的电势差
D．若
内存在水平向左的匀强电场强度
，则恰好能使小球从G 点飞出
48．（2024·江西景德镇·江西省乐平中学校联考一模）（多选）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的
带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距
离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球
的比荷为
，如图所示。现给小球一个向右的初速度，离开桌边缘立刻进入复合场运动，从下边界射出，
射出时的速度方向与下边界的夹角为
。下列说法正确的是（ ）
A．小球在复合场中的运动时间可能是
B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是
C．小球在复合场中运动的路程可能是
D．小球的初速度大小可能是
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49．（2024·湖南·湖南师大附中校联考一模）如图所示，一绝缘细杆ABC，细杆在B 处平滑拐弯，
，AB 与水平面成37°，BC 水平，空间存在与杆所在的竖直面平行水平向右场强
的匀强电场，一质量
电量
的带正电小球套在细杆上，小球与杆间的
动摩擦因数
，现将小球从A 端静止释放，小球通过B 处时无能量损失，不计空气阻力（
，
）求：
（1）小球经过多长时间运动到B 端；
（2）小球第一次落回到水平面时与C 端的距离。
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50．（2024·浙江嘉兴·统考一模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在
平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。位于坐标原点
处
的离子源能在
平面内持续发射质量为
、电荷量为的负离子，其速度方向与
轴夹角的最大值为
，且各个方向速度大小随变化的关系为
，式中
为未知定值。且
的离子恰好通过坐标
为（
，
）的
点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求关系式
中
的值；
（2）离子通过界面
时
坐标的范围；
（3）为回收离子，今在界面
右侧加一定宽度且平行于
轴的匀强电场，如图所示，电场强度
。为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面
，求所加电场的宽度至少为多大？
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51．（2024·浙江·校联考一模）如图所示，水平地面上有一辆小车，上方固定有竖直光滑绝缘细管，管的
长度
，有一质量
、电荷量
的绝缘小球A 放置在管的底部，小球的直径略小于细管。在管口所
在水平面MN 的下方存在着垂直纸面向里的匀强磁场。现让小车始终保持速度的
向右匀速运动，以带电
小球刚经过磁场的竖直边界为计时起点，并以此时刻管口处为坐标原点
建立
坐标系，
轴与磁场边
界重合，小球刚离开管口时竖直向上的分速度
，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小和绝缘管对小球做的总功；
（2）小球经过轴时的坐标；
（3）若第一象限存在和第四象限大小和方向都相同的的匀强磁场，同时绝缘管内均匀紧密排满了大
量相对绝缘管静止，与小球
完全相同的绝缘小球。不考虑小球之间的相互静电力，求能到达纵坐标
的小球个数与总小球个数的比值。
42
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52．（2023·四川乐山·统考一模）如图所示，一个质量为0.5g，带电量+2.5×10-3C 的小球用轻质细线悬挂于
O 点，整个装置所在空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E=1N/C。此时，小球以O1为圆心在
水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知OA 长度L 为1m，O1O2的竖直距离为0.4m
（O、O1、O2）在同一竖直线上），重力加速度g 取10m/s2。
（1）求小球做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）某时刻绳OA 断裂，求小球落地时速度和水平线的夹角。
43
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53．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示， 用长为l 的绝缘细线把一个质量为m， 电荷量为q 的带
正电小球悬挂在O 点，现加一电场强度最小的匀强电场， 使小球静止在 A 点， 此时细线与竖直方向夹
角
重力加速度为g，求：
（1）电场强度大小及方向；
（2）要使小球能绕O 点做完整的圆周运动， 在 A 点沿切线方向给小球的初速度的最小值。
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54．（2023·黑龙江·校联考一模）半径为R 的半圆形光滑绝缘轨道固定在水平面上，直径AC 以下存在匀强
电场，以圆心为坐标原点建立xOy 坐标系。质量为m、电荷量为+q 的小球（可视为点电荷）从A 点以上
（R，R）由静止释放，从A 点进入半圆形轨道，沿轨道运动到最低点B 时速度恰好为零。求：
（1）刚进入半圆形轨道时小球对A 点的压力；
（2）小球速度最大时的位置坐标。
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55．（2023·全国·校联考一模）如图所示，竖直虚线的左侧存在竖直向上电场强度大小为E 的匀强电场，
右侧存在竖直向上电场强度大小为2E 的匀强电场与垂直纸面向外磁感应强度大小为B 的匀强磁场。光滑
绝缘的四分之一圆弧轨道ab 固定在虚线左侧的竖直平面内，a 点的切线竖直，b 点正好在虚线上，且切线
水平，P 点是圆弧ab 的中点，带电量为q 的带正电小球从a 点由静止释放，离开b 点在虚线的右侧正好做
匀速圆周运动，经过一段时间到达虚线上的c 点。已知b、c 两点间的距离是圆弧轨道ab 半径的2 倍，重
力加速度大小为g。
（1）求小球的质量以及小球在b 点的速度大小；
（2）求圆弧轨道P 点对小球的支持力大小；
（3）求小球从b 到c 动量的变化率以及a、c 两点间的电势差。
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56．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，
在真空的坐标系中，第一象限和第四象限存在着垂直纸面向内的匀强磁场，第二象限内有边界互相平行且
宽度均为d 的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里匀强磁场，调节电场和
磁场大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为m、电荷量为q 的带正电粒子在边界
P 处由静止释放，粒子恰好以速度大小v 从y 轴上的Q 点进入第一象限，经过x 轴上的M 点时速度方向刚
好沿x 轴正向。已知Q 点坐标为（0，L），M 点坐标为（3L，0），不计粒子重力及运动时的电磁辐射，
不考虑粒子再次进入第二象限的运动情况。
（1）求第一、四象限中匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）求第二象限中电场强度大小E0和磁感应强度大小B0；
（3）若粒子到达M 点时立即在第一、四象限内加竖直向下的匀强电场，使粒子经过N 点时速度方向
沿x 轴正向，已知N 点坐标为（6L，0），求所加匀强电场的大小。
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02 常见电学仪器
考向一 常见电学仪器
1．（2021·福建·高考真题）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，
磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子（
）以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿
中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O 点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（ ）（所有粒
子均不考虑重力的影响）
A．以速度
的射入的正电子
B．以速度
射入的电子
C．以速度
射入的核
D．以速度
射入的a 粒子
2．（2021·江苏·高考真题）如图1 所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O 点为圆心，磁感应强度大小
为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q 的粒子从O 附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过
P 点绕O 做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P 位置安装
一个“静电偏转器”，如图2 所示，偏转器的两极板M 和N 厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心
角为
，当M、N 间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E 的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再
次被加速前射出磁场，不计M、N 间的距离。求：
（1）粒子加速到P 点所需要的时间t；
（2）极板N 的最大厚度
；
（3）磁场区域的最大半径
。
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3．（2021·天津·高考真题）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体
材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系
，如图所示。半导体中有电荷量均为e
的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目
分别为n 和p。当半导体材料通有沿
方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感
应强度的大小为B，沿
方向，于是在z 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小
为E，沿
方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿
方向上形成的电流为
，求单个自由电子由于定向移动在z 方向上
受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小
；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z 方向定向移动的速率分别为
、
，求
时间内运动到
半导体z 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z 方向上形成的电流应满足的条件。
4．（2021·广东·高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c 围成的区
域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆c 之间有三个圆心角均略小于90°的扇环
形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能
从圆b
上P 点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间电势
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差为U，圆b 半径为R，圆c 半径为
，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取
。
（1）当
时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为
45°，最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中
的运动时间及在Q 点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当
时，要保证电子从
出射区域出射，求k 的最大值。
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5．（2023·浙江台州·统考模拟预测）如图所示，将霍尔式位移传感器置于一个沿轴正方向的磁场中，磁
感应强度随位置变化关系为
（
且均为常数），霍尔元件的厚度
很小。当霍尔元件
通以沿轴正方向的恒定电流，上、下表面会产生电势差
，则下列说法正确的是（ ）
A．若霍尔元件是自由电子导电，则上表面电势低于下表面
B．当物体沿轴正方向移动时，电势差
将变小
C．仅减小霍尔元件上下表面间的距离，传感器灵敏度
将变弱
D．仅减小恒定电流，传感器灵敏度
将变弱
6．（2023·四川成都·校联考模拟预测）（多选）利用霍尔效应制作的霍尔元件广泛应用于测量和自动控制
等领域，如图是霍尔元件的工作原理示意图。磁感应强度B 垂直于用金属材料制成的霍尔元件的表面向下，
通入图示方向的电流I，C、D 两端会形成电势差
，电子的电荷量为e，导体中单位体积内的电子数为
n，垂直于电流的侧面长宽分别为h、d。则下列说法正确的是（ ）
A．C 端电势一定高于D 端电势
B．载流子所受电场力的大小为
C．仅增大电流I，
的绝对值将增大
D．仅增大d，
的绝对值将增大
7．（2023·广东·统考二模）如图甲所示为一种可用于检测和分离同位素的装置，大量带电粒子从加速电场
的上边缘由静止释放，通过宽度为L 的狭缝MN，垂直进入磁感应强度为B 的匀强磁场后，均打到照相底
片上．若释放的粒子是质子和氘核，其电荷量均为
，质量分别为m 和2m，不考虑重力及粒子之间的相
互作用。
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（1）若加速电场的电势差为U，求质子打在照相底片上的位置到M 点的最小距离；
（2）要使质子和氘核在照相底片上形成的谱线带能够完全分离，求加速电场的电势差应满足的条件；
（用m、e、B、L 表示）
（3）某同学将该装置的狭缝宽度减小到可忽略的程度，将狭缝下方的磁场改为水平向左、电场强度
大小为E 的匀强电场，并在狭缝MN 下方距离为d 处水平放置照相底片（如图乙），请推导静止释放的质
子，通过两个电场后在照相底片上形成的谱线距狭缝的水平距离x 与加速电场的电势差U 的关系式，并判
断该改装装置能否用于检测和分离同位素。
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