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专题11 带电粒子在复合场中的运动
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：带电粒子在组合场中的运动......................................................................2
题型二：带电粒子（带电体）在叠加场中的运动................................................13
题型三：带电粒子在交变场中的运动....................................................................23
02 重难创新练.............................................................................................................35
1
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题型一：带电粒子在组合场中的运动
1．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，半径为的虚线圆边界在竖直平面内，
是水平直径，圆边
界内存在垂直纸面向外磁感应强度为
的匀强磁场，过
点的竖直线
与水平线
间存在电场强度大
小恒为
（为未知量）的匀强电场。
点是
点右下方固定的点，虚线
与
的夹角为
。现让带电
量为
、质量为
的带正电粒子（不计重力）从
点射入磁场，然后从
点离开磁场，轨迹圆的半径等于
，当匀强电场竖直向上时，粒子经过一段时间
从
运动到
点时速度正好水平向右，求：
(1)粒子在A 点射入磁场时的速度以及粒子从A 到
的运动时间；
(2)
的值以及粒子从
到
的平均速度大小；
(3)若匀强电场由
指向
，则
两点间的电势差为多少？
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力
其中
，解得
过A 点作速度的垂线，与
的中垂线交于
，设A 点的速度与
夹角为
，则
，如图所示，根据几何关系有
解得
所以粒子在A 点射入磁场时的速度方向与水平线
夹角为
右上方
2
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粒子在磁场中运动周期
解得运动时间为
（2）粒子从
点离开磁场时，速
度
方向与水平线
夹角
右下方；把
点的速度分解为水平方向和竖直方向，则有
，
由类平抛运动的规律可得
，
，
两点间的距离为
粒子从
到
的平均速度
综合解得
，
，
，
（3）当匀强电场由
指向
，把
分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有
，
当匀强电场由
指向
两点间的电势差
综合计算可得
2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图所示，位于x 轴下方的离子源C 发射比荷为
的一束正离子，其初速
度大小范围为
，这束离子经加速后的最大速度为2v，从小孔O（坐标原点）沿与x 轴正方向夹角为
射入x 轴上方区域。在x 轴的上方存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，x 轴下方距离
d 处放置一平行于x 轴的足够长的探测板，探测板左边缘与O 对齐，在x 轴下方与探测板之间的区域存在
大小为
、方向垂直x 轴向上的匀强电场。假设离子首次到达x 轴上时均匀分布，忽略离子间的相互作
用且不计重力。求：
3
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(1)加速电压U；
(2)离子首次到达x 轴的坐标范围；
(3)到达探测板的离子数占发射的总离子数的比例
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由离子经加速后的最大速度为2v，初速度范围
，显然初速度最大离子加速后速度最
大，由动能定理有
解得
（2）由于粒子带正电，磁场垂直于纸面向外；可以做出离子在磁场中的轨迹。最小速度的轨迹圆最小，
将出射点标记为A。最大速度的轨迹圆最大，将出射点标记为B。离子首次到达x 轴的范围在A、B 之间。
过入射点O 做入射速度方向的垂线，过出射点A 做出射速度方向的垂线，交汇于C 点，该点为最小轨迹圆
的圆心，OC、AC 为半径。如图所示
由于入射速度与x 轴正方向的夹角为
，所以
由于OC、AC 为轨迹圆半径，故
，
所以AC 的长度等于最小轨迹圆半径，入射速度为v，由于向心力等于离子所受的洛伦兹力
4
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解得
所以A 的坐标
，同理，由于最大轨迹圆的入射速度方向不变，大小为2v。
所以该轨迹圆的圆心角不变，半径大小为原来的2 倍。B 的坐标为
，综上离子首次到达x 轴的坐标
范围为
（3）由于探测板足够长，所以不用考虑粒子从水平方向离开探测板范围的可能性。仅需要考虑竖直方向
的运动。电场强度方向向上，对正离子的作用力和加速度向上，大小为
，
设出射速度为
的离子恰好达到探测板，该速度的离子竖直方向速度刚好在到达探测板时减为0。当离子
进入电场的速度大于等于该临界速度时能达到探测板，小于临界速度时不能达到。由于
为
所以出射
速度与x 轴方向的夹角为
，所以进入电场前竖直方向的速度为
根据离子竖直方向速度
刚好在到达探测板时减为0，列写运动学方程
，
，
，所以当离子速度
，不能到达探测板。当离子速度
，能到达探测板。粒子首次到达x 轴上时分布均
匀，所以
3．（2024·河北·模拟预测）在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。如图
所示为一控制粒子运动装置的模型。在平面直角坐标系
的第二象限内，一半径为的圆形区域内有垂
直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场Ⅰ的边界圆刚好与两坐标轴相切，与
轴的切点为
，在第一象限
内有沿
轴负方向的匀强电场，在
轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直
于
轴的足够长的接收屏。
点处有一粒子源，在与
轴正方向成
到与
轴负方向成
范围内，粒子
源在坐标平面内均匀地向磁场内的各个方向射出质量为
、电荷量为
的带正电粒子，粒子射出的初速度
大小相同。已知沿与
轴负方向成
射出的粒子恰好能沿
轴正方向射出磁场Ⅰ，该粒子经电场偏转后以
5
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与
轴正方向成
的方向进入磁场Ⅱ，并恰好能垂直打在接收屏上。磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小均为
，
所有粒子都能打到接收屏上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）求粒子从
点射出的速度大小
；
（2）求匀强电场的电场强度大小
；
（3）将接收屏沿
轴负方向平移，直至仅有一半的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，求接收屏沿
轴
负方向移动的距离
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设从P 点沿与x 轴负方向射出的粒子从Q 点射出磁场Ⅰ，轨迹如图所示
设磁场Ⅰ的边界圆的圆心为
，粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心为
，四边形
对边相互平行且领
边
与
长度相等，故四边形
为菱形，则粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的轨迹半径为
6
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根据牛顿第二定律有
解得
（2）从P 点沿与x 轴负方向成
射出的粒子在电场中做类平抛运动，设粒子出电场时沿y 轴负方向的分
速度为
，由题意可知
沿y 轴方向有
根据牛顿第二定律有
解得
（3）由于粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为
，因此所有粒子均沿x 轴正方向射出磁场Ⅰ；设某一
粒子进入磁场与x 轴正方向夹角为
，则粒子进入磁场Ⅱ时速度为
粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动，
洛伦兹力提供向心力，有
则轨迹的圆心到x 轴的距离为
由此可见，所有粒子进磁
场Ⅱ后做圆周运动的圆心均在离x 轴距离为r 的水平线上，由于从P 点沿与x 轴负方向成
射出的粒子能
垂直打在屏上，因此所有粒子均能垂直打在接收屏上。在P 点沿y 轴正方向射出的粒子恰好能打在屏上时，
即有一半的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打在屏上，这时屏需要移动的距离等于在P 点沿y 轴正方向射出的
粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径。设该粒子进入磁场Ⅱ时的速度大小为
，根据动能定理有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
即要使一半的
粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，接收屏沿y 轴负方向移动的距离为
4．（2024·江西景德镇·一模）如图所示，在
的区域存在方向竖直向上、大小为E 的匀强电场，在
区域存在垂直纸面向外的匀强磁场B（B 未知）。一个质量为m 的带正电粒子甲从A 点
以速
度
沿x 轴正方向进入电场，粒子从B 点
进入磁场后，恰好与静止在C 点质量为
的中性粒子乙
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沿x 轴正方向发生弹性正碰，且有
的电荷量转移给粒子乙。已知C 点横坐标为
，不计粒子重力
及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场变化引起的效应。求：
(1)粒子甲的比荷；
(2)粒子甲刚进入磁场时的速率和磁感应强度B 的大小；
(3)若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在
的区域加上与
区域内相同的磁场，试通过计算判断
两粒子碰撞后能否再次相遇，如果能，求再次相遇的时间
。
【答案】(1)
(2)
，
(3)能，
【详解】（1）粒子在电场中沿
轴匀速直线运动
沿
轴匀加速直线运动
，
联立
求得
（2）沿
轴匀加速直线运动
进入磁场中粒子的运动轨迹如图所示，速度与
轴的夹角
即
则进入磁场速率
有几何关系可得
又由
求得
（3）甲乙粒子在C 点发生弹性碰撞，设碰后速度为
，有弹性碰撞可得
，
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求得
两粒子碰后在磁场中运动
，
求得
半径相同，可以再次相遇，两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为
，
则两粒子碰后再次相遇需满足
解得再次相遇时间
5．（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第三象限内有电场强度大小为E 沿x
轴正方向的匀强电场。第四象限内半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B1（大小未知），磁
场边界圆刚好与两个坐标轴相切，与x 轴的切点为M 点。第一象限内夹角为30°的虚线ON 与x 轴间有垂直
纸面向外的匀强磁场B2（大小未知）。一个带正电的粒子在电场中坐标为
的P 点由静止释放，
粒子经电场加速后，从圆形磁场边界上的Q 点沿x 轴正方向射入磁场，经圆形磁场偏转后刚好从M 点射入
上方磁场，粒子刚好不从ON 边界射出磁场，已知带正电粒子的比荷为k（带电体的电荷量和质量的比值），
不计粒子的重力，求：
（1）带正电的粒子从Q 点射入圆形磁场时的速度大小；
（2）磁感应强度B1的大小；
（3）磁感应强度B2的大小；
（4）带正电的粒子从P 点出发到第二次经过x 轴所用的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
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【详解】（1）设粒子从Q 点进磁场时的速度大小v，根据动能定理有
解得
（2）最后粒子刚好未从虚线射出磁场而从x 轴上的S 点射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。
由于O1M 平行于O2Q，O1O2将MQ 平分，根据三角形全等可知，
，即粒子在磁场中做圆周运动
的半径为r，根据牛顿第二定律得
解得
（3）设粒子从M 点进入上方磁场时速度与x 轴负方向的夹角为θ，由几何关系得
解得
由于粒子刚好不能从ON 边界射出，粒子在磁场中运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在磁
场中做圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律得
解得
（4）设粒子在电场中运动时间为t1，根据平均速度分式得
解得
粒子在磁场B2中的运动时
间为
粒子在磁场B2中的运动时间为
在第四象限匀速运动的时间
为
带正电的粒子从P 点出发到第二次经过x 轴所用的时间为
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6．（2024·河北石家庄·三模）如图甲所示，半径为R 的圆形区域内存在辐向电场，电场方向由圆心沿半径
向外，电场强度大小E 随距圆心O 的距离x 的变化如图乙所示，图中
为已知量。圆形区域外存在垂直纸
面向里的匀强磁场。一质量为m，电荷量为
的带电粒子，从圆心O 点由静止释放，粒子沿半径OP 运动
至虚线边界上的P 点进入磁场偏转再返回电场，粒子每次到达O 点后沿进入电场的路径返回磁场，最后刚
好沿PO 方向回到O 点，这个过程中粒子在磁场中运动的总时间记为
（未知）。已知磁场的磁感应强度
，不计带电粒子的重力。求：
（1）带电粒子经过P 点时的速度大小；
（2）
的大小；
（3）若改变带电粒子的释放位置，将带电粒子在OP 之间的某点Q（图中未标出）释放，粒子经过一段时
间后沿PQ 方向第一次回到释放点Q，该过程粒子在磁场区域运动的总时间为
。求粒子释放点Q 到P 点
的可能距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【详解】（1）根据乙图，图中图线所围成面积代表电势差，则
由动能定理可得
解
11
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得
（2）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r，根据题意作轨迹图，由向心力公式得
设
，由几何关系可知
解得
所以
，粒子在磁场中运动过程
所转过的角度为
粒子在磁场中运动总时间
粒子在磁场中运动周期为
解得
（3）如图，设改变释放位置后，粒子在磁场中第一次从S 点回到电场区域，令
，粒子在磁场中
运动的圆弧所对圆心角为
，根据题意可知
，
粒子在磁场中运动总时间为3
，所以
其中n 和N 均为正整数；由
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题意可知
联立以上公式得
所以
①当n=13，N=1，由几何关系可得
则
由洛伦兹力提供向心力公式得
由动能定
理可得
解得
②当n=11，N=2 时，由几何关系可得
同理解得
7．（2024·江苏南京·模拟预测）某种离子测量简化装置如图所示，方向均垂直纸面向里的磁场区域I、II，
两匀强磁场边界直线MN、PQ 平行且相距L，磁场I 和II 的磁感应强度大小之比为3
5
﹕，磁场之间有水平
向右的匀强电场。自MN 上S 点水平向左射出一带正电粒子甲，甲在电、磁场中形成轨迹封闭的周期性运
动。较长时间后撤去该粒子，又在S 点竖直向下往电场内射出另一个相同粒子乙，也可形成轨迹封闭的周
期性运动。粒子电荷量为q、质量为m，不计重力，两粒子射出的初速度大小均为v0。（sin53°=0.8，
cos53°=0.6）求：
（1）甲粒子在匀强电场中向右运动过程中动能的增加量；
（2）匀强电场的电场强度的大小；
（3）粒子乙在磁场II 中运动轨迹的长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）甲粒子在磁场Ⅱ中的运动速率v，运动轨迹如图
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在两磁场中运动半径相等
依据牛顿第二定律得
解得
可得
则有
（2）由动能定理可得
解得
（3）粒子乙运动轨迹如图，在磁场Ⅱ中速率与甲相同，速度v 与竖直方向夹角为
，轨迹圆半径为r
则有
沿电场线方向有
，
沿v0方向有
联立解得
，
则粒子乙在磁场II 中运动轨迹的长度为
代入数据得
8．（2023·山东聊城·模拟预测）如图所示，空间坐标系O—xyz 内有一由正方体ABCO—A′B′C′O′和半圆柱
体BPC—B′P′C′拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿z 轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿
z 轴负方向的匀强磁场。M、M′分别为AO、A′O′的中点，N、N′分别为BC、B′C′的中点，P、P′分别为半圆
弧BPC、B′P′C′的中点，Q 为MN 的中点。质量为m、电荷量为q 的正粒子在竖直平面MNN′M′内由M 点斜
向上射入匀强电场，入射的初速度大小为v0，方向与x 轴正方向夹角为θ = 53°。一段时间后，粒子垂直
于竖直平面BCC′B′射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为L，匀强磁场的磁感应强度大
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小为
，不计粒子重力，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6。
（1）求匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间t；
（3）若粒子以相同的初速度自Q 点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿x 轴方向
解得
沿z 轴方向
由牛
顿第二定律可知
解得
（2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知
解得
由几何关系可知，
粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的周期
粒子在匀强磁场中运
动的时间
故
（3）若粒子以相同的初速度自Q 点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间
进入磁场
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时，沿x 轴方向的速度大小为
沿z 轴方向的速度大小为
故粒子沿x 轴
方向做匀速圆周运动，半径
沿z 轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的半径不变，故在
磁场中运动的时间不变，在磁场中沿z 轴方向运动的位移大小为
在电场中沿z 轴方向运动的
位移大小为
故粒子离开磁场时，z 轴方向的坐标
y 轴方向的坐
标
x 轴方向的坐标
即离开磁场时的位置坐标为
。
题型二：带电粒子（带电体）在叠加场中的运动
9．（2024·福建泉州·二模）如图甲，一质量为m 足够长的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端有一个质
量也为m 的带电小物块，其电荷量为
。距绝缘板左端
到
之间存在电场和磁场，匀强磁场方
向垂直于纸面向里，匀强电场方向竖直向下。现让带电小物块在水平恒力的作用下从静止开始向右运动。
小物块到达电、磁场区域的左边界时刻，撤去水平恒力，此时绝缘板的速度大小为
。带电小物块从开始
运动到前进
的过程中，速度随位移变化的
图像如图乙，其中
段为直线，重力加速度为g。求：
（1）带电小物块从开始运动到电磁场左边界的时间t；
（2）小物块与绝缘板的动摩擦因数
和水平恒力F 的大小；
（3）从开始运动到小物块前进
过程，系统克服摩擦力所做的功
；
（4）电场强度E 和磁感应强度B 的大小。
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
；（4）
，
【详解】（1）带电小物块在恒力作用下做匀加速运动，根据运动学公式
解得
（2）带电小物块运动
过程，根据动量定理对绝缘板
解得
对小物块
解得
（3）撤力后，系统动量守恒，设小物块前进
时，绝缘板的速度大小为
，则有
小物块前进
过程，系统由功能关系有
联立解得
（4）撤去恒力后，带电小物块在电、磁场区域时，竖直方向
水平方向，小物块所受摩
擦力为
根据动量定理，得
化简得
依题意可知
解得
由图乙可知
解得
10．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在竖直平面内放置一长为L 的薄壁玻璃管，在玻璃管的a 端
放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为
、质量为m．玻璃管右边的空间存在匀强电场
与匀强磁场的复合场。匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度为B；匀强电场方向竖直向下，电场强
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度大小为
。电磁场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远．玻璃管带着小球以水平速度
垂直于左边
界向右运动，由于水平外力的作用，玻璃管进入磁场后速度保持不变，经一段时间，小球从玻璃管b 端滑
出并能在竖直平面内运动，最后从左边界飞离磁场．设运动过程中小球的电荷量保持不变，忽略玻璃管的
质量，不计一切阻力．求：
（1）小球从玻璃管b 端滑出时速度的大小；
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b 端滑出的过程中，外力F 随时间t 变化的关系；
（3）通过计算画出小球离开玻璃管后的运动轨迹。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由
得
即重力与电场力平衡，所以小球管中运动的加速度为
设
小球运动至
端时的
方向速度分量为
，则
又
可解得小球运动至
端时速度大小为
（2）由平衡条件可知，玻璃管受到的水平外力为
，
可得外力随时间变化关
系为
（3）设小球在管中运动时间为
，小球在磁场中做圆周运动的半径为
，轨迹如图（a）所示
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时间内玻璃管的运动距离
由牛顿第二定律得
由几何关系得
，
所以
可得
故
即小球飞离磁场时速度方向垂直于
磁场边界向左，小球运动轨迹如图（b）所示。
11．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，整个空间存在磁感应强度
大小B=1T、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，第二象限存在方向竖直向上、电场强度大小E=10N/C 的匀
强电场。足够长绝缘水平传送带左传动轮正上方恰好位于坐标原点O，传送带处于停转状态。一电荷量
q=+2C 的物块从P（
，12m）获得一初速度后，在第二象限做匀速圆周运动（轨迹为一段圆弧）恰
好从原点O 水平滑上传送带，沿传送带平稳滑行一段距离后停在传送带上。物块可视为质点，运动过程电
量保持不变，物块与传送带之间的动摩擦因数µ=0.5，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加
速度g 取10m/s2。
（1）求物块从P 点获得的初速度；
（2）求物块从滑上传送带到摩擦力功率最大的过程中摩擦力做的功；
（3）若传送带逆时针匀速转动，物块从原点O 滑上传送带经历t=5.3s 后返回O 点且恰好与传送带共速，
求传送带逆时针转动的速度大小。
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【答案】（1）8m/s，方向与y 轴负方向成30°角；（2）-39J；（3）18.5m/s
【详解】（1）由于物块在第二象限P 点获得速度且做匀速圆周运动，所以
可得
连接PO，
作PO 的中垂线交y 轴于O′，即O′为圆周运动的圆心，如图
根据几何关系有
可知小滑块做圆周运动的半径为
根据洛伦兹力提供向心力
可得小滑块从P 点获得的初速度为
方向与y 轴负方向成30°角；
（2）滑块滑上传送带后，受力分析有
滑块在传送带上运动所受摩擦力
滑块在传送带
上运动所受摩擦力的功率
联立解得
当
时，即
滑块在传送带上
运动所受摩擦力的功率最大，根据动能定理
滑块从滑上传送带到摩擦力功率最大时摩擦
力做的功为
（3）滑块从O 点进入后向右做减速运动，取时间微元
，根据动量定理
求和得
代入数据得
滑块向左做加速运动，取时间微元
，设传送带逆时针转动速
度为
，根据动量定理
求和得
代入数据得
又
联立解得
12．（2024·安徽合肥·三模）光滑绝缘轨道ACD 由竖直的半圆轨道AC 和水平直轨道CD 组成。半圆轨道
20
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与直轨道相切于C 点。半圆轨道的圆心为O、半径为R，且圆心在AC 连线上。空间有如图所示的匀强电
场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向与水平面的夹角为
；匀强磁场的方向垂直纸面向里，重力
加速度大小为g。在水平直轨道上的F 点由静止释放一质量为m、电荷量为
的带正电小滑块，该滑
块运动到直轨道末端C 点时恰好与轨道无压力，之后磁场消失，滑块恰好能沿着半圆轨道运动到A 点，求：
（1）磁场的磁感应强度大小为多少？
（2）滑块从A 点水平抛出后，再次到达水平直轨道时距离C 点的距离为多少？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）在A 点对滑块受力分析，有
解得
滑块从C 点到A 点，根据
动能定理有
解得
在C 点对滑块受力分析，有
解得
（2）滑块从A 点抛出后，以水平、竖直方向建立坐标系，竖直方向
，
解
得
水平方向
，
解得
13．（2024·广东·二模）如图所示，以长方体abcd-a′b′c′d′的ad 边中点O 为坐标原点、ad 方向为x 轴正方
向、a′a 方向为y 轴正方向、ab 方向为z 轴正方向建立Oxyz 坐标系，已知Oa=ab=aa′=L。长方体中存在沿y
21
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轴负方向的匀强磁场，现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从O 点沿z 轴正方向以初
速度v 射入磁场中，恰好从a 点射出磁场。
（1）求磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）若在长方体中加上沿y 轴负方向的匀强电场，让粒子仍从O 点沿z 轴正方向以初速度v 射磁场中，为
使粒子能从a′点射出磁场，求电场强度E1的大小；
（3）若在长方体中加上电场强度大小为
、方向沿z 轴负方向的匀强电场，该粒子仍从O 点沿
z 轴正方向以初速度v 射入磁场中，求粒子射出磁场时与O 点的距离s。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在
平面内做匀速圆周运动，如图中轨迹1 所示
由洛伦兹力提供向心力可得
由几何关系可得
解得
（2）粒子在长方体中运动的时间为
在
轴方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则有
又
22
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解得
（3）将初速度分解为
、
，使
对应的洛伦兹力恰好与电场力平衡，即
其中
解得
，
易知
与
轴正方向的夹角为
若仅在
对应的洛伦兹力作用下做
匀速圆周运动，即
则轨道半径
解得
该分运动的情况如图中轨迹2 所示。粒子在磁
场中运动的时间为
由于粒子也参与速度大小为
、方向沿
轴正方向的匀速运动，粒子射出磁场
时与
点的距离
解得
14．（2024·四川宜宾·三模）如图所示，正方体空间
处于匀强电场和匀强磁场中，O、
、e
和
分别是ab、cd 和
、
的中点。匀强磁场的方向垂直于上表面abcd 竖直向下，匀强电场的方向垂
直于
且与上表面abcd 成
斜向右上方。以O 点为原点，沿着ba 方向建立x 轴，x 轴正向向左；
沿着
方向建立y 轴，y 轴正向向里；沿着Oe 方向建立z 轴，z 轴正向竖直向下。一质量为m、电荷量为
q 的正电小球，从O 点以初速度大小为
沿着
方向射入，小球恰好做匀速直线运动。若仅撤去磁场，
再次以相同速度将小球从O 点射入，小球能够通过c 点。重力加速度为g，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小和匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）正方体空间的边长L；
（3）若仅撤去电场，保留磁场，再次以相同速度将小球从O 点射入，小球经过一段时间将离开正方体空
间
，求：小球离开正方体空间
的位置坐标
，及离开该空间时的动能。
23
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）根据分析，小球在重力、洛伦兹力、电场力作用下保持平衡状态，有
，
解得
，
（2）根据分析，小球在重力、电场力作用下在abcd 面上做类平抛运动，有
，
，
解得
（3）根据分析，小球在洛伦兹力作用下在水平方向做匀速圆周运动，在重力作用下在竖直方向做自由落
体运动，其实际运动为这两个运动的合运动，有
解得小球运动半径为
根据
题意作出粒子的轨迹图，如图所示
24
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根据几何关系有
解得
小球运动时间为
解得
轴方
向的坐标为
轴方向的坐标为
轴方向的坐标为
故小
球离开正方体空间坐标为
，根据动能定理
解得离开该空间时的动能为
15．（2024·河北·三模）如图所示，半径
的四分之一圆弧槽M 固定在地面上，圆弧槽末端位于圆心
正下方、且与平台KPQ 上表面水平相切，P 点放置质量为
的小物块，KP、PQ 长度分别为
、
，Q 右侧空间存在面积足够大的匀强磁场，磁感应强度
、方向水平向右，在右
侧空间建立Oxyz 三维直角坐标系，坐标原点O 位于KPQ 延长线上，x 轴正方向垂直于纸面向里，y 轴正方
向竖直向上，z 轴正方向水平向右，QO 的距离
，xOy 平面内放置有足够大的挡板。质量
、
带电量
的小球自圆弧槽A 点正上方
处从静止释放，小球与小物块发生碰撞同时，在
KPQ 平台上方施加方向水平向右、大小
的匀强电场图中未画出。小球与小物块碰撞时无能
量损失且小球电量不变，重力加速度g 取
，小球和小物块均可看作质点，不计一切摩擦，求：
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（1）小球运动到K 点时对轨道的压力
；
（2）小物块飞离平台前与小球的碰撞次数；
（3）小球打在挡板上的坐标。（结果可含有
）
【答案】（1）11N，方向竖直向下；（2）2 次；（3）
【分析】（1）小球从释放至运动到K 点，由机械能守恒定律列式子，并且在K 点，根据受力分析列出牛
顿第二定律方程；
（2）弹性碰撞根据动量守恒和动能不变列式子。并结合运动学公式分析；
（3）小球在叠加场中的运动是圆周运动，根据分析画出轨迹。
【详解】（1）小球从释放至运动到K 点，由机械能守恒定律，得
小球到最低点时：
求得
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力
方向竖直
向下。
（2）第一次碰撞，设向右为正方向，由动量守恒定律、能量守恒定律，得
，
求得
，
小球在电场中的加速度
设经时间
二者第
二次相遇，则
解得
此过程中小物块位移
再次碰撞前小球速度
此时
的速度仍为
，第二次发生碰撞有
，
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解得
设经时间
二者第三次相遇，则
解
得
此过程中小物块位移
则两次碰撞总距离
小物块飞离平台前与小
球发生了2 次碰撞。
（3）小球与小物块第二次碰撞后至飞离平台过程有
解得
小球进入磁场后沿z
轴方向做匀速直线运动，撞到挡板的时间
小球在xOy 平面内做曲线运动，沿z 轴正方向看去，如图所示：
根据计算，小球在磁场中以
的速度做圆周运动的周期
，
求得
小球沿x
轴的位移为
则小球打到挡板的坐标为
。
16．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，固定的光滑绝缘斜面的倾角为
，空间存在水平向里
的匀强磁场。一质量为m 的带正电小球，t=0 时刻从斜面上静止释放，经过时间T0离开斜面。重力加速度
为g，不计其他阻力。
（1）求小球离开斜面时的速度v0；
（2）小球离开斜面后，在竖直面内的运动轨迹如图中虚曲线所示，且运动过程中的加速度大小始终不变。
已知小球经过相邻两个轨迹最高点所用的时间为
，求：
（ⅰ）小球的轨迹最高点和最低点间的高度差h；
（ⅱ）相邻两个最高点间的距离x。
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【答案】（1）
；（2）（ⅰ）
；（ⅱ）
【详解】（1）小球释放后，沿斜面向下加速，洛伦兹力垂直斜面向上，小球脱离斜面前，洛伦兹力不影
响小球的加速度，沿斜面方向，由牛顿第二定律有
解得
小球在斜面上做匀加速直线
运动，由运动学公式有
解得
（2）小球刚要离开斜面时，垂直斜面方向，有
设小球离开斜面后，在轨迹最低点的速度为
，在轨迹最高点的速度为
，分析可知，
、
的方向都水平向右，且小球离开斜面后的加速度大小都
等于刚脱离斜面时的加速度
（ⅰ）在最低点，小球加速度向上，由牛顿第二定律有
在最高点，小球加速度向下，由牛
顿第二定律有
小球从最低点运动到最高点，只有重力做功，洛伦兹力不做功，由动能定理
有
解得
（ⅱ）小球离开斜面后，从一个最高点向相邻最高点运动的过程中，设某一时刻速度为，方向与水平向
右夹角为
，又经过一小段时间
，竖直方向速度变化量为
，水平方向分位移为∆x，竖直方向由动量
定理有
，
对小球从一个最高点到相邻最高点的整个过程求和，有
解得
28
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题型三：带电粒子在交变场中的运动
17．（2024·山东泰安·模拟预测）如图甲所示，在直角坐标系xOy 的第一象限内有沿y 轴负方向的匀强电
场，第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场内有一个平行于x 轴的足够长
的接收屏。在第二象限内，长为L 的平行金属板A、C 水平固定放置，两板与x 轴平行，且右端紧靠y 轴。
C 板上表面到x 轴的距离为两板间距离的一半，两板间加有如图乙所示的方波电压，
、T 均已知。在两
板中线左端P 点有一个粒子源，不断沿两板中线方向射出质量为m、电荷量为
的粒子。粒子的初速度相
同，粒子在两板间的运动轨迹在坐标平面内，粒子穿过两板所用的时间为T。从
时刻射入的粒子刚好
从下板右端边缘射出，经电场偏转后以与x 轴正向成
的方向进入磁场，粒子恰好能垂直打在屏上。不
计粒子重力及粒子间的相互作用，忽略两金属板的边缘效应，求：
（1）两平行金属板间的距离；
（2）第一象限内匀强电场的电场强度大小：
（3）屏上接收到粒子的区域长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设板间距离为d，从
时刻射入两板间的粒子，刚好从下板右端边缘射出，两板间电场强
度
粒子在板间运动
垂直于板方向上的位移
解得
（2）由于所有粒子穿过两板的时间均为T，因此所有粒子射出两板时沿电场方向的速度均为零。所有粒子
射出两板时速度大小为
方向沿x 轴正向。从
时刻射出的粒子进入第一象限电场后做类平抛运动，
29
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设粒子进磁场时的速度大小为
，则
根据动能定理
解得
（3）根据对称性，从
时刻进入两板的粒子刚好从上板右边缘水平向右射出。即所有粒子射出两板
间的区域在两板右端间长为d 的区域内。设粒子进磁场时速度方向与x 轴正向的夹角为
，则粒子在磁场
中运动的速度大小为
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律
解得
设圆心到x 轴的距离为y，则
即所有粒子进入磁场后做圆周运动的圆心在
同一平行x 轴的水平线上，由于
时刻射出的粒子能垂直打在屏上，则所有粒子均能垂直打在屏上。由
此可以判断屏到x 轴的距离为
。粒子出第一象限电场时的速度反向延长线交于水平位移中点，从下板
边缘射出的粒子进磁场的位置离坐标原点的距离为
根据
，
从上板边缘
射出的粒子在第一象限电场中运动时间为从下板边缘射出的粒子在第一象限电场中运动时间的
倍。则从
上板边缘射出的粒子进磁场的位置离坐标原点的距离
此粒子进磁场时的速度大小
从下板边缘射出的粒子在磁场中做圆周运动的半径
从上板边缘射出的粒
子在磁场中做圆周运动的半径
根据几何关系，屏上有粒子打上的区域长度
解得
30
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18．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图甲所示，真空中
平面直角坐标系的第一、四象限内存在垂直纸
面且变化周期为
的磁场（图甲中未画出）和沿
轴正方向的匀强电场，电场强度大小为
。将一质量
为
、电荷量为
的带正电小球（可视为质点）从第二象限内的
点沿
轴正方向水平拋出，小球第一次
经过
轴时恰好经过
点，此时速度大小为
，方向与
轴正方向的夹角为45°，设此时为
时刻，此
后磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示（规定磁场方向垂直纸面向里为正方向），
（
不是
已知量）。重力加速度大小为
。求：
（1）小球抛出点
的位置坐标；
（2）
时刻小球的位置坐标；
（3）①定性画出小球第一次经过
轴（即坐标原点）到第三次经过
轴的轨迹（用尺规作图并标明圆心）；
②若在第一、四象限内垂直于
轴放置一个足够大的挡板，粒子运动过程中恰好能够垂直打在挡板上并被
吸收，求挡板
坐标的所有可能值。
31
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【答案】（1）
；（2）
；（3）①见解析；②
（n=0，1，2，
3…）
【详解】（1）小球开始做平抛运动，由于经过
点时速度方向与
轴正方向的夹角为
，小球到达
点
时，沿
轴方向与沿
轴方向的分速度大小
竖直方向上有
，
水平方向上有
解得
，
所以
点的坐标为
。
（2）由于电场力和重力等大反向，小球在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二
定律得
根据图乙可知，磁感应强度大小
解得
小球做匀速圆周运动的周期
解得
可知在第一个
时间内逆时针转过半个圆周，在第二个
时间内
根据图乙可知，磁感应强度大小
解得
结合左手定则可知小球在第二个
时
间内顺时针转过
圆周，由几何关系得
时刻小球的位置坐标
，
综上可得
时刻小球的位置坐标为
。
（3）结合上述可知
可知在
时间内，小球刚好转过
。之后磁场强弱和方向都变了，
则偏转方向变了，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
根据图乙可知
解得
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由于
解得
在
时间内，小球转过
，同理得，小球在
时间内与
时间内的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不一样，
时间内与
时间内的运动
轨迹大小一样，只是偏转方向不一样。综上所述，得到小球一个周期的轨迹图如图所示
由几何关系得
由图可知，若挡板竖直放在
中点，或者
中点，粒子都可以垂直打在挡
板上。考虑到周期性，可得
解得
（n=0，1，2，3…）
19．（2024·广东·模拟预测）如图甲，在平面直角坐标系
中，在第一、二象限内存在沿
轴正方向，
大小
的匀强电场（图中未画出）；在第一象限内存在周期性变化的磁场（图中未画出），方向与
坐标系所在平面垂直，以磁场方向垂直于坐标系所在平面向外为正方向，磁场强度
随时间的变化规律
如图乙所示。在坐标原点锁定一质量为
的带正电小球，电荷量为
。从解除对小球的锁定开始计时，
时仅改变电场强度的大小并保持恒定，小球恰好在第
内做匀速圆周运动。重力加速度
取
。
33
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(1)求带电小球第
末距离坐标原点的距离以及速度大小；
(2)求小球做匀速圆周运动的周期并在图甲中定性地画出带电小球在
内的运动轨迹；
(3)若磁场区域为矩形区域且下边界为
，区域左边界与
轴重合，为保证带电小球离开磁场时的速
度方向沿
轴正方向，求矩形区域磁场的水平及竖直边长应满足的条件。
【答案】(1)
，
(2)
，(3)
，
【详解】（1）由题意可知，小球在
内做匀加速直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式得
，
，
解得
，
（2）根据题意可知，小球第
末进入磁场后，小球所受重力和电场力平衡，小球在洛伦兹力、重力和电
场力的作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
又
得圆周运动的周期
分析可知，小球在
内顺时针转过四分之一圆周，
内做匀速直线运动，
内逆
时针转过半个圆周，
内做匀速直线运动，
内顺时针转过四分之一圆周，之后做周期性运动，则
带电小球进入磁场后的运动周期
，且可知小球在
、
时间内的位移大小
小球
在
内的运动轨迹，如图所示
（3）分析可知，要使带电小球沿
轴正方向离开磁场需满足
，
联立解得
，
20．（2024·山东·模拟预测）如图（a）所示，在足够大的空间内存在着周期性变化的电场、磁场，电场强
34
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度和磁感应强度随时间变化的关系图像如图（b）、图（c）所示，
、
已知，取垂直纸面向里为磁场
的正方向，水平向右为电场的正方向。现有一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，在
时刻由a 点
静止释放。已知时间
，不计粒子的重力。
（1）求
时，带电粒子与释放点a 间的距离L。
（2）求
时间内，带电粒子在磁场作用下运动的轨迹半径。
（3）若以释放点a 为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，建立一个平面直角坐标
系，则
时带电粒子的位置坐标为多少？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【命题立意】通过带电粒子在周期性电场、磁场中的运动，考查考生的分析综合能力。
【详解】（1）设
时粒子的速度大小为
，所在位置为b 点，
时间内，粒子在电场中加速，由动量
定理可得
解得
时间内粒子向右的位移大小
时
间内，粒子在磁场中偏转，设
时粒子所在位置为c 点，粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为
，则
解得
结合
可知
故
时间内粒子由b 点转过
圆周到达
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c 点，此时速度方向竖直向下；
时间内粒子的运动轨迹如图1 所示，由几何关系可得
[点拨：
]解得
（2）
时间内，粒子在电场中做类平抛运动，由c 点运动到d 点；到d 点时，粒子水平分速度
竖直分速度
此时粒子速度
[点拨：由于
，故速度v
与水平方向的夹角为45°]
时间内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其轨迹半径为
，则
解得
（3）粒子到d 点时的速度v 与水平方向的夹角为45°，
时间内，粒子偏转
圆周到达e 点，e 点与
d 点在同一水平线上，粒子运动轨迹如图2 所示，
时间内，粒子水平位移大小
e 点的y 坐标
为
e 点的x 坐标为
故
时带电粒子的位置坐标为
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21．（2024·山东·模拟预测）如图甲所示，在平面直角坐标系
中，第二象限内存在水平向右的匀强电
场，第一、第四象限内交替存在竖直方向的周期性变化电场和垂直纸面的周期性变化磁场，交变电场的电
场强度大小和交变磁场的磁感应强度大小按图乙规律变化（其中电场方向沿y 轴负向为正方向，磁场方向
垂直纸面向里为正方向）。一质量为m，电荷量为q 的微粒，以速度大小为
从x 轴负半轴的
点
垂直于x 轴进入第二象限，
时刻，以速度大小
垂直于y 轴方向，进入第一象限。已知交变电场和交
变磁场的周期均为
，重力加速度为g。求：
（1）第二象限匀强电场的电场强度的大小；
（2）自
时刻起微粒再次打到x 轴上时的位置（结果用L 表示）和经过的时间；
（3）
时刻，微粒所处的位置坐标。
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）微粒在第二象限中的运动可分解为水平方向匀加速，竖直方向匀减速，水平方向
，
竖直方向
联立可得
（2）微粒进入第二象限内时，水平方向位移
竖直方向位移
微粒进入第一象限
后，
时间内
合力为零，微粒沿水平方向做匀速直线运动，
时间内
，
方向沿y 轴负向，
时间内
，
方向沿y 轴正向，沿y 轴方向的位移
可得，微粒经过两个周期，正好再次到达
轴上，
运动轨迹如图所示
38
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故微粒再次打到
轴上时的位置
经过的时间
（3）经过
时间，即10
个周期，水平方向上与
点的距离
轴方向上与
点的距离
所以，
此时微粒所处的位置坐标为
。
22．（2024·福建漳州·二模）如图甲为实验室中利用磁场偏转的粒子收集装置原理图，在空间直角坐标系
Oxyz 中，有一个边长为l 的正方形荧光屏abcd 可沿x 轴移动，荧光屏平行于yOz 平面，cd 在xOz 平面内，
d 点在x 轴上。在该空间加沿x 轴负方向的磁场
和沿y 轴正方向的磁场
，磁感应强度
、
的大小随
时间t 周期性变化的规律如图乙所示。
时刻，一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），
以初速度
从A 点
沿x 轴正方向进入该空间。
（1）求粒子在磁场中的运动半径；
（2）若经过
时间，该粒子恰好到达荧光屏，求荧光屏位置的x 轴坐标和粒子打在屏幕上的坐标；
（3）若粒子达到荧光屏时的速度方向与屏幕的夹角为60°，求荧光屏位置的x 轴坐标的可能取值。
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）见解析
【详解】（1）粒子所受的洛伦兹力充当向心力
可解得
（2）大小为B0的磁场内，粒子的周期为
解得
所以图中每段磁场持续的时间为
因此在第1、4 个
的时间内，粒子向x 轴正方向移动了2R 的距离，在第2、3 个
的时间内，粒子向y 轴负方向移动了2R 的距离，故荧光屏在x 轴上的位置应为
，粒子打在屏幕上的
坐标为
。
（3）由粒子的轨迹易知：当粒子的速度与z 轴正方向的夹角为60°时
同时满足粒子不飞出荧光
屏，则
得
，且n 取整数当粒子的速度与z 轴负方向的夹角为60°时
同时满
40
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足粒子不飞出荧光屏，则
得
，且n 取整数
23．（2024·山东枣庄·一模）如图甲所示，三维坐标系O-xyz 所在的空间中，有平行于y 轴且沿其正方向的
匀强电场，电场强度的大小
。一带正电的粒子由静止开始经加速电场加速后，沿xOy 平面从x 轴
上的P（L，0，0）点进入匀强电场，经过P 点时速度的大小为
、与x 轴负方向的夹角
。当粒子
运动一段时间
到达Q（未画出）点时，匀强电场的方向突然变为z 轴正方向，若以此刻为计时起点，
且电场强度的大小
随时间t 的变化关系，如图乙所示，电场改变方向的同时加上沿z 轴正方向的匀强磁
场，磁感应强度的大小
。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，粒子的重力忽略不计，求：
（1）加速电场的电压U；
（2）Q 点的位置及带电粒子到达Q 点时的速度；
（3）当
时带电粒子的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
，
，速度方向跟
轴负方向的夹角为
；（3）（
，
，
）
【详解】（1）在加速电场中，对带电粒子由动能定理得
解得
41
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（2）对带电粒子，根据牛顿第二定律得
粒子在
平面内的运动为类斜抛运动，如图所示
设粒子到达
点时的速度大小为，跟
轴负方向的夹角为
，根据运动的合成与分解，
点的位置坐标
为
，
，
，
则有
可知速度方向跟
轴负方向的夹角为
。
（3）根据第（2）问计算结果可知，带电粒子到达
点时的速度与
连线垂直，电场变化后粒子的运动
可以看成
平面内的匀速圆周运动与
轴方向变速直线运动的合成，由洛伦兹力提供向心力得
解得
与
的距离相等，即
点为圆心位置，设粒子运动的周期为
，则有
由于
可知该时刻粒子位置的
、
坐标值均为
；在
轴方向，设加速
度大小为
，根据牛顿第二定律得
该方向的坐标值为
可得
则当
时带电粒子的位置坐标为（
，
，
）。
24．（2023·安徽·模拟预测）如图甲所示，竖直面内直角坐标系xOy，y 轴左侧的区域Ⅰ内存在水平向左的
匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场B1（大小未知），一质量为m、带电荷量绝对值为q 的小球从P 点以
速度v0沿直线PO 运动，PO 与x 轴负方向成45°角，在y 轴与MN 之间的区域Ⅱ内加一电场强度最小的匀
42
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强电场E2（未知）后，可使小球继续做直线运动到MN 上的Q 点，M、N 两点对应的横坐标均为
，在
MN 右侧的区域Ⅲ内，存在竖直向下匀强电场E3和某一圆形区域的匀强磁场B2（磁场位置图中未画出），
其中
，磁场B2随时间变化的规律如图乙所示，磁场变化周期为T0，取垂直纸面向外为磁场正方向，
小球在
时刻进入磁场B2后始终在该磁场内沿闭合轨迹做周期性运动，g 为重力加速度，试求：
（1）该带电小球的电性和区域Ⅰ内匀强磁场B1的大小；
（2）区域Ⅱ内匀强电场E2的场强和小球到达Q 点的速度；
（3）小球在磁场B2内沿闭合轨迹做周期性运动的周期和该磁场的最小面积。
【答案】（1）负电，
；（2）
，与
轴正方向45°右下方向；（3）4T0，
【详解】（1）带电小球在区域Ⅰ内受重力、电场力和洛伦兹力做直线运动，只能做匀速直线运动，故三
力满足如图所示关系，小球必须带负电
由受力平衡得
解得
43
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（2）在区域Ⅱ中
小球做直线运动，要使电场强度最小，受力如图所示
电场力方向与速度方向垂直
，方向垂直
向上故
方向垂直
向下，即与
轴
正方向
右下方向；在区域Ⅱ中
小球做匀减速直线运动，加速度大小为
设到
达
点的速度为
，由运动学公式
又
解得
（3）小球进入区域Ⅲ而没进入磁场
之前，由于
故做匀速直线运动，
时刻进入磁场
后，
开始做匀速圆周运动，其匀速圆周运动周期
小球
在磁场中的运动轨迹如图
每一边由3 个
个圆周，共12 个
个圆周组成，故小球在磁场
内沿闭合轨迹做周期性运动的周期
设做圆周运动的半径为
，由
得
正方形边长
闭
合轨迹外接圆最小半径为
故磁场的最小面积为
44
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25．（2024·陕西榆林·三模）如图所示，地面上固定一绝缘平台，平台长为
，平台上方有正交的电
磁场，匀强电场方向竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向外，平台左侧有一小车，小车上表面绝缘、光滑
且与平台齐平，小车与平台紧贴无粘连，车上固定一带电源的平行板电容器，金属板A、B 相距
，
小车和平行板电容器的总质量为
，一电荷量为
、质量为
的金属小球P 从平
台左端正上方
处以
的速度平行平台垂直进入电磁场，刚好做匀速圆周运动，经过平台左
端后与静置在小车上质量为
、不带电的金属小球Q 发生正碰，两个金属小球大小完全相同，接触
后电荷均分（即小球P、Q 各带电量
），碰后小球Q 以一定的速度从金属板B 下端小孔进入金属板
A、B 间（小孔直径略大于小球直径），小球Q 经过金属板B 小孔的同时关闭金属板B 下端小孔，此时小
球P 还未回到电磁场中，小球P 回到电磁场时开始计时，经
运动到平台右端刚好没有掉下去。已知金
属板A、B 间电场的电场强度与平台上方电场的电场强度大小相等。小球P 与平台之间的动摩擦因数
，重力加速度
。求：
（1）平台上方电场的电场强度E 的大小和磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）小球P 与小球Q 相互作用过程中机械能的改变量
及小球Q 与金属板A 碰撞前的速度；（可用根式
表示）
（3）设小球Q 与金属板A、B 碰撞时间极短且无机械能损失，同时小球Q 立即带上与该板同种的电荷，
电荷量大小仍为q，两金属板的带电量可认为不变，试推出第n 次和第
次碰撞（
）之间的时间间
隔
与n 的关系。
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【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
（
）
【详解】（1）小球在电磁场中做匀速圆周运动，则
解得
由洛伦兹力提供向心力可得
由几何关系可得
解得
（2）小球P 与小球Q 发生正碰，由动量守恒定律可得
小球P 在平台上做减速运动，根据动
量定理得
即
代入上式得
，
小
球P 与小球Q 相互作用过程中机械能的改变量
小球Q 第一次与金属板A 碰
撞前，小车不动，则
代入数据解得
（3）碰后，小球Q 的加速度大小
小车的加速度大小
小球Q 相对于小车做匀
加速运动，相对加速度大小
设第n 次碰的时间为
，则有
解得
同理可得
则
（
）
26．（2024·山东烟台·三模）如图所示，在三维直角坐标系Oxyz 中的
、
的圆柱形空间内
存在沿z 轴正方向的匀强磁场，圆柱形空间的外部存在沿x 轴正方向的匀强磁场，圆柱形空间内、外磁场
的磁感应强度大小相等；在圆柱面上的
的部分有绝缘的弹性挡板；在
的区域存在沿y 轴正
方向、电场强度大小为E0的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）从A 点（A 点
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在Oxy 平面内）以初速度大小为v0、与y 轴负方向成53°夹角的方向射入电场，经过一段时间从x 轴上的B
（
L，0，0）点沿x 轴正方向进入圆柱形区域，接着从y 轴负半轴上的C 点沿y 轴负方向离开此区域，然
后从z 轴上的D 点再次进入圆柱形区域，粒子与绝缘弹性挡板碰撞过程时间极短且没有能量损失，
sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：
（1）A、B 两点间的电势差UAB；
（2）圆柱形空间内、外磁场的磁感应强度大小B0；
（3）粒子从A 点进入电场到再次返回A 点的运动时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在A 点沿x 轴方向的速度
粒子在A 点沿y 轴方向的速度
粒子从A 到B 在y 轴方向上由动能定理得
解得A、B 两点间的电势差
（2）粒子在B 点的速度大小为
粒子从B 到C 做匀速圆周运动，在C 点速度沿y 轴负方向，
如图所示
根据几何关系可得轨道半径为
由洛伦兹力提供向心力得
解得
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（3）粒子从A 到B 在y 轴方向上由牛顿第二定律得
粒子从A 到B 的运动时间
粒子在
磁场中的周期为
粒子从B 到C 的运动时间
根据题意作出
平面的轨迹图粒子从C
点到D 点做匀速圆周运动，运动时间为
粒子到D 点时速度方向沿z 轴负方向，在圆柱面上的
的部分有绝缘的弹性挡板，所以粒子在O 点反弹，粒子从D 到反弹回D 的运动时间
粒子从D 点到F 点做匀速圆周运动，运动时间为
粒子从F 到B 的运动时间
粒
子从B 到A 的运动时间
根据题意作出
平面的轨迹图
根据题意作出
平面的轨迹图
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故粒子从A 点进入电场到再次返回A 点的运动时间
27．（2024·河南·模拟预测）质谱分析技术已广泛应用于各前沿科学领域。某种质谱仪原理如图所示。质
谱仪处于真空暗室中。正离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器选择出特定比荷的
离子。磁分析器截面为直角扇形，M 和N 处各有一个小孔，被选择离子在磁分析器中做半径为R 的圆周运
动，恰好穿过两小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L 的正方体，其偏转系统的底面与
胶片平行，间距为D，NO 为垂直于屏的中心轴线。已知速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场
的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器、偏转系统中电场场强大小均为E，方向分
别为竖直向上和沿x 轴方向。以屏中心O 为原点建立xOy 直角坐标系，x 轴与偏转系统电场强度方向同向。
已知
，
。离子进入偏转系统时速率都很大，且在偏转系统中运动时NO 方向的分速度总是远
大于x 轴方向和y 轴方向的分速度。离子在偏转系统中沿x 轴和y 轴方向位移可忽略，不计离子重力。
（1）求离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷；
（2）离子沿NO 方向进入偏转系统，求离子打在胶片上的点的坐标（不考虑离子在偏转系统中偏离NO 的
距离）；
（3）保持偏转系统电场和磁场不变。多次改变速度选择器和磁分析器中电场和磁场，使两种大量电荷量
相同的正离子以不同速率沿NO 方向射入偏转系统，在胶片中多次曝光，最终在胶片中出现两条亮线。在
两线上取y 坐标相同的两个光点，对应的x 坐标分别为3.00 mm 和4.00mm，其中x 坐标小的光点是碳12 离
子击中屏产生的，另一光点是未知离子产生的，求该离子的质量数。
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）16
【详解】（1）通过速度选择器后离子的速度满足
可得
由牛顿第二定律可知
从磁
分析器中心孔
射出离子的运动半径为
，则
得
（2）离子在偏转系统中由牛顿第二定律可知
离子在偏转系统中受到沿
轴方向的电场力，加速度
离子在偏转系统中运动的时间
离开偏转系统时，离子在
轴方向的分速度
离子从偏
转系统离开至到达显示系统时间
离子射到屏上时
轴方向上偏离
点的距离
解得
离子
进入偏转系统后，
轴方向上在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹半径为
，射出偏转系统时，设偏
转角为
，根据几何关系有
又因为
，则
经偏转系统后，在
轴方向上的偏转距
离
综上，打在胶片上的点的坐标为
。
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（3）设离子质量为
，电荷量为
，进入偏转系统的速率为，根据（2）结果可得
，
整理得
则
当
相同时
代入数据可知未知离子的质量数为16。
28．（2023·山东淄博·二模）如图甲所示，某粒子从容器A 正下方的小孔
飘入
与
之间的加速电场中，
其初速度可视为零，电场两极板之间的电压为U，经电场加速后通过小孔
恰好沿圆弧
通过静电分析
器，
为圆弧
的圆心，
、
在同一水平线上，
。从小孔
离开后，由正方体右侧面
中心位置处小孔
（即图中坐标系原点）向左上方沿
平面进入z 轴水平的正方体空腔
内。已知静电分析器内有均匀辐向分布的电场，粒子运动轨迹处电场强度大小恒定，
圆弧半径和正方体边长均为L，粒子的质量为m，带电量为
，重力不计。
（1）求粒子在圆弧
运动轨迹处电场强度大小E；
（2）若在空腔内加平行于y 轴且沿
轴方向、电场强度大小为
的匀强电场，求粒子从
点进入空
腔到打在空腔壁上的时间及打在空腔壁上的位置坐标；
（3）若空腔平行于y 轴的边长变为足够大，其他方向边长不变，在空腔内加与y 轴平行、磁感应强度随时
间的周期性变化规律如图乙所示的磁场，其中
，规定当磁场方向沿y 轴正方向时磁感应强度
为正，求粒子打在空腔壁上的位置坐标；
（4）若保持（3）问条件不变，平行于x 轴的边长也变为足够大，平行于z 轴的边长不变，在空腔内再加
平行于y 轴且沿
轴方向、电场强度大小为
的匀强电场，求粒子打在空腔壁上的速度大小。
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【答案】（1）
；（2）
，（0，
，L）；（3）（
，
，
）；（4）
【详解】（1）带电粒子在电场中加速过程有
在辐向电场中做匀速圆周运动过程有
解
得
（2）分析可知粒子射入空腔时方向与
轴成45°角，且粒子进入空腔后做类斜上抛运动，且有
，
若粒子沿
方向速度变为0，由
解得
即粒子恰好到达空腔上表
面，其间用时
整理有
沿
轴方向有
整理得
即粒子恰好从
中点出射，解得粒子
打在空腔上的时间为
粒子打在空腔上的位置坐标为（0，
，L）
（3）粒子进入空腔磁场后由
，
得粒子在
和
时间内在磁场中运动的周期和
半径的关系分别为
，
粒子在
时间内在磁场中运动的周期和半径分
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别为
粒子运动轨迹在
平面投影如图所示
分析可知粒子打在腔壁上时
，
此过程粒子沿
方向做匀速直线运动，运动时间为
沿
方向位移为
解得
综上分析，粒子打在腔壁时的位置坐标为（
，
，
）
（4）分析可知此问中粒子运动轨迹在
平面投影如图所示
粒子打在腔壁时位置坐标
，
沿
轴方向的分速度
运动时间
此过程粒子沿
y 轴做匀变速直线运动，且有
解得
时刻沿y 轴方向的分速度为
此时打在腔
壁时粒子速度大小为
解得
29．（2024·天津·二模）芯片制造中，离子注入是一道重要的工序。如图是一部分离子注入工作原理示意
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图。从离子源A 处飘出带正电的离子初速度不计，经匀强电场加速后，从P 点以速度v 沿半径方向射入圆
形磁分析器，磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场
（大小未知），与矩形离子控制区abcd 相切
于Q 点，ad 边长为L，开始时控制区无任何场，离子从Q 点离开磁分析器后可匀速穿过控制区，注入cd
处的硅片上。已知离子质量为m，电荷量为q，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q 三点连线
正好可构成一个等边三角形，bQ 足够长，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）求加速电场的电压U；
（2）求圆形磁分析器的半径r；
（3）若在控制区加上垂直于纸面向里磁场
，其磁感应强度大小沿ad 方向按
的规律均匀变化，
x 为该点到ab 边的距离，k 为已知的常数且
，则要使离子不打到硅片上，ab 边所在位置的磁感应强度
至少为多少？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在加速电场有
解得
下图为（2）（3）问运动轨迹的配图
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（2）在圆形磁分析器中，做圆周运动，运动轨迹如图，其周期为
在磁场中运动时间有
有几何关系有
解得
（3）要使离子恰好不打到硅片上，离子运动到cd 边时，速度应与cd 边相切，又因为洛伦兹力不改变速度
大小，因此分解洛伦兹力，在平行于ab 方向用动量定理
整理有
由题意有
整理有
结合数学知识可知，等式坐标是x 从0 一直到L 的求和，即图像的
面积为求和结果，有
解得
30．（2024·山东济宁·三模）利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy
平面内存在区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O 处的离子
源能在xOy 平面内持续发射质量为m、电荷量为q 的负离子，其速度方向与y 轴正方向夹角
的最大值为
，且各个方向速度大小随
变化的关系为
式中
为未知定值，且
的离子恰好通过坐标为
的P 点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应，
，
。
（1）求关系式
中
的值；
（2）当离子的发射速度在第二象限内且
时，求离子第一次到达界面
的时间t；
（3）求所有离子中第一次到达界面
时，与x 轴的最远距离
；
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（4）为回收离子，在界面
右侧加一宽度为L 且平行于x 轴、方向向右的匀强电场，如图所示，为使
所有离子都不能穿越电场右边界，求电场强度的最小值E。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据题意可知，当
时，即沿
轴正方向发射的离子恰好通过坐标为（L，L）的P 点，
则其轨迹的圆心一定在
轴上，设轨迹的半径为
，由几何关系有
解得
即圆心在界
面
与
轴的交点，又有
其中
解得
（2）当离子的发射速度在第二象限内且
时，粒子的运动轨迹，如图所示
由题意可知
由牛顿第二定律可得
解得
可知圆心
在
的界面上，由
几何关系得圆心角
离子第一次到达界面
的时间为
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（3）根据题意，由牛顿第二定律有
解得
由几何关系可知，所有离子运
动轨迹圆心均在
的界面上，则离子沿左侧
射出时，通过界面时离
轴最远，此时离子运动的半径
为
由几何关系可得
（4）综合上述分析可知，离子通过界面时，速度与界面垂直，则为使所有离子都不能穿越电场区域，即
保证速度最大的离子不能通过即可，即当离子以
射入时速度最大，最大速度为
离子
在
轴方向上运动方向最大位移为L，此时速度为
，在复合场区域任意
时间，由动量定理可得
两边求和有
解得
由动能定理有
解得
即电场强度的最小值
57
