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专题10 磁场 带电粒子在磁场中的运动
目录
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1 考情透视·目标导航
3
......................................................................................................................................................................................4
......................................................................................................................................................................................5
题型一 磁场的性质.................................................................................................................................................5
........................................................................................................................................................................................5
一、 磁场叠加问题的解题思路..................................................................................................................................5
二、 安培力的分析与计算..........................................................................................................................................5
........................................................................................................................................................................................6
........................................................................................................................................................................................7
考向一 磁场的叠加......................................................................................................................................................7
考向二 安培力作用下的平衡问题..............................................................................................................................9
题型二 带电粒子在匀强磁场中的运动.................................................................................................................11
......................................................................................................................................................................................11
一、 带电粒子在匀强磁场运动的基本公式............................................................................................................11
二、 带电粒子在匀强磁场运动的“两个确定”....................................................................................................11
三、 带电粒子在磁场中的临界极值问题四个结论................................................................................................11
......................................................................................................................................................................................11
......................................................................................................................................................................................13
考向一 直线边界........................................................................................................................................................13
考向二 圆形边界........................................................................................................................................................15
考向三 多解问题........................................................................................................................................................16
题型三 带电粒子在匀强磁场中的动态圆模型....................................................................................................18
......................................................................................................................................................................................18
一、 放缩圆模型........................................................................................................................................................18
二、 旋转圆模型........................................................................................................................................................19
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三、 平移圆模型........................................................................................................................................................19
四、 磁聚焦模型........................................................................................................................................................19
......................................................................................................................................................................................20
......................................................................................................................................................................................22
考向一 放缩圆模型....................................................................................................................................................22
考向二 旋转圆模型....................................................................................................................................................24
考向三 平移圆模型....................................................................................................................................................27
考向四 磁聚焦模型....................................................................................................................................................29
命题统计
命题要点
2024 年
2023 年
2022 年
热
考
角
度
磁场的性质
2024·浙江卷·T4、
2024·贵州卷·T5、
2024·重庆卷·T13、
2024·福建卷·T6、
2023·江苏卷·T2、
2023·福建卷·T6、
2022·湖北卷·T11、
2022·湖南卷·T3、
2022·全国卷·T5、
2022·江苏卷·T3、
2022·浙江卷·T3、
2
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带电粒子在匀
强磁场中的运
动及动态圆问
题
2024·江西卷·T7、
2024·湖北卷·T7、
2024·河北卷·T10、
2023·全国乙卷·T18、
2023·全国甲卷·T20、
2023·湖北卷·T15、
2022·辽宁卷·T8、
2022·广东卷·T7、
2022·湖北卷·T8
命题规律
高考对带电粒子在有界磁场中的运动的考查较为频繁，以选择题和计算题
中出现较多，选择题的难度一般较为简单，计算题的难度相对较大。与安培力
有关的通电导体在磁场中的加速或平衡问题，也应引起足够重视。
考向预测
预计在2025 年高考中，还会以选择题的形式对安培力的大小方向和平衡问
题还会有考查，同时重点关注带电粒子在有界磁场中的运动问题。
命题情景
对于安培力的考查多以导体棒为典型模型予以命题；对于带电粒子在磁场
中的运动多以平行边界、圆形边界的磁场命题较多。
常用方法
整体法和隔离法、正交分解法、画图法
叠加法则：平行四边形定则
平衡问题：平衡条件
方向：左手定则
大小：F=BILsinθ
磁感强度方向：磁场中某点磁感线的切线方向
磁感强度大小：
安培力
磁场的叠加
四个结论：临界极值
平移圆模型：速度大小方向一定，但入射点在同一直线上
旋转圆模型：速度大小一定，方向不同
放缩圆模型：速度方向一定，速度大小不同
两个确定：确定圆心、确定半径
基本公式：
带电粒子在匀强磁场中的动态圆模型
带电粒子在匀强磁场中的运动
磁场的性质
磁场
3
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题型一 磁场的性质
一、磁场叠加问题的解题思路
1.根据安培定则确定通电导线周围磁场的方向。
2.磁场中某点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向。
3.磁感应强度是矢量,多个通电导体产生的磁场叠加时,合磁场的磁感应强度等于场源单独存在时在该点磁感
应强度的矢量和。
二、安培力的分析与计算
1.安培力公式：F＝ILBsin θ。
2．弯曲通电导线的有效长度
(1)当导线弯曲时，L 是导线两端的有效直线长度(如图所示)。
(2)对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零。
3.安培力方向的判断
(1)判断方法：左手定则。
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(2)方向特点：既垂直于B，也垂直于I，所以安培力一定垂直于B 与I 决定的平面。
4.通电导线在磁场中的平衡和加速问题的分析思路
(1)选定研究对象。
(2)变三维为二维，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意
F 安⊥B、F 安⊥I；如图所示。
(3)列平衡方程或牛顿第二定律方程进行求解。
1．（2022·全国·高考真题）安装适当的软件后，利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度B。如图，
在手机上建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为xOy 面。某同学在某地对地磁场进行了四次测量，每次
测量时y 轴指向不同方向而z 轴正向保持竖直向上。根据表中测量结果可推知（ ）
测量序
号
Bx/μT
By/μT
Bz/μT
1
0
21
- 45
2
0
- 20
- 46
3
21
0
- 45
4
- 21
0
- 45
A．测量地点位于南半球
B．当地的地磁场大小约为50μT
C．第2 次测量时y 轴正向指向南方
D．第3 次测量时y 轴正向指向东方
【答案】BC
【详解】A．如图所示
5
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地球可视为一个磁偶极，磁南极大致指向地理北极附近，磁北极大致指向地理南极附近。通过这两个磁极
的假想直线（磁轴）与地球的自转轴大约成11.3 度的倾斜。由表中z 轴数据可看出z 轴的磁场竖直向下，
则测量地点应位于北半球，A 错误；
B．磁感应强度为矢量，故由表格可看出此处的磁感应强度大致为B =√Bx
2+ Bz
2=√B y
2 + Bz
2计算得B ≈
50μT，B 正确；
CD．由选项A 可知测量地在北半球，而北半球地磁场指向北方斜向下，则第2 次测量，测量B y<0，故y
轴指向南方，第3 次测量Bx>0，故x 轴指向北方而y 轴则指向西方，C 正确、D 错误。
故选BC。
【技巧点拨】
（1）题中z 轴方向始终为负，说明测量地点磁感应强度竖直分量向下，位于北半球；
（2）根据矢量合成法则求得合磁场的大小和方向。
2．（2024·贵州·高考真题）如图，两根相互平行的长直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面内，
导线框的对称轴与两长直导线间的距离相等。已知左、右两长直导线中分别通有方向相反的恒定电流
I 1、I 2，且I 1> I 2，则当导线框中通有顺时针方向的电流时，导线框所受安培力的合力方向（ ）
A．竖直向上
B．竖直向下
C．水平向左
D．水平向右
【答案】C
6
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【详解】根据右手螺旋定则可知导线框所在磁场方向向里，由于I 1> I 2，可知左侧的磁场强度大，同一竖
直方向上的磁场强度相等，故导线框水平方向导线所受的安培力相互抵消，根据左手定则结合F = BIL可
知左半边竖直方向的导线所受的水平向左的安培力大于右半边竖直方向的导线所受的水平向右的安培力，
故导线框所受安培力的合力方向水平向左。
故选C。
【技巧点拨】
（1）根据右手安培定则判断导线框里的磁场方向；
（2）根据左手定则判断安培力的方向，根据大小，判定合力方向。
考向一 磁场的叠加
3．（2024·江苏镇江·一模）如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2，L1中的电流方向向左，
L2中的电流方向向上；L1的正上方有a、b 两点，它们相对于L2对称。整个系统处于匀强外磁场中，外磁
场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向外。已知a、b 两点的磁感应强度大小分别为1
3 B0和1
2 B0，
方向也垂直于纸面向外。则（ ）
A．流经L1的电流在b 点产生的磁感应强度大小为7
12B0
B．流经L1的电流在a 点产生的磁感应强度大小为1
12B0
C．流经L2的电流在b 点产生的磁感应强度大小为3
12B0
D．流经L2的电流在a 点产生的磁感应强度大小为7
12B0
【答案】A
【详解】设L1中的电流在a、b 两点产生的磁感应强度大小为B1，L2中的电流在a、b 两点产生的磁感应强
度大小为B2，由安培定则可知L1中的电流在a 点产生的磁场方向垂直于纸面向里，L2中的电流在a 点产生
的磁场方向垂直于纸面向里；L1中的电流在b 点产生的磁场方向垂直于纸面向里，L2中的电流在b 点产生
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的磁场方向垂直于纸面向外，所以根据已知条件得到B0-(B1+ B2)= B0
3 ，B0- B1+ B2= B0
2 解得B1= 7 B0
12 ，
B2= B0
12故选A。
4．（2025·安徽·一模）根据经典电磁理论，运动的电荷会产生磁场。某带电量为+q 点电荷以速率v 沿x 轴
正方向运动，该运动电荷在x 轴上各点产生的磁感应强度恰为0、在y 轴上距其r 处的M 点产生的磁感应强
度大小为kqv
c
2r
2，方向垂直于平面xOy、其中k 是静电常数，c 是真空中的光速，据此可以确定半径为R、大
小为I的环形电流在其圆心处产生的磁感应强度的大小为（ ）
A．2πk
c
2 RI
B．2πk
c
2 R
2 I
C．2πkI
c
2 R
D．2πkI
c
2 R
2
【答案】C
【详解】设圆环的载流子带电量为q，体密度为n，载流子匀速运动的速率为v，圆环横截面积为S，则环
形电流中包含的载流子个数N =n(2π RS)环形电流产生的磁场可以认为是这N个载流子产生的磁场的叠
加，即B0= N kqv
c
2 R
2再根据I =nqSv联立可得B0= 2πkI
c
2 R 故选C。
考向二 安培力作用下的平衡问题
5．（2025·江苏南通·二模）在倾角θ =37°的光滑导体滑轨的上端接入一个电动势E =3 V，内阻r =0.5Ω的
电源，滑轨间距L=50cm，将一个质量m= 40g，电阻R =1Ω的金属棒水平放置在滑轨上。若滑轨所在空
间加一匀强磁场，当闭合开关S 后，金属棒刚好静止在滑轨上，如图所示。已知
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sin37° =0.6,cos37° =0.8,g=10 m/s
2，下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度有最小值，为0.32T，方向垂直滑轨平面向下
B．磁感应强度有最大值，为0.4T，方向水平向右
C．磁感应强度有可能为0.3T，方向竖直向下
D．磁感应强度有可能为0.4T，方向水平向左
【答案】C
【详解】A．由闭合电路欧姆定律可得I =
E
R+r =
3
0.5+1 A =2A对金属棒受力分析可知，当安培力沿斜面
向上时，安培力最小，此时F安=mgsinθ =0.04×10×sin37° N =0.24 N当安培力最小，且磁感应强度方
向与电流方向相互垂直时，磁感应强度最小为Bmin= Fmin
IL = 0.24
0.5×2 T=0.24 T由左手定则判断可知，磁感应
强度的方向为垂直斜面向下，故A 错误；
B．当磁感应强度方向水平向右，安培力竖直向上，当BIL=mg金属棒刚好静止在滑轨上，可得
B = mg
IL = 0.04×10
0.5×2 T=0.4 T但此时磁感应强度并不是最大值，故B 错误；
C．当磁感应强度方向竖直向下，金属棒受到安培力方向水平向右，金属棒平衡可得
B
' ILcos37° =mgsin37°解得B
' = mgsin37°
ILcos37° = 0.04×10×0.6
0.5×2×0.8 T=0.3T故C 正确；
D．当磁感应强度方向水平向左，安培力竖直向下，不可能平衡，故D 错误。
故选C。
6．（2022·湖南·高考真题）如图（a），直导线MN 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所
在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截
面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（ ）
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A．当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N 指向M
B．电流I 增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tanθ 与电流I 成正比
D．sinθ 与电流I 成正比
【答案】D
【详解】A．当导线静止在图（a）右侧位置时，对导线做受力分析有
可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M 指向N，A 错误；
BCD．由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sinθ = BIL
mg ，FT= mgcosθ 则可
看出sinθ 与电流I 成正比，当I 增大时θ 增大，则cosθ 减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，BC 错误、
D 正确。故选D。
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题型二 带电粒子在匀强磁场中的运动
一、带电粒子在匀强磁场运动的基本公式
1.向心力公式:qvB=mv
2
r 。
2.轨道半径公式:r=mv
Bq 。
3.周期公式:T=2π r
v
= 2π m
qB 。
4.运动时间公式:t= θ
2π T。
二、带电粒子在匀强磁场运动的“两个确定”
1.圆心确定：
(1)与速度方向垂直的直线过圆心；
(2)弦的垂直平分线过圆心；
(3)轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。
2.半径确定：
(1)利用r=mv
Bq 公式确定半径；
(2)利用平面几何知识求半径。
三、带电粒子在磁场中的临界极值问题四个结论
1.刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2.当速率v 一定时,弧长(或圆心角小于180°时的弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间
越长。
3.当速率v 变化时,圆心角越大,运动时间越长。
4.在圆形匀强磁场中,若带电粒子速率v 一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,则入射点和出射点为磁
场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)
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7．（2024·广西·高考真题）Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂
直纸面向里。质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v 从O 点沿x 轴正向开始运动，粒子过y 轴时速度
与y 轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P 点至O 点的距离为（ ）
A．mv
qB
B．3mv
2qB
C．(1+√2) mv
qB
D．(1+ √2
2 )
mv
qB
【答案】C
【详解】粒子运动轨迹如图所示
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB =m v
2
r 可得粒子做圆周运动的半径r = mv
qB 根据几何关系可得P
点至O 点的距离LPO=r +
r
cos 45° =(1+√2) mv
qB 故选C。
【技巧点拨】
（1）画出轨迹，根据入射方向和出射方向确定圆心；
（2）根据洛伦兹力向心力公式确定半径，通过几何关系确定待求物理量。
8．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、
电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
（ ）
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A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为7πm
3qB
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为√3qBR
3m
【答案】D
【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子
的运动轨迹不可能经过O 点，故AB 错误；
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图
则最短时间有t =2T = 4 πm
qB 故C 错误；
D．粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示
设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r = √3 R
3
根据洛伦兹力提供向心力有qvB =m v
2
r 可得
v = √3qBR
3m
故D 正确。故选D。
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【技巧点拨】
（1）在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出；
（2）根据对称性，画出轨迹，找出时间最短的条件。
考向一 直线边界
9．（2024·江西景德镇·一模）如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内（含边界）处于垂
直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad = L，ab=√3 L。一质量为m、电荷量为q（q>0）
的粒子，从a 点沿ab 方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子能通过cd 边的最短时间t = πm
2qB
B．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度v = 2qBL
m
C．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度v = 2qBL
m
D．若粒子只能从ad 边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v ≤2qBL
m
【答案】C
【详解】A．粒子能通过cd 边，从c 点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，根据几何关系
(r2- L)
2+(√3 L)
2=r2
2解得r2=2 L则转过的圆心角sinθ = √3 L
2 L = √3
2 即θ =60°粒子在磁场中运动的周期
T = 2πm
qB 则粒子能通过cd 边的最短时间t =
θ
360° T = πm
3qB 故A 错误；
B．若粒子恰好从d 点射出磁场，由几何关系可知其半径r1= 1
2 L根据q v1B =m v1
2
r1
解得v1= qBL
2m 故B 错误；
C．若粒子恰好从c 点射出磁场，根据几何关系(r2- L)
2+(√3 L)
2=r2
2解得r2=2 L由洛伦兹力提供向心力
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得q v2B =m v2
2
r2
解得v2= 2qBL
m
故C 正确；
D．若粒子从d 点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d 点出射时半径最大，对应的入射速度最大，则
vm = qBL
2m 故若粒子只能从ad 边界射出磁场，则粒子的入射速度0<v ≤qBL
2m ，故D 错误。故选C。
10．（2024·广东·二模）如图所示，斜边MN长度为L 的等腰直角三角形OMN区域内存在磁感应强度大小
为B 的匀强磁场（三角形边界上也存在磁场）。一电荷量为q，质量为m 的带正电的粒子（不计重力）从
斜边MN上的P 点进入磁场，速度方向与PM间的夹角θ = 45°，且MP= L
3 。经过一段时间，粒子从PN上
的D 点（未画出）离开磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．粒子的最大速度为√2qBL
3m
C．D 点到P 点的最大距离为L
3
D．粒子在磁场中运动的时间为πm
qB
【答案】C
【详解】A．根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，A 项错误；
B．速度越大，粒子在磁场中做圆周运动的半径越大，当速度达到最大值时，根据几何关系可知，粒子做
圆周运动的轨迹同时与三角形的OM，ON边相切，且从D 点飞出的速度方向与MN的夹角也为θ = 45°，
画出粒子在磁场中的运动轨迹如图，
15
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由几何关系有rmax = L
3 cosθ由洛伦兹力提供向心力有q vmax B =m vmax
2
rmax
解得vmax = √2qBL
6m
，B 项错误；
C．由几何关系有xPD= rmax
cosθ = L
3
，C 项正确；
D．粒子做匀速圆周运动的周期T = 2πm
qB 粒子在磁场中运动的时间t = 3
4 T = 3 πm
2qB ，D 项错误。故选C。
考向二 圆形边界
11．（2024·云南昆明·模拟预测）一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O，筒内有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以速度v 沿半径SO 方向射入磁场中。粒子与
圆筒发生两次碰撞后仍从S 孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计
重力的情况下，则圆筒的半径为（ ）
A．mv
qB
B．√3mv
3qB
C．√3mv
qB
D．2mv
qB
【答案】B
【详解】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系做出圆心为O'，圆半径为r，设第一次碰撞点为
A，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S 孔射出，因此SA 弧所对的圆心角∠A O
' S = π
3 由几何关系得
r = R tan π
3 粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得qvB =m v
2
r 联立解得R = √3mv
3qB 故选
B。
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12．（2024·江西·模拟预测）如图所示，在半径为R、圆心为O 的半圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感
应强度大小为B 的匀强磁场，带电荷量为-q、质量为m 的粒子（不计所受重力）从O 点沿纸面各个方向
射入匀强磁场后，均从OC 段射出磁场，下列说法正确的是（ ）
A．粒子射入磁场时的最大速度为qBR
m
B．粒子射入磁场时的最大速度为2qBR
m
C．粒子在磁场中运动的最长时间为πm
qB
D．粒子在磁场中运动的最长时间为2πm
qB
【答案】D
【详解】如图所示
当离子轨迹与半圆形边界相切时，离子轨迹半径最大，则有rm= R
2 由洛伦兹力提供向心力可得
q vmB =m vm
2
rm
可得粒子射入磁场时的最大速度为vm= qBR
2m 粒子在磁场中运动的最长时间为tm=T = 2πm
Bq 故
ABC 错误，D 正确。故选D。
17
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考向三 多解问题
13．（2025·河南安阳·一模）如图所示，在平面直角坐标系第一象限内存在一理想边界，边界和x 轴之间
存在垂直纸面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场（图中未画出），边界与y 轴之间存在沿x 轴负方向、电
场强度大小为E 的匀强电场。在第四象限内存在平行于y 轴向下的匀强电场，在y 轴正半轴上有可移动的
粒子源能无初速释放电荷量大小为e、质量为m 的电子，电子从静止被电场加速后进入磁场区域均能垂直
穿过x 轴，图中A 点坐标为(L,0)，不计电子受到的重力，求：
(1)磁场的方向；
(2)边界曲线的方程；
(3)能经过A 点的电子释放点的纵坐标应满足的条件。
【答案】(1)垂直纸面向里(2)y =√
2mE
e B
2 x (x>0)(3) e B
2
2mE y
2+(2n+1) y = L(n=0,1,2,⋯)
【详解】（1）电子能垂直x 轴进入第四象限，由左手定则可判定磁场垂直纸面向里。
（2）设电子由静止释放的纵坐标为y，到达边界时的速度大小为v，对应边界上点的坐标为(x , y)，则有
eEx = 1
2 m v
2，y = mv
eB 解得y =√
2mE
e B
2 x (x>0)
（3）能经过A 点的粒子轨迹如图所示，
设释放点纵坐标为y，则有x +(2n+1) y = L(n=0,1,2,⋯)即满足e B
2
2mE y
2+(2n+1) y = L(n=0,1,2,⋯)时
电子能经过A 点。
14．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，以OP 为分界线将直角MON 分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在
18
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方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小
为2B 的匀强磁场，OP 与OM 间的夹角为30°。一质量为m、带电量为+q的粒子从分界线上的P 点以速度
v、沿与分界线OP 成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O 点离开磁场区域，不计粒子的重
力。
（1）求OP 之间的距离；
（2）若粒子从P 点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O 点离开磁场区域，求粒子射入
时速度大小的可能值。
【答案】（1）√3mv
qB
（2）2v
3n+2 （n=0,1，2，3…）
【详解】（1）根据牛顿第二定律qvB =m v
2
r 得r = mv
qB 粒子运动轨迹如图
OP 长度为l =√3r = √3mv
qB
（2）粒子从O点离开一定是从区域Ⅰ与ON相切离开磁场区域，故ri= mvi
qB
，r1= mvi
q⋅2B = ri
2
根据几何关
系(√3ri+√3r1)n+√3ri=OP即(√3⋅m vi
qB +√3⋅m vi
q⋅2B )n+√3⋅m vi
qB =OP =√3⋅mv
qB ，r = mv
'
qB ，
r
2 = m v
'
2qB 解得vi=
2v
3n+2 （n=0,1，2，3…）
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题型三 带电粒子在匀强磁场中的动态圆模型
一、放缩圆模型
适用条件
速度方向一定，速度
大小不同
粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变
化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也
越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在
垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这
种方法称为“放缩圆”法
二、旋转圆模型
适
用
条
件
速度大小
一定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀
速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P
为圆心、半径R＝的圆上
界定方法
将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称
为“旋转圆”法
20
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三、平移圆模型
适
用
条
件
速度大小一
定，方向一
定，但入射
点在同一直
线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁
场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所
示
轨迹圆圆心
共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线
平行
界定方法
将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
四、磁聚焦模型
1．磁发散：如图1 所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为
q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点
射入，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则粒子出射方向与磁场边界在入射点的切线方向平行。
2．磁汇聚：如图2 所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹
圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出，磁场边界在该点的切
线与入射方向平行。
15．（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD 和abcd，其各对应边平行，ABCD 的边
长一定，abcd 的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A 处有一个粒
子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD 方向进入磁场。调整abcd 的边长，可使速度大
小合适的粒子经ad 边穿过无磁场区后由BC 边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（ ）
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A．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为45°，则粒子必垂直BC 射出
B．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°，则粒子必垂直BC 射出
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边的速度方向与ad 边夹角必为45°
D．若粒子经bc 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角必为60°
【答案】AD
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形abcd 区域中做匀速直线运动，粒子穿过ad 边时速
度方向与ad 边夹角为45°，在正方形abcd 区域中的运动轨迹必平行于AC 的连线，可知粒子必经过cd 边，
进入正方形abcd 区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45°，据此作出粒子可能的两个运
动轨迹如图所示
粒子的运动轨迹均关于直线BD 对称，粒子必从C 点垂直于BC 射出，故A 正确；
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，粒子运动轨迹如图所示
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设粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为θ，则图中两段圆弧轨迹的圆心角θ1与θ2的关系为θ1+θ2=90
∘
设两正方形的对应边之间的距离为Δ L，为保证粒子穿过ad 边，需满足R sinθ1≥Δ L且有
R - R cosθ1= Δ L联立解得θ1≤60
∘为保证粒子穿过cd 边，需满足R sinθ2≥Δ L为保证从BC 边射出，需满
足R - R cosθ2≤Δ L联立解得θ1≥45
∘可得粒子经cd 边垂直BC 射出，粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹
角范围是45
∘≤θ1≤60
∘故C 错误；
BD．粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°时，作出粒子恰好经过c 点的运动轨迹如图所示
设粒子在e 点进入正方形abcd 区域，线段MN 垂直平分轨迹ec，与AB 选项的分析同理，粒子的轨迹关于
线段MN 对称。线段CE 平行于轨迹ec，取圆弧轨迹的中点F，过F 点做轨迹ec 的平行线分别交AD 与BC
于点G 和点F
'，点E
'为点E 关于MN 的对称点。易知点e 为ad 的中点，点E 为AD 的中点，Ee 垂直于ad
和AD，设粒子轨迹半径为r，正方形ABCD 的边长为2L。由几何关系得r sin 60
∘= L，FQ =r sin30
∘，
EP = L- FQ，PF =
r
cos30
∘-r sin60
∘，tan ∠PEF = PF
EP 联立解得∠PEF =30
∘因∠EGF =60
∘，故
∠EFG =90
∘，即EF 垂直于G F
'，由对称性可知四边形EF F
' E
'为矩形，F
' E
'垂直于CE，可知点F
'是点
F 关于MN 的对称点，即点F 是圆弧cH 的中点，可知由c 到F
'粒子的轨迹圆心角为30°，可得粒子垂直BC
射出。若粒子速度较大，轨迹半径较大，则粒子在c 点左侧穿过cd，其轨迹如图所示
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与临界轨迹对比，粒子第二段的轨迹圆心不会在BC 上，故粒子不会垂直BC 射出。若粒子速度较小，轨迹
半径较小，则粒子在c 点下方穿过cb，其轨迹如图所示。
与粒子恰好经过c 点的运动过程同理，根据对称性可知粒子一定垂直BC 射出，故B 错误，D 正确。
故选AD。
【技巧点拨】
利用不同情况的动态圆的特点，画出轨迹图，找出临界条件；
考向一 放缩圆模型
16．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，在竖直面内有一半径为R 的能吸收带电粒子的半圆形装置，
在装置外有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界ab 为过圆心O 的一水平直线。一群质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子以不同的速率从A 点竖直向上进入磁场，AO 的长度为5
3 R，粒子重力和粒
子间的相互作用不计，sin37° = 3
5，下列说法正确的是（ ）
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A．能够被装置吸收的粒子的最大速度为5qBR
3m
B．能够被装置吸收的粒子的最小速度为qBR
3m
C．能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子速度大小为2qBR
3m
D．能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子运动时间为53 πm
90qB
【答案】BD
【详解】A．粒子从A 点进入磁场，运动轨迹半径最大时有最大速度，当粒子从半圆形装置最右面被该装
置吸收时，其轨迹半径最大，其速度最大，对于粒子有qvB =m v
2
r 整理有v = qBr
m 有几何关系可知，其粒子
的半径设为rmax，有2rmax =2 R+ 2
3 R所以有上述分析有vmax = 4 qBR
3m 故A 项错误；
B．当运动轨迹最小时，其粒子的速度最小，即粒子从装置最左侧被吸收其半径最小，由几何关系有
2rmin= 2
3 R结合之前的分析可知，有vmin= qBR
3m 故B 项错误；
CD．粒子进入磁场运动至圆周上，时间最短即为圆心角最小，根据圆心角等于2 倍弦切角可知，时间最小，
即运动轨迹圆的弦切角需最小。如图所示
运动时间最短，此时轨迹圆的弦AC 与题设半圆相切，由几何关系可知∠OAC =37°，圆心角为
25
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θ =53°×2=106°根据几何关系2r1sin53° = 4
3 R结合之前的分析，其中r1= mv1
qB
所以v1= 5qBR
6m
，
t1= θ
2π ⋅2πm
qB = 53 πm
90qB 故C 错误，D 正确。故选BD。
17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，边长为L 的正三角形ABC 内存在垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度为B。D 为BC 的中点，有一群带电量为+q、质量为m 的粒子从D 点以不同速率沿与BC 成30
∘
的方向进入磁场。不计粒子重力和粒子间的相互作用，以下说法正确的是（ ）
A．所有从BC 边出射的粒子运动时间均相同
B．所有从AC 边出射的粒子，出射点越靠近A，运动时间越短
C．当入射速度为√3qBL
2m
时，粒子从AC 边出射
D．若粒子带负电，则从C 点出射的粒子轨迹半径为√3
2 L
【答案】AC
【详解】A．粒子在磁场中受的洛伦兹力提供向心力，有qvB = m v
2
R
由圆周运动中周期与速度关系有
T = 2π R
v
设粒子在磁场中圆周运动的圆心角为θ，则应有t = θ
2π T = θm
qB 可知，粒子做圆周运动的圆心角
越大，运动时间越长，由题意分析可得，粒子从BC边射出时圆心角相同，运动时间相同，故A 正确；
C．粒子恰好不从AC 射出时，轨迹与AC 相切，运动轨迹如图
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根据图中几何条件分析可知R2= 1
2 L⋅sin60°粒子在磁场中受的洛伦兹力提供向心力，有q v0 B = m v0
2
R2
联
立解得v0= √3qBL
4 m
当入射速度为√3qBL
2m
时，粒子从AC 边出射，故C 正确；
B．所有从AC 边出射的粒子，出射点越靠近A，圆心角越大，运动时间越长，故B 错误；
D．若粒子带负电，由几何关系可得，从C 点出射的粒子轨迹半径为1
2 L，故D 错误。故选AC。
考向二 旋转圆模型
18．（2024·山西·模拟预测）如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强
度大小为B ，P 是磁场边界上的最低点。大量质量均为m，电荷量为-q（q > 0）的带电粒子，以相同的速
率从P 点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r = 2R， A、C 为
圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是
（ ）
A．粒子射入磁场时速率为v = 2mBR
q
B．粒子在磁场中运动的最长时间为t = πm
3qB
C．不可能有粒子从C 点射出磁场
D．不可能有粒子从A 点沿水平方向射出磁场
【答案】BD
【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律：Bqv = m v
2
r
且r＝2R，所以v = 2qBR
m
，A 选
项错误；
B．要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的
运动轨迹如图甲。由几何关系知，此轨迹在磁场中的偏转角为60°，所以最长时间为t =60°
360° T = πm
3qB 故B
27
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选项正确；
C．当入射速度的方向合适时，是可以确定从C 点射出的粒子圆周运动的圆心的，如图乙所示，作PC 的中
垂线，以P 或C 点为圆心以2R 为半径画圆弧交PC 中垂线于O，O 点即为能通过C 点轨迹的圆心，故C 选
项错误；
D．若粒子能从A 点水平射出磁场，则在A 点作速度方向的垂线，再作AP 两点的中垂线，交点即为圆心，
此时圆周运动的半径r≠2R，如图丙所示，故D 选项正确。故选BD。
19．（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，矩形ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁
感应强度大小为B，AB 边长为d，BC 边长为2d，O 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点，在O 点有一粒子
源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射
出的速度大小相同，速度与OB 边的夹角为60°的粒子恰好从E 点射出磁场，不计粒子的重力，则
（ ）
A．从AD 边射出与从CD 边射出的粒子数之比为3:2
B．粒子运动的速度大小为qBd
m
C．粒子在磁场中运动的最长时间为πm
Bq
D．磁场区域中有粒子通过的面积为4+ π
4
d
2
【答案】ABD
【详解】如图所示
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B．粒子带正电不可能从与60 度夹角的O 点射入经过B 点，因此带负电，由此粒子的运动轨迹结合几何关
系可知，粒子做圆周运动的半径r =d由牛顿第二定律qvB =m v
2
r 解得粒子运动的速度大小为v = qBd
m 故B
正确；
C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在
磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为πm
2qB ，故C 错误；
D．由图可知，磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA区域的面积，即为d
2+ 1
4 π d
2=(
4+ π
4 )d
2故D
正确；
A．由图可知，当速度垂直OB时，粒子刚好从D点射出，如下图所示
由几何关系可知，当速度方向与OC的夹角为30°时，恰好从C点射出，则从AD 边射出与从CD 边射出的
粒子数之比为90°:60° =3:2故A 正确。故选ABD。
考向三 平移圆模型
20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，空间存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场（未
画出），线状粒子源OM 与屏ON 垂直，ON =2OM =2 L，粒子源能发射质量为m、电荷量为+q、速度大
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小为v，方向与磁场垂直且与OM 夹角θ = 45°的粒子，已知v = √2qBL
2m
，不计粒子重力，则屏ON 上有粒
子打到的区域长度为（ ）
A．L
B．(√2-1) L
C．2-√2
2
L
D．√2-1
2
L
【答案】D
【详解】如图
粒子源发出的粒子做圆周运动的圆心都位于O1O2连线上，M点及O点发出的粒子恰好可打到O点，OM之
间的粒子均可打到屏上，其中自OM中点发出的粒子圆心位于NO延长线上，该粒子打在屏上的位置距离
O点最远，根据洛伦兹力提供向心力qvB =m v
2
R 可得R = √2 L
2
根据几何关系可得光屏上有粒子打到的区域
长度为x = R(1-sin 45°)= √2-1
2
L故选D。
21．（2024·江西·模考）如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q 的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结果在
bc 边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc 边的长度为L，bc 和ac 的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间
的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
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A．粒子的入射速度为BqL
4 m
B．粒子的入射速度为√3 BqL
6m
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为πL
4
D．从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为πm
2Bq
【答案】AC【详解】AB．粒子进入场向上做匀速圆周运动，洛伦力提供向心力，则qBv = mv
2
r
则r = mv
Bq
因bc 边只有一半区域有粒子射出，则ab 中某位置的（令位e 点）粒子从bc 点中点（令为d 点）射出，在
ae 点之间入射的粒子均不能从bc 边射出，且ea 间的粒子均不会从dc 之间射出。恰好从d 点射出的粒子轨
迹如图1、图2 中红色实线所示；图2 中be'之间有粒子从dc 射出，不符合要求，图1 满足要求，故粒子的
轨迹半径r = 1
2 Lcos60° = 1
4 L
则粒子的入射速度v = BqL
4 m 故A 正确，B 错误；
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C．粒子在磁场中最多做半个圆周，则磁场中场中运动的最长轨迹为s= πr = πL
4 故C 正确；
D．与bc 边相切恰从bc 边射出的粒子轨迹如图1 所示红色虚线，其对应的圆心角最大为2π
3 ，从bc 边射出
的粒子在磁场内运动的最长时间为t = 2πm
3 Bq 故D 错误；故选AC。
考向四 磁聚焦模型
22．（2024·天津·模拟预测）如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为
m、电量为q 的正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在(0, R)，半径为R 的圆形区域内，
有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．磁场右侧有一长度为R，平行于y 轴的光屏，其中
心位于(2 R , R)。已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（ ）
A．粒子速度大小为2qBR
m
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为2πm
3qB
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足45°≤θ≤135°
【答案】C
【详解】A．因为初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，可知在磁场中的运动半径
为R，则根据qvB =m v
2
R
解得v = qBR
m 选项A 错误；
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B．画出任意粒子从O 点射出时的轨迹如图，由几何关系可知，四边形OO1PO2为菱形，则PO2平行y 轴，
则从磁场中射出的粒子垂直于y 轴，即凡是能射到屏上的粒子均能垂直射在光屏上，但是并不是所有粒子
都能射到屏上，选项B 错误；
C．达到屏的最上端的粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知在磁场中运动的圆心角为120°，则
最长时间为tmax = 120
∘
360
∘T = 1
3 ⋅2πm
qB = 2πm
3qB 选项C 正确；
D．由几何关系可知，能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足60°≤θ≤120°，故D 错误，选C。
23．（2024·江苏南京·模拟预测）空间中有两个区域存在有界匀强磁场，如图所示，甲为半径为R的1
4 圆，
乙为边长为R的正方形，磁场方向均垂直纸面向外，现有大量质量为m，电荷量为q(q>0)，速度大小为
BqR
m 的带电粒子分别从两磁场左侧边界水平向右射入磁场，不计粒子重力及其相互作用，有关粒子的运动，
下列说法正确的是（ ）
A．甲图中粒子从同一位置沿不同方向射出磁场，乙图中粒子从不同位置，沿不同方向射出磁场
B．两图粒子分别从两磁场边界的某一位置射出磁场，且出射方向分别相同
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C．两图中粒子射出磁场时的位置均分别布满两磁场的某一边界
D．若粒子带负电，两图中粒子射出磁场时的情况分别和带正电粒子相同
【答案】A
【详解】ABC．根据洛伦兹力提供向心力，有qvB =m v
2
r 则可得r = R取1、2两个代表粒子，运动轨迹如下
图甲、乙所示。图甲中，根据几何关系可得四边形ACDO与四边形ECDO'均为棱形，由图甲可知，粒子
1、2从同一位置离开，但射出的方向不相同；乙图中，粒子的出射位置和方向都不同。故A 正确，BC 错
误；
D．若粒子带负电，粒子都向上偏转，所以出射情况和带正电粒子规律不同，故D 错误。故选A。
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