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专题11 带电粒子在复合场中的运动
目录
01 带电粒子在复合场中的运动··············································································2
考向一 带电粒子在组合场中的运动······························································································2
考向二 带电粒子在复合场中的运动····························································································39
02 常见电学仪器···································································································84
考向一 常见电学仪器····················································································································84
1
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01 带电粒子在复合场中的运动
考向一 带电粒子在组合场中的运动
1．（2023·重庆·高考真题）某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示，xOy 平面内，x 轴下方
充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x 轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与y
轴负方向成α 角），另一部分无电场，该边界与y 轴交于M 点，与x 轴交于N 点。只有经电场到达N 点、
与x 轴正方向成α 角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M 点向电场内发射一个比荷为
的带电粒子
A，其速度大小为v0、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T 后进入磁场，且通过N 点的速度大小
为2v0。忽略边界效应，不计粒子重力。
（1）求角度α 及M、N 两点的电势差。
（2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为
的带电粒子，只要速度大小适
当，就能通过N 点进入磁场，求N 点横坐标及此边界方程。
（3）若粒子A 第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为B1，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为
上一次的一半，则粒子A 从M 点发射后，每次加速均能通过N 点进入磁场。求磁感应强度大小B1及粒子
A 从发射到第n 次通过N 点的时间。
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
，
【详解】（1）粒子M 点垂直于电场方向入射，粒子在电场中做类平抛运动，沿电场方向做匀加速直线运
动，垂直于电场方向做匀速直线运动，在N 点将速度沿电场方向与垂直于电场方向分解，在垂直于电场方
2
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向上有
解得
粒子从
过程，根据动能定理有
解得
（2）对于从M 点射入的粒子，沿初速度方向的位移为
沿电场方向的位移为
令N 点横坐标为
，根据几何关系有
解得
根据上述与题意可知，令粒子入射速度为v，则通过N 点进入磁场的速度为2v，令边界上点的坐标为
（x，y）则在沿初速度方向上有
在沿电场方向有
解得
（3）由上述结果可知电场强度
解得
设粒子A 第次在磁场中做圆周运动的线速度为
，可得第
次在N 点进入磁场的速度为
第一次在N 点进入磁场的速度大小为
，可得
设粒子A 第次在磁场中运动时的磁感应强度为
，由题意可得
3
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由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
粒子A 第n 次在磁场中的运动轨迹如图所示
粒子每次在磁场中运动轨迹的圆心角均为300°，第n 次离开磁场的位置C 与N 的距离等于
，由C 到N 由
动能定理得
联立上式解得
由类平抛运动沿电场方向的运动可得，粒子A 第n 次在电场中运动的时间为
粒子A 第n 次在磁场中运动的周期为
粒子A 第n 次在磁场中运动的时间为
设粒子A 第n 次在电场边界MN 与x 轴之间的无场区域的位移为
，边界与x 轴负方向的夹角为
，则根
据边界方程可得
，
4
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由正弦定理可得
解得
粒子A 第n 次在电场边界MN 与x 轴之间运动的时间为
粒子A 从发射到第n 次通过N 点的过程，在电场中运动n 次，在磁场和无场区域中均运动n-1 次，则所求
时间
由等比数列求和得
解得
2．（2023·辽宁·高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。
金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。
质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，
并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定
性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
5
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【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【详解】（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为，由几何关系可得
6
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故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在该
磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。
则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
3．（2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy 平
面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N 与y 轴平行放置，板N 中间有一小孔O。有一由x 轴、y 轴和以
O 为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸
面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一
左边界与y 轴平行且相距为l、下边界与x 轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁
场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M 逸出后经极板间电压U 加速（板间电场视为匀
强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被
置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M 的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电
子的重力及电子间的作用力。当频率为ν 的光照射板M 时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O 点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围；
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小
，区域Ⅱ的磁感应强度大小
，求被探测到的
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电子刚从板M 逸出时速度vM的大小及与x 轴的夹角
；
（3）为了使从O 点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电
场强度E 和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E 的最大值和B2的最大值。
【答案】（1）
；
；（2）
；
；（3）
；
【详解】（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能
（2）速度选择器
如图所示，几何关系
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（3）由上述表达式可得
由
而v0sinθ 等于光电子在板逸出时沿y 轴的分速度，则有
即
联立可得B2 的最大值
4．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系
中，
空间内充满匀强磁场I，
磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿y 轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度出射，速度
方向与轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，经坐标原点
沿轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
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（3）离子甲以
的速度从
点沿轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四次穿过
平面
的位置坐标（用d 表示）；
（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，也从
点沿
轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差
（忽略离子间相互作用）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）（d，d，）；（4）
【详解】（1）如图所示
将离子甲从
点出射速度为
分解到沿
轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿
轴负方向，可知离子
沿轴方向做匀速直线运动，沿
轴方向做匀减速直线运动，从
到
的过程，有
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联立解得
（2）离子从坐标原点
沿轴正方向进入磁场I 中，在磁场I 中做匀速圆周运动，经过磁场I 偏转后从
轴
进入磁场II 中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I 运动时，不能从磁场I 上方穿出。在磁场II 运动时，不能xOz 平
面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿z 轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，离子在磁场I 中的轨迹半径
为
离子在磁场II 中的轨迹半径为
离子从
点第一次穿过到第四次穿过
平面的运动情景，如图所示
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离子第四次穿过
平面的坐标为
离子第四次穿过
平面的
坐标为
故离子第四次穿过
平面的位置坐标为（d，d，）。
（4）设离子乙的速度为
，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲、离子乙在磁场I 中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II 中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x 轴的位置，如图所示
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从
点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
5．（2022·天津·高考真题）如图所示，M 和N 为平行金属板，质量为m，电荷量为q 的带电粒子从M 由
静止开始被两板间的电场加速后，从N 上的小孔穿出，以速度v 由C 点射入圆形匀强磁场区域，经D 点穿
出磁场，CD 为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与
磁场方向垂直，重力略不计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N 间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）正电，
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可
知
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有
解得
（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为，如图
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依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有
带电粒子在磁场中运动的时间
联立各式解得
6．（2021·全国·高考真题）如图，长度均为l 的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P 和M
处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有
垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处
以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P 点处射入磁场，从两挡板下边缘Q 和N 之间射出磁场，运动过
程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）粒子运动轨迹见解析，
【详解】（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
①
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②
粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，有
③
粒子发射位置到P 点的距离
④
由①②③④式得
⑤
（2）带电粒子在磁场运动在速度
⑥
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N 点射出）如图所示
由几何关系可知，最小半径
⑦
最大半径
⑧
带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
⑩
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带电粒子的运动半径为
⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距离
⑫
由⑩⑪⑫式解得
⑬
7．（2021·重庆·高考真题）如图1 所示的
竖直平面内，在原点O 有一粒子源，可沿x 轴正方向发射速
度不同、比荷均为
的带正电的粒子。在
的区域仅有垂直于平面向内的匀强磁场；
的区域仅有
如图2 所示的电场，
时间内和
时刻后的匀强电场大小相等，方向相反（
时间内电场方向竖直
向下），
时间内电场强度为零。在磁场左边界
直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画
出）。0 时刻发射的A 粒子在
时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B 粒子在
时刻以与A 粒
子相同的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为
；C 粒子在
时刻发射，其发射速
度是A 粒子发射速度的
，不经过磁场能被收集器收集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界
效应。
(1)求电场强度E 的大小；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)设
时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。
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【答案】(1)
；(2)
；(3)
、
、
【详解】（1）由
粒子类平抛
粒子先类平抛后匀直，
可得
或
解得
（2）对
粒子类平抛
得
A 进入磁场时速度与轴正方向夹角为，则
得
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即
A 粒子做匀圆，速度为
半径为
，有
由
可得
对
粒子类平抛运动的时间为
可得
由几何关系
得
联立解得
（3）①设
直接类平抛过D 点，即
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解得
②设
先类平抛后匀圆过D 点，刚进入磁场时与轴夹角为
、偏移的距离为
，
则
整理得
令
，则上式变成
观察可得
是其中一解，所以上方程等价于
可得其解是
或
（另一解
不符合题意，舍去）
则有
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或
综上所述，能够被粒子收集器收集的粒子速度有：
、
、
。
8．（2021·北京·高考真题）如图所示，M 为粒子加速器；N 为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互
垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S 点释放一初速度为0、质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子，经M 加速后恰能以速度v 沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。
不计重力。
（1）求粒子加速器M 的加速电压U；
（2）求速度选择器N 两板间的电场强度E 的大小和方向；
（3）仍从S 点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q 的带正电粒子，离开N 时粒子偏离图中
虚线的距离为d，求该粒子离开N 时的动能
。
【答案】（1）
；（2）
，方向垂直导体板向下；（3）
【详解】（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡
得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得
9．（2021·山东·高考真题）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x 轴垂直交
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于坐标原点O，其内充满垂直于
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
；Ⅱ区宽度为L，左边界
与x 轴垂直交于
点，右边界与x 轴垂直交于
点，其内充满沿y 轴负方向的匀强电场。测试板垂直x 轴
置于Ⅱ区右边界，其中心C 与
点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m 的正离子，加速后沿x
轴正方向过O 点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x 轴正
方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向
相反且平行y 轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，需沿x 轴移动测试
板，求移动后C 到
的距离S。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得
①
根据几何关系得
②
联立①②式得
（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x 方向做匀速直线运动，y 方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中
测试板中心C 的时间为t，y 方向的位移为
，加速度大小为a，由牛顿第二定律得
由运动的合成与分解得
，
，
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联立得
（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y 轴的方向做线速度大小为vcosθ 的匀速圆周运动，如图所示。设左
侧部分的圆心角为
，圆周运动半径为
，运动轨迹长度为，由几何关系得
，
由于在y 轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故
有
C 到
的距离
联立得
10．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d 的中间有小孔的
两平行金属板M、N 和边长为L 的立方体构成，其后端面P 为喷口。以金属板N 的中心O 为坐标原点，垂
直立方体侧面和金属板建立x、y 和z 坐标轴。M、N 板之间存在场强为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场；
立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z 方向的分量始终为零，沿x 和y 方向的分量
和
随时间周期性变
化规律如图乙所示，图中
可调。氙离子（
）束从离子源小孔S 射出，沿z 方向匀速运动到M 板，经
电场加速进入磁场区域，最后从端面P 射出，测得离子经电场加速后在金属板N 中心点O 处相对推进器的
速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为
，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于
推进器的质量。
（1）求离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节
的值，使得从小孔S 射出的离子均能从喷口后端面P
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射出，求
的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P 射出的离子数为n，且
。求图乙中
时刻离子束对推进器作用力沿z 轴方向的分力。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向沿z 轴负方向
【详解】（1）离子从小孔S 射出运动到金属板N 中心点O 处，根据动能定理有
解得离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小
（2）当磁场仅有沿x 方向的分量取最大值时，离子从喷口P 的下边缘中点射出，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
当磁场在x 和y 方向的分量同取最大值时，离子从喷口P 边缘交点射出，根据几何关系有
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此时
；根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故
的取值范围为
；
（3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示
由题意根据洛伦兹力提供向心力有
且满足
所以可得
所以可得
离子从端面P 射出时，在沿z 轴方向根据动量定理有
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为
方向沿z 轴负方向。
11．（2021·河北·高考真题）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为
、
带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板
与正极板成
倾斜放置，用于
吸收打在其上的粒子，C、P 是负极板上的两点，C 点位于O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶（忽略靶的
大小），用于接收从上方打入的粒子，
长度为
，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒
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子所受重力。
。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P 点处的粒子靶上，求可调电源电压
的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板
上，求电压的最小值
；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P 点左右可调，则负极板上存在H、S 两点（
，H、S
两点末在图中标出）、对于粒子靶在
区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只
能接收到n（
）种能量的粒子，求
和
的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【详解】（1）从O 点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在磁场中做圆周运动，则半径
由
解得
（2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM 相切，此时粒子恰好不能打到
挡板上，则
25
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从O 点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动
粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则
由几何关系可知
联立解得
（3）结合（2）分析可知，当粒子经上方磁场再进入下方磁场时，轨迹与挡板相切时，粒子运动轨迹半径
分别为r2、r3，则
①当粒子在下方区域磁场的运动轨迹正好与OM 相切，再进入上方磁场区域做圆周运动，轨迹与负极板的
交点记为H2，当增大两极板的电压，粒子在上方磁场中恰好运动到H2 点时，粒子靶恰好能够接收2 种能
量的粒子，此时H2 点为距C 点最近的位置，是接收2 种能量的粒子的起点，运动轨迹如图所示
26
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由几何关系可得
②同理可知当粒子靶接收3 种能量的粒子的运动轨迹如图所示
第③个粒子经过下方磁场时轨迹与MN 相切，记该粒子经过H2 后再次进入上方磁场区域运动时轨迹与负
极板的交点为H3 (S2) ，则该点为接收两种粒子的终点，同时也是接收3 种粒子的起点。由几何关系可得
可知，粒子靶接收n 种、n+1 种粒子的起点（即粒子靶接收n 种粒子的起点与终点）始终相距
当粒子靶接收n 种能量的粒子时，可得
12．（2024·河南·校联考模拟预测）（多选）如图所示，P、Q 两个平行金属板之间的电压为U，AC 上方
有垂直纸面向外的匀强磁场，AC 下方存在电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于AC，且垂直于磁
场方向。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子（不计粒子重力）从靠近P 板的S 点由静止开始做加速
运动，从小孔M 沿垂直于磁场的方向进入匀强磁场中，速度方向与边界线的夹角θ=60°，粒子恰好从小孔
D 垂直于AC 射入匀强电场，最后打在N 点，已知AD=L，AN=2L，则下列说法正确的是（ ）
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A．粒子从小孔M 进入磁场时的速度大小为
B．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
L
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．匀强电场的电场强度大小为
【答案】BC
【详解】A．粒子在电场中加速，由动能定理得
，可得带电粒子从小孔
沿垂直于磁场方向进
入磁场的速度大小
，故A 错误；B．画出粒子运动的轨迹如图所示（O 为粒子在磁场中做圆周
运动的圆心），
，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，
，得
，
故B 正确；C．粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力充当向心力，即
，磁感应强度大小
，故C 正确；D．粒子在电场中做类平抛运动，加速度
，垂直于电场方向
有
，沿电场方向有
，电场强度大小
，故D 错误。
故选BC。
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13．（2024·浙江金华·校联考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xoy 的y 轴左侧存在沿x 轴正方向的
匀强电场，在y 轴的右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，匀强磁场右边界放一竖直的屏，屏与y 轴平行，
且与y 轴间距为2L。电场中有一点A 其坐标为
，从A 点以初速度大小为
沿y 轴正方向射出一
质量为m、电量为q 的正电荷粒子，粒子重力不计。粒子从坐标原点O 进入磁场并恰好打在屏上的P 点，
P 点在x 轴上。求：
（1）粒子在O 点的速度大小以及电场强度的大小；
（2）粒子从A 到P 的运动时间及磁感应强度B 的大小；
（3）保持其它条件不变，改变磁感应强度大小，让磁场在0.5B 到2B 之间变化，粒子可打到屏的范围；
（4）保持其它条件不变，且保持（2）问的磁感应强度B 不变，并在磁场区再加一个大小与（1）问
中电场强度相等、方向竖直向下的匀强电场（图中未画出），粒子恰好打在屏上Q 点，Q 点的坐标为
，求粒子打在Q 点时速度方向与水平方向的夹角。
【答案】（1）
；
；（2）
；
；（3）P 点上下
；（4）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动
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解得
水平方向由运动学公式可知
解得
（2）A 到O 的运动时间
在磁场中运动时，由几何关系可知轨道半径为
运动时间为
从A 到P 运动的总时间为
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
解得
（3）当磁感应强度为0.5B 时，带电粒子的运动半径为
分析可得带电粒子将垂直打在屏P 上方的某点，设为M 点，由几何关系可得
当磁感应强度为2B 时，带电粒子的运动半径为
分析可得带电粒子打不到屏。
当粒子轨迹与屏相切时，为屏上的最低点，设为N 点，这时圆的半径为
，由几何关系
可得
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故粒子可打到屏上范围为P 点上下
的范围。
（4）带电粒子从O 点到Q 点，向右为正方向，由水平方向应用动量定理
解得
根据动能定理
解得
粒子打在Q 点时速度方向与水平方向的夹角为，
解得
14．（2024·贵州·统考一模）如图所示，在xOy 平面第一象限有沿y 轴负方向的匀强电场、第四象限有垂
直纸面向里的匀强磁场，在坐标为（0，h）的A 点有一带电粒子以某一初速度沿+x 方向抛出，从坐标为
（L，0）的C 点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为q、质量为m，匀强电场的电场强度为
E，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过x 轴时的位置与坐标原点的距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子从A 点到C 点，由牛顿第二定律
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粒子做类平抛运动，有
解得
可得
（2）粒子在磁场中的运动过程中，洛伦兹力提供向心力
第一次和第二次经过x 轴的两点间的距离为轨迹圆的弦，弦长为
为粒子第一次进入磁场时的速度与x 轴正方向的夹角
解得
所以粒子第二次经过x 轴时的位置与坐标原点的距离为
解得
15．（2024·江西赣州·赣州中学校考模拟预测）某同学设计的某种质谱仪原理如图所示，图中两圆为共轴
的两金属圆筒的截面，两圆筒间存在沿半径方向的辐向电场，各处场强大小相等，电势差U 未知，且电势
差与电场中两点沿半径方向的距离成正比，小圆筒内有垂直纸面向外的匀强磁场，其壁上开有两条狭缝
a、b，两狭缝与圆心O 连线的夹角为120°。已知小圆筒半径为R，大圆筒半径为2R，磁感应强度为B。让
比荷为k 的粒子从O、a 连线延长线与大圆筒内壁交点处由静止释放，加速进入小圆筒，然后从狭缝b 飞出，
和大圆筒内壁碰撞后再次进入磁场，并返回狭缝a 做周期性运动。并且粒子与两圆筒内壁的碰撞均为弹性
碰撞，碰后速度大小不变，方向立刻反向，不计粒子重力，不考虑碰撞过程经历的时间，求：
（1）两圆筒间的电势差；
（2）粒子从O、a 连线延长线与大圆筒内壁交点出发到再次返回该点的时间。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据动能定理有
设粒子运动的轨迹半径为r，根据几何关系有
又
根据洛伦兹力提供向心力有
又比荷为
联立解得
（2）根据
可得
粒子在磁场中的运动时间
粒子从辐向电场中匀加速进入磁场，由电势差与电场中两点沿半径方向的距离成正比，得电场强度
由牛顿第二定律可得
由
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可得
则粒子在电场中的运动时间
运动得总时间
解得
16．（2024·广东汕头·校考一模）某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X 射线，对肿
瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理如图所示。圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为
B。水平放置的目标靶长为2l，靶左端 M 与磁场心O 的水平距离为l，竖直距离为
，从电子枪逸出的
电子（质量为m、电荷量为e 初速度可以忽略）经匀强电场加速时间t 后，以速度
沿PO 方向射入磁场，
（PO 与水平方向夹角为
）电子离开圆形磁场区域后恰好能击中M 点，求：
（1）匀强电场E 的大小
（2）匀强磁场B 的方向及电子在磁场中运动的时间。
【答案】（1）
；（2）垂直圆形区域向里，
【详解】（1）根据
，
得
（2）电子沿顺时针方向转动，根据左手定则，磁场垂直圆形区域向里。
电子沿PO 方向射入磁场，恰好能击中M 点，则电子沿OM 方向射出磁场，有几何关系可知，电子圆周运
动的圆心角为
，则电子在磁场中运动的时间为
17．（2024·西藏拉萨·校联考一模）如图，直角坐标系xOy 第Ⅰ、Ⅱ象限内存在着沿y 轴正方向的匀强电
场，第Ⅲ、Ⅳ象限内存在着垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
。一带负电的粒子从
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y 轴上P 点（0，10cm）以
的速度平行于x 轴进入匀强电场，粒子从x 轴上的Q 点（20cm，0）进
入匀强磁场。已知粒子的比荷为
，不计粒子重力，求：
（1）电场强度大小；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径。
【答案】（1）25V/m；（2）10cm
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的规律有
解得
（2）粒子从P 运动到Q，只有电场力做功，根据动能定理可得
解得：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿运动定律有：
解得
18．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示。研究员在研究带电粒子的受控轨迹时。设置了以下场景，
空间中存在
平面直角坐标系。其第一象限内存在方向沿y 轴负向的匀强电场。电场强度为 E；第四象
限内有一条分界线ON 与x 轴正方向的夹角为：
在 轴与ON 间存在垂直纸面向外的匀强磁场。研究
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员将一带正电的粒子从y 轴上的距原点O 距离d 的P 点，以速度v0垂直y 轴打入电场，经电场偏转后经
轴进入磁场，在磁场中运动一段时间后从ON 上以垂直于y 轴的速度方向射出。已知粒子的比荷为
，
不计粒子重力。求：
（1）粒子从 轴打出点到原点的距离以及粒子过该点时的速度 大小；
（2）磁场的磁感应强度 B 的大小；
（3）若改变磁感应强度 B 的大小，使粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切再次打入电场。求
粒子第三次进入磁场时距离 O 点的距离
。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中有
经过轴打出点时的速度大小
联立可得
（2）粒子离开电场时与x 轴夹角
既
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如图
根据几何关系可得
联立可得
由
可得
（3）粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切，则粒子第一次在磁场中转过的圆心角为
，根据
几何关系
粒子在磁场中轨迹半径
第一次出磁场点在A 点左侧距离为
出磁场后，粒子在电场中做类斜抛运动，该过程，根据对称性，有
联立解得在第二次在电场中向右的位移大小为
根据类斜抛运动对称性，第二次进入磁场时速度方向仍与第一次进入磁场方向相同，故第二次出磁场时相
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比较第二次进磁场时位置向左偏转
，然后第三次在电场中向右运动
后第三次进入磁场，故粒子
第三次进入磁场时距离 O 点的距离
19．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）如图所示，在xOy 平面内，x 轴下方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，
x 轴上方存在电场强度的大小为E、与y 轴负方向成θ=30°的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的带
电粒子以垂直电场方向的初速度v0从y 轴上的M 点开始运动，从x 轴上的N 点进入磁场，进入磁场时的速
度大小为2v0，方向与x 轴正方向夹角也为θ，粒子恰好从坐标原点O 第2 次通过x 轴。忽略边界效应，不
计粒子重力，求：
（1）M、N 两点的电势差；
（2）N 点到坐标原点O 的距离；
（3）带电粒子从M 点运动到O 点所用的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示。
粒子从M→N 过程，根据动能定理有
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解得
（2）对于从M 点射入的粒子，沿初速度方向的位移
沿电场方向，有
根据几何关系，N 点到坐标原点O 的距离
联立解得
（3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系，得
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
粒子从N 点运动到O 点轨迹对应的圆心角
则粒子从N 点运动到O 点所用的时间
联立解得
则带电粒子从M 点运动到O 点所用的时间
20．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，离子源产生的甲、乙两种离子，先由静止经电压为U 的加
速电场加速后在纸面内运动，再从O 点沿与磁场边界成45°角方向射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面向里的有界匀强磁场。已知甲种离子从磁场边界的N 点射出，乙种离子从磁场边界的Ｍ点射出，OM 长
为L，MN 长为3L，不计离子重力和离子间的相互作用。
（1）求甲种离子的比荷；
（2）求乙种离子在磁场中的运动时间。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设甲种离子的质量为m1，电荷量为q1，甲种离子在电场中的加速过程有
设甲种离子在磁场中的运动半径为R1，根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系有
联立解得
（2）根据乙种离子在电场中做加速运动、在磁场中做圆周运动，设乙种离子的质量为m2，电荷量为q2，
可得乙种离子的比荷为
乙种离子在磁场中运动的偏转角
乙种离子在磁场中运动的周期为
所以乙种离子在磁场中的运动时间为
21．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图所示，在
平面内，有两个半圆形同心圆弧，与坐标轴分别交
于、、点和
、
、
点，其中圆弧
的半径为
。两个半圆弧之间的区域内分布着辐射状的电
场，电场方向由原点
向外辐射，其间的电势差为
。圆弧
上方圆周外区域，存在着上边界为
的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，圆弧
内无电场和磁场。
点处有一粒子源，在
平面内
向轴上方各个方向，射出质量为
、电荷量为的带正电的粒子，带电粒子射出时的速度大小均为
40
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，被辐射状的电场加速后进入磁场，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒子从磁场
返回圆形区域边界后的运动。
（1）求粒子被电场加速后的速度；
（2）要有粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，求磁场的磁感应强度的最大值
；
（3）当磁场中的磁感应强度大小为第（2）问中
的
时，求能从磁场上边界射出粒子的边界宽度
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子进入电场中，在电场加速过程中，由动能定理有
解得
（2）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有
可得
粒子垂直上边界射出磁场，则粒子轨迹圆的圆心必然在上边界线上，且根据几何关系，轨迹圆圆心到坐标
原点的距离d 满足
如图所示
41
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当
时，轨道圆半径有最小值
此时磁感应强度有最大值
（3）当磁感应强度
时，粒子运动圆半径
如图所示
①粒子轨迹圆与上边界相切时，粒子运动到最左边，有
②当粒子轨迹圆与上边界的交点、运轨迹圆圆心以及坐标原点
点三点共线时，粒子打在最右边，此时有
解得
可知粒子能从磁场上边界射出粒子的边界宽度为
考向二 带电粒子在复合场中的运动
22．（2023·浙江·高考真题）AB、CD 两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。
两板间距10cm，电荷量为
、质量为
的小球用长为5cm 的绝缘细线悬挂于A 点。闭合
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开关S，小球静止时，细线与AB 板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD 板上的M 点（未标出），则（
）
A．MC 距离为
B．电势能增加了
C．电场强度大小为
D．减小R 的阻值，MC 的距离将变大
【答案】B
【详解】A．根据平衡条件和几何关系，对小球受力分析如图所示
根据几何关系可得
,
联立解得
剪断细线，小球做匀加速直线运动，如图所示
根据几何关系可得
故A 错误；
B．根据几何关系可得小球沿着电场力方向的位移
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与电场力方向相反，电场力做功为
则小球的电势能增加
，故B 正确；
C．电场强度的大小
故C 错误；
D．减小R 的阻值，极板间的电势差不变，极板间的电场强度不变，所以小球的运动不会发生改变，MC
的距离不变，故D 错误。
故选B。
23．（2023·山西·高考真题）一电子和一α 粒子从铅盒上的小孔O 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放
置的屏幕P 上的a 和b 两点，a 点在小孔O 的正上方，b 点在a 点的右侧，如图所示。已知α 粒子的速度约
为电子速度的
，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为（ ）
A．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
【答案】C
【详解】A．带电粒子在电场和磁场中运动，打到a 点的粒子电场力和洛伦兹力平衡，当电场向左磁场垂
直直面向里时，因
粒子带正电，则受到向左的电场力和向左的洛伦兹力，则会打到a 点左侧；同理电子
带负电，受到向右的电场力和向右的洛伦兹力，则电子会打到a 点右侧，A 错误；B．因
粒子带正电，设
带电量为2q，速度v，电子带负电，电量-q，电子速度v＇>v，若电场方向向左，磁场方向向外，则如果
粒子打在a 点则受到向左的电场力和向右的洛伦兹力平衡
，
，因电子带负电，电量-q，
且电子速度大，受到向左的洛伦兹力qv＇B 大于向右的电场力qE，则电子从而向左偏转；同理如果电子打
在a 点，则
，所以此时
粒子向左的电场力2qE 大于向右的洛伦兹力2qvB，则向左偏转，不会打
在b 点，B 错误；CD．电场方向向右，磁场垂直纸面向里，如果
粒子打在a 点，即向右的电场力和向左
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的洛伦兹力平衡
，
，电子速度大，受到向右的洛伦兹力qv＇B 大于向左的电场力qE 则向
右偏转，从而达到b 点；同理如果电子打在a，
则
粒子向右的电场力2qE 大于向左的洛伦兹力
2qvB 从而向右偏转，会打在b 点；同理电场向右磁场垂直纸面向外时，
粒子受到向右的电场力和洛伦兹
力，电子受到向左的电场力和洛伦兹力不能受力平衡打到a 点，故C 正确，D 错误；
故选C。
24．（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向
竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，
磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。
A 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区
域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从
CF 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域
Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t>t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t>t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
【答案】D
【详解】由题知粒子在AC 做直线运动，则有qv0B1=qE，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF 的
中点射出，则粒子转过的圆心角为90°，根据
，有
，A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强
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度大小变为2B1，则粒子在AC 做直线运动的速度，有qvA∙2B1=qE，则
再根据
，可知粒
子半径减小，则粒子仍然从CF 边射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t=t0，A 错误；B．若仅将区域Ⅰ
中电场强度大小变为2E，则粒子在AC 做直线运动的速度，有qvBB1=q∙2E 则vB= 2v0，再根据
，
可知粒子半径变为原来的2 倍，则粒子F 点射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t=t0，B 错误；C．若仅
将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则粒子在AC 做直线运动的速度仍为v0，再根据
，可知
粒子半径变为原来的
，则粒子从OF 边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
，可知转过的圆心角θ= 60°，根据
，有
，则
，C 错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则粒子在AC 做直线运动的速度仍为v0，再根据
，可知粒子半径变为原来的
，则粒子OF 边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
，可知转过的圆心角为α = 45°，根据
，有
，则
，D 正确。
故选D。
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25．（2022·重庆·高考真题）2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等
离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平
向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q 的正离
子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不
计离子重力，则（ ）
A．电场力的瞬时功率为
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
【答案】D
【详解】A．根据功率的计算公式可知P=Fvcosθ，则电场力的瞬时功率为P=Eqv1，A 错误；B．由于v1 与
磁场B 平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F 洛=qv2B，B 错误；C．根据运动的叠加原理可知，离子在垂
直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1 增大，v2 不变，v2 与v1 的比值不断变小，C
错误；D．离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，D 正确。
故选D。
26．（2022·辽宁·高考真题）（多选）如图所示，带电荷量为
的球1 固定在倾角为
光滑绝缘
斜面上的a 点，其正上方L 处固定一电荷量为
的球2，斜面上距a 点L 处的b 点有质量为m 的带电球
3，球3 与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b 点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为
，球2、3 间的静
电力大小为
。迅速移走球1 后，球3 沿斜面向下运动。
为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球
3 的说法正确的是（ ）
A．带负电
47
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B．运动至a 点的速度大小为
C．运动至a 点的加速度大小为
D．运动至ab 中点时对斜面的压力大小为
【答案】BCD
【详解】A．由题意可知三小球构成一个等边三角形，小球1 和3 之间的力大于小球2 和3 之间的力，弹簧
处于压缩状态，故小球1 和3 一定是斥力，小球1 带正电，故小球3 带正电，故A 错误；
B．小球3 运动至a 点时，弹簧的伸长量等于
，根据对称性可知，小球2 对小球3 做功为0；弹簧弹力做
功为0，故根据动能定理有
解得
故B 正确；
C．小球3 在b 点时，设小球3 的电荷量为q，有
设弹簧的弹力为F，根据受力平衡，沿斜面方向有
解得
小球运动至a 点时，弹簧的伸长量等于
，根据对称性可知
解得
故C 正确；
D．当运动至ab 中点时，弹簧弹力为0，此时小球2 对小球3 的力为
斜面对小球的支持力为
根据牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力大小为
，故D 正确。
故选BCD。
48
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27．（2022·广东·高考真题）（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸
面向里的匀强磁场。电子从M 点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P 两点。已知M、P 在同一等
势面上，下列说法正确的有（ ）
A．电子从N 到P，电场力做正功
B．N 点的电势高于P 点的电势
C．电子从M 到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M 点所受的合力大于在P 点所受的合力
【答案】BC
【详解】A．由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N 到P 的过程中电场力做负功，故A 错误；
B．根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N 点的电势高于P 点，故B 正确；
C．由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M 到N 洛伦兹力都不做功；故C 正确；
D．由于M 点和P 点在同一等势面上，故从M 到P 电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M 点速度为0，
根据动能定理可知电子在P 点速度也为0，则电子在M 点和P 点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在
这两点电场力相等，即合力相等，故D 错误；
故选BC。
28．（2022·湖北·高考真题）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极
相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口
喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差为U 时，电荷量为q、半径为r 的球状油滴在板间保持静止。若
仅将金属板间电势差调整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（ ）
A．q，r
B．2q，r
C．2q，2r
D．4q，2r
【答案】D
【详解】初始状态下，液滴处于静止状态时，满足
即
49
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AB．当电势差调整为2U 时，若液滴的半径不变，则满足
可得
AB 错误；
CD．当电势差调整为2U 时，若液滴的半径变为2r 时，则满足
可得
C 错误，D 正确。
故选D。
29．（2021·湖北·高考真题）（多选）如图所示，一匀强电场E 大小未知、方向水平向右。两根长度均为L
的绝缘轻绳分别将小球M 和N 悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量
大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的
2 倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．M 带正电荷
B．N 带正电荷
C．
D．
【答案】BC
【分析】本题考查库仑定律、受力分析以及共点力的平衡。
【详解】AB．由题图可知，对小球M 受力分析如图（a）所示，对小球N 受力分析如图（b）所示，由受
力分析图可知小球M 带负电，小球N 带正电，故B 正确，A 错误；
CD．由几何关系可知，两小球之间的距离为
当两小球的电荷量为q 时，由力的平衡条件得
两小球的电荷量同时变为原来的2 倍后，由力的平衡条件得
50
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整理解得
故C 正确，D 错误。
故选BC。
30．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电
荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空
间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均
为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在时刻，A 到达位置S，速度为
，此时弹
簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，A
的速度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，、
、
均为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等
效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限
度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
51
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知时刻A 的加速度为0，此时滑块A 所受合外力为0，设此时A 与B 之间的距离为
r0，根据平衡条件有
其中
联立可得
（3）在
时刻，A 的速度达到最大，此时A 所受合力为0，设此时A 和B 的距离为r1，则有
且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功
52
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（4）过S 后，A、B 的加速度相同，则A、B 速度的变化相同。设弹簧的初始长度为
；A 在S 位置时，
此时刻A、B 的距离为
，A 速度最大时，AB 距离为，细杆与B 碰撞时，A、B 距离为
。
A 以
过S 时，到B 与杆碰撞时，A 增加的速度为
，则B 同样增加速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左
运动。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。对A 根据动能定理有
对B 有
当A 以
过S 时，设B 与杆碰撞时，A 速度为
，则B 速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运动
。
设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。
对A 根据动能定理有
对B
联立解得
31．（2023·山西·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，
可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正
极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a 带负电，油滴b 带正电；4:1
【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
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则速率为v 时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率
，可知油滴a 做减速运动，
油滴b 做加速运动，可知油滴a 带负电，油滴b 带正电；当再次匀速下落时，对a 由受力平衡可得
其中
对b 由受力平衡可得
其中
联立解得
32．（2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1 所示，金属板与可调电
源相连形成电场，方向沿y 轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直
平面向外。电场强度和磁感应
强度随时间的变化规律如图2 所示。板间O 点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为
、
初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）
时刻释放的粒子，在
时刻的位置坐标；
54
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（2）在
时间内，静电力对
时刻释放的粒子所做的功；
（3）在
点放置一粒接收器，在
时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期
间被捕获。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
【详解】（1）在
时间内，电场强度为
，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在
时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在
时间内，根据粒子在磁场运动的周期
可知粒子偏转
，速度反向，根据
可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图
55
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所以粒子在
时刻粒子的位置坐标为
，即
；
（2）在
时间内，电场强度为
，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
解得
时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在
时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为
，在
时间内，电场强度为
，竖直方向
解得粒子在
时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离
粒子运动的轨迹如图
56
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在
时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）根据（1）问中解析有
，
①若粒子到达
点之前，在磁场中已经过两个半圆，则释放时刻一定在
时间内，若在
之间
的时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图丙所示，有
，
，
，
，
，
所以
整理发现
57
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所以需满足
，代入数据解不等式，
当
时不等式成立
②若粒子到达
点前只经过一个半圆，则粒子在磁场中运动的轨迹半径
由
得，经第一次电场加速的末速度
，则粒子在
时间内释放不可能，如果在
时间内释放，则第一次在电场中加速的时间
，即在
时释放符合条件，
但在此情况下，
，经过一个半圆后在电场中减速至速度为零的位移大小为
联立有
故此情况下无法到达
点，所以考虑在
时间内释放，假设粒子第一次在电场中加速的时间为
，则
，在此种情况下，
，经过一个半圆后在电场中减速至速度为零的位移大小
为
联立有
故此情况下粒子能在
点被吸收，所以粒子释放时刻为
综上可知，在
或
时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获
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33．（2022·湖南·高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为
和
，直流电源的内阻不计，平行板电
容器两极板水平放置，板间距离为
，板长为
，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为
、带
电量为
的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘
点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电
容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为
，忽略空气阻力。
（1）求直流电源的电动势
；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度
；
（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
两端的电压
根据欧姆定律得
联立解得
（2）如图所示
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设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系
解得
根据
解得
（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为
，要使小球做直线运动，当小球
所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得
解得
34．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨在B 点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度
大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有方向与x 轴夹
角为
的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球从A 到B，根据能量守恒定律得
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（2）小球从B 到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O 点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x 轴和y 轴，则x 轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O 点开始以后的运动为x 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y 轴方向做匀速直线运动，
即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O 点后运动的轨迹方程
35．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923 年的
诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d 的足够大金属极板，上极板中央
有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为
、位于
同一竖直线上的球形小油滴A 和B，在时间t 内都匀速下落了距离
。此时给两极板加上电压U（上极板接
正极），A 继续以原速度下落，B 经过一段时间后向上匀速运动。B 在匀速运动时间t 内上升了距离
，随后与A 合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的
空气阻力大小为
，其中k 为比例系数，m 为油滴质量，v 为油滴运动速率，不计空气浮力，重力
加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B 的带电量和电性；B 上升距离
电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
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【答案】（1）
；（2）油滴A 不带电，油滴B 带负电，电荷量
，电势能的变化
量
；（3）见解析
【详解】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时
又
联立可得
（2）加电压后，油滴A 的速度不变，可知油滴A 不带电，油滴B 最后速度方向向上，可知油滴B 所受电
场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B 带负电，油滴B 向上匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得
根据
又
联立解得
（3）油滴B 与油滴A 合并后，新油滴的质量为
，新油滴所受电场力
若
，即
62
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可知
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律
可得
新油滴向上加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向上；若
，即
可知
设向下为正方向，根据动量守恒定律
可知
新油滴向下加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向下。
36．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入
工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，
经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感
应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分
别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置
M 和N 处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L 的正方体，其偏转系统的底面
与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O 点
（即图中坐标原点，x 轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经
过电场和磁场偏转的角度都很小。当α 很小时，有
，
。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
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【答案】(1)
，
；(2)（
，0）；(3)（0，
）；(4)见解析
【详解】(1)通过速度选择器离子的速度
从磁分析器中心孔N 射出离子的运动半径为
由
得
(2)经过电场后，离子在x 方向偏转的距离
离开电场后，离子在x 方向偏移的距离
位置坐标为(
，0)
(3)离子进入磁场后做圆周运动半径
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经过磁场后，离子在y 方向偏转距离
离开磁场后，离子在y 方向偏移距离
则
位置坐标为(0，
)
(4)注入晶圆的位置坐标为(
，
),电场引起的速度增量对y 方向的运动不产生影响。
37．（2024·全国·校联考一模）如图所示，竖直放置的半径为
的四分之一光滑圆弧轨道
与粗糙绝缘水
平轨道
在B 处平滑连接，
为圆弧轨道的圆心，OB 左侧空间存在竖直向下的匀强电场，场强大小为
。
一质量为
带负电的物块，电荷量
，以一定的初速度从A 点沿切线进入圆弧轨道。物块与水平轨
道
间的动摩擦因数为
。已知重力加速度大小为
，下列说法正确的是（ ）
A．无论在A 点的初速度多大，物块一定能沿圆弧轨道运动到B 点
B．物块以不同的初速度从A 点沿圆弧轨道滑到B 点，其在B 点的速度最小为0
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C．物块以不同的初速度从A 点沿圆弧轨道滑过B 点后，最终可停在距B 点
的位置
D．物块沿圆弧轨道滑过B 点后，最终停在
上，因摩擦产生的热量最小值为
【答案】D
【详解】AB．物块带负电，电场力竖直向上且大于重力，故B 点为圆轨道等效最高点，物块不一定能沿
圆弧轨道运动到B 点；物块运动到B 点的临界条件为物块在B 点与轨道的压力为0，由牛顿第二定律
得B 点的最小速度
在
轨道，由动能定理
可得
故
点也存在速度的最小值，故AB 错误；
CD．在BC 轨道，由动能定理
得
可知物块停止位置到B 点的最小距离为
故C 错误；
D．根据能量守恒与转化，摩擦产生的热量
故D 正确。
故选D。
38．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直纸面（
平面）向外，电场的方向沿y 轴正方向。一质量为m、电荷量为q 的带电粒子在电场和磁场的作用下，
从坐标原点O 由静止开始运动（其轨迹如图所示）。已知磁感应强度的大小为B，电场强度大小为E，不
计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
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A．粒子带负电
B．粒子运动轨迹是抛物线
C．粒子距离x 轴的最大距离为
D．粒子运动过程中的最大速度为
【答案】C
【详解】A．粒子由静止开始运动，电场力方向竖直向上，故粒子带正电，选项A 错误；B．粒子运动时
受电场力和洛伦兹力，因洛伦兹力是变力，则轨迹不是抛物线，运动轨迹为摆线，选项B 错误；CD．将
粒子的运动分解为速度
，的向右的匀速直线运动和速度为v 的沿顺时针方向的匀速圆周运动，则粒
子距x 轴的最大距离
，两分运动同向时速度最大，则最大速度为
，故选项C
正确，选项D 错误。
故选C。
39．（2023·四川成都·统考一模）如图，空间存在范围足够大的匀强电场，场强大小
，方向水平向
右。竖直面内一绝缘轨道由半径为R 的
光滑圆弧
与足够长的倾斜粗糙轨道AB、CD 组成，AB、CD
与水平面夹角均为45°且在B、C 两点与圆弧轨道相切。带正电的小滑块质量为m，电荷量为q，从AB 轨
道上与圆心O 等高的P 点以
的速度沿轨道下滑。已知滑块与AB、CD 轨道间的动摩擦因数
，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．滑块在AB 轨道下滑时的加速度大小为g
B．滑块在
轨道中对轨道的最大压力为3mg
67
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C．滑块最终将在
轨道之间做往复运动
D．滑块在AB 轨道及CD 轨道上运动的总路程为2R
【答案】AD
【详解】A．根据题意可知
重力与电场力的合力
，方向垂直于AB 面向下，滑块在AB 轨道下滑时，有
解得
加速度大小为g，A 正确；
B．由几何关系可知，
滑块在
轨道的B 点对轨道有最大压力，设此时滑块的速度为，轨道对滑块的支持力为
，有
解得
根据牛顿第二定律，有
解得
根据牛顿第三定律，滑块在
轨道中对轨道的最大压力为
B 错误；
C．从B 点到C 点，电场力做负功，滑块需克服电场力做功为
所以滑块在到达C 点前已经减速到0，后反向滑回到B 点，滑块从B 点出发到滑回到B 点的过程中，合力
做功为零，所以速度大小不变，仍为，然后沿BA 轨道上向上滑行，由于在BA 轨道只有摩擦力做负功，
所以最后会停在AB 轨道上，C 错误；
D． 由于滑块在
轨道上合力做功为0，所以滑回B 点时，速度依然为
，设在AB 轨道上滑行
后减速为0，有
解得
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所以滑块在AB 轨道及CD 轨道上运动的总路程为
D 正确。
故选AD。
40．（2024·浙江·校联考一模）空间中固定一电量为
的点电荷，且存在某方向的匀强电场
，使一初速
度为
，带电量为
的小球恰可绕该点电荷作半径为的圆周运动，则（ ）
A．若点电荷电量为
，则匀强电场方向一定向上
B．将点电荷电量变为
，则小球圆周运动半径变为
C．换用另一带电量
的小球使之仍以
绕该点电荷做圆周运动，则小球运动半径仍为
D．若只撤去点电荷
，同时调节场强为
，则小球将作类平抛运动
【答案】C
【详解】A．若点电荷电量为
，则q 带负电，小球所受的匀强电场的电场力与重力平衡，因此匀强电场
方向一定竖直向下，A 错误；
B．根据库仑定律和牛顿第二定律可知
可知若点电荷电量变为
，小球的速度大小不变，小球圆周运动半径应变为
，B 错误；
C．用另一带电量
的小球使之仍以
绕该点电荷做圆周运动，根据
可知小球的质量变为原来的2 倍，根据
可知则小球运动半径仍为，C 正确；
D．只撤去点电荷
，同时调节场强为
，则小球所受的合力为
若初速度沿水平方向，小球做类平抛运动，若初速度竖直向上，则做匀加速直线运动，若初速度倾斜，做
斜抛运动，D 错误。
故选C。
41．（2023 上·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考期中）（多选）一带电荷量为＋q 的滑块放在粗糙水
平地面上，空间存在水平向右、电场强度大小为E 的匀强电场，给滑块一向右的初速度，滑块恰好做匀速
直线运动。突然在空间施加沿纸面与水平方向成60°角、斜向右下方、电场强度大小也为E 的另一匀强电
场，滑块仍然做匀速直线运动，关于滑块在两个叠加电场中的运动，下列说法正确的是（ ）
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A．滑块对地面的压力大小为
B．滑块与地面间的动摩擦因数为
C．滑块受到地面的滑动摩擦力大小为
D．滑块在两个叠加电场中运动时受到的电场力与受到的重力大小相等
【答案】BCD
【分析】本题考查带电物体在电场中的运动，目的是考查学生的创新能力。
【详解】ABC．只有水平电场时滑块匀速运动，则
,再加沿纸面与水平方向成60°角、斜向右下方、
电场强度大小也为E 的另一匀强电场时滑块也做匀速运动，则
,
,
,解得
，
，
，
，故A 错误，BC 正确；D．滑块在叠加电
场中运动时受到的电场力
，故D 正确。
故选BCD。
42．（2024·四川凉山·统考一模）（多选）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xoy，整个空间存在平
行xoy 平面与y 轴正方向成45°角的匀强电场E。质量为m 的带电小球从坐标原点O 沿x 轴的正方向以速度
v 水平抛出，经过一段时间小球以
v 的速度穿过y 轴正半轴某点（图中未画出），不计空气阻力，则
（ ）
A．小球可能带负电
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B．小球所受电场力的大小为
mg
C．小球电势能最大时动能最小
D．小球电势能最大时水平速度等于竖直速度
【答案】BD
【详解】A．从抛出到穿过y 轴正半轴的过程中，重力做负功，动能增加，电场力做正功，小球沿着电场
线的方向运动了一段距离，因此小球带正电，A 错误；B．将电场强度分解到水平方向和竖直方向，则在
水平方向上
，
，
，在竖直方向上
，
，而
，联立解得
，B 正确；
CD．小球抛出后，当速度方向与电场线垂直斜向上时，克服电场力做功最多，电势能最大，此时电场力的
方向与速度方向垂直，而重力的方向与速度方向夹角为钝角，接下来小球的速度会继续减小，并非此时是
动能最小的时刻，C 错误，D 正确。
故选BD。
43．（2023·河南开封·统考一模）（多选）如图所示，P、Q、S 是三个带同种电荷完全相同的带电小球，
现将P、Q、S 三小球从同一水平面上静止释放，P 小球经过有界的匀强电场落到地面上，Q 小球经过有界
的匀强磁场落到地面上，S 小球直接落到地面上，O 点是它们释放点在地面上的投影点，忽略空气阻力，
下列说法正确的是（ ）
A．只有S 小球能落在O 点上，且P、Q 小球可以落在O 点的异侧
B．只有S 小球能落在O 点上，且P、Q 小球一定落在O 点的同侧
C．三小球落地时，动能大小关系为EkP>EkQ=EkS
D．三小球所用的时间关系为tP=tS>tQ
【答案】BC
【详解】AB．假设P、Q、S 三个小球都带正电，则P 小球进入电场受到水平向右的电场力，故P 小球不
能落到O 点，降落到O 点的右侧；Q 小球由左手定则可知，将受到向右的洛伦兹力，向右发生偏转，故Q
小球不能落到O 点，降落到O 点的右侧；S 小球做自由落体运动，能落到O 点上，故A 错误，B 正确；
C．三个小球下落过程重力做功相同，而P 小球有电场力做正功，Q 小球洛伦兹力不做功，由动能定理可
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知，合外力对P 小球做功最多，Q、S 小球做功相同，故动能大小关系为
，故C 正确；D．
P、S 小球竖直方向均做自由落体运动，故时间相同，Q 小球受洛伦兹力发生偏转，偏转过程中受到洛伦兹
力竖直向上的分力，故下落的加速度变小，时间变大，故三小球所用的时间关系为
，故D 错误。
故选D。
44．（2023·天津和平·统考二模）（多选）如图所示，在空间中存在水平向右的足够大匀强电场，一带电
小球从电场中的A 点以某一速度水平向右进入电场，一段时间后到达最右端B 点，之后又回到A 点正下方
的C 点（图中未标出），不计空气阻力，下列分析正确的是（ ）
A．小球从A 点运动到B 点电势能增加量等于动能的减小量
B．小球从A 点到B 点所用时间与从B 点到C 点所用时间相等
C．小球在C 点时的动能一定大于在A 点时的动能
D．A、B 两点间与B、C 两点间竖直位移相等
【答案】BC
【详解】A．根据能量守恒定律，可知小球从
点运动到
点
，故A 错误；B．因为带
电小球在水平方向上只受电场力，水平加速度不变，所以带电小球从
点运动到
点与从
点运动到
点
所用时间相等，故B 正确；C．小球从
点运动到
点，电场力做功为零，电势能不变，因为小球的重力
势能减小了，所以动能一定增大，即小球在
点时的动能一定大于在
点时的动能，故C 正确；D．因为
带电小球从
点运动到
点与从
点运动到
点所用时间相等，而在竖直方向上带电小球做自由落体运动，
根据匀变速直线运动的规律，相等时间内的位移一定变大，即
，故D 错误。
故选BC。
45．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）如图所示，在水平方向的匀强电场中，一质量为m 的带电小球用一
轻绳连接恰好在竖直平面内绕O 点做半径为R 的圆周运动，运动轨迹上均匀地分布着A、B、C、D、F、
G、H 和P 点，OA 垂直于电场强度方向。已知小球带电荷量为
，电场强度
（g 为重力加速
度），则下列说法错误的是（ ）
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A．小球在A 点时的速度为
B．小球运动至C 点的电势能小于H 点时的电势能
C．小球运动过程中绳子的最大拉力为
D．小球运动过程中的最小速度为
【答案】AC
【详解】AD．由于电场强度
，则有
，电场力和重力的合力大小为
，方向与竖直方向成
斜向右下；小球恰好在竖直平面内绕O 点做圆周运动，
则它运动到达P 点时速度最小，设为，此时电场力和重力的合力刚好提供向心力，则有
，解
得
，小球从P 到A 的过程中，由动能定理可得
，解得
，故A 错误，满足题意要求，D 正确，不满足题意要求；B．由于
，
，根据
，可知小球运动至C 点的电势能小于H 点时的电势能，故B 正确，不满足题意要求；C．小球运动
等效最低点D 时的速度最大，对绳子的拉力最大，小球从P 到D 的过程中，由动能定理可得
，在等效最低点D 处，根据牛顿第二定律可得
，联立解得
，故C 错误，满足题意要求。
故选AC。
46．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）（多选）如图所示，ab 和bc 区域的宽度均为d．ab 区域存在水平向
左、电场强度大小为E 的匀强电场；bc 区域存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向上，电场
强度大小为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小
。今有一带正电的微粒从a 边缘平行电场方
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向以初速度
水平向右射入电场，从b 边缘的P 点进入bc 区域时的速度大小不变，方向变为竖直向下。已
知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．a、P 两点间距离为
B．微粒在ab 区域中做半径为d 的匀速圆周运动
C．微粒在bc 区域中做半径为
的匀速圆周运动
D．微粒在ab、bc 区域中运动的总时间为
【答案】AD
【详解】AB．微粒在
区域中，水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀加速运动，并且平均速度相同，
故竖直位移和水平位移均为
，故
间距离为
，故A 正确，B 错误；CD．微粒在
区域中运动时
间为
，且满足
，
，在
区域，重力与电场力平衡，故微粒在洛伦兹力作用下做匀速
圆周运动，半径为
，根据几何知识可知，微粒在复合场中转过的角度为
，故
运动时间为
，故C 错误，D 正确。
故选AD。
47．（2024·云南红河·统考一模）（多选）如图所示，边长均为
的正方形区域
和
位
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于同一竖直平面内，
内存在竖直方向的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场，
内存在匀强电场。
一质量
、电荷量
的小球，从距A 点正上方
的O 点静止释放，进入
后做匀速圆周运动，之后恰好从C 点沿水平方向进入
，取
，则（ ）
A．
内的电场强度
，方向竖直向上
B．磁感应强度
，方向垂直纸面向里
C．若
内存在竖直向下的匀强电场
，恰好能使小球从F 点飞出，则
两点的电势差
D．若
内存在水平向左的匀强电场强度
，则恰好能使小球从G 点飞出
【答案】AC
【详解】A．小球进入
后做匀速圆周运动，则电场力与质量平衡，有
，解得
，方向竖直向上，故A 正确；B．进入
后做匀速圆周运动，
之后恰好从C 点沿水平方向进入
，根据几何关系可知，小球在
区域内做匀速圆周运动的半径
为
，粒子进入
前做自由落体运动，则有
，根据洛伦兹力提供向心力可
得
，可得磁感应强度大小为
，根据左手定则可知，磁感应强
度方向垂直纸面向里，故B 错误；C．若
内存在竖直向下的匀强电场
，恰好能使小球从F 点飞出，
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则有
，
，
，联立解得
，则
两点的电势差为
，故C 正确；D．若
内存在水平向左的匀强电场强度
，设小球从
边离开，
则竖直方向有
，解得
，水平方向有
，
，解得
，可知小球从
边的中点飞出，故D 错误。
故选AC。
48．（2024·江西景德镇·江西省乐平中学校联考一模）（多选）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的
带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距
离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球
的比荷为
，如图所示。现给小球一个向右的初速度，离开桌边缘立刻进入复合场运动，从下边界射出，
射出时的速度方向与下边界的夹角为
。下列说法正确的是（ ）
A．小球在复合场中的运动时间可能是
B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是
C．小球在复合场中运动的路程可能是
D．小球的初速度大小可能是
【答案】AC
【详解】带电小球的比荷为
，则有
，则小球合力为洛伦兹力，所以小球在复合场中做匀速圆周
运动，射出时的速度方向与下边界的夹角为
，则小球运动情况有两种，轨迹如下图所示
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若小球速度为
，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为
，此时小球在复合场中的运动时间为
，根据几何知识可得，其轨迹半径为
，则根据洛伦兹力提供向心力有
，可得，小球的速度为
，则小球的路程为
，小球的加速度为
，若小球速度为
，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为
，此时小球在复合场
中的运动时间为
，根据几何知识可得，其轨迹半径为
，则根据洛伦兹力
提供向心力有
，可得，小球的速度为
，则小球的路程为
，小球
的加速度为
。
故选AC。
49．（2024·湖南·湖南师大附中校联考一模）如图所示，一绝缘细杆ABC，细杆在B 处平滑拐弯，
，AB 与水平面成37°，BC 水平，空间存在与杆所在的竖直面平行水平向右场强
的匀强电场，一质量
电量
的带正电小球套在细杆上，小球与杆间的
动摩擦因数
，现将小球从A 端静止释放，小球通过B 处时无能量损失，不计空气阻力（
，
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）求：
（1）小球经过多长时间运动到B 端；
（2）小球第一次落回到水平面时与C 端的距离。
【答案】（1）
；（2）10.8m
【详解】（1）从A 端静止释放到B 端过程对小球进行受力析如图
可知电场力
沿斜面向上的分力为
电场力
垂直斜面向下的分力为
由动能定理得到B 端速度为
解得
由匀变速直线运动规律公式
代入数据解得
由匀变速直线运动位移公式
解得
（2）小球BC 过程做匀加速直线运动，由动能定理得
解得C 点速度为
小球第一次落回到水平面时，小球竖直方向做自由落体运动得
解得下落时间为
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水平方向做匀加速直线运动位移为
代入数据解得
50．（2024·浙江嘉兴·统考一模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在
平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。位于坐标原点
处
的离子源能在
平面内持续发射质量为
、电荷量为的负离子，其速度方向与
轴夹角的最大值为
，且各个方向速度大小随变化的关系为
，式中
为未知定值。且
的离子恰好通过坐标
为（
，
）的
点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求关系式
中
的值；
（2）离子通过界面
时
坐标的范围；
（3）为回收离子，今在界面
右侧加一定宽度且平行于
轴的匀强电场，如图所示，电场强度
。为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面
，求所加电场的宽度至少为多大？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由于
的离子恰好通过坐标为（
，
）的
点，此时离子的速度为
，运动半径为
由牛顿第二定律得
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解得
（2）对于任意的速度方向与
轴成角的离子，设其在磁场中的运动半径为，如图所示
由牛顿第二定律得
且有
解得
故所有离子做圆周运动的轨道圆心均在界面
上，且速度方向垂直于界面
；当
时
故离子通过界面
时
坐标的最小值为
坐标的最大值为
则离子通过界面
时
坐标的范围为
（3）须保证最大速度为
的离子不能穿越电场区域。
解法一：设离子在进入电场时，除了有垂直于界面的初速度
，还有两个大小相等、方向相反的沿界面
的速度
，如图所示
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令
可得
则该离子做圆周运动的速度
与水平方向的夹角
则该离子做圆周运动时满足
可得
则所求电场的最小宽度
解法二：恰好能重回界面
的离子到达右边界的速度方向与界面平行，设其为
，对该离子竖直方向运
用动量定理有
求和得
又由动能定理得
综合可得电场的最小宽度为
51．（2024·浙江·校联考一模）如图所示，水平地面上有一辆小车，上方固定有竖直光滑绝缘细管，管的
长度
，有一质量
、电荷量
的绝缘小球A 放置在管的底部，小球的直径略小于细管。在管口所
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在水平面MN 的下方存在着垂直纸面向里的匀强磁场。现让小车始终保持速度的
向右匀速运动，以带电
小球刚经过磁场的竖直边界为计时起点，并以此时刻管口处为坐标原点
建立
坐标系，
轴与磁场边
界重合，小球刚离开管口时竖直向上的分速度
，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小和绝缘管对小球做的总功；
（2）小球经过轴时的坐标；
（3）若第一象限存在和第四象限大小和方向都相同的的匀强磁场，同时绝缘管内均匀紧密排满了大
量相对绝缘管静止，与小球
完全相同的绝缘小球。不考虑小球之间的相互静电力，求能到达纵坐标
的小球个数与总小球个数的比值。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）在水平方向上，小球随车向右做匀速直线运动，该分速度对应的洛伦兹力方向竖直向上，
为一个定值，可知，小球在
方向上做匀加速运动，则有
解得
在竖直方向上，根据牛顿第二定律有
解得
即有
在上升过程中，根据动能定理有
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解得
（2）小球第一次上升到轴，水平位移为
其中
解得
进入第一象限后，小球做斜抛运动，加速度仍然为重力加速度，可知，当小球重新回到轴时，水平位移
解得
小球回到绝缘管后在竖直方向以
做减速运动，根据周期性，与轴交点的坐标为
即坐标为
。
（3）由于小球恰能到达
，此时
为能到达的最高点，则有
解得
结合上述有
根据速度分解有
则有
解得
可知
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解得
可知能够到达
处的小球个数与总小球个数的比值为
52．（2023·四川乐山·统考一模）如图所示，一个质量为0.5g，带电量+2.5×10-3C 的小球用轻质细线悬挂于
O 点，整个装置所在空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E=1N/C。此时，小球以O1为圆心在
水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知OA 长度L 为1m，O1O2的竖直距离为0.4m
（O、O1、O2）在同一竖直线上），重力加速度g 取10m/s2。
（1）求小球做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）某时刻绳OA 断裂，求小球落地时速度和水平线的夹角。
【答案】（1）1.5m/s；（2）53°
【详解】（1）对小球受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律可得
解得
（2）细绳断裂后，小球在竖直平面内做类平抛运动，可分解为竖直方向的匀加速直线运动，则
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设小球落地时与水平线的夹角为α，则
所以
53．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示， 用长为l 的绝缘细线把一个质量为m， 电荷量为q 的带
正电小球悬挂在O 点，现加一电场强度最小的匀强电场， 使小球静止在 A 点， 此时细线与竖直方向夹
角
重力加速度为g，求：
（1）电场强度大小及方向；
（2）要使小球能绕O 点做完整的圆周运动， 在 A 点沿切线方向给小球的初速度的最小值。
【答案】（1）
，方向与水平方向夹角45°，斜向右上方；（2）
【详解】（1）如图所示，当电场力方向与细线垂直时电场力最小
由几何关系
解得
与水平方向夹角45°，斜向右上方。
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（2）由（1）可知，在A 点电场力与重力的合力为
故小球恰好通过等效最高点时有
从A 到等效最高点应用动能定理有
解得
54．（2023·黑龙江·校联考一模）半径为R 的半圆形光滑绝缘轨道固定在水平面上，直径AC 以下存在匀强
电场，以圆心为坐标原点建立xOy 坐标系。质量为m、电荷量为+q 的小球（可视为点电荷）从A 点以上
（R，R）由静止释放，从A 点进入半圆形轨道，沿轨道运动到最低点B 时速度恰好为零。求：
（1）刚进入半圆形轨道时小球对A 点的压力；
（2）小球速度最大时的位置坐标。
【答案】（1）4mg，水平向左；（2）
【详解】（1）小球释放后到B 点的过程，有
解得
小球释放后到A 点的过程，有
对小球在A 点水平方向做受力分析，由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律有
解得
方向水平向左；
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（3）设小球在D 位置时速度最大，OD 与x 轴正方向的夹角为θ，从开始下落到D 点的过程中，有
整理得
，
小球速度最大时
由此可知
，
所以
即D 点的位置坐标为
。
55．（2023·全国·校联考一模）如图所示，竖直虚线的左侧存在竖直向上电场强度大小为E 的匀强电场，
右侧存在竖直向上电场强度大小为2E 的匀强电场与垂直纸面向外磁感应强度大小为B 的匀强磁场。光滑
绝缘的四分之一圆弧轨道ab 固定在虚线左侧的竖直平面内，a 点的切线竖直，b 点正好在虚线上，且切线
水平，P 点是圆弧ab 的中点，带电量为q 的带正电小球从a 点由静止释放，离开b 点在虚线的右侧正好做
匀速圆周运动，经过一段时间到达虚线上的c 点。已知b、c 两点间的距离是圆弧轨道ab 半径的2 倍，重
力加速度大小为g。
（1）求小球的质量以及小球在b 点的速度大小；
（2）求圆弧轨道P 点对小球的支持力大小；
（3）求小球从b 到c 动量的变化率以及a、c 两点间的电势差。
87
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）小球在虚线的右侧正好做匀速圆周运动，故在右侧小球所受重力与电场力相互平衡，则有
解得
设小球在右侧做匀速圆周运动的半径为r，小球做勺速圆周运动由洛伦兹力提供向心力，则有
小球从a 点到b 点，只有重力和电场力做功，则根据动能定理可得
联立解得
（2）小球在圆弧轨道上做圆周运动，在P 点的向心力由重力分力、电场力分力、轨道支持力提供向心力，
则有
88
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小球从a 点到P 点，只有重力和电场力做功，则根据动能定理可得
联立解得
（3）小球在右侧做勺速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
小球从b 到c 为周期的一半，则
小球从b 到c 速度大小不变，方向相反，则
则动量变化率为
小球从a 到c 受到重力、电场力做功，则根据动能定理可得
解得
则
根据电场线方向可知，a 点电势高于c 点，则a、c 两点间的电势差为
。
56．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，
在真空的坐标系中，第一象限和第四象限存在着垂直纸面向内的匀强磁场，第二象限内有边界互相平行且
宽度均为d 的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里匀强磁场，调节电场和
磁场大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为m、电荷量为q 的带正电粒子在边界
P 处由静止释放，粒子恰好以速度大小v 从y 轴上的Q 点进入第一象限，经过x 轴上的M 点时速度方向刚
好沿x 轴正向。已知Q 点坐标为（0，L），M 点坐标为（3L，0），不计粒子重力及运动时的电磁辐射，
不考虑粒子再次进入第二象限的运动情况。
（1）求第一、四象限中匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）求第二象限中电场强度大小E0和磁感应强度大小B0；
（3）若粒子到达M 点时立即在第一、四象限内加竖直向下的匀强电场，使粒子经过N 点时速度方向
沿x 轴正向，已知N 点坐标为（6L，0），求所加匀强电场的大小。
89
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）见解析
【详解】（1）设粒子在第一象限做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系可得
解得r=5L
由
解得
（2）粒子从P 到Q，电场力做正功，洛仑兹力不做功，由动能定理得
解得
设粒子速度与y 轴负方向的夹角为θ，如图
由几何关系可得
粒子在经过磁场时的水平方向上，由动量定理
即
解得
90
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（3）①若带电粒子沿直线运动，设所加电场强度的大小为E1，则
解得
②若带电粒子沿滚轮线运动，设所加电场强度的大小为E2，则
解得
91
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02 常见电学仪器
考向一 常见电学仪器
1．（2021·福建·高考真题）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，
磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子（
）以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿
中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O 点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（ ）（所有粒
子均不考虑重力的影响）
A．以速度
的射入的正电子
B．以速度
射入的电子
C．以速度
射入的核
D．以速度
射入的a 粒子
【答案】B
【详解】质子（
）以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，将受到向上的洛伦兹力
和电场力，满足
，解得
，即质子的速度满足速度选择器的条件；A．以速度
的射入的正
电子
，所受的洛伦兹力小于电场力，正电子将向下偏转，故A 错误；B．以速度
射入的电子
，
依然满足电场力等于洛伦兹力，而做匀速直线运动，即速度选择题不选择电性而只选择速度，故B 正确；
C．以速度
射入的核
，以速度
射入的a 粒子
，其速度都不满足速度选器的条件
，
故都不能做匀速直线运动，故CD 错误；
故选B。
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2．（2021·江苏·高考真题）如图1 所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O 点为圆心，磁感应强度大小
为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q 的粒子从O 附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过
P 点绕O 做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P 位置安装
一个“静电偏转器”，如图2 所示，偏转器的两极板M 和N 厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心
角为
，当M、N 间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E 的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再
次被加速前射出磁场，不计M、N 间的距离。求：
（1）粒子加速到P 点所需要的时间t；
（2）极板N 的最大厚度
；
（3）磁场区域的最大半径
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子在P 的速度大小为
，则根据
可知半径表达式为
对粒子在静电场中的加速过程，根据动能定理有
粒子在磁场中运动的周期为
粒子运动的总时间为
解得
93
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（2）由粒子的运动半径
，结合动能表达式
变形得
则粒子加速到P 前最后两个半周的运动半径为
，
由几何关系有
结合
解得
（3）设粒子在偏转器中的运动半径为
，则在偏转器中，要使粒子半径变大，电场力应和洛伦兹力反向，
共同提供向心力，即
设粒子离开偏转器的点为
，圆周运动的圆心为
。由题意知，
在
上，且粒子飞离磁场的点与
、
在一条直线上，如图所示。
粒子在偏转器中运动的圆心在
点，从偏转器飞出，即从
点离开，又进入回旋加速器中的磁场，此时粒
子的运动半径又变为
，然后轨迹发生偏离，从偏转器的
点飞出磁场，那么磁场的最大半径即为
将等腰三角形
放大如图所示。
94
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虚线为从
点向
所引垂线，虚线平分
角，则
解得最大半径为
3．（2021·天津·高考真题）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体
材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系
，如图所示。半导体中有电荷量均为e
的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目
分别为n 和p。当半导体材料通有沿
方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感
应强度的大小为B，沿
方向，于是在z 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小
为E，沿
方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿
方向上形成的电流为
，求单个自由电子由于定向移动在z 方向上
受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小
；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z 方向定向移动的速率分别为
、
，求
时间内运动到
半导体z 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z 方向上形成的电流应满足的条件。
95
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【答案】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿
方向；（2）
；（3）见解析所示
【详解】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿
方向；
（2）设t 时间内流过半导体垂直于x 轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有
设自由电子在x 方向上定向移动速率为
，可导出自由电子的电流微观表达式为
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
霍尔电场力大小为
自由电子在z 方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立得其合力大小为
（3）设
时间内在z 方向上运动到半导体上表面的自由电子数为
、空穴数为
，则
霍尔电场建立后，半导体z 方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应
即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z 方向形成的电流应大
小相等、方向相反。
4．（2021·广东·高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c 围成的区
域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆c 之间有三个圆心角均略小于90°的扇环
形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能
从圆b
上P 点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间电势
差为U，圆b 半径为R，圆c 半径为
，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取
。
（1）当
时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为
45°，最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中
的运动时间及在Q 点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当
时，要保证电子从
出射区域出射，求k 的最大值。
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【答案】（1）
，
，
；（2）
【详解】（1）电子在电场中加速有
在磁场Ⅰ中，由几何关系可得
联立解得
在磁场Ⅰ中的运动周期为
由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为
在磁场Ⅰ中的运动时间为
联立解得
从Q 点出来的动能为
（2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为
，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得
解得
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由于
联立解得
5．（2023·浙江台州·统考模拟预测）如图所示，将霍尔式位移传感器置于一个沿轴正方向的磁场中，磁
感应强度随位置变化关系为
（
且均为常数），霍尔元件的厚度
很小。当霍尔元件
通以沿轴正方向的恒定电流，上、下表面会产生电势差
，则下列说法正确的是（ ）
A．若霍尔元件是自由电子导电，则上表面电势低于下表面
B．当物体沿轴正方向移动时，电势差
将变小
C．仅减小霍尔元件上下表面间的距离，传感器灵敏度
将变弱
D．仅减小恒定电流，传感器灵敏度
将变弱
【答案】D
【详解】A．霍尔元件是自由电子导电，受洛伦兹力的是电子，根据左手定则。电子受向下的洛伦兹力，
所以下表面带负电，上表面带正电，上表面电势高于下表面，A 错误；B．设霍尔元件上下表面高度差为，
电子定向移动速度为，电子电荷量为，霍尔元件平衡时，有
，解得
，又因为
，其中为单位体积的自由电子数，可得
，则
，当物体沿轴正方
向移动时增大，所以
增大，电势差
也增大，B 错误；CD．传感器灵敏度为
，因为
，
可得
，
，仅减小霍尔元件上下表面间的距离，传感器灵敏度
不变，仅减小恒定电
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流，传感器灵敏度
将变弱，C 错误，D 正确。
故选D。
6．（2023·四川成都·校联考模拟预测）（多选）利用霍尔效应制作的霍尔元件广泛应用于测量和自动控制
等领域，如图是霍尔元件的工作原理示意图。磁感应强度B 垂直于用金属材料制成的霍尔元件的表面向下，
通入图示方向的电流I，C、D 两端会形成电势差
，电子的电荷量为e，导体中单位体积内的电子数为
n，垂直于电流的侧面长宽分别为h、d。则下列说法正确的是（ ）
A．C 端电势一定高于D 端电势
B．载流子所受电场力的大小为
C．仅增大电流I，
的绝对值将增大
D．仅增大d，
的绝对值将增大
【答案】BC
【详解】A．因霍尔元件材料为金属，金属中可自由移动的是电子，电子受洛伦兹力向左，即电子会打到
C 端，故有
，C 端电势低于D 端电势，故A 错误；B．根据电场强度定义式可得F=Ee，又因
，电子受电场力大小为
，故B 正确；CD．当霍尔元件状态稳定时，根据平衡条件，
有
，
其中
，解得
，仅增大电流I，
增大；仅增大d，
减小，故C 正确，D 错误。
故选BC。
7．（2023·广东·统考二模）如图甲所示为一种可用于检测和分离同位素的装置，大量带电粒子从加速电场
的上边缘由静止释放，通过宽度为L 的狭缝MN，垂直进入磁感应强度为B 的匀强磁场后，均打到照相底
片上．若释放的粒子是质子和氘核，其电荷量均为
，质量分别为m 和2m，不考虑重力及粒子之间的相
互作用。
（1）若加速电场的电势差为U，求质子打在照相底片上的位置到M 点的最小距离；
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（2）要使质子和氘核在照相底片上形成的谱线带能够完全分离，求加速电场的电势差应满足的条件；
（用m、e、B、L 表示）
（3）某同学将该装置的狭缝宽度减小到可忽略的程度，将狭缝下方的磁场改为水平向左、电场强度
大小为E 的匀强电场，并在狭缝MN 下方距离为d 处水平放置照相底片（如图乙），请推导静止释放的质
子，通过两个电场后在照相底片上形成的谱线距狭缝的水平距离x 与加速电场的电势差U 的关系式，并判
断该改装装置能否用于检测和分离同位素。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）质子在加速电场中运动时，根据动能定理有
质子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律有
解得质子在磁场中的轨道半径
质子打在底片上的位置到M 点的最小距离x=2r1–L
解得
（2）由（1）得氘核在磁场中的轨道半径
要使两谱线完全分离，需满足2r2-2r1>L
解得
（3）质子在加速电场中运动时，根据功能定理有
100
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质子进入水平电场后，做类平抛运动有
联立解得
照相底片上形成的谱线位置与带电粒子的质量和电荷量无关，因此该改装装置不能用来检测和分离同位素。
101
