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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第12 章 磁场
第12.10 讲 带电粒子在叠加场中的运动
【知识点精讲】
1.复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
三种场的比较
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相
同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动
能
2.带电粒子在复合场中运动的几种情况
(1)当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，粒子将静止或做匀速直线运动。
(2)当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做直线运动。
(3)当带电粒子所受的合外力充当向心力且大小不变时，粒子将做匀速圆周运动。
(4)当带电粒子所受合外力大小与方向均变化时，粒子将做非匀变速曲线运动，这类问题一般
用能量关系来处理。
3.带电粒子在复合场中受力分析和运动分析
“带电粒子在电磁场中会受到电场力作用不断加速,也就是电势能转化为动能,而与此同时,磁场力的方向是
与粒子运动方向垂直的,所以只会改变运动方向,而不会改变速度.而在电场力的作用下,粒子的速度不断增大,
所以磁场力也不断增大,而在磁场力的不断作用下,粒子方向不断改变,最终在某一时刻,磁场力可以分解出一
个与电场力方向相反大小相等的分力,和一个垂直于电场力方向的分力,此时,粒子只有垂直电场力方向的分
力作用,速度继续增加,使粒子逐渐的向垂直电场力方向.
【方法归纳】
带电粒子在复合场中运动问题的分析方法
1.弄清复合场的组成，如磁场、电场的复合，磁场、重力场的复合，磁场、电场、重力场三
1
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者的复合等。
2.正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析。
3.确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
4.对于粒子连续通过几个不同区域、不同种类的场时，要分阶段进行处理。
5.画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
6.对于临界问题，注意挖掘隐含条件。
“三步”解决叠加场问题图示
【最新高考题精练】
1. （2023 高考江苏学业水平选择性考试）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存
在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子
从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运
动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
2
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（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子
数N0的百分比。
【参考答案】（1）v0B；（2）
；（3）90%
【名师解析】
（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有
Ee = ev0B
解得
E = v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且
由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
3
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由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
F 合 = evmB－eE
在最低点有
F 合 = eE－evB
联立有
要让电子达纵坐标
位置，即
y ≥ y2
解得
则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数N0
的90%。
2．(2018·北京高考)某空间存在匀强磁场和匀强电场。一个带电粒子(不计重力)以一定初速度射入该空
间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动。下列因素与完成上述两类运动无关的
是( )
A．磁场和电场的方向
B．磁场和电场的强弱
C．粒子的电性和电量
D．粒子入射时的速度
【参考答案】C
【名师解析】 根据题意，带电粒子在匀强磁场和匀强电场的叠加区域内做匀速直线运动，则粒子受
到的洛伦兹力与电场力平衡，大小满足qvB＝qE，故v＝，即磁场和电场的强弱决定粒子入射时的速度大
小；洛伦兹力与电场力的方向一定相反，结合左手定则可知，磁场和电场的方向一定互相垂直，粒子入射
时的速度方向同时垂直于磁场和电场，且不论粒子带正电还是带负电，入射时的速度方向相同，而不是电
性相反时速度方向也要相反。总之粒子是否在“速度选择器”中做匀速直线运动，与粒子的电性、电量均
4
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无关，而是取决于磁场和电场的方向、强弱，以及粒子入射时的速度。撤除电场时，粒子速度方向仍与磁
场垂直，满足做匀速圆周运动的条件。
【最新模拟题精练】
1. （2023 重庆信息联考卷3）如图所示，场强为E 的匀强电场方向竖直向下，磁感应强度为B 的匀强磁场
垂直电场向外，带电量为q 的小球（视为质点）获得某一垂直磁场水平向右的初速度，正好做匀速圆周运
动，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. 小球必须带正电
B. 小球的质量为
C. 小球做匀速圆周运动的周期为
D. 若仅把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为
【参考答案】C
【名师解析】
小球受到重力、电场力和洛伦兹力的作用，小球做圆周运动，则电场力与重力平衡，可知，电场力竖直向
上，电场力方向与电场强度方向相反，则小球带负电，A 错误；
根据上述有
解得
，B 错误；
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则有
，
5
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结合上述解得
，C 正确；
若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，根据平衡条件有
结合上述解得
，D 错误。
2. （2023 西南大学附中高考适应性考试）如图所示，绝缘中空轨道竖直固定，圆弧段COD 光滑，对应圆
心角为120°，C、D 两端等高，O 为最低点，圆弧圆心为Oʹ，半径为R（R 远大于轨道内径），直线段
AC、HD 粗糙，与圆弧段分别在C、D 端相切，整个装置处于方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度
大小为B 的匀强磁场中，在竖直虚线MC 左侧和ND 右侧还分别存在着场强大小相等、方向水平向右和向
左的匀强电场。现有一质量为m、电荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，与直
线段的动摩擦因数为μ，从轨道内距C 点足够远的P 点由静止释放，若PC=l，小球所受电场力等于其重力
的
倍。重力加速度为g。则（ ）
A. 小球在轨道AC 上下滑的最大速度
B. 小球第一次沿轨道AC 下滑的过程中先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动
C. 经足够长时间，小球克服摩擦力做的总功是
D. 经足够长时间，小球经过O 点时，对轨道的弹力一定为
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【参考答案】AB
【名师解析】
．小球第一次沿轨道AC 下滑的过程中，小球所受电场力等于其重力的
倍，即
电场力垂直于轨道方向的分量为
重力垂直于轨道方向的分量为
因此，电场力与重力的合力方向恰好沿着AC 方向，且刚开始时小球与管壁无作用力，当小球从静止运动
后，由左手定则可知，小球受到的洛伦兹力垂直于AC 向上，导致小球对管壁有作用力，小球将受到滑动
摩擦力，随着速度增大，洛伦兹力增大，小球对管壁的压力，摩擦力增大，合力减小，根据牛顿第二定律
可知小球做加速度减小的加速运动，当加速度减至零时做匀速运动，故B 正确；
小球在轨道AC 上下滑到匀速运动时，速度最大，此时有
解得
，故A 正确；
最终小球在CD 间做往复运动，在C 点和D 点速度为零，从开始到最终速度为零的C 点或D 点，根据动能
定理得
则经足够长时间，小球克服摩擦力做的总功
，故C 错误；
由于在AC、HD 段要克服滑动摩擦力做功，小球最终将在圆弧段COD 做往复运动，设小球经O 点的速度
为v，根据动能定理有
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解得
根据牛顿第二定律，小球从C 向D 运动经过O 点时，有
解得
小球从D 点向C 点运动经过O 点时，有
解得
根据牛顿第三定律可得，小球经过O 点时对轨道的弹力大小为
或
，故D 错
误。
3. （2023 重庆一中质检）如图所示，O 点下方水平边界
之下充满了正交的匀强电场和匀强磁场，电场
方向沿纸面水平向右，磁场方向垂直于纸面向里。将一带正电小球从O 点由静止释放，小球穿过电磁场后
到达水平地面，空气阻力忽略不计，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球进入电磁场后做匀变速曲线运动
B. 小球下落过程中增加的机械能等于减少的电势能
C. 若仅增大磁感应强度，其他条件不变，小球下落到水平地面时的动能将变大
D. 若仅将电场反向，其他条件不变，小球在电磁场中可能沿直线运动
【参考答案】BC
【名师解析】
小球进入电磁场后受到变化的洛伦兹力作用，加速度不恒定，选项A 错误；
下落过程中电场力做正功，电势能减少，根据能量守恒，减少的电势能等于增加的机械能，选项B 正确；
若仅增大磁感应强度，小球落地时的水平距离将增大，电场力做功增加，小球下落到水平地面时的动能将
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变大，选项C 正确；
若仅将电场反向，刚进入电磁场时电场力与洛伦兹力可能平衡，但洛伦兹力是变力，合力会发生变化，小
球不可能沿直线运动，选项D 错误。
4. （2022 山东聊城重点高中质检） 如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁
场，一质量为m、带电量大小为q 的小球，以初速度v0沿与电场方向成45°夹角射入场区，能沿直线运动。
经过时间t，小球到达C 点（图中没标出），电场方向突然变为竖直向上，电场强度大小不变。已知重力
加速度为g，则（ ）
A. 小球一定带负电
B. 时间t 内小球做匀速直线运动
C. 匀强磁场的磁感应强度为
D. 电场方向突然变为竖直向上，则小球做匀加速直线运动
【参考答案】BC
【名师解析】
假设小球做变速直线运动，小球所受重力与电场力不变，而洛伦兹力随速度的变化而变化，则小球将不可
能沿直线运动，故假设不成立，所以小球一定受力平衡做匀速直线运动，故B 正确；
小球做匀速直线运动，根据平衡条件可以判断，小球所受合力方向必然与速度方向在一条直线上，故电场
力水平向右，洛伦兹力垂直直线斜向左上方，故小球一定带正电，故A 错误；
根据平衡条件，得
解得
，故C 正确；
根据平衡条件可知
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电场方向突然变为竖直向上，则电场力竖直向上，与重力恰好平衡，洛伦兹力提供向心力，小球将做匀速
圆周运动，故D 错误。
5. （2023 山东烟台三模）如图所示，在
区域存在沿y 轴正方向的匀强电场（图中未画出），电场强
度大小为E，在
区域存在平行于y 轴正方向的匀强磁场（图中未画出）和沿z 轴正方向的匀强电场
（图中未画出），电场强度大小为2E。质量为m、电荷量为
的小球从
处由静止释放，小
球从原点进入
区域，在
处有一垂直于y 轴的荧光屏（图中未画出），小球打在荧光屏上
点。已知重力加速度为g。
（1）求
区域匀强电场的电场强度E；
（2）求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）若磁感应强度取最小值，当小球离y 轴最远时，求小球到原点O 的距离。
【参考答案】（1）
；（2）
（
）；（3）
【名师解析】
（1）小球由静止释放，从原点进入
区域
解得
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（2）
区域
小球所受合力为洛伦兹力。小球在原点速度
与水平方向夹角
y 轴正方向速度
运动时间
z 轴负方向速度
由洛伦兹力提供向心力
运动周期
则
（
）
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解得
（
）
（3）若磁感应强度取最小值
半径
周期
当小球离y 轴最远时，运动时间
求小球到原点O 的距离
6. （2023 安徽考前模拟）如图所示，xOy 为竖直面内的直角坐标系，在y 轴两侧存在电场强度大小相等的
匀强电场，y 轴右侧电场方向竖直向下，y 轴左侧电场方向竖直向上。y 轴左侧还存在一个方向垂直于坐标
平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出），磁场边界与y 轴相切于O 点。现有一个质量为m、电荷量为q
的带正电小球，用长为l、不可伸长的绝缘细线悬挂在P 点的钉子上，P 点与坐标原点O 的距离亦为l。将
小球拉至细线绷直且与y 轴负方向成60°角无初速释放，小球摆至O 点即将进入磁场时细线恰好断裂。最
终小球刚好击中P 点的钉子，此时速度方向与y 轴正方向成30°角。已知细线能承受的最大张力
Fm=4mg，小球可视为质点，重力加速度为g，不计阻力。求：
（1）电场强度的大小；
（2）磁感应强度的大小和磁场区域的面积；
（3）小球在x＜0 区域运动的时间。（结果用m、q、l、g 表示）
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【参考答案】(1)
；(2)
，
；(3)
【名师解析】
（1）设小球从静止释放运动到O 点时的速率为v0，由动能定理得
在O 处细线恰好断裂，由牛顿第二定律得
而
Fm=4mg
联立解得
，
（2）由前面分析可知小球在O 处进入磁场后，重力与电场力恰好平衡，粒子做匀速圆周运动。出磁场后
做匀速直线运动到达P 处。粒子运动轨迹如图所示
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O1、O2分别为轨迹圆心、磁场圆心，设r、R 分别为轨迹圆、磁场圆
半径，根据几何关系有
解得
由牛顿第二定律得
解得
方向垂直于纸面向外；由几何关系可知
，
解得
（3）小球在磁场中运动轨迹所对的圆心角为
，所用的时间
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出磁场后匀速直线运动，所用时间
故小球在x<0 区域运动的时间
7. （2023 云南昆明一中六模）如图所示，在竖直平面内x 轴的上方空间内存在水平向右的匀强电场，x 轴
的下方空间内存在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁感应强度大小为
，电扬强度
大小均为
。一个带电小球用一根细线悬挂在x 轴的上方区域，静止时细线与竖直方向夹角为
。
现将细线剪断，小球运动
时第一次经过x 轴进入x 轴下方区域。求：
（1）小球第一次经过x 轴时的速度大小；
（2）从剪断细线开始到小球第四次经过x 轴的时间。（
）
【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）设小球质量为m，带电量为q。小球被悬挂并静止时受力平衡，如下图所示其中
，即
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因为电场力方向与电场方向相反，所以小球带负电。细线拉力
电场力
小球的比荷
在x 轴上方，重力场与电场组成复合场，复合场对小球产生的加速度大小为
加速度方向与细线拉力方向相反，即沿细线延长线指向左下方，与竖直方向成45°角。
将细线剪断后，小球在复合场中做匀加速直线运动，经过
到达x 轴，此时其速度大小为
（2）小球穿过x 轴进入x 轴下方后，由于小球所受重力
和小球所受电场力
等大反向，所以小球所受
洛伦兹力为其合外力，小球将在此合外力下做匀速圆周运动。设小球第一次通过A 点进入x 轴下方，经过
时间t2，在B 点通过x 轴，其第一次圆周运动轨迹示意图如下
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小球运动的圆弧轨迹对应的圆心角
洛伦兹力为其圆周运动向心力，有
可得
则有
小球在B 点通过x 轴，进入x 轴上方，其速度方向与x 轴上方复合场方向垂直，所以小球将做类平抛运动。
设此过程小球运动时间为t3。根据几何关系可知，小球将在A 点再次经过x 轴，设此时其速度为v2，此过
程运动轨迹示意图如下
则有
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解得
在速度关系中
所以
则有
小球再次在A 点经过x 轴后，在x 轴下方再次做匀速圆周运动，设此过程运动时间为t4，其圆弧轨迹对应
的圆心角为
则有
所以，从剪断细线开始到小球第四次经过x 轴的时间
8.（13 分）(2023 河北临考信息卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、四象限内有竖直方向的匀强
电场
（方向未标出）和垂直纸面的匀强磁场
（未标出）；第二象限内有水平向右的匀强电场
和垂
直纸面向里的匀强磁场
。现有一质量为m、电荷量为+q、可视为质点的带电小球从x 轴上的P 点以初速
度
射入复合场中，小球恰好做匀速直线运动经过y 轴上S 点进入第一象限，在第一、四象限做匀速圆周
运动经Q 点进入第三象限。已知P 点坐标为（-d，0），初速度
与x 轴正方向的夹角
，小球做圆
周运动的圆心
在x 轴上，重力加速度为g，
，求；
（1）电场强度
与磁感应强度
的大小；
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（2）电场强度
与磁感应强度
；
（3）小球从P 点到Q 点的时间。
【参考答案】：（1）
5mg
4 q v0
（2）
，方向竖直向上；B1= 16m v0
15dq ，方向垂直纸面向外
（3）
(127 π +120)d
96 ν0
【名师解析】：（1）带正电荷的小球在第二象限做匀速直线运动，其受力如图所示
根据受力平衡有q v0 B2cosθ =mg（1 分）
q v0 B2sinθ =q E2（1 分）
联立解得E2= 3mg
4 q （1 分）
B2= 5mg
4 q v0
（1 分）
（2）带正电荷的小球在第一、四象限做匀速圆周运动，故有q E1=mg（1 分）
解得
，方向竖直向上 （1 分）
由题意知，小球做匀速圆周运动的圆心
在x 轴上，设小球做圆周运动的半径为R，由几何关系可得小球
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运动的轨迹半径为R =
d
cosθ tanθ= 15
16 d（1 分）
由牛顿第二定律有
（1 分）
解得B1= 16m v0
15dq ，方向垂直纸面向外 （1 分）
（3）小球在第二象限的运动时间t1=
d
cosθ
ν0
= 5d
4 ν0
（1 分）
设做圆周运动的时间为
，则t2= 360
∘-106
∘
360
∘
T（1 分）
T = 2πm
q B1
（1 分）
t =t1+t2= (127 π +120)d
96 v0
（1 分）
9．（2023 四川成都名校联盟三模）25．（20 分）
如图，xOy 是竖直平面内的直角坐标系，坐标原点O 处有一绝缘弹性挡板（图中未画出，不计挡板大
小），a、b 是质量均为m 的金属小球，电荷量为q（
）的a 球在第一象限的P 点以速度
沿y 轴负方
向射出后，恰好以沿x 轴负方向的速度与静止在挡板上的不带电b 球发生时间极短的弹性正碰，碰后两球
的电荷量均为
。已知在
区域有与x 轴负方向成
角斜向上的匀强电场；在
区域有沿y
轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，其中场强大小分别为
、
。两
球均视为质点，忽略碰后a 球所受的电场力，重力加速度大小为g，
。
（1）求P 点的位置坐标；
（2）若要b 球从
区域返回时与a 球相撞，求磁感应强度的大小B。
【名师解析】：（1）从P 点到O 点，a 球受重力、电场力作用做曲线运动，
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将力和运动分解在x、y 方向
由牛顿第二定律，在x 方向有：
（1 分）
在y 方向有：
（1 分）
可得，
，
，即a 球在x 方向做匀加速运动（设与b 球碰撞前的速度为
），在y 方
向做匀减速运动直至速度减为零
由运动学规律，在x 方向有：
，
（2 分）
在y 方向有：
，
（2 分）
解得：
，
，
（2 分）
故：P 点的位置坐标为
（1 分）
（2）在O 点，a、b 发生弹性正碰，由题设条件，根据动量守恒定律和能量守恒定律可知，碰撞后a、b
速度互换，即a 球静止，b 球的速度变为
（或列出两个守恒方程，得出b 球速度为
） （1 分）
见答图1，在
区域，b 球先做平抛运动，设末速度为
，
与x 轴负方向的夹角为
答图1
在x 方向有：
（1 分）
在y 方向有：
，
（2 分）
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解得：
，
，
故：
（1 分）
，
（1 分）
在正交电、磁场区域：
，故b 球做匀速圆周运动
（1 分）
离开正交电、磁场区域后，b 球做抛体运动直至撞击a 球，可知：
（1 分）
由几何关系可知，b 球做匀速圆周运动的半径为：
（1 分）
由牛顿第二定律有：
（1 分）
解得：
（1 分）
（其它合理解法，参照给分）
10.（15 分）（2023 江苏无锡期中）如图，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ 为理想边界，
Ⅰ区域高度d=0.15m，Ⅱ区域的范围足够大。匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度大小均为
B=0.5T，方向分别垂直纸面向里和向外。一个质量为m=
、带电荷量为
的带电小
球从距MN 的高度为h 的O 点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动，重力加速度g 取
10m/s2。
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（1）试判断小球的电性并求出电场强度E 的大小；
（2）若带电小球能进入区域Ⅱ，则h 应满足什么条件；
（3）若想带电小球运动一定时间后恰能回到O 点，h 应该等于多少？并求从开始运动到返
回O 点的时间（保留一位有效数字）？
【名师解析】：
（1）带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，即所受合力为洛伦兹力，则重力与电场力大小相等，
方向相反，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电。 ..........1 分
则有
.................. 1 分
解得 E=0.25N/C ..................1 分
（2）假设下落高度为h0时，带电小球在Ⅰ区域做圆周运动的圆弧与PQ 相切时，运动轨迹如图甲所示
由几何知识可知，小球
轨道半径R=d ..................1 分
带电小球在进入磁场前做自由落体运动，由动能定理得
..................1 分
带电小球在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
..................1 分
联立解得
h0=0.45m ..................1 分
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则当h>h0时，即h>0.45m 时带电小球能进入区域Ⅱ。 ..................1 分
（3）带电小球的轨迹如图乙所示
以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R1，内角为60°，由几何关系知
所以
..................2 分
由解得
..................2 分
粒子在磁场外运动的时间
..................1 分
粒子在磁场运动的时间
..................1 分
..........1 分
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