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专题05 带电粒子在叠加场中运动模型
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此
可求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解
问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动
能定理求解问题．
3．有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，
此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量
守恒定律结合牛顿运动定律求解．
类型一 磁场力，重力并存
(1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
(2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒．
类型二.电场力、磁场力并存
(1)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
(2)若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，可用动能定理求解．
类型三 .电场力、磁场力、重力并存
(1)若三力平衡，带电体做匀速直线运动．
(2)若重力与电场力平衡，带电体做匀速圆周运动．
(3)若合力不为零，带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律或动能定理求解．
1
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【模型演练1】(多选)(2020·山东济南高三模拟)如图所示，竖直平面MNRS 的右侧存在竖直向上、范围足够
大的匀强磁场．从平面MNRS 上的O 点处以初速度v0＝10 m/s 垂直MNRS 面向右抛出一带电荷量为q、质
量为m 的小球，若磁感应强度B＝，g 取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．小球离开磁场时的速度大小为10 m/s
B．小球离开磁场时的速度大小为10 m/s
C．小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为 m
D．小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为 m
【答案】AD.
【解析】：小球在磁场中，水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做自由落体运动，小球运动的周期T＝＝2
s，则小球离开磁场时运动的时间为t＝＝1 s，下落的高度h＝gt2＝5 m，小球从进入磁场到离开磁场，由动
能定理：mv2＝mv＋mgh，解得小球离开磁场时的速度大小v＝10 m/s，A 正确，B 错误；小球做圆周运动
的半径r＝＝，则小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为s＝＝ m，C 错误，D 正确．
【模型演练2】．（2022·全国·统考高考真题）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（
平面）向里，电场的方向沿y 轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O 由静
止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
【答案】B
【详解】解法一：
AC．在xOy 平面内电场的方向沿y 轴正方向，故在坐标原点O 静止的带正电粒子在电场力作用下会向y 轴
正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y 轴正方向运动的粒子同时受到沿x
轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x 轴负方向偏转。AC 错误；
BD．运动的过程中在电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速
度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y 轴正方向，故x 轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再
次运动到x 轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x 轴时的速度为0，随后受电场
力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B 正确，D 错误。
故选B。
解法二：
粒子在O 点静止，对速度进行分解，分解为向x 轴正方向的速度v，向x 轴负方向的速度v’，两个速度大
小相等，方向相反。使得其中一个洛伦兹力平衡电场力，即
则粒子的在电场、磁场中的运动，可视为，向x 轴负方向以速度
做匀速直线运动，同时在x 轴上方
做匀速圆周运动。
故选B。
【模型演练3】(2022·湖南高考)如图，两个定值电阻的阻值分别为R1和R2，直流电源的内阻不计，平行板
电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电
量为＋q 的小球以初速度v 沿水平方向从电容器下板左侧边缘A 点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电
容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。
(1)求直流电源的电动势E0；
(2)求两极板间磁场的磁感应强度B；
(3)在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值E′。
3
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【解题指导】本题主要考查推理论证能力。
第(1)问：通过小球在复合场中做圆周运动的条件进行分析。
第(2)问：分析小球在两极板间的圆周运动。
第(3)问：确定电场强度的最小值。
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得Eq＝mg
R2两端的电压U2＝Ed
根据欧姆定律得U2＝·R2
联立解得E0＝。
(2)带电小球在电磁场中运动轨迹如图所示。
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为r，根据几何关系得(r－d)2＋(d)2＝r2，解得r＝2d
根据qvB＝m，解得B＝。
(3)由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为60°，要使小球做直线运动，当小球所
受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得E′q＝mgcos
60°，解得E′＝。
4
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1．（2024 上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）如图所示，实线表示在竖直平面内的电场线，电场方向
水平，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴在竖直面内斜向上做直线运动，速度与水平方向夹
角为θ，则下列说法中正确的是（ ）
A．液滴有可能做匀变速直线运动
B．液滴一定带正电
C．电场方向不能确定
D．液滴在运动过程中机械能守恒
【答案】B
【详解】A．带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线方向的电场力F、垂直于速度方向的洛伦兹力f，这
三个力的合力不可能沿带电液滴的速度方向，因此这三个力的合力一定为零，带电液滴做匀速直线运动，
不可能做匀变速直线运动，故A 错误；
BC．当带电液滴带正电，且电场线方向向右时，带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线方向的电场力
F、垂直于速度方向斜向左上方的洛伦兹力f 作用，这三个力的合力可能为零，带电液滴在竖直面内斜向上
做直线运动，如果带电液滴带负电或电场线方向斜向下时，带电液滴所受合力不为零，不可能沿直线运动，
故B 正确，C 错误；
D．液滴在运动过程中除重力做功外，电场力做功，机械能不守恒，故D 错误。
故选B。
2．（2024 上·四川成都·高二统考期末）如图，空间存在着沿水平方向且相互正交的匀强电场和匀强磁场，
有一带电小球与电场方向成
角垂直于磁场射入复合场中，且刚好做直线运动。已知电场强度
，磁感应强度
，则带电小球运动的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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【答案】B
【详解】由题意可得，带电小球带正电，受力分析如图所示
由平衡条件
解得带电小球运动的速度大小为
故选B。
3．（2024 上·江苏泰州·高二统考期末）如图所示，空间中存在正交的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大
小为 B，方向垂直纸面向外，电场场强大小为 E，方向竖直向上。 一质量为 m、带电量为-e 的电子在该
空间内获得沿水平方向的初速度，速度大小为 v0， 且
则电子（ ）
A．做类平抛运动
6
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B．运动过程中最大的速率为
C．在一个周期内水平方向运动的距离为
D．距入射点竖直方向的最大位移为
【答案】D
【详解】A．因为
，所以
合力向上，向上偏转，但因为速度变化，洛伦兹力发生变化，竖直方向受到的合力不是恒力，不是类平抛
运动，故A 错误；
BCD．由配速法，将粒子受到的洛伦兹力看成
其中
粒子在匀速直线运动的同时，进行圆周运动，所以运动过程中最大的速率为
因为粒子周期
在一个周期内水平方向运动的距离为
圆周运动的半径
所以距入射点竖直方向的最大位移为2R 即
，故BC 错误，D 正确。
7
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故选D。
二、多选题
4．（2021·甘肃·统考二模）如图所示，半圆形光滑绝缘轨道固定在竖直平面内，O 点为其圆心，P 点为轨
道最低点，两个端点M、N 与O 等高，匀强磁场方向与轨道平面垂直。现将一个带负电的小球自M 点由静
止释放，它将沿轨道做往复运动，下列说法中正确的是（ ）
A．小球由M 到N 与由N 到M 所经历的时间相等
B．小球由M 到P 与由N 到P 过程中重力对小球做的功相等，但洛仑兹力做的功不等
C．小球由M 到P 与由N 到P 过程中所受合外力的冲量大小相等
D．小球经过轨道最低点时对轨道的压力大小是相等的
【答案】AC
【详解】A．小球所受得洛伦兹力与速度方向垂直不做功，轨道光滑没有摩擦力，只受重力作用，小球机
械能守恒，故小球由M 到N 与由N 到M 所经历的时间相等，A 正确；
B．小球由M 到P 与由N 到P 过程中重力对小球做的功相等，小球所受得洛伦兹力与速度方向垂直不做功，
B 错误；
C．根据动量定理公式
根据A 选项可知，小球机械能守恒，故小球从M 到P 与由N 到P 过程中速度变化量大小相等，所以在此
过程中所受合外力的冲量大小相等，C 正确；
D．由于小球带负电根据左手定则，小球从M 到P 的过程中到达P 点时所受洛伦兹力方向竖直向下，根据
合力提供向心力对小球受力分析,如图所示
8
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当小球从N 到P 的过程中到达P 时洛伦兹力竖直向上，受力分析如图所示
根据牛顿第三定律支持力与压力互为相互作用力，在整个过程中洛伦兹力大小相等。所以从M 到P 的过程
中到达P 点对轨道的压力大于小球从N 到P 的过程中到达P 时对轨道的压力，D 错误。
故选AC。
5.(2023·浙江名校联考) 质量为m、电荷量为q 的微粒以速度v 与水平方向成θ 角从O 点进入方向如图所示
的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿
直线运动到A，下列说法中正确的是( )
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A．该微粒一定带负电荷 B．微粒从O 到A 的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强为Bvcos θ
【答案】AC
【解析】：.若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE 和垂直OA 斜向右下方的洛
伦兹力qvB，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的电
场力qE 和垂直OA 斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线运动到A，可知微粒应该做匀速直
线运动，故选项A 正确，B 错误；由平衡条件得：qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，得磁场的磁感应强度B
＝，电场的场强E＝Bvsin θ，故选项C 正确，D 错误．
6．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）如图所示，一个绝缘且内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，
环的半径为R（比细管的内径大得多），在圆管内的最低点有一个直径略小于细管内径的带正电小球处于
静止状态，小球的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g。空间存在一磁感应强度大小未知（不为零），
方向垂直于环形细圆管所在平面且向里的匀强磁场．某时刻，给小球一方向水平向右，大小为
的初速度，则以下判断正确的是（ ）
A．无论磁感应强度大小如何，获得初速度后的瞬间，小球在最低点一定受到管壁的弹力作用
B．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细管的最高点，且小球在最高点一定受到管壁的弹
力作用
C．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细管的最高点，且小球到达最高点时的速度大小都
相同
D．小球在从环形细圆管的最低点运动到所能到达的最高点的过程中，机械能不守恒
【答案】BC
【详解】A．由左手定则可判定小球受到的洛伦兹力F 始终指向圆心，另外假设小球受到管道的支持力
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N，小球获得
的初速度后，由圆周运动可得
解得
可见，只要B 足够大，满足
，支持力N 就为零，故A 错误；
BC．由于洛伦兹力不做功，只有重力对小球做功，故小球能不能到最高点与磁感应强度大小无关，从最低
点到最高抵过程中，由动能定理可得
解得
可知小球能到最高点，由于当
，小球受到的向心力等于mg，故此时小球除受到重力，向下的洛伦
兹力之外，一定还有轨道向上的支持力大小等于洛伦兹力，故BC 正确；
D．对小球的运动过程中受到的洛伦兹力和支持力不做功，只有重力做功，故机械能守恒，故D 错误；
故选BC。
【点睛】该题要注意洛伦兹力不做功，只改变速度方向，掌握基本的圆周运动公式，要知道一个临界问题，
即最高点时，重力充当向心力。
7．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）如图所示，在坐标系xOy 平面
的区域内，存在平行于y 轴、
大小
的匀强电场和与垂直xOy 平面向外、大小
的匀强磁场，在y 轴上有一足够长的
荧光屏PQ，在x 轴上
的点处有一大小可以忽略的粒子发射枪向x 轴正方向连续不断地发射大量
质量
、电荷量
的带正电粒子（重力不计），粒子恰能沿x 轴做直线运动。若
撤去电场，并使粒子发射枪以M 点为轴在xOy 平面内顺时针匀速转动。以下说法正确的是（ ）
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A．电场的方向沿y 轴负方向
B．粒子离开发射枪时的速度
C．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径
D．带电粒子打到屏上的范围距离为
【答案】BCD
【详解】A．粒子恰能沿x 轴做匀速直线运动，粒子受到竖直向下的洛伦兹力，则电场力应竖直向上，所
以电场强度方向竖直向上，A 错误；
B．根据
可得
代入数据得
B 正确；
C．撤去电场后，有
粒子在磁场中运动的轨迹半径
代入数据得
，C 正确；
D．根据粒子运动轨迹可知
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粒子最上端打在A 点，最下端打在B 点
D 正确。
故选BCD。
8．（2022·高三课时练习）在竖直平面内建立直角坐标系，曲线y＝
位于第一象限的部分如图所示，在
曲线上不同点以一定的初速度v0向x 轴负方向水平抛出质量为m、带电荷量为＋q 的小球，小球下落过程
中都会通过坐标原点O，之后进入第三象限的匀强电场和匀强磁场区域（图中未画出），结果小球恰好在
竖直面内做匀速圆周运动，并且都能打到y 轴负半轴上。已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，重力加速
度g 取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．第三象限的电场强度大小为
，方向竖直向下
B．小球的初速度为10m/s
C．第三象限的磁场方向一定是垂直纸面向外
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D．要使所有的小球都能打到y 轴的负半轴，所加磁场区域的最小面积是
π
【答案】BD
【详解】A．小球在第三象限做匀速圆周运动，则有
mg＝qE
可得
E＝
方向竖直向上，故A 错误；
B．设小球释放点的坐标为（x，y），由平抛运动规律可知
x＝v0t
y＝
gt2
联立可得
y＝
x2
由题意可知
y＝
联立可得
v0＝10m/s
故B 正确；
C．根据题意结合左手定则可判断，第三象限的磁场方向垂直纸面向里，故C 错误；
D．设小球最初进入第三象限时的速度为v，与y 轴负方向夹角为α，则有
v0＝vsinα
洛伦兹力提供向心力，有
qvB＝m
解得
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r＝
小球在磁场中的偏转角恒为2α，运动轨迹的弦长
l＝2rsinα＝
恒定不变，要使所有的小球都能打到y 轴负半轴上，所加磁场区域的最小面积为
Smin＝
π
＝
π
故D 正确。
故选BD。
9．（2024 上·河南·高二校联考期末）地面附近某空间中足够大区域存在如图所示的电场和磁场，电场方向
竖直向上，磁场方向垂直于纸面向里。此时，一带正电液滴以某一速度垂直于电场和磁场射入该区域。在
该区域中，这一带电粒子的运动情况可能是（ ）
A．做匀速直线运动
B．做匀速圆周运动
C．进入后瞬间向上方偏转D．做匀
变速直线运动
【答案】ABC
【详解】A．带电液滴在复合场中受到电场力、重力和洛伦兹力的作用，若有
则液滴受力平衡，液滴将做匀速直线运动，A 正确；
B．若有
洛伦兹力提供向心力，液滴做匀速圆周运动，B 正确；
C．若进入瞬间有
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液滴将向右上方偏转，C 正确；
D．要使液滴做直线运动，一定有
只能做匀速直线运动，不可能做匀变速直线运动，D 错误；
故选ABC。
10．（2024·河南郑州·统考一模）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由
匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向
竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为
。如图所示，现
给小球一个向右的初速度，使之离开桌边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界射出，射出时的速度
方向与下边界的夹角为
，下列说法正确的是（ ）
A．小球在复合场中的运动时间可能是
B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是
C．小球在复合场中运动的路程可能是
D．小球的初速度大小可能是
【答案】AC
【详解】带电小球的比荷为是
，则有
则小球合力为洛伦兹力，所以小球在复合场中做匀速圆周运动，射出时的速度方向与下边界的夹角为
，
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则小球运动情况有两种，轨迹如下图所示
若小球速度为
，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为
，此时小球在复合场中的运动时间为
根据几何知识可得，其轨迹半径为
则根据洛伦兹力提供向心力有
可得，小球的速度为
则小球的路程为
小球的加速度为
若小球速度为
，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为
，此时小球在复合场中的运动时间为
根据几何知识可得，其轨迹半径为
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则根据洛伦兹力提供向心力有
可得，小球的速度为
则小球的路程为
小球的加速度为
故选AC。
11．（2024 上·北京海淀·高三统考期末）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强
磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为
。一束质量均为
、电荷量均为
的粒子，以不同
速率沿着两板中轴线
方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为
的乙粒子在板
间的运动轨迹如图中曲线所示，A 为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在
和
之间
变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做
圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说
法正确的是（ ）
A．两板间电场强度的大小为
B．乙粒子从进入板间运动至A 位置的过程中，在水平方向上做加速运动
C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为
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D．乙粒子的运动轨迹在A 处对应圆周的半径为
【答案】ABD
【详解】A．速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动，则有
可得两板间电场强度的大小为
故A 正确；
B．速率为
的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，根据左手定则判断知，粒子受到的洛伦兹力总
是垂直指向每一小段圆弧的中心，可知乙粒子在水平方向上的合力一直水平向右，所以粒子从进入板间运
动至A 位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故B 正确；
CD．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功
最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有
求得
故C 错误；
D．由题意，可知乙粒子的运动轨迹在A 处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达最大为
，根据
对应圆周的半径为
故D 正确。
故选ABD。
12．（2024 上·山西长治·高二统考期末）如图所示，三个完全相同的半圆形光滑绝缘轨道竖直放置，图乙、
图丙分别置于匀强磁场B 和匀强电场E 中，轨道两端点在同一高度上。现将a、b、c 三个相同的带正电小
球同时从轨道左端的最高点由静止释放，小球均能经过轨道最低点。已知小球的带电荷量不会发生变化，
则a、b、c 三个小球（ ）
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A．在向右运动过程中始终不会脱离轨道
B．到达轨道最低点时的速率均相同
C．向右经过轨道最低点时，b 球对轨道的压力最大
D．向左经过轨道最低点时，a 球对轨道的压力最小
【答案】AC
【详解】A．当小球从不高于圆心的位置由静止释放，其不会脱离轨道，所以在小球向右运动过程中始终
不会脱离轨道，故A 项正确；
B．对于a 球，到达最低点有
对于b 球，由于洛伦兹力不做功，所以到达最低点有
对于c 球，由于电场力做功，所以到达最低点有
有上述式子分析可知，到达最低点时，a 球和b 球的速度大小相同，c 球的速度大小小于a 球和b 球的速度
大小，故B 项错误；
C．向右经过最低点时，由牛顿第二定律，对a 球有
对于b 球有
对于c 球有
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结合之前的分析有
，所以其b 球对于轨道的压力最大，故C 项正确；
D．向左经过最低点时，对a 球有
由于整个运动过程中，只有重力做功，重力做功只与始末位置高度差有关，所以
对于b 球有
由于整个运动过程中，只有重力做功，重力做功只与始末位置高度差有关，所以
对于c 球有
由于整个运动过程只有重力和电场力做功，而电场力做功只与始末位置有关，重力做功只与始末位置高度
差有关，所以有
结合上述分析可知，b 球对轨道的压力小于a 球对轨道的压力，所以a 球不是对轨道的压力最小的，故D
项错误。
故选AC。
13．（2024 上·云南保山·高二统考期末）如图所示，一质量为m=0.10g、带电荷量q=1.6×103C 的带负电滑
块（可看作质点）以初速度
=5m/s 由水平面上的A 点向右滑动，到达C 点后恰好能通过半径为R=0.5m 的
光滑半圆轨道的最高点D，已知水平轨道AC 与半圆轨道相切于C 点，整个装置处在垂直纸面向里、磁感
应强度B=0.50T 的匀强磁场中，重力加速度g=10m/s2，则（ ）
21
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A．滑块运动到最高点D 时的速度大小为1m/s
B．滑块运动到最高点D 时的速度大小为
m/s
C．滑块从C 运动到D 的过程中，机械能不守恒
D．滑块从A 到C 的过程中克服阻力做的功为2×10-4J
【答案】AD
【详解】AB．因滑块恰好能通过光滑半圆轨道的最高点D，在D 点由竖直向下的重力和竖直向上的洛伦
兹力的合力提供向心力，即
代入数值得
故A 正确，B 错误。
C．滑块从C 到D 的过程中，洛伦兹力时刻与速度方向垂直，不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C
错误。
D．滑块从C 到D 的过程中，由机械能守恒定律知
即
滑块从A 到C 的过程中，由动能定理知克服阻力做的功为
即
故D 正确。
故选AD。
14．（2023 下·云南大理·高二校考阶段练习）如右图所示，空间存在着垂直向里的匀强磁场B 和竖直向上
的匀强电场E，两个质量不同电量均为q 的带电小球a 和b 从同一位置先后以相同的速度从场区左边水平
进入磁场，其中 a 小球刚好做匀速圆周运动，b 小球刚好沿直线向右运动。不计两小球之间库仑力的影响，
重力加速度为
则（ ）
22
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A．a 球一定带正电，b 球可能带负电
B．a 小球的质量等于
C．b 小球的质量等于
D．a 小球圆周运动的半径为
【答案】BD
【详解】A．a 小球刚好做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，所以
电场力方向竖直向上，则a 球一定带正电，b 小球刚好沿直线向右运动，如果b 球带负电，电场力洛伦兹
力均向下，重力也向下，不能平衡，无法做直线运动，所以b 球带正电
故A 错误；
B．根据A 选项分析可知，a 小球的质量等于
故B 正确；
C．根据A 选项分析可知，b 小球的质量等于
故C 错误；
D．a 小球圆周运动的半径为
解得
23
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故D 正确。
故选BD。
15．（2024 上·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）质量为m、电荷量为q 的带正电小球，从倾角为
的粗糙绝缘足够长斜面上由静止下滑，小球与斜面的动摩擦因数
，整个斜面置于方向垂直纸面向
外的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示，重力加速度为g。带电小球运动过程中，下列说法正确的
是（ ）
A．小球在斜面上运动时做匀加速直线运动
B．小球在斜面上运动时做加速度逐渐变大的加速运动
C．小球做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
D．小球在斜面上下滑过程中，小球对斜面压力刚好为零时的速率为
【答案】BD
【详解】AB．据题意小球运动过程中受到重力、支持力、摩擦力和垂直斜面向上的洛伦兹力，小球加速度
为
小球做加速运动，则随速度的增加，加速度增大，故A 错误，B 正确；
C．当小球对斜面压力为0 时，小球加速度为gsinθ，小球速度继续增大，受到的洛伦兹力将大于小球重力
垂直斜面方向上的分力，小球将脱离斜面，故C 错误；
D．当小球对斜面压力为0 时，有
则此时速度为
故D 正确。
故选BD。
24
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16．（2024 上·辽宁·高二校联考期末）如图所示，某空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面方向的匀强
磁场（图中未画出），一质量为m 的带正电粒子恰能以速度v 沿图中虚线所示的轨迹做直线运动，粒子的
运动轨迹与水平方向的夹角为60°，匀强电场的电场强度大小为E，重力加速度大小为g，下列说法正确的
是（ ）
A．匀强磁场的方向垂直纸面向外
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子的电荷量为
D．若粒子运动过程中磁场突然消失，则粒子可能做匀减速直线运动
【答案】BC
【详解】A．带电粒子受到重力，电场力，洛伦兹力，三者平衡；如图，因重力向下，电场力向右，所以
洛伦兹力方向为左上方，根据左手定则可判断匀强磁场的方向垂直纸面向里，故A 错误；
B．由平衡可知
解得
故B 正确；
C．由平衡可知
25
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解得
故C 正确；
D．若粒子运动过程中磁场突然消失，重力和电场力的合力与速度方向垂直且恒定，则粒子做类平抛运动，
故D 错误。
故选BC。
三、解答题
17．（2023 上·全国·高二期末）如图，两个定值电阻的阻值分别为
和
，直流电源的内阻不计，平行板
电容器两极板水平放置，板间距离为
，板长为
，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为
、
带电量为
的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘
点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从
电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为
，忽略空气阻
力。
（1）求直流电源的电动势
；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度
；
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球在电磁场中作匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
两端的电压
26
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根据欧姆定律得
联立解得
（2）如图所示
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系
解得
根据
解得
18．（2023·安徽淮北·统考一模）如图所示，在地面附近，坐标系xOy 在竖直平面内，在x>0 的空间有沿
水平方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在竖直线PQ 与y 轴之间还有沿x 轴负方向的
匀强电场，场强大小为E。一个带正电的小球从A 点水平抛出后，恰好从O 点进入复合场中，并沿着OP
方向做直线运动，已知OP 与x 轴正方向之间的夹角a=30°。带电小球进入竖直线PQ 右侧区域后能在竖直
平面内做匀速圆周运动，需要加一个匀强电场，若带电小球做圆周运动时要通过x 轴上的N 点，且
OM=MN。已知地表附近重力加速为g。求∶
27
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（1）小球从A 点抛出时的初速度；
（2）在竖直线PQ 右侧所加电场的场强大小和方向；
（3）小球从A 点运动到N 点所用的时间。
【答案】（1）
；（2）
（3）
【详解】（1）小球在OP 方向做直线运动，由于在受洛伦兹力、电场力和重力的作用，可以得出小球的速
度大小不变，否则不能做直线运动，设小球在OP 段的速度为
，则由平衡条件得
联立解得
小球从A 点到O 点做平抛运动，可得小球从A 点抛出时的初速度为
联立解得
（2）要使小球在PQ 右侧区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球的合力为洛伦兹力，则电场力需
和重力平衡，因为小球带正电，所以电场方向向上，设电场的大小为
,可得
28
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与
联立解得
（3）小球从A 点抛出运动到O 点，设运动时间为
，加速度
小球在O 点竖直方向的速度为
又
解得
在QP 右侧做圆周运动轨迹如下图所示
设小球从P 点运动到N 点的时间为
，小球做圆周运动的周期为，
29
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由
可知
所以
由几何关系可得，小球从P 点运动到N 点的圆心角为
，则
小球做圆周运动的半径
又
由几何关系得
设小球在OP 段运动的时间为
，则
解得
小球从A 点运动到N 点所用的时间
30
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19．（2023 上·江苏南通·高二校联考期末）如图所示，坐标系xoy 位于竖直平面内，所在空间有沿水平方
向垂直于纸面向里的匀强磁场，在x＜0 的空间内还有沿x 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E．一个
带电油滴经图中x 轴上的M 点，沿着直线MP 方向以速率v 做匀速运动，图中直线MP 与x 轴夹角α＝
30°，经过P 点后油滴进入x＞0 的区域，要使油滴在x＞0 的区域内做匀速圆周运动，需要在该区域内加一
个匀强电场．若带电油滴沿弧PN 做匀速圆周运动，并垂直于x 轴通过轴上的N 点，已知重力加速度为g．
试求：
（1）油滴的带电性质和匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）在x＞0 的区域内所加电场的场强；
（3）带电油滴从P 点运动到N 点经历的时间．
【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）油滴在x＜0 区域做匀速直线运动，又因为油滴在此区域受重力mg、电场力F 和洛伦兹力F
洛作用，故三个力的合力为0；油滴在x＞0 区域做匀速圆周运动，根据油滴轨迹和左手定则可知油滴带正
电．在x＜0 区域对粒子受力分析
有：F＝F 洛sin30°
31
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即：Eq＝qvBsin30°
所以磁感应强度
（2）在x＜0 区域油滴受力平衡有
F 洛•cos30°＝mg
又有F 洛sin30°＝qE
所以有：
在x＞0 区域油滴做匀速圆周运动，所以油滴受到的电场力与重力平衡，令此时电场强度为E′则有：
所以
（3）由题意作出油滴在x＞0 区域的轨迹如下图所示，根据几何关系有：
β＝180°﹣（90°
α
﹣）＝120°
油滴做圆周运动的周期
所以油滴从P 至BN 所用时间
又因为mg＝qvBcos30°
所以
20．（2024 上·广东茂名·高二高州市第四中学校考期末）如图所示，电场强度大小为E、方向水平向左的
有界匀强电场与方向垂直纸面向里的有界匀强磁场叠放在一起，一带电量为q 的带正电小球，从有界电、
磁场外的M 点以水平向右的速度
抛出，从N 点以
进入电、磁场后做直线运动，从P 点离开电、磁场，
32
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直线运动的时间为t，重力加速度为g，
、
，不计空气阻力，求：
（1）小球的质量以及匀强磁场的磁感应强度的大小；
（2）N、P 两点之间的电势差。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）小球从M 到N 做平抛运动，设小球在N 点的速度与水平方向的夹角为
，把小球在N 点的
速度分别沿水平方向和竖直方向分解，则有
小球从N 到P 做直线运动，重力、电场力是定值，若小球的速度大小变化，则洛伦兹力的大小会变化，小
球的合力会变化，且合力与速度不共线，则小球不可能做直线运动，则小球从N 到P 一定以速度
做匀
速直线运动，且速度的方向与水平方向的夹角为
，即NP 与水平方向的夹角为
对小球进行受力分析，由三力平衡的矢量三角形可知
综合解得
（2）N、P 两点之间的距离为
33
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N、P 两点之间的电势差为
综合解得
21．（2024 上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）如图所示，平面直角坐标系的
区域内，在
和
轴正半轴间，有垂直坐标平面向外的匀强磁场和沿
轴正方向的匀强电场，匀强电场的电场强度
大小为
；在
轴正半轴下方有沿
轴正方向的匀强电场，其电场强度的大小为
。在
轴上坐标为
的
点，沿
轴正向抛出一个带正电的小球，小球从坐标为
的
点进入正交的电磁场中
做匀速圆周运动，并以垂直
轴的方向进入
轴下方的电场中，不计空气阻力，不计球的大小，重力加速
度为
，求：
（1）小球从
点射出的初速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）小球在
轴下方运动时，离
轴的最大距离及第4 次经过
轴时的位置到坐标原点的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）设小球从M 点抛出的初速度大小为
，则
，
34
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解得
（2）设小球进入正交电磁场时的速度为，根据动能定理有
解得
设速度与水平方向的夹角为
，则
解得
=60°
设小球在正交电磁场中做圆周运动的半径为R，根据题意及几何关系有
，
根据牛顿第二定律
解得
（3）小球第一次经过x 轴时的位置D 的横坐标为
小球第一次进入x 轴下方的电场时做类竖直上抛运动，加速度大小为
方向竖直向上，小球第一次离开x 轴的最远距离为
作出带电小球从Р 点抛出后的运动轨迹如图所示
35
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由对称性可知，小球第4 次经过x 轴的位置N 到坐标原点О 的距离为
22．（2024 上·广东江门·高二统考期末）粗糙绝缘的水平地面上方虚线MN 两侧存在着相等宽度的方向竖
直向下的匀强电场，MN 左边电场内存在着方向垂直纸面向里匀强磁场，如图所示。质量为m 的带电滑块
（可视为质点）在水平地面上以速度v 从左边界向右进入复合场后作匀速直线运动，滑块滑过MN 之后经
相同的时间从匀强电场的右边界离开电场，离开时速度方向与水平方向夹角为
。已知电场强度为E，
磁感应强度为B，且
，重力加速度为g，求：
（1）带电滑块的电荷性质及电荷量q；
（2）匀强电场的宽度L。
【答案】（1）负电，
或
；（2）
【详解】（1） 滑块滑过边界MN 之后离开电场时速度方向与水平方向夹角为30°，可知滑块受电场力竖
直向上，所以滑块带负电；在MN 左侧，带电滑块（可视为质点）以速度向右匀速运动，则有
代入
36
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E=2Bv
解得
q=
或
q=
（2）滑块在MN 右侧，根据牛顿第二定律有
解得
方向竖直向上 。经t 时间
vy=at
根据速度的关系有
解得
水平方向做匀速直线运动，有
x=vt
由题知所求
L=2x
解得
23．（2024 上·河北唐山·高三统考期末）如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在
区域内匀强电场
方向沿
轴正方向，在
轴右侧分布着相邻的匀强电场
和匀强磁场
，电场
方向
沿
轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
。一质量为
、带电量
37
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为
的油滴从
轴上的
点无初速释放，到达
轴上的
点时，速度与
轴负方向夹角
；到达竖直电场右边界的
点时，速度与
轴正方向夹角仍为
。
两点间距离
两点的竖直高度差
。已知重力加速度
取
，带电
油滴的运动均在真空中。求：
（1）水平电场
的大小及油滴到达到
点时的速度；
（2）竖直电场
的大小及油滴到达
点时的速度；
（3）油滴在磁场中运动的速度的最大值
。
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）由题可知，油滴从P 到Q 做匀加速直线运动，即
解得
根据
可知
（2）由题可知，油滴在电场
内做类抛体运动，可将其分解为沿x 方向的匀速直线运动和沿y 方向的匀
38
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加速直线运动，故
，
到达M 点时的速度为
由动能定理可知
代入数据解得
（3）如图所示将速度
进行分解
其中
故油滴的运动可分解为沿水平方向的匀速直线运动和一个匀速圆周运动
由余弦定理可得
联立解得
当两速度方向相同时，油滴的速度最大
24．（2024 上·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）如图所示，竖直平面内的直角坐标系xoy，第一象
39
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限内有竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场
；第三、四象限有磁感应强度大小为
，方向垂直坐标平面向里的匀强磁场。t=0 时刻，质量为m、带电量为+q 的绝缘小球，从x 轴的
O 点，沿x 轴正方向以速度v0射入第一象限，在第一象限做匀速圆周运动；小球过一段时间进入第三象限
的磁场区域。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）小球第一次回到x 轴时的速度大小；
（3）在磁场B2内，小球离x 轴最远距离ym及对应的速度v 大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）在第一象限内做匀速圆周运动，则
得
（2）第一象限，根据洛伦兹力等于向心力
得
匀速圆周运动半周，其时间为
40
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小球在第二象限做做平抛运动，则
得
则
则
与x 轴负方向夹角的正切值为
（3）在磁场B2内小球离x 轴最远距离ym，此时对应的速度为v，由动能定理
水平方向由动量定理
即
取向右为正方向，则
可得小球离x 轴最远距离及对应的速度大小分别为
，
25．（2023 上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图所示，在xOy 竖直平面内存在磁感应强度大
小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。在
的区域内有沿x 轴正方向的匀强电场，在
的区域
41
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内有沿y 轴正方向的匀强电场，电场强度的大小相等且未知。一质量为5m、电荷量为
的带电微
粒从y 轴上P 点发出，沿直线运动到x 轴上Q 点，PQ 与y 轴夹角为
。带电微粒进入第一象限后，将
区域内的匀强电场E 变为沿y 轴正方向。带电微粒第一次从右往左穿过y 轴时，分裂成速度方向均垂
直于y 轴向左的带正电的微粒甲和乙，质量分别为m、4m，且甲、乙微粒的比荷相同，分裂后二者总动能
是分裂前微粒动能的2 倍。不考虑分裂后两微粒间库仑力的影响，已知重力加速度为g。
（1）求电场强度E 的大小；
（2）求分裂后乙微粒做圆周运动的半径；
（3）分裂后甲微粒速度方向偏转
时，撤去磁场，经过一段时间
后，再加上与原区域相同的磁场，
此后两微粒的轨迹不相交，求撤去磁场的时间
需满足的条件。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
【详解】（1）由微粒从P 到Q 做直线运动可知，带电微粒在第四象限中受力平衡，有
得
电场力与重力的合力与洛伦兹力平衡
得
（2）由带电微粒进入第一象限后做匀速圆周运动，可知重力与E 产生的电场力平衡，则
42
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得
由题意易知分裂前微粒的比荷与分裂后两个微粒的比荷均相等，若分裂后甲、乙微粒的速度分别为
、
，
甲、乙微粒的半径分别为
、
，则
解得
，
或
，
（舍去）
又轨迹半径与速度成正比
解得
（3）由周期公式
易知甲、乙微粒圆周运动的周期相同，半径之比为
二者的轨迹圆内切于分裂点，当撤去磁场后，二者同时开始向y 轴正方向做匀速直线运动，再次加上原磁
场后，二者又开始做圆周运动。所有O 点均为轨迹圆圆心，所有D 点均为匀速直线运动与圆周运动轨迹的
切点，所有K 点为圆轨道的切点。甲微粒在相同时间比乙微粒运动距离远，再次圆周运动时圆心为
，
43
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此时甲乙微粒圆周运动轨迹相切于
，甲微粒圆心从
到
的过程中，任意时刻微粒开始做圆周运动轨
迹不相交，易知
解得恢复原磁场，二者轨迹不相交的条件为
若
时恢复磁场，甲乙微粒的圆轨道外切，甲微粒此时的圆心为
，则
解得恢复原磁场，二者轨迹不相交的条件为
故撤去磁场的时间
需满足
或
26．（2024 上·山东潍坊·高三统考期末）如图所示，在直角坐标系xOy 中，第一象限存在沿x 轴负方向的
匀强电场，电场强度大小
；第三象限内存在着以OM 为边界的两个匀强磁场区域且方向均垂直
于纸面向里，左侧磁场磁感应强度大小
，右侧磁场磁感应强度大小
，边界OM 与y 轴负
方向的夹角为30°；第四象限同时存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和沿x 轴负方向的匀强电场，磁感应
强度大小
，电场强度大小
。现有一电荷量
，质证
的带电粒子，
从第一象限的A 点以
的速度沿y 轴的负方向发出，经电场偏转后，以与x 轴负方向成30°角从O
点进入第三象限。不计带电粒子的重力。求：
（1）A 点的位置坐标；
44
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（2）该粒子从O 点到再次经过y 轴所用的时间；
（3）该粒子从第2 次经过y 轴到第3 次经过y 轴沿y 轴方向位移的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由几何关系
解得
水平方向由牛顿第二定律
解得
水平方向由运动学公式
解得
由
解得
45
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竖直方向做匀速直线运动
所以A 点的位置坐标为
。
（2）粒子进入磁场
时速度为
由洛伦兹力提供向心力
解得
由几何关系可知，速度偏转了
角进入磁场
时速度沿着y 轴的负方向，则
由
解得
且粒子进入磁场
时速度沿着x 轴的正方向，所以
则该粒子从O 点到再次经过y 轴所用的时间为
（3）在第四象限，该粒子除了有沿x 轴正方向的速度v，还有两个沿着y 轴等大方向的速度v1。由
46
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得
该粒子做匀速圆周运动的速度为
与x 轴正方向成
角；由洛伦兹力提供向心力
解得
圆周运动沿y 轴负方向的运动的距离为
粒子运动的时间为
直线运动沿着y 轴正方向的位移为
所以粒子从第2 次经过y 轴到第3 次经过y 轴沿y 轴方向位移的大小
27．（2023 下·贵州铜仁·高二校考期中）如图所示,直角坐标系xOy 位于竖直平面内，在水平的x 轴下方存
在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁应强度为B，方向垂直xOy 平面向里，电场线平行于y 轴，质量为m、
电荷量为q 的带正电的小球，从y 轴上的A 点以初速度v0水平向右抛出，经x 轴上的M 点进入电场和磁场，
恰能做匀速圆周运动，从x 轴上的N 点第一次离开电场和磁场，已知OM=2OA，不计空气阻力，重力加速
度为g，求:
（1）电场强度E 的大小和方向；
（2）M、N 两点之间的距离；
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【答案】（1）
，电场强度方向竖直向上；（2）
【详解】（1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡，有
求得
电场强度方向竖直向上；
（2）小球做匀速圆周运动，
为圆心，
弦长为
，
，如图所示
设半径为，由几何关系知
根据牛顿第二定律有
在第一象限中，小球做平抛运动可得
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联立求得
28．（2024 上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考期末）如图所示，在竖直平面内的坐标系xOy 中，
第三象限存在垂直于纸面向外匀强磁场和沿x 轴负方向的电场强度为
的匀强电场，第一、二象限
中存在垂直于纸面向里的匀强磁场和电场强度
的匀强电场。磁感应强度大小均为
。一带
电荷量为q 的油滴从图中第三象限的P 点获得一初速度v，恰好能沿PO 做匀速直线运动（PO 与x 轴负方
向的夹角为
），并从原点O 进入第一象限，经过一段时间后再次穿过x 轴，重力加速度g 取
，
已知
，
求：
（1）油滴的电性和在P 点得到的初速度v 的大小；
（2）油滴再次穿过x 轴时的横坐标x 和油滴从原点O 开始再次到x 轴所用的时间。
【答案】（1）负电，5m/s；（2）2.4m，0.55s
【详解】（1）根据题意可知，油滴恰好能沿PO 做匀速直线运动，对油滴受力分析可知，油滴受力情况只
能如图所示
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由图可知，油滴带负电，根据平衡条件有
解得
（2）在第三象限，根据平衡条件可得
进入第一象限后，由于
则有
方向相反，油滴做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供向心力知
由几何关系得
解得
由周期公式
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得
粒子在第一象限的运动时间
解得
29．（2024·河北·校联考模拟预测）如图所示xOy 坐标系处在竖直平面内，在第一象限内存在水平向右的
匀强电场，在第二、三象限内存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两个区域的电场强度
大小相等。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电小球以初速度v0沿与x 轴负方向成θ=45°的方向从M 点
进入第一象限，在第一象限内做直线运动，经过y 轴上A 点时的速度为
。经历一段时间后，小球经x 轴
上的N 点（图中未画出）进入第三象限，速度方向与x 轴正方向成β=60°角。小球进入第三象限后从y 轴P
点（图中未画出）射出，重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度的大小及M 点到坐标原点O 的距离；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）判断带电小球从P 点进入第四象限能否回到x 轴。
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）根据题意，小球由M 点运动到A 点做匀减速直线运动，且
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联立解得
（2）由于小球受到向下的重力和向上的电场力相等，所以小球进入第二象限后做匀速圆周运动，轨迹如
图所示
根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系
联立解得
（3）小球进入第四象限做斜上抛运动，则
说明小球从P 点进入第四象限能回到x 轴。
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