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专题26 带电粒子在复合场中的运动
目录
题型一 带电粒子在组合场中的运动...........................................................................................1
类型1 磁场与磁场的组合......................................................................................................2
类型2 先磁场后电场..............................................................................................................6
类型3 先电加速后磁偏转....................................................................................................20
类型4 先电偏转后磁偏转....................................................................................................26
题型二 带电粒子在叠加场中的运动.........................................................................................37
题型三 带电粒子在交变电、磁场中的运动.............................................................................52
题型四 洛伦兹力与现代科技.......................................................................................................64
类型1 质谱仪的原理及应用..............................................................................................64
类型2 回旋加速器的原理和应用......................................................................................71
类型3 电场与磁场叠加的应用实例分析............................................................................79
题型一 带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替
出现．
2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处
理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直
观地解决问题．
3．常见粒子的运动及解题方法类型1 磁场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中
的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔
接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．
【例1】(多选)如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、
四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，P(－L,0)、
Q(0，－L)为坐标轴上的两点．现有一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿PQ方向射出，
不计电子的重力，则下列说法中正确的是( )
A．若电子从P点出发恰好第一次经原点O，运动时间可能为
B．若电子从P点出发恰好第一次经原点O，运动路程可能为
C．若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间一定为
D．若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程可能为πL或2πL
【答案】 ABD【解析】 电子在磁场中做圆周运动，从P点到Q点运动轨迹可能如图甲或图乙所示，电
子在磁场中的运动周期为T＝
设电子在PO段完成n个圆弧，则电子从P点出发恰好经原点O点的时间为
t＝nT＝，n＝1、2、3……
所以若电子从P点出发恰好第一次经原点O，运动时间可能为，则A正确；电子在磁场中
做圆周运动的半径为r，由几何关系可得nr＝L
电子从P点出发恰好经原点O，运动路程为s＝n
当n＝1时s＝
所以若电子从P点出发恰好第一次经原点O，运动路程可能为，则B正确；电子从P点出
发经原点O到达Q点，运动时间为t＝nT＝，n＝1、2、3…，所以若电子从P点出发经原
点O到达Q点，运动时间可能为，则C错误；若电子从P点出发经原点O到Q点，运动轨
迹可能如图甲、乙所示，若电子在PO段完成n个圆弧，那么关于电子的运动路程，n为奇
数时为2πL，n为偶数时为πL，故D正确．
【例2】.如图所示，空间均匀分布的磁场，其方向都垂直于纸面向外，y轴是两磁场的分
界面．在x>0区域内，磁感应强度大小为B ＝2 T，在x<0的区域内，磁感应强度大小为B
1 2
＝1 T．在坐标原点O处有一个中性粒子(质量为M＝3.2×10－25 kg)分裂为两个带等量异号
的带电粒子a和b，其中粒子a的质量m＝γM(γ可以取0～1的任意值)，电荷量q＝＋
3.2×10－19 C，分裂时释放的总能量E＝1.0×104 eV.释放的总能量全部转化为两个粒子的动
能．设a粒子的速度沿x轴正方向．不计粒子重力和粒子之间的相互作用；不计中性粒子
分裂时间．求：(1)若γ＝0.25，粒子a在右边磁场运动的半径R ；
a1
(2)γ取多大时，粒子a在右边磁场运动的半径最大；
(3)γ取多大时，两粒子会在以后的运动过程中相遇？
【答案】 (1) m (2) (3)或
【解析】 (1)分裂过程动量守恒，则有γMv ＝(1－γ)Mv
a b
由能量守恒定律得，E＝γMv 2＋(1－γ)Mv 2，解得v＝
a b a
v＝
b
粒子a轨迹满足qvB＝
a 1
R ＝＝ m
a1
(2)由(1)问可知R ＝＝
a1
可知当γ＝时R 最大；
a1
(3)一个中性粒子分裂为两个带电粒子a和b，根据电荷守恒，a粒子带正电，则b粒子带负
电．由于两个粒子的质量和速度的乘积相等，所以两个粒子在同一磁场中的运动半径也相
等r＝
即＝＝
a、b两粒子的运动轨迹如图所示，它们相遇的位置只有两个，分别为C点和D点①若在C点相遇＝＋
则γ＝
②若在D点相遇，由于△OCD为正三角形，所以＋＝
则γ＝.
【例3】宇宙中的暗物质湮灭会产生大量的高能正电子，正电子的质量为m，电荷量为e，
通过寻找宇宙中暗物质湮灭产生的正电子是探测暗物质的一种方法(称为“间接探测”)．
如图所示是某科研攻关小组为空间站设计的探测器截面图，粒子入口的宽度为 d，以粒子
入口处的上沿为坐标原点建立xOy平面直角坐标系，以虚线AB、CD、EF为边界，0 (2)(＋) (3)－3d≤y≤－d
【解析】 (1)正电子只要能经过边界AB就能到达探测板PQ，正电子能到达探测板PQ时，
正电子做圆周运动的轨道半径r>d
由牛顿第二定律得evB＝m
解得v>(2)在边界AB速度方向与x轴夹角为60°的正电子到PQ的时间最短，正电子在磁场中做匀
速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设正电子的轨道半径为r ，由牛顿第二定律得evB＝
1 1
m
由几何知识得d＝rsin
1
在入口和AB间、AB和CD间的运动时间相同，设为t，则r＝vt
1 1 11
解得t＝
1
自CD至PQ，t＝
2
t＝2t＋t＝(＋)
1 2
(3)速度最大的正电子在每一磁场区域沿y轴负方向偏移的距离y＝r－rcos
1 1 1
速度最小的正电子在每一磁场区域沿y轴负方向偏移的距离y＝d
2
正电子经过边界CD时的y轴坐标范围是－2y－d≤y≤－2y
2 1
即－3d≤y≤－d.
类型2 先磁场后电场
1．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)．
2．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．【例1】在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。如图所
示为一控制粒子运动装置的模型。在平面直角坐标系 的第二象限内，一半径为 的圆
形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场Ⅰ的边界圆刚好与两坐标轴相切，与
轴的切点为 ，在第一象限内有沿 轴负方向的匀强电场，在 轴下方区域有垂直于坐标
平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直于 轴的足够长的接收屏。 点处有一粒子源，
在与 轴正方向成 到与 轴负方向成 范围内，粒子源在坐标平面内均匀地向磁场内
的各个方向射出质量为 、电荷量为 的带正电粒子，粒子射出的初速度大小相同。已知
沿与 轴负方向成 射出的粒子恰好能沿 轴正方向射出磁场Ⅰ，该粒子经电场偏转后以
与 轴正方向成 的方向进入磁场Ⅱ，并恰好能垂直打在接收屏上。磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应
强度大小均为 ，所有粒子都能打到接收屏上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）求粒子从 点射出的速度大小 ；
（2）求匀强电场的电场强度大小 ；
（3）将接收屏沿 轴负方向平移，直至仅有一半的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，
求接收屏沿 轴负方向移动的距离 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设从P点沿与x轴负方向射出的粒子从Q点射出磁场Ⅰ，轨迹如图所示设磁场Ⅰ的边界圆的圆心为 ，粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心为 ，四边形 对
边相互平行且领边 与 长度相等，故四边形 为菱形，则粒子在磁场Ⅰ中做圆
周运动的轨迹半径为
根据牛顿第二定律有
解得
（2）从P点沿与x轴负方向成 射出的粒子在电场中做类平抛运动，设粒子出电场时沿
y轴负方向的分速度为 ，由题意可知
沿y轴方向有
根据牛顿第二定律有
解得
（3）由于粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为 ，因此所有粒子均沿x轴正方向射出磁场Ⅰ；设某一粒子进入磁场与x轴正方向夹角为 ，则粒子进入磁场Ⅱ时速度为
粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
则轨迹的圆心到x轴的距离为
由此可见，所有粒子进磁场Ⅱ后做圆周运动的圆心均在离x轴距离为r的水平线上，由于
从P点沿与x轴负方向成 射出的粒子能垂直打在屏上，因此所有粒子均能垂直打在接收
屏上。在P点沿y轴正方向射出的粒子恰好能打在屏上时，即有一半的粒子经磁场Ⅱ偏转
后能直接打在屏上，这时屏需要移动的距离等于在P点沿y轴正方向射出的粒子在磁场Ⅱ
中做圆周运动的半径。设该粒子进入磁场Ⅱ时的速度大小为 ，根据动能定理有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
即要使一半的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，接收屏沿y轴负方向移动的距离为
【例2】．如图所示，在x轴上方空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀
强磁场，在x轴下方存在竖直向上的匀强电场（场强大小未知）。 时刻，一质量为
m、带电荷量为 的粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入磁场，未进入电场，第一次到达点O时，正好与沿y轴正方向运动到该点、质量为 、带电荷量也是 的粒子
乙发生弹性正碰。碰撞后，粒子甲的速度反向、大小变为碰前的3倍，碰后当甲第一次进
入电场时，乙刚好第一次进入磁场。假设碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑粒子重力、
两粒子间的库仑力、边界效应。求：
（1）第一次碰撞前甲的速度大小；
（2）第一次碰撞后瞬间乙的速度大小及电场强度的大小；
（3）乙第一次从磁场进入电场时，甲、乙之间的距离。
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】本题考查带电粒子在电磁组合场中的运动及其规律，意在考查考生的分析综合能
力和应用数学知识处理物理问题的能力。
【详解】（1）第一次碰撞前，甲在磁场中做匀速圆周运动，设第一次碰撞前甲的速度大小
为 ，根据几何关系可知，第一次碰撞前甲的轨迹半径
由洛伦兹力提供向心力得
联立解得（2）设第一次碰撞前瞬间乙的速度大小为 ，第一次碰撞后瞬间乙的速度大小为 、甲
的速度大小为 ，规定y轴负方向为速度正方向，由于甲和乙的碰撞过程满足动量守恒定
律和机械能守恒定律，则有
其中
联立解得
又第一次碰撞后，当甲在磁场中运动半个周期时，乙在电场中做类竖直上抛运动正好返回
O点，则
甲在磁场中的运动周期
由
则
根据牛顿第二定律有联立解得
（3）作出两粒子的运动轨迹（部分）如图所示
甲第一次进入电场时，乙恰好第一次进入磁场，根据洛伦兹力提供向心力有
解得
故此时甲的位置坐标为 ，乙位于坐标原点，之后乙在磁场中运动半个周期后进入电
场，则
又根据洛伦兹力提供向心力有
解得故乙从磁场进入电场时的位置坐标为 ，在电场中，对甲根据牛顿第二定律有
由运动学规律有
解得
由几何知识可知，乙第一次从磁场进入电场时，甲、乙之间的距离为
联立解得
【例3】．如图所示，在xOy平面内，以坐标原点O为圆心、半径为R的圆形区域内存在
方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（未画出），直线 的左侧区域
存在平行y轴向下的匀强电场。质量均为m、电荷量均为 的甲、乙粒子分别从圆上的
N、M两点垂直x轴射入匀强磁场，均从圆上的P点离开磁场，甲粒子经过P点时的速度
方向平行于x轴向左。已知匀强电场的电场强度大小为 ， ，
， ，不计粒子重力和粒子间的相互作用，求：
（1）甲、乙粒子射入磁场时的速率之比；
（2）甲粒子从射入磁场到第二次经过x轴所用的时间；
（3）乙粒子轨迹上的最高点到x轴的距离。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设P点坐标为 ， ， ，如图甲
A为甲粒子在磁场中运动轨迹的圆心，由几何关系得
甲粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
， ，
如图乙D为乙粒子在磁场中运动轨迹的圆心，由几
何关系有
乙粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
甲、乙粒子射入磁场时的速率之比为
（2）甲粒子在磁场中的运动时间为
甲粒子从P点到直线 的运动时间为
甲粒子在电场中做类平抛运动，甲粒子在电场中的加速度为设甲从进入电场到经过x轴的时间为 ，有
解得
甲粒子从射入磁场到第二次经过x轴所用的时间为
（3）如图乙，设乙粒子离开磁场时的速度与竖直方向成 角，令 ，有
，
乙粒子轨迹上的最高点到x轴的距离为
代入数据得
【例4】．如图，直角坐标系xOy中的第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象
限中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一电荷量为q、质量为m的带
正电粒子，在x轴上的a点以与x轴负方向成 角的速度射入磁场，从y=L处的b点沿垂
直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x=1.5L处的c点。不计粒子重力，求：
（1）粒子在a点的速度大小；
（2）电场强度E的大小；
（3）带电粒子在磁场和电场中运动的时间之比。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设粒子在a点速度大小为 ，带电粒子的运动轨迹如图
由几何关系可知
解得
又由洛伦兹力提供向心力
解得粒子在a点的速度大小
（2）带电粒子在电场中运动时，沿x轴方向有
沿y轴方向有
又因为解得电场强度E的大小为
（3）带电粒子在磁场中周期
运动时间为
带电粒子在电场中运动时间为
所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为
【例5】．如图所示，坐标系 的第一象限存在匀强磁场，磁场方向垂直于 平面向
外；第四象限内有沿 轴负方向的匀强电场。质量为 、带电量为 的粒子以速率
从 轴的点 射入磁场，经 轴上的点 沿 轴负方向进入电场，然后从 轴
负半轴 点以与 轴负方向成 角离开电场，不计粒子重力，求：
（1）粒子在 点时速度方向与 轴正方向的夹角 ；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）粒子在电场和磁场中运动的总时间 。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由于 ，且从 点沿 轴负方向进入电场，则圆心在 轴负半轴，设粒子在第一象
限磁场中做匀速圆周运动的半径为 ，圆心为 ，由几何关系有
解得
则有
设粒子在A点的速度方向与y轴正方向成 角，由几何关系，有解得
（2）根据题意可知，粒子在第二象限做类平抛运动，沿电场方向上有
垂直电场方向上有
又有
联立解得
（3）由上述分析可知，粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为 ，则粒子在磁场中运动的
时间为
粒子在电场中运动的时间为
粒子在磁场电场中运动的总时间【例6】如图所示，半径为R的圆形边界，圆心为O，半径Oe与直径jp垂直，圆形边界内
除扇形区域jOe外，存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，带电平行金属板
ab、cd的长度均为R，间距为2R，圆形边界与ac相切于e点，且e点是ac的中点，在平
行板的右侧放置一荧光屏，荧光屏与bd平行，且与bd的间距为R。一带电量为 、质量
为m的粒子甲（不计重力），从p点以指向圆心O的速度垂直进入磁场，然后从e点进入
匀强电场，最后从d点射出；再让与粒子甲相同的粒子乙从p点垂直射人磁场，速度的大
小与甲相同、方向与甲不同，乙从j点射出磁场，进入电场，最后打在荧光屏上的f点，求：
（1）匀强电场的场强；
（2）粒子乙从p点到f点的运动时间。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）作出甲粒子的运动轨迹如图所示
轨迹几何关系可知，粒子圆周运动的轨道半径为
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
根据牛顿第二定律有
解得
（2）作出乙粒子的运动轨迹如图所示
粒子在磁场中圆周运动的周期
结合解得
粒子在磁场中运动的时间
粒子进入电场前做匀速直线运动，经历时间解得
粒子在电场中做类平抛运动，根据上述，可知
解得
粒子飞出电场后做匀速直线运动，水平方向有
解得
则粒子乙从p点到f点的运动时间为
解得
类型3 先电加速后磁偏转
带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如
图甲．
【例1】如图，第一象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第
二象限内存在方向垂直y轴、电场强度为E的匀强电场，一带电粒子从 点由静止释放，经电场加速后从 点进入磁场，最后从 点垂直x轴射出磁场，不计粒
子的重力，求：
（1）带电粒子的速度大小；
（2）带电粒子在磁场中的运动时间。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）带电粒子在电场中加速时，由动能定理得
带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力则有
由几何关系得
联立各式得
（2）带电粒子在磁场中做圆周运动的周期为
带电粒子在磁场中的运动时间为【例2】．如图所示，空间有一棱长为L的正方体区域，带电粒子从平行于MF棱且与
MPQF共面的线状粒子源连续不断地逸出，逸出粒子的初速度可视为0，粒子质量为m，
电荷量为 ，经垂直于MF棱的水平电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MS段垂直
进入正方体区域内，MS段长为 ，该区域内有垂直平面MPRG向外的匀强磁场，磁感应
强度大小为B，从M点射入的粒子恰好从R点射出。忽略粒子间的相互作用，不计粒子重
力。
（1）求线状粒子源处与正方体MS段之间的电势差；
（2）若该区域内只有垂直平面MPRG向外的匀强电场，电场强度大小为 ，已知从S
点射入的粒子从QP边上的某点射出，求该点距Q点的距离；
（3）若该区域内同时存在上述磁场与电场，通过计算判断从S点进入的粒子，离开该区域
时的位置和速度大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）粒子从N点离开该区域；
【详解】（1）粒子经电场加速，则
进入垂直平面MPRG向外的匀强磁场后从，从M点射入的粒子恰好从R点射出，可知粒子
在磁场中运动的轨道半径为
r=L
则由
可得（2）若该区域内只有垂直平面MPRG向外的匀强电场，则粒子在电场中做类平抛运动，
则垂直电场方向
沿电场方向
其中
解得
该点距Q点的距离
（3）该区域内同时存在上述磁场与电场时，从S点进入的粒子在正方体区域内做不等距螺
旋线运动，将其运动分解为沿MF方向的初速为零的匀加速直线运动，和平行于MPRG平
面的线速度为v,半径为R=L的匀速圆周运动。分运动的匀速圆周运动的周期为
假设粒子从FQNA面射出，则有
解得可知分运动的匀速圆周运动的轨迹为 圆周，该粒子恰好从N点离开该区域，假设成立。
离开该区域时沿MF方向的速度为
v=at
2 2
解得
设离开该区域时速度大小为v′，则有
解得
【例3】．CT技术是通过高能电子撞击目标靶，使目标放出X射线，对人体进行扫描取得
信息的，其原理如图所示：半径为L的圆形区域内有垂直直面向里的匀强磁场，水平放置
的目标靶长为2L，靶左端点M、右端点N与磁场圆心O的距离相等、竖直距离为 。
从阴极逸出的电子（初速度可忽略），经电场加速后瞄准圆心O沿着水平方向进入磁场，
经磁场偏转后恰好击中M点。设电子质量为m、带电量为-e，电子枪的加速电压为U，不
考虑电子受到的重力，求：
（1）电子击中目标靶的速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）电子在加速电场中加速，由动能定理有解得
电子在磁场中速度大小不变，故击中目标靶的速度大小为 。
（2）电子经磁场偏转后恰好击中M点，如图所示
根据几何关系可得
由此可知电子在磁场中运动的轨迹半径为
电子在加速电场中，由动能定理有
由洛伦磁力充当向心力，有
联立解得
【例4】．在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图所示。第一象
限内OBAD区域（ ， ）有一水平向左的匀强电场E，第二象限内有一半径
为R的垂直纸面的匀强磁场 ，边界与xy轴相切，与x轴的切点为C，与y轴的切点为
P，第四象限内有垂直纸面的匀强磁场 ，如图（ 、 均未知）。已知一个质量为m、电荷量为 的带电粒子（可视为质点）从AB边界任意一点无初速度释放，经电场加
速后获得速度v，进入第二象限，再经磁场偏转后都从同一点C离开第二象限。（E、m、
0
q、R、 已知）求：
（1）磁感应强度 ；
（2）此粒子从坐标 处无初速度释放，依次经过一二三四象限后恰好垂直与x轴再
次射入第一象限，求该情况下磁感应强度 及粒子在第四象限运动的时间。
【答案】（1） ；（2） ，
【详解】（1）粒子在磁场 中做匀速圆周运动，经磁场偏转后都从同一点C离开磁场，
其中由P到C的粒子的轨迹恰好为 圆周，可知运动半径等于R。由洛伦兹力提供向心力
得
解得
（2）粒子从坐标为 的F点（即 ）处无初速度释放的粒子的运动轨迹如图
所示粒子由G点出电场到H点进磁场的过程做匀速直线运动，粒子在磁场B 中运动半径与圆形
1
磁场区域半径相等均为R，四边形OCOH为菱形，由几何关系可得
1 2
解得
粒子在M点进入第四象限，在第三象限由C到M的过程做匀速直线运动，设粒子在第四象
限运动半径为r，由几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
粒子在第四象限的磁场B 中运动轨迹的圆心角为150°，则此过程时间为
2类型4 先电偏转后磁偏转
带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图乙．
【例1】一质量为 、电荷量为 的带电粒子始终在同一竖直面内运动，其速度可用
图示的直角坐标系内，一个点 表示， 分别为粒子速度在竖直面内两个坐标
轴上的分量。粒子出发时 位于图中 点，粒子在竖直向下的匀强电场作用下运动，
点沿线段 移动到 点；随后粒子离开电场，进入方向水平向外、磁感应强度
大小为 的匀强磁场， 点沿以 为圆心的圆弧移动至 点；然后粒子离开磁场
返回电场， 点沿线段 回到 点。已知带电粒子在运动过程中，任何相等的时间
内速度改变量的大小都相等，不计重力。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）电场强度的大小；
（3） 点沿图中闭合曲线移动1周回到 点时，粒子位移的大小。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动时的速度为根据洛伦兹力提供向心力
解得做圆周运动的半径为
周期为
（2）根据题意，可得
解得
（3）根据题意分析可知从 点到 点粒子在磁场中转过的角度为 ，绕一圈的过程中两
次在电场中运动，根据对称性可知粒子的运动轨迹如图，从 到 过程中粒子做类平拋运
动，得
故可得该段时间内沿 方向位移为
根据几何知识可得
由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动一周时粒子位移的大小为
联立解得【例2】．如图所示， 平面的第一象限内， 的空间内有沿 轴正方向的匀强电
场， 的空间内有垂直 平面向外的匀强磁场， 时刻，一质量为 、带电量为
的粒子从 点沿 轴正方向射出，经 时间后从 点射入磁场，一段时间后从
点离开磁场，粒子重力不计。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）从 点到 点的运动过程中，粒子位置的横坐标 随时间 变化的关系式？
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
解得，
（2）令粒子在 的速度方向与x轴正方向夹角为 ，则有
则有
则粒子在 的速度
结合上述解得
根据几何关系可知， 为粒子在磁场中圆周运动的直径，则轨道半径为
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（3）结合上述，当 时有
当 时，结合上述可知，粒子圆周运动的圆心为 ，粒子圆周运动的角
速度则有
解得
【例3】．如图所示，在xOy平面直角坐标系的第Ⅱ象限有沿y轴正方向的匀强电场，电
场强度为E，将一群电子从第Ⅱ象限内的不同位置以初速度 沿x轴正方向射出，发现这
些电子均能经过坐标原点O．电子通过O点后进入第Ⅳ象限内的匀强磁场区域，磁场方向
垂直坐标平面向里，磁感应强度大小为B，这些电子经过磁场偏转后都再次到达y轴．已
知电子电量为e，质量为m，求：
（1）这群电子从第Ⅱ象限内射出时的位置坐标满足的方程；
（2）第Ⅳ象限内匀强磁场区域的最小面积；
（3）若在第Ⅲ象限所在的立体空间内充满沿y轴正方向的匀强磁场（图中未画出），磁感
应强度大小也为B，求电子在这个区域运动时离y轴的最远距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设电子射出的位置坐标为 ，电子做类平抛运动，有在 轴方向
在 轴方向联立解得
（2）设电子经过 点时的速度方向与 轴负向的夹角为 ，速度大小为 ，电子沿 轴移
动的距离为 ，则有
可见所有电子经过磁场偏转后都经过 轴同一位置，如图所示
则磁场区域的最小面积为
其中
解得
（3）在第Ⅲ象限所在的立体空间内，电子沿 轴做匀速运动，垂直 轴方向做匀速圆周运
动，运动半个周期时离 轴最远，最远距离为【例4】．如图，在 的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，在 的区域存在方
向垂直于xOy平面向里的匀强磁场。一个氘核和一个氚核先后从x轴上P、Q两点射出，
速度大小分别为 、 ，速度方向与x轴正方向的夹角均为 。一段时间后，氘核和
氚核同时沿平行x轴方向到达y轴上的M点（图中未画出）。已知Q点坐标为 ，不
计粒子重力及粒子间的静电力作用， ， ，求：
（1）y轴上M点的纵坐标及x轴上P点的横坐标；
（2）匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B大小之比。
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）氚核从Q点射出后在电场中做抛体运动，在x轴方向匀速直线运动，则有
解得
在y轴方向
解得y轴上M点的纵坐标
氘核从P点射出后在磁场中做匀速圆周运动，两粒子运动轨迹如图所示由几何关系可得
解得
由几何关系
联立解得x轴上P点的横坐标
（2）设氘核（ ）的质量为2m，电荷量为q，则氚核（ ）的质量为3m，电荷量为
q。氚核，根据抛体运动规律得
其中
解得
氘核：根据洛伦兹力提供向心力有解得
则有
【例5】．如图所示，在坐标系xOy的第一象限内存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，
第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电量为 、质量为m的
粒子，从y轴上的P点以某一速度沿垂直y轴方向进入电场，经x轴上的Q点进入磁场，
在磁场中偏转后垂直y轴的方向进入第二象限。已知 ， ，不计粒子重力。求：
（1）粒子过Q点时的速度v；
（2）磁感应强度的大小B。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）粒子在电场中运动时，竖直方向
水平方向解得
（2）粒子进入磁场时
得
粒子在第一象限的运动轨迹如图所示，
为圆心，由几何关系可知 为等腰三角形得
由
解得
【例6】如图所示，水平直线 上方有竖直向下的匀强电场， 下方有一边长为 的正
三角形匀强磁场区域 （边界上也有磁场）， 点在边界 上， 边与 平行，匀强
磁场方向垂直纸面向外。质量为 、带电量为 的粒子从 点以初速度 垂直电场方向射
出，在电场中偏转后从 点进入磁场， 之间的水平距离为 ，竖直距离为 ，粒子重力不计。
（1）求电场强度的大小；
（2）若粒子从 点离开磁场，求粒子在磁场中的运动时间；
（3）若粒子从 边上距离 点为 的 点离开磁场，求磁感应强度的大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，垂直电场方向有
沿电场方向有
解得
（2）根据题意，粒子在电场中的运动轨迹如图所示由几何关系可知，粒子离开电场时
又有
解得
粒子进入磁场后做圆周运动，若从 点出磁场，轨迹如图所示
由牛顿第二定律有
据几何关系可得
圆心角
粒子在磁场中运动的时间解得
（3）若粒子从 点出磁场，轨迹如图所示
设粒子速度的偏转角为 ，据几何关系可得
解得
又有
解得
题型二 带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2．洛伦兹力、重力并存(1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
(2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机
械能守恒。
3．电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
(1)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
(2)若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可
用动能定理求解。
4．电场力、洛伦兹力、重力并存
(1)若三力平衡，带电粒子一定做匀速直线运动。
(2)若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。
(3)若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能
量守恒定律或动能定理求解。
【例1】如图，边长为L的正方形 区域及矩形 区域内均存在电场强度大小为E、
方向竖直向下且与 边平行的匀强电场， 右边有一半径为 且与 相切的圆形区域，
切点为 的中点，该圆形区域与 区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向
里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经 边的中点进入
区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸
面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过 区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
【答案】(1)(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子在 区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子
带正电，经 边的中点速度水平向右，设粒子到达 边的中点速度大小为 ，带电荷量
为 ，质量为 ，由平衡条件则有
解得
（2）粒子从b点到 边的中点的运动，可逆向看做从 边的中点到b点的类平抛运动，
设运动时间为 ，加速度大小为 ，由牛顿第二定律可得
由类平抛运动规律可得
联立解得粒子的电荷量与质量之比
（3）粒子从 中点射出到圆形区域做匀圆周运动，设粒子的运动半径为 ，由洛伦兹力
提供向心力可得
解得
粒子在磁场中运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，
设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为 ，由几何关系可知可得
则有
【例2】．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第二、三、四象限内存在平行
于y轴向上的匀强电场，在第三、四象限内存在磁应强度为B、方向垂直xOy平面向外的
匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带正电小球，从y轴上的A点水平向右抛出，记为小
球第一次通过y轴，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，已知
，磁感应强度 ，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）电场强度E的大小和粒子经过M点的速度大小；
（2）粒子第三次经过y轴时的纵坐标。
【答案】（1） ；（2）【详解】（1）因小球在第四象限做匀速圆周运动，故重力和电场力平衡，故：
解得
小球在第Ⅰ象限平抛，由运动学规律，有
联立解得
竖直方向速度
经过M点的速度大小为
（2）小球在第四和第三象限做匀速圆周运动， 为圆心，MN为弦长， ；小
球在第二象限做匀速直线运动，第三次经过y轴的点记为Q，如图所示
设半径为r，小球在磁场中做匀速圆周运动，有由几何关系知
由
小球在第二象限做匀速直线运动，有
联立求得
【例3】．如图所示，平行的两极板a、b间存在正交的匀强电场和匀强磁场I，正离子以
的速度沿极板中线匀速飞出极板，进入匀强磁场区域II，匀强磁场I和匀
强磁场II的磁感应强度大小、方向均相同。已知极板板长 板间距 板间
电压（ 离子比荷 不计离子重力， 求：
（1）匀强电场电场强度E的大小和匀强磁场磁感应强度B的大小；
（2）撤去磁场I，离子离开电场时速度 的大小；
（3）撤去磁场I后，要使离子不从边界 射出，磁场II的宽度至少为多少。【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据匀强电场的电势差与电场强度关系有
带电粒子沿极板中线匀速飞出极板，由平衡条件有
解得
（2）撤去磁场I，离子离开电场时，在 方向有
在电场强度方向上
离子离开电场时速度
解得（3）设粒子进入磁场时速度与 方向所成夹角为 ，则有
进入磁场II由洛伦兹力提供向心力，有
解得
撤去磁场I后，要使离子不从边界 射出，磁场II的宽度至少为
解得
【例4】．霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀
强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m，电荷量为e的
电子从О点沿x轴正方向水平入射，入射速度为 时，电子沿x轴做直线运动；入射速度
小于 时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相
等。不计电子重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为 ，求运动到速度为 时位置的纵坐标y；
（3）若电子入射速度在 的范围内均匀分布，求能到达纵坐标 位置的电子
数N占总电子数N 的百分比。
0【答案】（1）vB；（2） ；（3）87.5%
0
【详解】（1）由题知，入射速度为v 时，电子沿x轴做直线运动则有
0
Ee=evB
0
解得
E=vB
0
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹
力不做功，且由于电子入射速度为 ，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏
转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
F =ev B－eE
合 m
在最低点有
F =eE－evB
合
联立有
，
要让电子达纵坐标 位置，即
y≥y
2
解得则若电子入射速度在0φ.当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电
a b
势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝.
(3)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝.
(4)电势高低的判断：根据左手定则可得φ>φ.
a b
【例1】为了诊断病人的心脏功能和动脉中血液黏滞情况，可使用电磁流量计测量血管中
血液的流速和流量。如图所示是电磁流量计测量血管中血液流速的示意图，血管中存在着
大量正负离子水平向左定向流动，现使血管处于磁感应强度为 的匀强磁场中，测得血管
两侧电压为 。已知血管的直径为 ，假定血管中各处液体的流速稳定时恒为 ，忽略重
力影响，则（ ）A．血管中水平向左运动的正离子所受洛伦兹力垂直纸面向上
B． 处电势比 处电势低
C．流速稳定时，血管两侧电压为
D．流速稳定时，
【答案】BC
【详解】A．根据左手定则可得，血管中水平向左运动的正离子所受洛伦兹力在纸面内向
下，故A错误；
B．根据左手定则可知，正电粒子向下偏转，所以b处电势比a处电势高，故B正确；
CD．当电场力等于洛伦兹力
时，达到平衡，此时
即
故C正确，D错误。
故选BC。
【例2】．为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示
的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直
于前后两侧面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上下两内表面分别固定有金属板
M、N作为电极，污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显
示两个电极间的电压U，若用Q表示污水流量（单位时间内排出的污水体积），下列说法
中正确的是（ ）A．若污水中负离子较多，则M板比N板电势高
B．若污水中正离子较多，则N板比M板电势高
C．污水中离子浓度越高电压表的示数将越大
D．电压U与污水流量Q成正比，与a、c无关
【答案】AD
【详解】AB．正负离子向右移动，受到洛伦兹力，根据左手定则，正离子向M板偏转，负
离子向N板偏转，所以M板比N板电势高，故A正确，B错误；
C．电场力、洛伦兹力处于平衡，有
qE=qvB
即
=vB
污水流量
则
电压表的示数与磁感应强度、流量Q以及流量计的宽有关，与离子浓度无关，故C错误；
D．由可知电压U与污水流量Q成正比，与a、c无关，故D正确。
故选AD。
【例3】为监测某化工厂的污水（导电液体）排放量，某物理兴趣小组的同学在该厂的排
污管末端安装了如图所示的流量计。该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为 ，
左右两端开口。如图，在垂直于前、后两面方向加磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、
下两个面分别固定有金属板M、N作为电极，V为理想电压表。当含有大量负离子的污水
从左向右流经该装置时，下列说法正确的是（ ）
A．M板的电势低于 N板的电势
B．若导电液体的流速为 ，M、N两电极间将产生电势差
C．若仅增大导电液体中离子的浓度，电压表示数将增大
D．若已知M、N 电极间的电势差为U，则液体流量为
【答案】B
【详解】A．根据左手定则可知，负电离子受到的洛伦兹力指向N板，故M板的电势高于
N板的电势，故A错误；
BD．若导电液体的流速为 ，根据受力平衡可得
解得
当电压表的示数为 U 时，液体流量为
联立解得故B正确，D错误；
C．根据
若仅增大导电液体中离子的浓度，电压表示数保持不变，故C错误。
故选B。
4.霍尔效应的原理和分析
(1)定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过
导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压
称为霍尔电压．
(2)电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电
子，则下表面A′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低．
(3)霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，
当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I
＝nqvS，S＝hd，联立解得U＝＝k，k＝称为霍尔系数．
【例1】笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体
远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入
休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电
荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时
元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，
以此控制屏幕的熄灭。则元件的（ ）A．前表面的电势比后表面的低
B．前、后表面间的电压U与a无关
C．前、后表面间的电压U与v成正比
D．自由电子受到的洛伦兹力大小为
【答案】C
【详解】A．电流向右，电子向左移动，根据左手定则，电子向后表面移动，故前表面的
电势比后表面的高，故A错误；
BC．根据平衡条件
解得
故U与a有关，U与v成正比，故B错误， C正确；
D．自由电子受到的洛伦兹力大小为
故D错误。
故选C。
【例2】．许多智能手机中都自带有“指南针”app，利用它可以测量当地地磁场磁感应强
度的大小和方向。其测量原理可以简化为如图模型：一块长为a、宽为b、厚为c的半导体
薄板水平放置，某处地磁场的竖直分量B，向下 可视为匀强磁场 。当给薄板通入沿水平
方向的恒定电流时，就会在薄板前、后表面之间产生电势差U，设每个载流子移动的速率
为v，则该处地磁场竖直分量 的大小为（ ）A．Uav B． C． D．
【答案】B
【分析】本题借助“指南针”app考查霍尔效应。解决问题的关键是清楚霍尔效应的原理，
根据洛伦兹力等于电场力即可求出地磁场竖直分量的大小。
【详解】薄板前、后表面之间产生电势差U时，对某个载流子有
解得
故选B。
【例3】．速度选择器可以使一定速度的粒子沿直线运动，如图甲所示。霍尔元件的工作
原理与速度选择器类似，某载流子为电子的霍尔元件如图乙所示。下列说法正确的是（
）
A．图甲中，电子以速度大小 从Q端射入，可沿直线运动从P点射出
B．图甲中，电子以速度大小 从P端射入，电子向下偏转，轨迹为抛物线
C．图乙中，仅增大电流I，其他条件不变，MN之间的霍尔电压将增大
D．图乙中，稳定时霍尔元件M侧的电势低于N侧的电势
【答案】CD
【详解】A．当电子从Q→P时，所受电场力向上，洛伦兹力向上，合力不会为零，电子不
能做直线运动，A错误；
B．电子以速度大小从P端射入，则
电子向下偏转，所受合力为变力，轨迹不可能为抛物线，故B错误；
C．图乙中，设霍尔元件厚度为h，宽为d，由
可得
仅增大电流I，其他条件不变， 将增大，故C正确；
D．根据左手定则可判断电子受到的洛伦兹力向左，所以M侧电势低，N侧电势高，故D
正确。
故选CD。
