文档内容
第16讲 圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程
（高阶拓展、竞赛适用）
（4 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
切线长
2024年新Ⅱ卷，第10题,6分 过抛物线上的点与圆相切 根据抛物线方程求焦点
直线与抛物线交点相关问题
根据椭圆过的点求标准方程
2020年新Ⅱ卷，第21题,12
求椭圆的切线方程 椭圆中三角形 (四边形)的面积
分
求椭圆中的最值问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
知识讲解1 过圆 x2+ y2=r2 上一点 M(x ,y ) 的切线方程:
0 0
xx + y y =r2
0 0
x2 y2
2. 设 P(x ,y ) 为椭圆 + = 1上的点, 则过该点的切线方程为:
0 0 a2 b2
xx y y
0+ 0=1
a2 b2
x2 y2
3. 设 P(x ,y ) 为双曲线 − =1 上的点, 则过该点的切线方程为:
0 0 a2 b2
xx y y
0− 0=1
a2 b2
4. 设 P(x ,y ) 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为
0 0
y y =p(x+x )
0 0
5. 设 P(x ,y ) 为圆 x2+ y2=r2 外一点, 则切点弦的方程为:
0 0
xx + y y =r2
0 0
x2 y2
6. 设 P(x ,y ) 为椭圆 + =1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程
0 0 a2 b2
为:
xx y y
0+ 0=1
a2 b2
x2 y2
7. 过 P(x ,y ) 为双曲线 − = 的两支作两条切线, 则切点弦方程为
0 0 a2 b2
xx y y
0− 0=1
a2 b2
8. 设 P(x ,y ) 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:
0 0
y y =p(x+x )
0 0
考点一、 椭圆中的切线方程和切点弦方程1．（2022高三·全国·专题练习）椭圆 上点P(1,1)处的切线方程是 ．
2．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知椭圆 ，离心率为 ，过 的直线分别与 相切
于 ， 两点，则直线 方程为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线 上一点 的切线方程为 .
过椭圆 上的点 作椭圆的切线 ，则过 点且与直线 垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆 上一点 的切线 方程．
2．（22-23高三全国·课后作业）曲线 上点到直线 距离的最小值为 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 经过椭圆 的一个顶点E和
一个焦点F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过 与椭圆相切的直线方程．
4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆 过点 和 .
(1)求 的离心率；
(2)若直线 与 有且仅有一个交点，求 的一般式方程.
5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是 ， ，且经过点
．
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l与 平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．考点二、 双曲线中的切线方程和切点弦方程
1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线 在点 处的切线方程．
2．（2023高二·全国·专题练习）过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为 ，求直
线 的方程 ．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线 的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线 在点 处的切线方程；
（2）已知 是双曲线外一点，过P引双曲线 的两条切线 ，A，B为切点，求直线AB
的方程．
2．（2020高三·江苏·专题练习）在双曲线 上求一点，使到直线 的距离最短．
考点三、 抛物线中的切线方程和切点弦方程
1．（2022高三·全国·专题练习）抛物线 过点 的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三·全国·专题练习）过点 作抛物线 ： 的两条切线，切点分别为A，B，求直
线 的方程．
3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 ，过点 作抛物线 的两条切线 ，切点分
别为 ，则 .4．（2024高三·全国·专题练习）已知M是直线 上的动点，过点M作抛物线 的两
条切线，切点分别为A，B（与坐标原点O不重合），当 时，直线AB的方程为 ．
1．（2023高三·全国·专题练习）过抛物线 上一点 的抛物线的切线方程为 .
2．（21-22高二下·河南新乡·期末）过点 作抛物线 的切线，则切点的横坐标为 ．
3．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线 ： ，过直线 ： 上的动点 可作 的两条切线，
记切点为 ，则直线 （ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，且F与圆
上点的距离的最小值为2．
(1)求 ；
(2)已知点 ， ， 是抛物线 的两条切线， ， 是切点，求 ．
考点 四 、 切线方程 及 切点弦方程 的 应用
1．（2021·天津·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．
若 ，求直线 的方程．
2．（2021·全国·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点
的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．1．（2024·四川德阳·三模）已知 为抛物线 ： 的焦点，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线
相交于不同的两点 ，若抛物线 在 两点处的切线相交于点 ，则 .
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）（多选）过点 向抛物线 作两条切线，切点分别为
为抛物线的焦点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系 中，曲线C： 与直线 交与M,N两
点，
(1)当 时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 ？说明理由.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点 与两
个焦点 构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 为直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线 （切点分别为 ），
试证明动直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
5．（2024·全国·模拟预测）设抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 为 上一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，设切点分别为 ， ，试
求直线 ， 斜率之积的最小值．
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的长轴为双曲线 的实轴，且经过点
．
(1)求椭圆 的标准方程．
(2)已知椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ．过椭圆 的左焦点
作直线 与椭圆 相交于 两点，过点 分别作椭圆的切线，两切线交于点 ．求证： ．1．（2022高三·全国·专题练习）求过椭圆 上一点 的切线 方程．
2．（2022高三·全国·专题练习）设双曲线 ： 上点 ．求双曲线 在点 处的切线 的方
程．
3．（2021高三·全国·专题练习）求与双曲线 有共同的渐近线，且与直线 相切的标
准双曲线方程.
4．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的方程为 ，抛物线的方程为 ，则两曲线
的公共切线的其中一条方程为 ．
5．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线 的一条切线方程为 ，则 的准线方
程为 ．
6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知抛物线 与斜率为 的直线恰有一个公共点 ，则
点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知 是双曲线外一点，过P引双曲线 的两条切线 ，
为切点，求直线 的方程．
8．（2020·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点 在椭圆 上运动，则点 到直线
的距离的最大值为 ．
9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线 ， 为直线 上一点，过 作抛物线的两条切
线，切点分别为 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
10．（2023高三·全国·专题练习）已知点P（x，y）是椭圆 上任意一点，则点P到直线l：
的最大距离为 .1．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆 与双曲线 有公共焦点
，点 在双曲线 上，则该双曲线在点 处的切线的斜率为 ．
2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知抛物线 ： ，定点 ， 为直线 上一点，过
作抛物线 的两条切线 ， ， ， 是切点，则 面积的最小值为 .
3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知O为坐标原点，抛物线y2=2px(p>0)上有异于原点的
， 两点，F为抛物线的焦点，以A，B为切点的抛物线的切线分别记为PA，PB，则
（ ）
A．若 ，则A，F，B三点共线 B．若 ，则A，F，B三点共线
C．若 ，则A，F，B三点共线 D．若 ，则A，F，B三点共线
4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知 是抛物线 上任一点， 为 的中点，记
动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，求点 到直线 的距离的最小值.
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为
，上顶点为 ，离心率为 ，抛物线 的焦点为 ．
(1)记椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 ，若 ，求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线 相切于第一象限，切点为 ，证明：直线 经过点 ，且 为线段 的中点．
6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，渐
近线方程为 ，且经过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 作双曲线 的切线 与 轴交于点 ，试判断 与 的大小关系，并给予证明．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，过 与 轴垂直的直线交 于 两点，且 ，离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)已知圆 上点 处的切线方程是 ，利用类比思想可知双曲线
上点 处的切线方程为 .过点 分别作双曲线
的左､右两支的切线，切点分别为 ，连接 ，并过线段 的中点 分别再
作双曲线左､右两支的切线，切点分别为 ，证明：点 在同一条直线上.
8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆 与双曲线 的焦点与
的焦点间的距离为 .
(1)求 与 的方程；
(2)过坐标轴上的点 可以作两条 与 的公切线.
（i）求点 的坐标.
（ii）当点 在 轴上时，是否存在过点 的直线 ，使 与 均有两个交点？若存在，请求出 的方程；
若不存在，请说明理由.
9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线 上的动点 满足 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)已知直线 与 交于 两点，过 分别作 的切线，若两切线交于点 ，且点 在直线 上，证
明： 经过定点.
10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
在椭圆 上仅存在 个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求
的取值范围.
1．（福建·高考真题）如图，直线 与抛物线 相切于点 .（1）求实数 的值；
（2）求以点 为圆心，且与抛物线 的准线相切的圆的方程.
2．（安徽·高考真题）设 是抛物线 的焦点．
（Ⅰ）过点 作抛物线 的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设 为抛物线 上异于原点的两点，且满足 ，延长 分别交抛物线 于点 ，
求四边形 面积的最小值．
3．（陕西·高考真题）已知抛物线 ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过
作 轴的垂线交 于点 .
（Ⅰ）证明：抛物线 在点 处的切线与 平行；
（Ⅱ）是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
4．（广东·高考真题）已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若动点 为椭圆外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程.
5．（广东·高考真题）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为
．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．
(1) 求抛物线 的方程；
(2) 当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程；
(3) 当点 在直线 上移动时，求 的最小值．
6．（福建·高考真题）如图，等边三角形OAB的边长为 ，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）
上．（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定
点
7．（湖南·高考真题）已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点，
与 的公共弦的长为 .
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点，且 与 同向
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率
（ⅱ）设 在点 处的切线与 轴的交点为 ，证明：直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形
8．（浙江·高考真题）如图，已知抛物线 ，圆 ，过点 作不过原点
O的直线PA，PB分别与抛物线 和圆 相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求 的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共
点为切点.
