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专题 02 共点力的平衡
考向一 静态平衡问题
1．受力分析的常用技巧
(1)转换研究对象法：对于不易判断的力(如弹力和摩擦力)，可以借助相互接触物体的受力情况来判定，
还可以借助力和运动的关系进行分析和判断．
(2)假设法：假设弹力、摩擦力存在，运用物体的平衡条件进行相关计算，然后再进一步分析判断．
(3)整体法和隔离法
①不涉及系统内力时，优先考虑应用整体法，即“能整体、不隔离”．
②同样应用“隔离法”，也要先隔离“简单”的物体，如待求量少或受力少或处于边缘处的物体．
③各“隔离体”间的力，表现为作用力与反作用力，对整体系统则表现为内力．
2．求解静态平衡问题的两种常用方法
(1)力的合成法：对研究对象受力分析后，应用平行四边形定则(或三角形定则)求合力的方法．力的合成
法常用于仅受三个共点力作用且保持平衡的物体．
(2)正交分解法：把物体受到的各力都分解到互相垂直的两个方向上，然后分别列出两个方向上合力为零
的方程并求解．当物体受四个及四个以上共点力作用而平衡时，一般采用正交分解法．
【典例1】如图所示，一根不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于点O′的固定光滑轴，
悬挂一质量为M的物体．轻绳OO′段水平，长度为L，轻绳上套一可沿绳滑动的轻环P.现在轻环上悬挂一
质量为m的钩码，平衡后，物体上升L，则钩码与物体的质量之比为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】重新平衡后，轻绳形状如图，由于物体上升L，则绳子与竖直方向夹角为30°，对钩码2Fcos 30°＝mg
T
对物体F＝Mg，联立解得＝，
T
故D正确．
【典例2】如图所示，质量为M的斜面体静止在水平地面上，质量为m的滑块在沿着斜面向上的恒力F作用
下向下做匀速运动，斜面体始终处于静止状态．已知重力加速度为g，在滑块下滑的过程中，下列说法正
确的是( )
A．滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ大于tan θ B．撤去恒力F后，地面对斜面体的支持力不变
C．地面对斜面体的支持力大于(M＋m)g D．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
【答案】 B
【解析】 对m进行受力分析可知m受四个力作用，由于m向下做匀速运动，所以有F＋F＝mgsin θ，F
f f
＝μmgcos θ，则μ＝tan θ－，A错误；对M进行受力分析可知，M所受的力与恒力F没有关系，故撤去
恒力F后，地面对斜面体的支持力不变，B正确；对整体进行受力分析可知，地面对斜面体的支持力小于
(M＋m)g，C错误；对整体受力分析可知，地面对斜面体的摩擦力方向水平向右，D错误．
【典例3】如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻绳上 点处；绳的一端固定在墙上，另一端通
过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时， 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为
α和β。若α = 50°，则β等于（ ）A. 45° B. 50° C. 60° D. 65°
【答案】D
【解析】本题主要考察共点力的平衡以及绳子的活结死结问题。
在O点进行受力分析如下图所示
由于甲、乙两物体质量相等，且滑轮处为活结则mg = F
1
可知△OmgF为等腰三角形，则根据三角形内角关系有180° = 2β + 50°
1
可计算出β = 65°故选D。
【典例4】 (多选)如图，固定在地面上的带凹槽的长直杆与水平面成α＝30°角，轻质环a套在杆上，置
于凹槽内质量为m的小球b通过一条细绳跨过固定定滑轮与环a连接．a、b静止时，细绳与杆间的夹角为
30°，重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A．a受到3个力的作用 B．b受到3个力的作用
C．细杆对b的作用力大小为 mg D．细线对a的拉力大小为 mg
【答案】BD
【解析】：轻质环a套在杆上，不计摩擦，则a静止时细线的拉力与杆对a的弹力平衡，故拉a的细线与
杆垂直，a受到2个力作用，故A错误；对b球受力分析可知，b受到重力，绳子的拉力和杆对b球的弹力，
b受到3个力的作用，故 B正确；以b为研究对象，受力分析如图所示，根据几何关系可得 β＝θ＝
30°，细杆对b的作用力大小为N，细绳对b球的拉力大小为T，T＝N，则2Ncos 30°＝mg，则N＝mg，T
＝N＝mg，则细线对a的拉力大小为T＝mg，故C错误，D正确．考向二 动态平衡问题
解决动态平衡问题的三种方法
(1)解析法
如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，根据自变量的变化确定因变
量的变化．
(2)图解法
如果物体受到三个力的作用，其中一个力的大小、方向均不变，并且还有另一个力的方向不变，此时可用
图解法，画出不同状态下力的矢量图，判断各个力的变化情况．
(3)相似三角形法
此法是图解法的特例，一般研究对象受绳(杆)、或其他物体的约束，且物体受到三个力的作用，其中的一
个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法.
【典例5】如图所示，一倾角为θ的斜面体放置在水平地面上，其上表面光滑、下表面粗糙。用一轻绳跨
过定滑轮拉动一质量为m的小球，在与小球相连的细绳变为竖直方向过程中，可使小球沿斜面向上做一段
匀速运动。斜面体一直静止在水平地面上，不计滑轮与绳子之间的摩擦。则在小球做匀速运动过程中，下
列说法中正确的是（ ）
A. 外力F一直增大
B. 斜面体受到地面的支持力先增大后减小C. 此过程中斜面体受到地面的摩擦力方向水平向左，大小逐渐减小
D. 绳子右端移动的速度大于小球沿斜面运动的速度
【答案】AC
【解析】A．设细绳与斜面的夹角为α，则当小球匀速运动时，由平衡可知 则当α逐
渐变大时，F逐渐变大，选项A正确；B．对斜面体和小球的整体，竖直方向
当α逐渐变大时，F逐渐变小，选项B错误；C．对斜面体和小球的整体，水平方向，此过程中斜面体受
N
到地面的摩擦力等于拉力F的水平分量，则水平向左，大小为
当α逐渐变大时，F逐渐减小，选项C正确；
f
D．将小球运动的速度v分解为沿绳子方向的速度v和垂直绳子方向的速度，则v=vcosα则vcd，则ad与ac的夹角先增加后减小，ad与db的夹角先减小后增加，则ad绳和bd绳拉力
的合力先增大后减小，即细绳对滑轮的力先增大后减小，选项D错误；故选C。
7. 如图所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上．下列
结论正确的是
A. 木块受到的摩擦力大小是mgcosα B. 木块对斜面体的压力大小是mg sinα
C. 桌面与斜面体之间没有摩擦力 D. 桌面对斜面体的支持力大小是Mg
【答案】C
【解析】对木块m受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，根据平衡条件求解支持力和静摩擦力；对 M和
m整体受力分析，受重力和支持力，二力平衡；AB、对木块m受力分析，受重力mg、支持力N和静摩擦力f，根据平衡条件，有： ， ， 根据牛顿第三定律，木块对斜面体的压力大小也
为 ，故A、 B错误；
CD、对M和m整体受力分析，受重力和支持力，二力平衡，故桌面对斜面体的支持力为 ，
静摩擦力为零，故C正确，D错误；故选C．
8. 在粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与光滑竖直墙之间放另一截面也为半圆的光滑
柱状物体B，整个装置处于静止状态，截面如图所示．设墙对B的作用力为F，B对A的作用力为F，地面
1 2
对A的作用力为F.在B上加一物体C，整个装置仍保持静止，则( )
3
A．F保持不变，F增大 B．F增大，F保持不变
1 3 1 3
C．F增大，F增大 D．F增大，F保持不变
2 3 2 3
【答案】C
【解析】：未放上C时，以B为研究对象，受力分析如图 1所示，由平衡条件得，墙对B的作用力F＝
1
Gtan α，当放上C时，F增大．A对B的作用力F′＝，F增大，则F′增大，由牛顿第三定律知F′＝
B 1 2 1 2 2
F，即F也增大．再以整体为研究对象，受力分析如图2所示，则放上C前，地面对A的支持力N＝G＋
2 2 A
G，放上C后变为G＋G＋G，即N增大，地面对A的摩擦力f＝F，且F为N与f的合力，所以F增大，
B A B C 1 3 3
故C正确．
9. 如图所示，斜面体B放置于水平地面上，其两侧放有物体A、C，物体C通过轻绳连接于天花板上，轻绳平行于斜面且处于拉直状态，A、B、C均静止，下列说法正确的是( )
A．A、B间的接触面一定是粗糙的 B．地面对B一定有摩擦力
C．B、C间的接触面可能是光滑的 D．B一共受到6个力的作用
【答案】 AC
【解析】 以A为研究对象，若A、B间的接触面光滑，则A受到竖直向下的重力和垂直斜面的支持力，重
力和支持力不可能平衡，所以A一定受到B对A沿斜面向上的静摩擦力，A正确；以A、B、C整体为研究对
象，整体受到重力和地面的支持力，可能受到斜向左上的轻绳的拉力，若轻绳拉力为 0，则地面对B没有
静摩擦力，B错误；以C为研究对象，C受到重力和B对C的支持力，可能受到斜向左上的轻绳的拉力，若
重力、支持力、绳的拉力这三个力平衡，则B、C之间没有静摩擦力，B、C间的接触面可能是光滑的，C正
确；以B为研究对象，若轻绳拉力不为0且B、C之间有静摩擦力，则此时B受到A对B的压力和静摩擦力、
C对B的压力和静摩擦力、地面对B的支持力和静摩擦力、B的重力共7个力的作用，D错误．
10. 如图所示，轻绳一端系在质量为m的物块A上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN的圆环上．现用水
平力F拉住绳子上一点O，使物块A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动．
在这一过程中，环对杆的摩擦力F 和环对杆的压力F 的变化情况是( )
1 2
A．F 保持不变，F 逐渐增大 B．F 保持不变，F 逐渐减小
1 2 1 2
C．F 逐渐增大，F 保持不变 D．F 逐渐减小，F 保持不变
1 2 1 2
【答案】B
F
【解析】把物体A和圆环看成一个整体，水平方向 2 ＝F，竖直方向f＝G＋G ，F＝f，则F 始终不
A 环 1 1
变．F F F F
隔离结点O受力分析如图，据平衡条件可得，F＝Gtanα，由 2 ＝F得 2 ＝Gtanα，又 2 2，则
A A
F 随绳与杆MN夹角的减小而减小，故B项正确，ACD三项错误。
2
11. 一个底面粗糙、质量为M=3m的劈放在粗糙水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30°角。现用一端
固定的轻绳系一质量为m的小球，小球放在斜面上，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角也为30°，如图所
示。
（1）当劈静止时，求绳子的拉力大小。
（2）当劈静止时，求地面对劈的摩擦力大小。
（3）若地面对劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使整个系统静止，动摩擦因素u最小值多大？
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
（1）以小球为研究对象，受力分析如图所示，对T和mg进行正交分解。
由平衡条件有Tcos 30°=mgsin 30°
得T= mg（2）以劈和小球整体为研究对象，受力情况如图所示。
由平衡条件可得f=Tcos 60° = mg
（3）为使整个系统静止，必须满足f =uF≥Tcos 60°
max N
且有F+Tsin 60°=(M+m)g
N
联立解得u≥
12. 如图所示，两平行金属导轨间的距离L＝0.4 m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ＝37°，在导轨
所在平面内，分布着磁感应强度B＝0.5 T、方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，金属导轨的一端接
有电动势E＝4.5 V、内阻r＝0.5 Ω的直流电源，现把一个质量m＝0.04 kg的导体棒ab放在金属导轨上，
导体棒恰好静止．导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R＝2.5
Ω，金属导轨电阻不计，g取10 m/s2，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)通过导体棒的电流I的大小；
(2)导体棒受到的安培力F的大小及方向；
(3)导体棒受到的摩擦力F的大小及方向．
f
【答案】(1)1.5 A (2)0.3 N 方向平行导轨向上 (3)0.06 N 方向平行导轨向下
【解析】(1)导体棒、金属导轨和直流电源构成闭合电路，由闭合电路欧姆定律得I＝，解得：I＝1.5
A
(2)导体棒受到的安培力F＝BIL＝0.3 N由左手定则可得，安培力F方向平行导轨向上．
(3)导体棒所受重力沿导轨向下的分力F＝mgsin 37°＝0.24 N
1
由于F小于安培力，故导体棒受沿导轨向下的摩擦力F，画出导体棒的受力示意图如图：
1 f
则据共点力平衡条件有mgsin 37°＋F＝F，解得F＝0.06 N.
f f
