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根的判别式的应用
(教材P17习题21.2第13题)
无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．
解：x2－5x＋6－p2＝0，
Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0，
所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．
【思想方法】 一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元
二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．
一 判断一元二次方程根的情况
方程x2＋7＝8x的根的情况为( A )
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．方程没有实数根
对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为( C )
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是( A )
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根
D．无法确定
已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总
有两个不相等的实数根．
证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4.
∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的
周长．
【解析】 (1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论；
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类
讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三
角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；再根据
三角形的周长公式进行计算．
解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，
∴方程恒有两个不相等的实数根；
(2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，
∴原方程为x2－4x＋3＝0，
解这个方程得x＝1，x＝3，
1 2∴方程的另一个根为x＝3.
①当1，3为直角边长时，斜边长为＝，
∴直角三角形的周长为1＋3＋＝4＋.
②当3为斜边长时，另一条直角边长为＝2，∴直角三角形的周长为1＋3＋2＝4＋2.
二 确定一元二次方程中字母系数的值
关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是(
D )
A．0 B．8 C．4± D．0或8
【解析】 依题意得Δ＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，∴m＝0，m＝8.
1 2
已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__－
3__．
【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即(－2)2－4×(－k)＝12＋4k＝0，
解得k＝－3.
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．
【解析】 由于这个方程有两个相等的实数根，因此Δ＝b2－4a＝0，可得出a、b之间的关系式，
然后将化简后，将a、b之间的关系式代入即可求出这个分式的值．
解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0.
∴＝
＝＝＝＝4.
三 确定一元二次方程中字母系数的取值范围
若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝ 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是( A )
A．k<1 B．k>1 C．k＝1 D．k≥0
若一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是( B )
A．m≤－1 B．m≤1
C．m≤4 D．m≤
若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是__1__.
【解析】 根据题意得：Δ＝16－12k≥0，且k≠0，解得k≤，则k的非负整数值为1.
已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根，求k的取值范围．
解：依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，
整理，得－8k＋4≥0，解得k≤.
四 确实一元二次方程中字母系数的取值范围
已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是( C )
A．k>且k≠2 B．k≥且k≠2
C．k>且k≠2 D．k≥且k≠2
【解析】 ∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，∴(2k＋1)2－4(k－2)2＞0，
∴(2k＋1－2k＋4)(2k＋1＋2k－4)＞0，
∴5(4k－3)＞0，k＞，故k＞且k≠2.
关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0有实数根，则k的取值范围是__ k ≥ － 且 k ≠ 0__．
如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m
－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
解：∵方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，∴m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，
∴Δ＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)
＝4(m2＋4m＋4－m2－5m)＝4(4－m)＜0，
∴m＞4.
对于方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，
当m＝5时，方程有一个实数根；
当m≠5时，Δ＝[－2(m－1)]2－4m(m－5)＝4(3m＋1)．∵m＞4，∴3m＋1＞13，
∴Δ＝4(3m＋1)＞0，方程有两个不相等的实数根，
∴当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有
两个不相等的实数根．
关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．
(1)求a的最大整数值；
(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，
∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤且a≠6.
∴a的最大整数值为7.
(2)①当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.
∵a＝1，b＝－8，c＝9，
∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，
∴x＝，即x＝4±，
∴x＝4＋，x＝4－.
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②∵x是一元二次方程x2－8x＋9＝0的根，
∴x2－8x＝－9.
∴2x2－＝2x2－
＝2x2－16x＋＝2(x2－8x)＋＝2×(－9)＋
＝－.
