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一元二次方程的根与系数的关系
1已知x，x 是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x＋x 的值是( B )
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A．0 B．2 C．－2 D．4
2．[2013·湘潭]一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x，x，则x·x＝( D )
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A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．[2013·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程( C )
A．无实数根
B．两根之和为－2
C．两根之积为－1
D．有一根为－1＋
4．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为( C )
A．2 B．3 C．4 D．8
5．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x，x，则x＋x－xx 的值为( D )
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A．－7 B．－3 C．7 D．3
【解析】 由根与系数的关系得x＋x＝5，x x＝2，所以x＋x－xx＝5－2＝3.
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6．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x，x，则x2x＋xx2的值
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为( A )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
【解析】 ∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x，x，∴x＋x＝3，xx＝－1，∴x2x
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＋xx2＝xx(x＋x)＝－1×3＝－3.
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7．设x，x 是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为( B )
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A．5 B．－5
C．1 D．－1
8．若x，x 是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x2＋x2＝__3__．
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【解析】 由根与系数的关系得x＋x＝－1，xx＝－1，所以x2＋x2＝(x＋x)2－2xx＝(－1)2
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－2×(－1)＝3.
9．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则＋＝__－__．
【解析】 ∵m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，
∴m＋n＝－＝，mn＝－，∴＋＝＝＝－.
10．已知x，x 是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x2＋x2；(2)＋；
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(3)(x＋1)(x＋1)．
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解：由根与系数的关系得x＋x＝－6，xx＝3.
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(1)x2＋x2＝(x＋x)2－2xx＝(－6)2－2×3
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＝36－6＝30；
(2)＋＝＝＝10；
(3)(x＋1)(x＋1)
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＝xx＋(x＋x)＋1
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＝3－6＋1＝－2.
11．已知2－是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根．
解：设方程的另一个根为x，由x＋2－＝4，得x＝2＋.
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12．已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x，x，若x＋x＝2，求x，x 的值．
1 2 1 2 1 2解： ∵x＋x＝2，∴m＝2.
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∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，
解得x＝3，x＝－1或x＝－1，x＝3.
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13．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x，x，且x2＋x2＝7，则
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(x－x)2的值是( C )
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A．1 B．12
C．13 D．25
【解析】 由根与系数的关系知：x＋x＝m，xx＝2m－1，
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∴x2＋x2＝(x＋x)2－2xx＝m2－2(2m－1)＝m2－4m＋2，
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∴m2－4m＋2＝7，
∴m2－4m－5＝0，
解得m＝5或m＝－1.
当m＝5时，原方程为x2－5x＋9＝0，
Δ＝(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11<0，此时方程无实根．
当m＝－1时，原方程为x2＋x－3＝0，方程有实根，
∴当m＝－1时，x＋x＝－1，xx＝－3，
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∴(x－x)2＝(x＋x)2－4xx
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＝(－1)2－4×(－3)＝1＋12＝13，故选C.
14．设a，b是方程x2＋x－2 012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( A )
A．2 011 B．2 012
C．2 013 D．2 014
【解析】 ∵a是方程x2＋x－2 012＝0的根，∴a2＋a－2 012＝0，∴a2＋a＝2 012.又由根与系
数的关系得a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2 012－1＝2 011，故选A.
15．已知m，n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为( C )
A．9 B．4 C．3 D．5
16．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋6＝0的两根为x，x，且x＋x＝－2，则m＝__－
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2__．
【解析】 ∵x＋x＝－＝，∴－2＝，∴m＝－2.
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17．设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．
【解析】 因为α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，α2
＋4α＋β＝α2＋3α＋α＋β＝4.
18．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x，x.
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(1)求m的取值范围；
(2)若2(x＋x)＋xx＋10＝0，求m的值．
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解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤.
(2)由根与系数的关系，得x＋x＝－3，xx＝m－1，
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∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－3，符合题意．
19．已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.
(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x，x，且│x－x│＝2，求k的值．
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解：(1)证明：Δ＝[－(3k－1)]2－4k·2(k－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，
所以无论k为何实数，方程总有实数根；
(2)由根与系数关系，得x＋x＝，xx＝，
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∵│x－x│＝2，
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∴(x－x)2＝4，即(x＋x)2－4xx＝4，
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故()2－＝4，整理，得3k2－2k－1＝0.
解得k＝1，k＝－.
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经检验，k＝1，k＝－都是原分式方程的解，
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∴k＝1，k＝－.
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