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因式分解法
1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( D )
A．x＝2 B．x＝－3
C．x＝－2，x＝3 D．x＝2，x＝－3
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2．方程x2－5x＝0的解是( C )
A．x＝0，x＝－5 B．x＝5
1 2
C．x＝0，x＝5 D．x＝0
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3．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( D )
A．－1 B．0
C．1和2 D．－1和2
4．小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是( D )
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0
5．经计算x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则方程x2－3x－4＝0的根为( B )
A．x＝－1，x＝－4 B．x＝－1，x＝4
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C．x＝1，x＝4 D．x＝1，x＝－4
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6．(1)一元二次方程x2－2x＝0的解是__x ＝ 0 ， x ＝ 2__.
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(2)方程x(x－2)＝x的根是__x ＝ 0 ， x ＝ 3__．
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7．若方程x2－x＝0的两根为x，x(x<x)，则x－x＝__1__．
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8．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__x ＝－ 2 ， x ＝ 3__．
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【解析】 原方程可化为(x＋2)(x－1－2)＝0，解得x＝－2，x＝3.
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9．关于x的方程mx2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，那么m＝__4__．
【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以m2－4m＝0，所以m＝0，m＝4.又m≠0，所以m
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＝4.
10．用因式分解法解下列方程：
(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；(2)9x2－4＝0；
(3)(3x－1)2－4＝0；
(4)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)．
解：(1)x＝3，x＝1；(2)x＝－，x＝；
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(3)x＝－，x＝1；(4)x＝3，x＝.
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11．解方程：2(x－3)＝3x(x－3)(用不同的方法解方程)．
【解析】 可用因式分解法或公式法．
解：解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0，
x－3＝0或2－3x＝0，所以x＝3，x＝.
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解法二(公式法)：2x－6＝3x2－9x，3x2－11x＋6＝0，
a＝3，b＝－11，c＝6，b2－4ac＝121－72＝49，
x＝，∴x＝3，x＝.
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12．用适当的方法解下列方程：
(1)4(2x＋1)2－9＝0；
(2)x2＋4x－2＝0；
(3)2x2－7x＋3＝0；
(4)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.解：(1)原方程可化为(2x＋1)2＝，
直接开平方，得2x＋1＝±，
∴x＝，x＝－；
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(2)移项，得x2＋4x＝2，
配方，得x2＋4x＋22＝2＋22，∴(x＋2)2＝6，
∴x＋2＝±，∴x＝－2＋，x＝－2－；
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(3)∵a＝2，b＝－7，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝49－24＝25，
∴x＝，∴x＝3，x＝；
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(4)原方程可化为x2＋2x－3＝0，(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1，x＝－3.
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13．选择适当的方法解一元二次方程：
(1)25(x－2)2＝49; (2)x2－2x－2＝0；
(3)4x2－5x－7＝0; (4)(x－)2＝5(－x)．
【解析】 (1)用直接开平方法；(2)用配方法；
(3)用公式法；(4)用因式分解法．
解：(1)原方程可化为(x－2)2＝，
直接开平方，得x－2＝±，∴x＝，x＝；
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(2)移项，得x2－2x＝2，
配方，得x2－2x＋12＝2＋12，即(x－1)2＝3，
∴x－1＝±，∴x＝1＋，x＝1－；
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(3)∵a＝4，b＝－5，c＝－7，
Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×4×(－7)＝137，
∴x＝，
∴x＝，x＝；
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(4)移项，得(x－)2－5(－x)＝0，
即(x－)2＋5(x－)＝0，
∴(x－)(x－＋5)＝0，
∴x－＝0或x－＋5＝0，
∴x＝，x＝－5.
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14．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程(x2－2x)－5(x－2)＝0的根，求△ABC
的周长．
解： 原方程可化为x(x－2)－5(x－2)＝0，
∴(x－5)(x－2)＝0，∴x＝5，x＝2.
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∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴第三边的长x的取值范围是1<x<5，
∴x＝2，∴△ABC的周长为2＋3＋2＝7.
15．已知一直角三角形的三边长为三个连续偶数，试求这个直角三角形的三边长及面积．
解：设三角形的三边长为n－2，n，n＋2，
则由勾股定理，得(n－2)2＋n2＝(n＋2)2，
整理得n2－8n＝0，解得n＝0(舍去)或n＝8.
当n＝8时，n－2＝6，n＋2＝10，
三角形的面积为×6×8＝24.答：这个直角三角形的三边长分别为6，8，10，面积为24.
16．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，
于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，(*)
解得y＝1，y＝4.
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当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2，
∴原方程有四个根：x＝1，x＝－1，x＝2，x＝－2.
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(1)在由原方程得到方程(*)的过程中，利用__换元__法达到__降次__的目的，体现了数学的转
化思想；
(2)解方程：(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.
【解析】 (1)本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程来求解，
然后再解这个一元二次方程．
(2)利用题中给出的方法先把x2＋x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
解：(2)设x2＋x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，解得y＝6，y＝－2.
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由x2＋x＝6，得x＝－3，x＝2；
1 2
由x2＋x＝－2，得方程x2＋x＋2＝0，
因为b2－4ac＝1－4×2＝－7＜0，
所以此时方程无解，
所以原方程的解为x＝－3，x＝2.
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17．已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是
等腰三角形时，求k的值．
解：(1)证明：∵一元二次方程为x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，
Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
(2)∵ΔABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，
由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，
∴必然有AB＝5或AC＝5，即x＝5是原方程的一个解．
将x＝5代入方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，25－5(2k＋1) ＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5.
当k＝4时，原方程为x2－9x＋20＝0，x＝5，x＝ 4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；
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当k＝5时，原方程为x2－11x＋30＝0，x＝5，x＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．(必
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须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5)．
∴k的值为4或5.
18．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1
＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5 050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令S＝1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，①
S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1，②
①＋②：有2S＝(1＋100)×100，
解得：S＝5 050.请类比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝168，求n.
解：设S＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝168，①
则S＝(2n＋1)＋…＋7＋5＋3＝168，②
①＋②得2S＝n(2n＋1＋3)＝2×168，
整理得n2＋2n－168＝0，即(n－12)(n＋14)＝0，
解得n＝12，n＝－14(舍去)，
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所以n＝12.
