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用列举法求概率
第1课时 直接列举法求概率 [见B本P54]
1．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一
球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黑球的概率是( A
)
A. B.
C. D.
2．为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，1，2
这三个数字组成，但具体顺序忘记了．她第一次就拨通电话的概率是( C )
A. B. C. D.
3．若从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为( A )
A. B. C. D.
【解析】∵从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条的可能结果有：3，5，6；3，5，9；3，6，
9；5，6，9；
能组成三角形的有：3，5，6；5，6，9；
∴能组成三角形的概率为.
4．在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机
地摸取一个小球后，然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的
概率是____．
5．从1，2，3，4，5中任取一个数作为十位上的数，再从2，3，4中任取一个数作为个位上的数，
那么组成的两位数是3的倍数的概率是____．
【解析】 所组成的所有两位数为12，13，14，22，23，24，32，33，34，42，43，44，52，53，54，共
15种情形，其中是3的倍数的有12，24，33，42，54，共5种情形，∴P＝＝.
6．小红有A，B，C，D四种颜色的衬衫，又有E，F两种颜色的裤子，若他喜欢的是A衬衫配E
裤子，则黑暗中，她随机拿出一套恰好是她最喜欢的搭配的概率是____．
7．一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个球，这些球除所标的数字外都相同，
搅匀后从中摸出1个球，记录下数字后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，记录下数字，
请用列表的方法，求出两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率．
解： 列表(如下表所示)
第二次
和
第一次
1 2 3
1
2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
∴两次摸出球上的数字之和为偶数的概率为.
8．如图25－2－1，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃，方块，黑桃，梅花，
其中红桃，方块为红色，黑桃，梅花为黑色，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将
剩余3张洗匀后再摸出一张．图25－2－1
(1)用列表法表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A，B，C，D表示)；
(2)求摸出的两张纸牌同为红色的概率．
解： (1)列表法：
第1次
A B C D
第2次
A BA CA DA
B AB CB DB
C AC BC DC
D AD BD CD
(2)P＝＝.
9．如图25－2－2，随机闭合开关K，K，K 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为(
1 2 3
B )
A. B. C. D.
图25－2－2
【解析】 共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关K，K 与K，K，
1 3 3 1
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为.
10．在x2□2xy□y2的空格“□”中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完
全平方式的概率是( C )
A．1 B. C. D.
【解析】 在x2□2xy□y2的空格“□”中，分别填上“＋”或“－”有四种情形：＋－；＋＋；
－＋；－－，其中能构成完全平方式的有2种，故概率为＝.
11．对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式：①AB＝CD；②AD＝BC；
③AB∥CD；④∠A＝∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的
概率是____．
【解析】 从4个条件中任取两个共有①②、①③、①④、②③、②④、③④6种可能性相等的结
果，其中①②、①③、③④能得出四边形ABCD是平行四边形，故能得出四边形ABCD是平行
四边形的概率为＝.
12．甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：ⅰ)每次游戏时，两人同时随机各伸出一根手指；ⅱ)
两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只胜小拇指，
小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指
时，
(1)求甲伸出小拇指取胜的概率；
(2)求乙取胜的概率．解： 设A，B，C，D，E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，列表如下：
乙
A B C D E
甲
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE
由表格可知，共有25种等可能的结果．
(1)由上表可知，甲伸出小拇指取胜有1种可能
∴P(甲伸出小拇指取胜)＝.
(2)由上表可知，乙取胜有5种可能，
∴P(乙取胜)＝＝.
13．一个不透明的袋子里装有编号分别为1，2，3的球(除编号以外，其余都相同)，其中1号球
1个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为.
(1)求袋子里2号球的个数．
(2)甲、乙两人分别从袋中摸出一个球(不放回)，甲摸出球的编号记为x，乙摸出球的编号记为
y，用列表法求点A(x，y)在直线y＝x下方的概率．
解： (1)设袋子里2号球的个数为x，则：
＝，解得x＝2.
经检验，x＝2为所列方程的解．
∴ 袋子里2号球的个数为2.
(2)用列表法表示为：
结果 1 2 2 3 3 3
1 (2，1) (2，1) (3，1) (3，1) (3，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (3，2) (3，2)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (3，2) (3，2)
3 (1，3) (2，3) (2，3) (3，3) (3，3)
3 (1，3) (2，3) (2，3) (3，3) (3，3)
3 (1，3) (2，3) (2，3) (3，3) (3，3)
∴共有30种等可能的结果，其中点在直线y＝x下方的有：(2，1)，(2，1)，(3，1)，(3，1)，(3，1)，
(3，2)，(3，2)，(3，2)，(3，2)，(3，2)，(3，2)，共11种．
把事件“点A(x，y)在直线y＝x下方”记作事件A，∴P(A)＝ .第2课时 树状图求概率 [见A本P56]
1．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( B )
A．0 B. C. D．1
2．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，
不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是( A )
A. B. C. D.
3．从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是
____．
4．甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是____．
图25－2－3
5．合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图25－2－3所示，学生B，C，
D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位的概率是____．
6．如图25－2－4，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两
辆汽车经过该路口都向右转的概率为____．
图25－2－4
7．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上数字－1，0，1，2，随机地摸出一个
小球记录数字然后放回，再随机地摸出一个小球记录数字．求下列事件的概率：
(1)两次都是正数的概率P(A)；
(2)两次的数字和等于0的概率P(B)．
解：根据题意，可以用以下表格表示所有不同的结果：
第一次
－1 0 1 2
第二次
－1 (－1，－1) (0，－1) (1，－1) (2，－1)
0 (－1，0) (0，0) (1，0) (2，0)
1 (－1，1) (0，1) (1，1) (2，1)
2 (－1，2) (0，2) (1，2) (2，2)
(1)由上表可以看出，所有可能出现的结果共有16种，每种结果出现的可能性都相同，两个数
字都是正数的结果有4种，所以P(A)＝＝
(2)由上表可知，两个数字和为0的结果有3种，所以P(B)＝.
8．在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有字母A，B，C，这3个小球除所标字母外，
其他都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你利用画
树状图的方法，求两次摸出的小球所标字母不同的概率．
解：共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球所标字母不同的结果有6种，所以所求的概率
为＝.
9．用图25－2－5中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中
一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( D )
A. B. C. D.
图25－2－5 第9题答图
【解析】 将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树状图如答图．∵共有6种等可能的
结果，可配成紫色的有3种情况，∴可配成紫色的概率是.
10．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(除颜色外其余都相同)，其中红球
2个(分别标有1号、2号)，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为.
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求
两次摸到不同颜色球的概率．
【解析】 (1)由蓝球1个，任意摸出一个球是蓝球的概率为，知共有4个球；又知袋中有红球2
个，蓝球1个，故黄球只有1个．(2)根据列表的情况来求概率．
解：(1)袋中黄球的个数为1个；
(2)列表如下：
红 红 黄 蓝
1 2
红 (红 ，红 ) (红 ，黄) (红 ，蓝)
1 1 2 1 1
红 (红 ，红 ) (红 ，黄) (红 ，蓝)
2 2 1 2 2
黄 (黄，红 ) (黄，红 ) (黄，蓝)
1 2
蓝 (蓝，红 ) (蓝，红 ) (蓝，黄)
1 2
所以两次摸到不同颜色球的概率为P＝＝.
11．阅读对话，解答问题．图25－2－6
(1)分别用a，b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用列表法写出(a，b)
的所有取值；
(2)求在(a，b)中使关于x的一元二次方程x2－ax＋2b＝0有实数根的概率．
解：(1)(a，b)对应的表格为：
b
1 2 3
a
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
4 (4，1) (4，2) (4，3)
(2)∵方程x2－ax＋2b＝0有实数根，
∴Δ＝a2－8b≥0.
∵使a2－8b≥0的(a，b)有(3，1)，(4，1)，(4，2)，
∴P＝＝.
12．甲、两乙人在玩转盘游戏时，把2个可以自由转动的转盘A，B分成4等份、3等份的扇形
区域，并在每一小区域内标上数字(如图25－2－7所示)，指针的位置固定，游戏规则：同时转
动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则甲胜，若指针所
指两个区域的数字之和为4的倍数，则乙胜，如果落在分割线上，则需要重新转动转盘．
(1)试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
(2)这个游戏公平吗？
图25－2－7
解： (1)列表如下：
转盘A
1 2 3 4
转盘B
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5)
因为数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，所以P ＝＝.
(甲获胜)
(2)因为“和是4的倍数”的结果有3种，所以P ＝＝，
(乙获胜)
因为≠，所以这个游戏不公平．13．现有两组相同的扑克牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别为2和3.从每组牌中各随机
摸出一张牌，称为一次试验．
(1)小红与小明用一次试验做游戏，如果摸到的牌面数字相同小红获胜，否则小明获胜．请用
列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
(2)小丽认为：“在一次试验中，两张牌的牌面数字和可能为4，5，6三种情况，所以出现‘和
为4’的概率是”，她的这种看法是否正确？说明理由．
解： (1)画树状图如下：
223 323
由图可知，所有等可能的结果共有4种，其中，摸到的牌面数字相同的情况有2种，摸到的牌
面数字不同的情况也有2种，所以P(小红获胜)＝＝，P(小明获胜)＝＝.
所以这个游戏是公平的．
(2)小丽的看法错误．两张牌的牌面数字“和为4”的概率为P(和为4)＝；两张牌的牌面数字
“和为5”的概率为P(和为5)＝；两张牌的牌面数字“和为6”的概率为P(和为6)＝.所以小丽
的看法不正确.
