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正多边形和圆
1．正六边形的边心距与边长之比为( B )
A.∶3 B.∶2 C．1∶2 D.∶2
【解析】 如图：设正六边形的边长是a，
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC＝AB＝a，
∴OC＝＝a，
∴正六边形的边心距与边长之比为：a∶a＝∶2.
2．如图24－3－1，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( D )
图24－3－1
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.AC＝BC
D．∠BAC＝30°
【解析】 因为OA＝AB＝OB，所以△OAB是等边三角形，又OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC＝
30°，所以∠BAC＝15°，D不正确．
3．如图24－3－2，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使该角的
顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是( B )
图24－3－2
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；
360÷120＝3；360÷180＝2.
因此n的所有可能的值共五种情况．
4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(C )
图24－3－3
A．6 mm B．12 mm
C．6 mm D．4 mm
5．已知正六边形的边心距为，则它的周长是( B )
A．6 B．12
C．6 D．12
【解析】 正六边形的边长等于半径，设半径为R，则＋()2＝R2，∴R＝2，它的周长是6R＝6×2
＝12，故选B.
6．若正六边形的边长为4 cm，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm，边心距
是__2__cm，它的每一个内角是__120°__．
7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.
8．已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n＝__8__．
【解析】 由＝×，得n＝8.
9．已知⊙O和⊙O上的一点A，如图24－3－4所示．
图24－3－4
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题所作的图中，如果点E在AB上，试证明EB是⊙O的内接正十二边形的一边．
【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O的内接正方形ABCD和内接
正六边形AEFCGH；(2)计算EB所对的圆心角的度数．
解：(1)如图所示，在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC和BD，连接AB，BC，
CD，DA，得⊙O的内接正方形ABCD；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O中作出正六边
形AEFCGH.
(2)如图，连接OE.∵AE是正六边形的一边，
∴∠AOE＝＝60°.∵AB是正方形的一边，∴∠AOB＝＝90°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝
90°－60°＝30°.设EB是⊙O的内接正n边形的一边，则＝30°，∴n＝12，
∴EB是⊙O的内接正十二边形的一边．
10．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
(2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连接BD，如图2.若⊙O的半径为1，则
由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( C )
图24－3－5
A．BD2＝OD
B．BD2＝OD
C．BD2＝OD
D．BD2＝OD
11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，
则正八边形的面积为____________cm2.
图24－3－6
【解析】连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
∵正八边形每个内角为：＝135°，
∴∠HGM＝45°，
∴MN＝MG，
设MH＝MG＝x，
则HG＝AH＝AB＝GF＝x，∴BG×GF＝2(＋1)x2＝20，
四边形ABGH面积＝
(AH＋BG)×HM＝(＋1)x2＝10，
∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm2)．
12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：
五边形ABCDE是正五边形．
图24－3－7
第13题答图
证明：如图所示，连接BE，AD，设纸条的宽度为h，
则S ＝AB·h＝AE·h，
△ABE
∴AB＝AE，
同理得AB＝BC，BC＝CD，∴AE＝AB＝BC＝CD.∵纸条的宽度固定，∴AE∥BD，CD∥BE，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD＋∠ABC＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝
∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，AE＝AB＝BC＝CD＝
DE，∴五边形ABCDE是正五边形．
13．如图24－3－8所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE
分别平分∠ABC，∠ACB，求证：五边形AEBCD是正五边形．
图24－3－8
【解析】 要证明五边形AEBCD是正五边形，只需证AE＝EB＝BC＝CD＝DA即可．
证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，
即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，
∴BC＝AD＝CD＝BE＝AE，
∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，
∴五边形AEBCD是正五边形．
14．如图24－3－9，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O.
(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE的形状，并说明理由．
:学科
图24－3－9
解：(1)△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD.
(2)四边形AODE是菱形，理由如下：
∵AB＝BC，∠ABC＝＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝×(180°－108°)＝36°，
同理得∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABO＝∠ABC－∠CBD＝72°，∠AOB＝180°－∠ABO－
∠BAC＝72°，∴AB＝AO，同理得DO＝DC，∴OA＝AE＝ED＝DO，∴四边形AODE是菱形．
15．小刚现有一边长为a m的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组
织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？
解：如图所示，在正方形ABCD中，△DEF，△CGH，△BOP，△AMN为全等的等腰直角三角
形，八边形EMNOPHGF为正八边形．
设直角边DE＝DF＝CG＝CH＝x.
在Rt△DEF中，EF＝x.
∵EF＝FG，且DC＝DF＋FG＋CG，∴x＋x＋x＝a，
解得x＝a≈0.3a，
因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m的等腰直角三角形，即可得到一个面积最
大的正八边形风筝．
16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片
沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距
OB长为，AC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算AC＋AB＝____．
图24－3－10
【解析】 设正五边形的边长为a，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，
依题意，有××a×5＝×2，
即a＝×a，∴AB＋AC＝.
