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实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题 [见A本P23]
1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( A )
A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．32 cm2
【解析】 设矩形一边长为x cm，则另一边长为(4－x)cm，则S ＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－
矩形
2)2＋4(0＜x＜4)，故当x＝2时，S ＝4 cm2.选A.
最大值
2．如图22－3－1所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正
方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )
图22－3－1
A．当C是AB的中点时，S最小
B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小
D．当C为AB的三等分点时，S最大
【解析】 设AC＝x，则BC＝1－x，所以S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋.因为二次项系数大
于0，所以当x＝时，S的值最小，即点C是AB的中点时，两个正方形的面积和最小，故选A.
3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系y＝－(x－
12)2＋144(0B′C＋BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时
L＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；
这时由作图可知：BB′＝20，
∴B′C＝＝10，
∴L＝10＋10，
因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10＋10.
10．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图22－3－5中的一种)．设竖档
AB＝x米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的
长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)
(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平
方米？
(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？
最大面积是多少？
(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架
ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
图22－3－5
解：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC＝＝4－x，
∴矩形框架ABCD的面积为AB·BC＝x(4－x)．
令x(4－x)＝3，解得x＝1或3，
∴当x＝1或3时，矩形框架ABCD的面积为3平方米．
(2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，
BC＝，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·＝－x2＋4x，
当x＝－＝时，S ＝3，
最大值
∴当x＝时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．
(3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC＝，
∴矩形框架ABCD的面积S＝x·＝－x2＋x，
当x＝－＝时，S ＝，
最大值
∴当x＝时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米．第2课时 二次函数与最大利润问题 [见B本P24]
1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升
空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从
点火升空到引爆需要的时间为( B )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
【解析】 当t＝－时，即t＝－＝4(s)时，礼炮升到最高点，故选B.
2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提
高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利
大，每床每晚应提高( C )
A．8元或12元 B．8元
C．12元 D．10元
【解析】 设每床每晚应提高x元，则减少出租床·10张，所获利润y＝(20＋x)，
即y＝－x2＋50x＋2 000＝－(x－10)2＋2 250.
由x是4的正整数倍和抛物线y＝－(x－10)2＋2 250关于x＝10对称可知，当x＝8或x＝12
时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选C.
3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__4__元时，一天出售
该种手工艺品的总利润y最大．
【解析】 依题意得y＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16，当x＝4时，y取得最大值．
4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品
零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__ 5 元 __．
【解析】 设降价x元，所获利润为y元，则有y＝(100－70－x)(20＋x)＝－x2＋10x＋600＝－(x
－5)2＋625.当x＝5时，y值最大，故应降价5元．
5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 000千克，购进价格为每千克30元，物价部
门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为
70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支
出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利为y元，那
么：
(1)y关于x的二次函数关系式为__ y ＝－ 2 x 2 ＋ 260 x － 6 __ 500(30≤ x ≤70) __；
(2)当销售单价定为__65__元时，日均获利最大，日均获利最大为__1__950__元．
【解析】 (1)当销售单价为x元时，实际降价了(70－x)元，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，
日均获利为[60＋2(70－x)]x－30[60＋2(70－x)]－500＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500，
所以y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500
＝－2x2＋260x－6 500(30≤x≤70)．
(2)因为y＝－2x2＋260x－6 500＝－2(x－65)2＋1 950，所以当销售单价定为65元时，日均获
利最大，最大利润为1 950元．
6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价
上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为
正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
解：(1)依题意有y＝(60＋x－50)(200－10x)(00，即>，
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>的实际意义是刹车后到t 时间内的平均速度小于刹车后到t 时间内的平均速度．
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