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网格(坐标系)中的旋转作图及旋转证明
一 网格(坐标系)中的旋转作图
(教材P62习题23.1第4题)
分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．
图1
解：逆时针旋转90°的图形如下：
教材母题答图(1)
逆时针旋转180°的图形如下：
教材母题答图(2)
【思想方法】 网格(坐标系)中旋转作图的一般步骤：(1)找出原图形中的关键点；(2)确定旋转
中心、旋转角及旋转方向；(3)根据旋转的性质作出关键点的对应点；(4)按原图的关键点连接
顺序连接作出的所有点，并标上相应字母．
正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD绕D点顺
时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为( D )图2
A．(－2，2) B．(4，1)
C．(3，1) D．(4，0)
【解析】 作∠BDB′＝90°，且使B′D＝BD，则B′的坐标为(4，0)．故选D.
(1)如图3(1)，在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB，
请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′.
(2)折纸：如图3(2)，有一张矩形纸片ABCD，要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边
上的D′处，请在图中作出该直线．
(1)
(2)
图3
解：如图所示．
(1)
变形2答图(1)
(2)变形2答图(2)
如图4，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，
已知△AAC 是由△ABC旋转变换得到的．
1 1
(1)请写出旋转中心的坐标是__ (0 ， 0 ) __，旋转角是__90__度；
(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△AAC 顺时针旋转90°，180°的三角形；
1 1
(3)设Rt△ABC两直角边BC＝a，AC＝b，斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股
定理．
图4
变形3答图
解：(2)画出图形如图所示；
(3)由旋转的过程可知，四边形CC C C 和四边形AAAB是正方形．∵S正方形C C C C ＝S
1 2 3 1 2 1 2 3
正方形AAAB＋4S ，∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，
1 2 △ABC
∴a2＋b2＝c2.
二 旋转证明
(教材P63习题23.1第10题)
如图5，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上
述关系成立的理由吗？
图5解：BE＝DC
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
同理得AE＝AC，∠EAC ＝ 60°，
∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△ADC，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝DC.
【思想方法】 旋转前、后的图形全等，借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或
通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．
如图6，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转
60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是__19__．
图6
图7
如图7，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△ABC ，使
1 1
得C点落在AB的延长线上的点C 处，连接AA.
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(1)写出旋转角的度数；
(2)求证：∠AAC＝∠C .
1 1
解：(1)旋转角的度数为60°.
(2)证明：∵点A，B，C 在一条直线上，
1
∴∠ABC＝180°.∵∠ABC＝∠ABC ＝120°，
1 1 1
∴∠ABA＝∠CBC ＝60°，∴∠ABC＝60°.
1 1 1
又∵AB＝AB，∴△ABA 是等边三角形，
1 1
∴∠AAB＝∠ABC＝60°，∴AA∥BC，
1 1 1
∴∠AAC＝∠C.∵△ABC≌△ABC ，
1 1 1
∴∠C＝∠C ，∴∠AAC＝∠C .
1 1 1
如图8(1)，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD；
(2)如图8(2)，将△ABD绕点A顺时针旋转到△AB′D′.
①当旋转角为________度时，边AD′落在边AE上；
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系
时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
(1) (2)图8
解：(1)证明：∵△ABD，△ACE，都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC.
∴△BAE≌△DAC，
∴BE＝CD.
(2)①60；
②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等，证明如下：
由旋转可知AB′与AD重合，
∴AB＝BD＝DD′＝AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°，
DP∥BC.
∵△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE，∠ACE＝60°.
∵AC＝2AB，
∴AE＝2AD′，
∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°.
∵DP∥BC，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.
∴BD′＝CD′.
∴△BDD′≌△CPD′.
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到
线段BD.
(1) (2)
图9
(1)如图9(2)，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图9(2)，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
解：(1)30°－α；
(2)△ABE 为等边三角形
证明：连接 AD，CD，ED
∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD.
则 BC ＝BD，∠DBC＝60°
又∵∠ABE＝ 60°
∴∠ABD＝ 60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－α；
且 △BCD 为等边三角形．
在 △ABD 与△ACD中∴ △ABD ≌△ACD(SSS)
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α
∵∠BCE＝ 150°
∴∠BEC＝180°－(30°－α)－150°＝α.
在 △EBC与△ABD中
∴ △ABD ≌△EBC(AAS)
∴AB＝BE
又∵∠ABE＝60°
∴△ABE为等边三角形
(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°.
∴∠DCE＝150°－60°＝90°.
∵∠DEC＝45°.
∴ △DCE为等腰直角三角形
∴DC＝CE＝BC
∵∠BCE＝150°.
∴∠EBC＝＝15°
而∠EBC＝30°－α；
∴α＝30°.
