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圆周角定理的综合运用
一 巧作辅助线求角度
(教材P89习题24.1第7题)
求证：圆内接平行四边形是矩形．
已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．
求证：平行四边形ABCD是矩形．
图1
证明：∠A＋∠C＝180 °(圆内接四边形对角互补)
又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)
∴∠A＝∠C＝90 °
所以圆内接平行四边形是矩形．
如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( A )
A．40° B．45° C．50° D．60°
图2
变形1答图
【解析】 如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝
∠OBC＝＝40°.
如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则
∠OAD＋∠OCD＝__60°__．
图3变形2答图
【解析】 如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝
2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，
∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝
∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝
120°－60°＝60°.
[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是
__150°__．
【解析】 在优弧ADC上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30 °.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.
图4
图5
如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(
A )
A．35° B．45° C．55° D．75°
如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，
又∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝
60°，∴△ABC是等边三角形；
(2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝
(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4.图6
变形5答图
二 圆周角定理与垂径定理的综合
(教材P89习题24.1第5题)
如图7，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．
图7
解：∵OA⊥BC，∴AC＝AB，∴∠ADC＝∠AOB＝25°.
【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，
利用垂径定理求解．
如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3 cm，则弦AB的长
为( A )
图8
A．9 cm B．3 cm
C. cm D. cm
解：∵∠CBA＝30°，
∴∠AOC＝2∠CBA＝60°，
∵AB⊥OC，
∴∠ADO＝90°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝OA＝×3＝(cm)，
由勾股定理得：AD＝＝4.5 cm，
∵AB⊥OC，OC过O，
∴AB＝2AD＝9(cm)，
故选A.如图9，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若
AB＝8，CD＝2，则EC的长为( D )
图9 变形2答图
A．2 B．8
C．2 D．2
【解析】 ∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，
在Rt△AOC中，
∵AC＝4，OC＝r－2，
∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，
∴AE＝2r＝10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝10，AB＝8，
∴BE＝＝＝6，
在Rt△BCE中，
∵BE＝6，BC＝4，
∴CE＝＝＝2.
故选D.
如图10，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( A
)
图10 变形3答图
A．4 cm B．3 cm
C．5 cm D．4 cm
【解析】 连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，
∴CD＝BD，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△OED，∴OE＝AF＝AC＝3 cm，
在Rt△DOE中，，DE＝＝4 cm，
在Rt△ADE中，AD＝＝4 cm，
故选A.
如图11，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是
AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE＋FH的最大值为
__10.5__．
图11 变形4答图
【解析】 如图，当GH为⊙O的直径时，GE＋FH有最大值．
∵⊙O的半径为7，
∴GH＝14.
连接OA，OB.
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝7，
∵点E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF＝AB＝3.5，
∴GE＋FH＝GH－EF＝14－3.5＝10.5.
故答案为10.5.
如图12，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.
(1)求∠B的大小；
(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．
图12
变形5答图解：(1)∵∠APD＝∠C＋∠CAB，∴∠C＝∠APD－∠CAB＝65°－40°＝25°.∴∠B＝∠C＝25°.
(2)如图，过点O作OE⊥BD于点E，则DE＝BE.又∵AO＝BO，∴OE＝AD＝×6＝3.∴圆心O
到BD的距离为3.
如图13所示，AB是⊙O的一条弦，E在⊙O上，设⊙O的半径为4 cm，AB＝4 cm，
(1)求圆心O到弦AB的距离OD；
(2)求∠AEB的度数．
解：(1)连接OA，OB.∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝2 cm.
在Rt△ODA中，OA＝4 cm，
∴OD＝＝＝2 (cm)；
(2)Rt△ODA中，OA＝4 cm，OD＝2 cm，
∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，
∴∠AEB＝∠AOB＝60°.
图13
图14
如图14，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°，求BD
及OF的长．
解：∵AB＝4，AC⊥BD于F，∠A＝30°，
∴BF＝AB ＝4×＝2，AF＝＝＝6.
∵AC是⊙O的直径，∴BD＝2BF＝2×2＝4.
设OF＝x，则OB＝AF－OF＝6－x，
在Rt△OBF中，
OB2＝BF2＋OF2，即(6－x)2＝(2)2＋x2，解得x＝2，即OF＝2.
答：BD的长是4，OF的长是2.
如图15，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E.
(1)若AC＝16，求AE的长．
(2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AC与AE有何特殊的数量关
系 ？ 请 把 你 探 究 得 到 的 结 论 填 写 在 横 线 上____________________________________________________________________．
图15
变形8答图
解：(1)如图，连接OE，∵AO是⊙D的直径，
∴∠OEA＝90°，∴OE⊥AC.∵OE过⊙O的圆心O，
∴AE＝CE＝AC＝×16＝8.
(2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AE＝AC.
