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求二次函数的解析式
一 设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式
(教材P40练习第2题)
一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，求这个二次函数的解析式．
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则解得
所以所求的二次函数的解析式为y＝4x2＋5x.
【思想方法】 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将
已知条件代入，求出a，b，c的值．
如图1，抛物线的函数解析式是( D )
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
【解析】 根据题意，设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，
(2，0)，所以 解得a＝－1，b＝1，c＝2，所以这个二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2.
图1
图2
如图2，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点P，满足S ＝8，请直接写出点P的坐标．
△AOP
解：(1)由已知条件得：
解得∴此二次函数的解析式为y＝－x2－4x.
(2)∵点A的坐标为(－4，0)，∴AO＝4.
设点P的坐标为(x，h)，
则S ＝AO·|h|＝×4×|h|＝8，解得|h|＝4.
△AOP
①当点P在x轴上方时，－x2－4x＝4，解得x＝－2，
∴点P的坐标为(－2，4)；
②当点P在x轴下方时，－x2－4x＝－4，
解得x＝－2＋2，x ＝－2－2，
1 2
∴点P的坐标为(－2＋2，－4)或(－2－2，－4)，
综上所述，点P的坐标为(－2，4)或(－2＋2，－4)或(－2－2，－4)．如图3，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点．
图3
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平
行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
根据题意，得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－；
(2)存在．
(i)当点N在x轴的下方时，如图所示，
∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，
∴点C与点N关于对称轴x＝2对称，
∵C点的坐标为(0，－)，
∴点N的坐标为(4，－)．
(ii)当点N′在x轴上方时，如图所示，作N′H⊥x轴于点H，
∵四边形ACM′N′是平行四边形，
∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，
∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，
∴N′H＝OC，
∵点C的坐标为(0，－)，
∴N′H＝，
即点N′的纵坐标为，
∴x2－2x－＝，
解得x＝2＋，x＝2－.
1 2
∴点N′的坐标为(2－，)和(2＋，)．
综上所述，满足题目条件的点N共有三个，
分别为(4，－)，(2－，)和(2＋，)．二 设顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)求二次函数的解析式
(教材P36例4)
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出
的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中
心3 m，水管应多长？
解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建
立直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y＝
a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．
由这段抛物线过点(3，0)，可得0＝a(3－1)2＋3
解得a＝－
因此y＝－(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应2.25 m长．
【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求
二次函数的解析式为y＝a(x＋m)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一
般形式即可．
已知某二次函数的图象如图4所示，则这个二次函数的解析式为( D )
图4
A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
一抛物线的形状、开口方向与y＝x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛物线
的解析式为( C )
A．y＝(x－2)2＋1
B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x＋2)2＋1
D．y＝－(x＋2)2＋1
【解析】 抛物线的形状、开口方向与y＝x2－4x＋3相同，所以a＝.顶点在(－2，1)，所以抛物
线的解析式是y＝(x＋2)2＋1.
已知抛物线y＝x2－2x＋c的顶点在x轴上，你认为c的值应为( C )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】 根据题意得＝0，所以c＝1.
抛物线y＝x2－2(m＋1)x＋2m2－m的对称轴为x＝3，则m的值是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
三 利用平移规律求二次函数的解析式
(教材P34思考)
抛物线y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2与抛物线y＝－x2有什么关系？解：把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2；把抛物线y＝－x2向右
平移1个单位，就得到抛物线y＝－(x－1)2.
【思想方法】 (1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2)平移所得函数
的解析式与平移的先后顺序无关．
抛物线y＝x2－4x＋3的图象向左平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为( A
)
A．(0，－1) B．(0，－3)
C．(－2，－3) D．(－2，－1)
将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式是__ y ＝ x 2 ＋ x － 2 __．
在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单
位，得到的新抛物线的解析式为( B )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛
物线的解析式．
图5
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，
把C(0，－3)代入得：3a＝－3， 解得：a＝－1，
故抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3，
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)；
(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛
物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
