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圆周角
1．如图21－1－41，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于( D )
图21－1－41
A．50° B．80° C．90° D．100°
2．如图21－1－42，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝100 °，则∠A的度数为( B )
图21－1－42
A．40° B．50° C．80° D．100°
3．如图24－1－43，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知
∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为( C )
A．40° B．60° C．50° D．80°
【解析】 根据圆周角定理，可求得∠A的度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据
圆内接四边形的性质，可得∠DCE＝∠A＝50°.
图24－1－43
4．如图21－4－44，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为( D )
图21－4－44
A．135° B. 122.5° C. 115.5° D．112.5°
【解析】 ∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBC＝22.5°，∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°.
∴∠C＝(360°－135°)＝112.5°.
5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则
∠DAB等于( C )
图21－4－45 第5题答图
A．55° B．60° C．65° D．70°
【解析】 连接BD，如图，
∵点D是弧AC的中点，即弧CD＝弧AD，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝×50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°－25°＝65°.
6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( D )
图24－1－46
A．20° B．40° C．50° D．80°
【解析】 ∵弦AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠BOD＝2∠BCD＝2∠ABC＝2×40°＝80°.
7．如图24－1－47，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图
中找出一对相等的角，它们是__ 答案不唯一 ， 如∠ A ＝∠ C 等 __．
图24－1－47
8．[2013·张家界]如图24－1－48，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC＝40°，则∠BOD＝
__80°__．24－1－48
9．如图24－1－49，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则BC＝__5__cm.
图24－1－49
10．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，
若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__35__度．
【解析】 ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.
图24－1－50
11．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则
∠DAC的度数为__30°__．
【解析】 因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，所以AD是
∠BAC的平分线，所以∠DAC＝30°.
图24－1－51
12．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且
CF⊥AD.求∠D的度数．
解：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝
∠C.又∵∠BDC＝∠BOC，∴∠C＝∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝
90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.图24－1－52
第12题答图
13．如图24－1－53，CD⊥AB于E，若∠B＝70°，则∠A＝__20°__．
图24－1－53
【解析】 因为CD⊥AB，∠B＝70°，所以∠C＝20°，所以∠A＝20°.
14．如图24－1－54，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，
BD＝BC，则∠D＝__27°__．
【解析】 ∠ABC＝∠AOC＝×108°＝54°.因为BD＝BC，所以∠D＝∠ABC＝×54°＝27°.
图24－1－54
图24－1－55
15．如图24－1－55，已知AB，CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点
E.
(1)求证：BE＝DF；
(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．【解析】 (1)首先由平行线性质得到∠EBA＝∠COA＝∠CDF，然后根据相等的圆周角所对的
弧相等即可证明ECA＝CAF，进一步得到BE＝DF，再根据等弧对等弦即可得到BE＝DF；
(2)根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧．
解：(1)证明：∵DF∥AB，BE∥DC，
∴∠EBA＝∠COA＝∠CDF，∴ECA＝CAF，
∴BE＝DF，∴BE＝DF.
(2)图中相等的劣弧有：DF＝BE，EC＝FA，AC＝BD，DA＝BC，BF＝DE等．
图24－1－56
16．已知：如图24－1－56，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交
⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.
(1)求证：∠DAC＝∠DBA；
(2)求证：P是线段AF的中点．
证明：(1)∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA.
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA.(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB＝∠ABD ＋∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝PA.
又∵∠DFA ＋∠DAC＝∠ADE ＋∠PD F＝90°，∠ADE＝∠DAC，∴∠PDF＝∠PFD，
∴PD＝PF，∴PA＝PF，即P是线段AF的中点．
17．已知：如图24－1－57(1)，在⊙O中，弦AB＝2，CD＝1，AD⊥BD.直线AD，BC相交于点
E.
(1)求∠E的度数；
(2)如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角
的大小是否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由(图形未画完整，请你根据需要补
全)．
①如图(2)，弦AB与弦CD交于点F；
②如图(3)，弦AB与弦CD不相交．
图24－1－57
【解析】 (1)连接OC，OD，
则∠COD＝60°，且∠DBE＝∠DOC＝30°.
解：(1)如图(1)，连接OC，OD.∵AD⊥BD，∴AB是⊙O的直径，∴OC＝OD＝CD＝1，∴△DOC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠DBE＝∠COD＝30°，∴∠E＝90°－∠DBE＝
60°.
(2)①如图(2)，连接OD，OC，AC.∵DO＝CO＝CD＝1，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝
60°，
∴∠DAC＝∠DOC＝30°，∴∠EBD＝∠DAC＝30°.∵∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－∠EBD＝
60°.
②如图(3)，连接OD，OC，同理可得出∠CBD＝30°，∠BED＝90°－∠CBD＝60°.
