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二次函数的图象性质与系数的关系
[ 见 A 本 P 2 2 ]
(教材P47习题22.2第6题)
下列情形时，如果a>0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在什么位置。
(1)方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实数根；
(2)方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；
(3)方程ax2＋bx＋c＝0无实数根；
如果a<0呢？
解：a＞0，抛物线开口向上：
(1)抛物线与x轴相交(有两个交点)，抛物线的顶点在x轴下方．
(2)抛物线与x轴相切(只有一个交点)，抛物线的顶点在x轴上．
(3)抛物线与x轴无交点，抛物线的顶点在x轴上方．
a＜0，抛物线开口向下：
(1)抛物线与x轴相交(有两个交点)，抛物线的顶点在x轴上方．
(2)抛物线与x轴相切(只有一个交点)，抛物线的顶点在x轴上．
(3)抛物线与x轴无交点，抛物线的顶点在x轴下方．
已知二次函数y＝－x2＋3x－，当自变量x取m时对应的函数值大于0，设自变量x
分别取m－3，m＋3时对应的函数值为y，y，则( D )
1 2
A．y＞0，y＞0 B．y＞0，y＜0
1 2 1 2
C．y＜0，y＞0 D．y＜0，y＜0
1 2 1 2
如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
且对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c＜0；
③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2.其中正确的个数是( B )
图1
A．1 B．2 C．3 D．4
函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图3所示，有以下结论：①b2－4c>0；②b＋
c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1<x<3时，x2＋(b－1)x＋c<0.其中正确的个数是( B )
图2
A．1 B．2 C．3 D．4
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4所示：图3
(1)判断a，b，c及b2－4ac的符号；
(2)若|OA|＝|OB|，求证：ac＋b＋1＝0.
解：(1)由图象知：开口向上，
∴a＞0，
对称轴－＞0，
∴b＜0，
与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2－4ac＞0；
(2)∵|OA|＝|OB|，且|OB|＝|c|＝－c，
∴ax2＋bx＋c＝0有一根为c，从而ac2＋bc＋c＝0，
又∵c≠0，∴ac＋b＋1＝0.
