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专题 22.18 待定系数法求二次函数解析式（专项练习）
1．已知：二次函数 的图象经过点 ．
(1)求b；
(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成 的形式．
2．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
3．已知二次函数y=ax2+c的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二次函数的表达式．
4．已知抛物线经过点 ， ， ，求该抛物线的函数关系式
5．已知二次函数，当x＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．
6．已知二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标为 ，与 轴的交点坐标
为 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．
7．已知抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点（0，1），求该抛物线的
表达式．
8．把抛物线y＝（x﹣1）2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q（3，0），求平移
后的抛物线的解析式．
9．已知抛物线经过（3，5），A（4，0），B（-2，0），且与y轴交于点C．
（1）求二次函数解析式；（2）求△ABC的面积．
10．已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求这个二次函数
的解析式．
11．已知二次函数 的图像经过 ， ，求抛物线的解析式
12．在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图象经过点 ．求此
二次函数的表达式及顶点的坐标．
13．已知抛物线 经过点M（﹣1，1），N（2，﹣5）．
(1)求 ， 的值；
(2)若P（4， ），Q（ ， ）是抛物线上不同的两点，且 ，求 的值．14．如图，二次函数 的图象过点A（0，3），B（2，3），C（-1，0）
则
（1）该抛物线的对称轴为_________；
（2）该抛物线与x轴的另一个交点为_______；
（3）求该抛物线的表达式．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x，y）和点E（x，y）在函数图象上，那么当0＜x＜x＜1时，请直接写出
1 1 2 2 1 2
y 与y 的大小关系：y y．
1 2 1 216．已知二次函数 的图象经过 两点．
(1)求a和b的值；
(2)在坐标系 中画出该二次函数的图象．
17．已知一个二次函数图象的顶点为(1，0)，与y轴的交点为(0，1)．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．
18．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表：
x ﹣2 ﹣1 0 0.5 1 2 3
y 0 4 6 6.25 6 4 0
请选择合适方法，求此抛物线的函数表达式．
19．已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个二次函数的顶点坐标．
20．已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．
参考答案
1．(1)2(2)【分析】
（1）把点 代入函数解析式即可求；
（2）利用配方法化成顶点式即可．
(1)解：把点 代入 得， ，
解得， ．
(2)解： ，
，
，
．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方
法，准确进行计算．
2．（1） ；（2）直线
【分析】
（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用对称轴公式 求解即可．
解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得 ；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线 ；
故二次函数的对称轴为：直线 ；
【点拨】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，
熟记抛物线对称轴公式．
3．二次函数的表达式为 ．
【分析】
将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．解： 二次函数y=ax2+c的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，
，解得： ．
∴二次函数的表达式为 ．
【点拨】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方
程，然后确定二次函数的表达式．
4．
【分析】
利用待定系数法设出抛物线的表达式为 ，将点 代入求解即可．
解：∵抛物线经过点 ， ， ，
∴设抛物线的表达式为 ，
将点 代入得： ，解得： ，
∴ ．
∴该抛物线的函数关系式为 ．
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二
次函数表达式．
5．
【分析】
根据题意，先得出二次函数的顶点坐标为 ，然后设该二次函数的解析式为
，将点代入求解即可得．
解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为 ，
设该二次函数的解析式为 ，∵它的图象经过点 ，
∴代入函数解析式可得： ，
解得： ．
故该二次函数的解析式为： ．
【点拨】题目主要考查根据待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握顶点式的特点性质
是解题关键．
6．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用待定系数法，将 ， 两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；
（2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．
解：（1）把 ， 代入 得：
，
解得： ，
所以抛物线解析式为： ；
（2） ，
所以抛物线的顶点坐标为 ．
【点拨】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式及二次函数的顶点式，熟练掌握待定
系数法确定函数解析式是解题关键．
7．
【分析】
根据抛物线的对称轴 ，即可确定b的值，将点（0，1）代入函数解析式确定c的值，
由此即可确定函数解析式．解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， ，
∴ ，
∴ ．
∵抛物线经过点（0，1），代入函数解析式可得：
∴ ．
∴该抛物线的解析式为 ．
【点拨】题目主要考查利用对称轴及点的坐标确定函数解析式，熟练掌握根据待定系数法确
定函数解析式是解题关键．
8．
【分析】
设平移后的抛物线的解析式为 ，将点Q（3，0），代入，即可求解．
解：设平移后的抛物线的解析式为 ，
∵平移后所得抛物线经过点Q（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代
入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
9．（1）二次函数解析式为 ；（2）△ABC的面积为24．
【分析】
（1）直接利用待定系数法求出函数解析式，进而得出答案；
（2）先求出C点的坐标，利用三角形的面积公式即可求出答案．
解：（1）设抛物线解析式为 (a≠0)，将(3，5)代入得： ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ．
即 ；
（2）令x=0，则y=8，
∴C(0，8)，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系
数法与三角形的面积公式是解题的关键．
10．y＝5x2﹣10x+3
【分析】
已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣2，将点
（2，3）代入求a即可．
解：设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∵其图象经过点（2，3），
∴a（2﹣1）2﹣2＝3，
∴a＝5，
∴y＝5（x﹣1）2﹣2，即y＝5x2﹣10x+3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式
时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
11．
【分析】
将（-1，0）、（3，0）两点坐标代入 得到关于b、c的方程组，然后解方程
组即可．
解：把（-1，0）、（3，0）代入 中
得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系
式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
12． ，
【分析】
直接把点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解．
解：∵二次函数 的图象经过点 ；
∴ ，
解得： ，
∴
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴顶点的坐标为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是
解题的关键．
13．(1) (2)
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）判断出点P（4， ），Q（ ， ）是抛物线 上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解．
(1)解：由抛物线 经过M（﹣1，1），N（2，﹣5）两点，
得 ，
解这个方程组，得 ；
(2)解：∵P（4， ），Q（ ， ）是抛物线 上不同的两点，且
∴ ， ，
∴
∴点P（4， ），Q（ ， ）是抛物线 上的对称点，
∵抛物线 的对称轴为 ，
∴ ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解
题的关键．
14．（1）x=1；（2）（3，0）；（3）
【分析】
（1）根据 坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴；
（2）根据对称轴以及C点的坐标即可确定另一个交点；
（3）根据待定系数法求解析式即可．
解：（1） A（0，3），B（2，3）
该抛物线的对称轴为x=1
故答案为：
（2） ，对称轴为
该抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）;故答案为：（3,0）
（3）∵抛物线过点（0,3）、（-1,0）、（2,3）
设二次函数的解析式为
由题意得，
解得，
∴
【点拨】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与 轴的交点问题，待
定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．(1)y=-x2-2x+8(2)＞
【分析】
（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
(1)解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（-1，9），C（0，8），
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+8.
(2)∵y=-x2-2x+8=-（x+1）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵0＜x＜x＜1，
1 2
∴y＞y．
1 2
故答案为：＞．【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待
定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
16．(1) (2)见分析
【分析】
（1）利用待定系数法将 两点代入抛物线求解即可得；
（2）根据（1）中结论确定函数解析式，求出与x，y轴的交点坐标及对称轴，然后用光滑
的曲线连接即可得函数图象．
(1)解：∵二次函数 的图象经过 两点，
∴ ，
解得： ．
(2)解：由（1）可得：函数解析式为： ，
当 时， ，
解得： ， ，
抛物线与x轴的交点坐标为： ， ，
∴
抛物线与y轴的交点坐标为： ，
对称轴为： ，
根据这些点及对称轴在直角坐标系中作图如下．【点拨】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及作函数图象，熟练掌握待定系数法确定
函数解析式是解题关键．
17．(1) (2)见分析
【分析】
（1）设抛物线解析式为 ，将 代入解析式求解；
（2）根据二次函数解析式作图即可．
解：(1)设抛物线解析式为 ，
将 代入 得： ，
∴ ；
(2)二次函数图像如下图所示：
【点拨】本题考查二次函数的图像以及用待定系数法求二次函数，掌握顶点式的形式是解题
的关键．18．
【分析】
根据题意利用抛物线的顶点式，并代入（0，6）即可求出抛物线的函数表达式.
解：设抛物线的函数表达式： ，
由图表可知抛物线的顶点为 即 ，
可得 ，
代入（0，6）可得 ，
所以抛物线的函数表达式为： .
【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，注意掌握二次函数的顶点式为
，顶点为 .
19．（1） ；（2）（－2，－8）
【分析】
（1）设抛物线y=ax2+bx+c，把三点坐标代入二次函数解析式求出a，b，c的值，即可确定
出二次函数解析式；
（2）经过配方配成顶点式即可得到答案．
解：（1）设抛物线y=ax2+bx+c，
把（－6，0），（2，0），（0，－6）三点代入解析式，得
解得，∴抛物线的解析式为：
（2）
∴抛物线的顶点坐标为：（-2，-8）．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式，本题运用两根式求函数关系式更简
单些．
20．抛物线的表达式为y=− （x+3）2+2．
【分析】
根据题意可设顶点式y=a（x-h）2+k，然后再把点（4，-5）代入进行计算即可解答．
解：∵抛物线的顶点是（-3，2），
∴设抛物线的表达式为：y=a（x+3）2+2，
把点（4，-5）代入y=a（x+3）2+2中得：
a（4+3）2+2=-5，
解得：a=− ，
∴抛物线的表达式为：y=− （x+3）2+2．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关
键．
